Planetenentstehung 2. Kapitel: Das Sonnensystem

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1 Planetenentstehung 2. Kapitel: Das Sonnensystem Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Abtlg. Computational Physics Wintersemester 2012/13 W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13)

2 2. Sonnensystem Übersicht 2.1 Objekte im Sonnensystem 2.2 Planetenbahnen 2.3 Physikalische Eigenschaften der Planeten 2.4 Zwergplaneten und Kleinkörper 2.5 Chronologie im frühen Sonnensystem 2.6 Zusammenfassung W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 1

3 2.1 Objekte Übersicht 2.1 Objekte im Sonnensystem W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 2

4 2.1 Objekte Antike Kenntnis 1 Stern (Sonne) 6 Planeten - Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn 1 Mond (Satellit der Erde) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 3

5 2.1 Objekte Uranus (1781) William Herschel ( ) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 4

6 2.1 Objekte Adams / Le Verrier John Couch Adams ( ) Urbain Jean Joseph Le Verrier ( ) Perihelshift Merkur Berechnung der Uranus-Störungen weiterer Planet ( ) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 5

7 2.1 Objekte Neptun (1846) Johann Gottfried Galle ( ) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 6

8 2.1 Objekte Ceres (1801) Giuseppe Piazzi ( ) Größter Asteroid Zwischen Mars-Jupiter W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 7

9 2.1 Objekte Pluto (1930) Clyde Tombaugh ( ) Mond: Charon (1978) Monde: S/2005 P1 und S/2005 P2 (Nix, Hydra) (Mai 2005, HST, Hubble Space Telescope) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 8

10 2.1 Objekte QB1: Erstes TNO TNO: Trans-Neptunisches Objekt August 1992 D. Jewitt, Univ. of Hawaii R = 22.8 mag a = AE d = 200 km W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 9

11 2.1 Objekte Aktueller Überblick a) Ein Stern, die Sonne b) 4 erdähnliche, terrestrische oder Innere Planeten (Merkur, Venus, Erde, Mars), AE c) 4 große gasreiche Planeten, jovianische, Äußere Planeten (Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun), 5-30 AE d) Asteroiden zwischen Mars und Jupiter, 2.2 bis 3.2 AE, auch bei gleichen Orbits wie Planeten in sog. 1:1 Resonanz und zwischen den einzelnen Planeten möglich e) Satellitensysteme (Monde) um die Planeten, bis auf Merkur und Venus f) Kometen (kurzper.) und transneptunische Objekte (TNOs), einschließlich Pluto, die den sog. Kuiperbelt bevölkern g) Oortsche Wolke, bis etwa 10 4 AE, Ursprung der langperiodischen Kometen h) Größere Mengen an Gas und Staub (Zodiaklicht) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 10

12 2.1 Objekte Mythologie a) Merkur Röm. Gott des Handels, der Reisenden und der Diebe, (röm. Gegenstück zu Hermes, dem Götterboten) b) Venus Gr. Aphrodite, Göttin der Liebe und Schönheit, dritthellstes Objekt am Himmel, Morgen- Abendstern (Eosphorus, Hesperus). c) Jupiter röm. König der Götter, Herrscher über den Olymp, griech. Zeus, Sohn des Chronos (Saturn) d) Saturn röm. Mythologie, Gott des Ackebaus, (Griech. Chronos), Sohn von Gaia und Uranus, Vater von Zeus. e) Uranus Gottheit der Himmel, Sohn und Geliebter von Gaia, Vater von Chronos (Saturn), der Zyklopen und Titanen. f) Neptun röm. Gott des Meeres (gr. Poseidon) g) Pluto (Griech. Hades) Gott der Unterwelt, Soweit von der Sonne entfernt, dadurch in ewiger Dunkelheit h) Charon Griech. Myth.: Fährmann, der die Toten über den Styx in den Hades bringt. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 11

13 2.2 Planetenbahnen Übersicht 2.2 Planetenbahnen - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen (Zweikörperproblem) - Bahneigenschaften - Planeten des Sonnensystems - Bahnelemente der Planeten W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 12

14 2.2 Planetenbahnen Keplergesetze 1) Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne sich in einem Brennpunkt der Ellipse befindet 2) Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten 3) Das Quadrat der Bahnperiode (P) ist proportional zum Kubus des mittleren Abstandes (Grosse Halbachse a) von der Sonne. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 13

15 2.2 Planetenbahnen Relativkoordinaten r P S r s r p O O: Koordinatenursprung S: Sonne, r s Radiusvektor zur Sonne P: Planet, r p Radiusvektor zum Planeten r = r p r s Vektor von Sonne zum Planeten W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 14

16 2.2 Planetenbahnen Das Zweikörperproblem Das Zweikörperproblem kann auf ein äquivalentes Einkörperproblem für die Relativbewegung reduziert werden µ r = GMµ r r 3 (1) Der Planet bewegt sich wie ein Körper der reduzierten Masse µ = M s m p /(M s + m p ) im Feld der Zentralmasse M = M s + m p. r ist der Relativvektor, v = r die Relativgeschwindigkeit. Erhaltungsgrößen : Energie Drehimpuls E = 1 2 µv2 G Mµ r (2) L = µ r v (3) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 15

17 2.2 Planetenbahnen Bewegungsgleichungen Spezifischer Drehimpuls h (Drehimpuls/Masse) L µ h Es gilt h r, d.h. Bewegung in Ebene senkrecht zu L. Wähle KO-System mit z-achse parallel zu L, also h = L z /µ x = r cos φ, y = r sin φ Die Bewegungsgleichung (1) lautet nun mit k = G M. r 2 φ = h (4) r r φ 2 = k r 2 (5) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 16

18 2.2 Planetenbahnen Flächensatz r O dr xx Fläche ds des schraffierten Dreiecks ds = 1 2 r dr teile durch dt mit (4) Ṡ = 1 r v 2 Ṡ = 1 2 h (6) d.h. Drehimpulserhaltung Zweites Keplersches Gesetz W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 17

19 2.2 Planetenbahnen Radial-Gleichung Einsetzen der Drehimpulsgleichung ergibt (k = GM) r + k r 2 h2 r 3 = 0 (7) Multiplikation mit ṙ und Integration über die Zeit t liefert 2ṙ2 1 k r + h2 2r 2 = ɛ (8) ɛ = E/µ spezifische Energie (Energie/Masse) des Planeten Definiere effektives Potential V eff (r) = k r + h2 2r 2 (9) ṙ 2 + 2V eff (r) = 2ɛ (10) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 18

20 2.2 Planetenbahnen Effektives Potential V eff (r) ε 3 V eff (r) = k r + h2 2r 2 O r ε ε 2 1 Zentrifugalpotential: für r 0 abstoßend. r 0 ε 0 ɛ = ɛ 0 Kreisbahn (gebunden) ɛ < ɛ 1 < 0 Ellipse (gebunden) ɛ = ɛ 2 = 0 Parabel (marginal gebunden) ɛ = ɛ 3 > 0 Hyperbel (ungebunden) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 19

21 2.2 Planetenbahnen Die Form der Bahn Mit ṙ = dr dφ und u = 1 dφ dt r ( ) 2 du + u 2 2ku dφ h 2 = 2ɛ h 2 (11) nochmal ableiten: Binet s Gleichung: d 2 u dφ 2 + u = k h 2 (inhomogene Oszillatorgleichung) Die Lösung lautet: r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) (12) Gleichung für Kegelschnitt = 1. Keplersches Gesetz in Gl.11 e = (1 + 2ɛh2 k 2 ) 1/2, p = h2 k a(1 e2 ) (13) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 20

22 2.2 Planetenbahnen Die Ellipse semi lactus rectum p = a ( 1 e 2) F P r Fokus (Sonne) Planet (Abstand: F-P) Aphel a b O E P r φ F Perihel a große Halbachse b kleine (b a) Exzentrizität e = (1 b 2 /a 2 ) 1/2 q = a(1 e) (Perihel) Q = a(1 + e) (Aphel) φ wahre Anomalie q=a(1 e) ( Winkel: Perihel - Planet) E: exzentrische Anomalie W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 21

23 2.2 Planetenbahnen Energie und Drehimpuls Im Perihel r p und Aphel r a ist v r, also gilt L = µr p v p = µr a v a E = 1 2 µv2 p GMµ r p = 1 2 µv2 a GMµ r a mit r p = a(1 e) und r a = a(1 + e) folgt (NOTE: L = µh, E = µɛ) L = µ GMa(1 e 2 ), E = GMµ 2a (14) Integriere Flächensatz (6) über ganze Periode P : πab/p = h/2 mit b = a (1 e 2 ) P 2 = 4π2 a 3 GM d.h. Das Dritte Keplersche Gesetz (15) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 22

24 2.2 Planetenbahnen Der Planet in der Bahn I Die radiale Bewegungsgleichung lautete (8) ṙ 2 = A + 2B r + C r 2 (16) mit A = 2ɛ, B = k, C = h 2 (17) r dr allg. Lsg. = dt (18) r 0 A + 2Br + Cr 2 t 0 Substitution r = a (1 e cos E) a = B [ A e = 1 AC ] 1/2 Lsg.: (mit Perihel bei t = 0) Kepler Gleichung t B 2 M = 2π t = E e sin E (19) P M mittl. Anomalie, P Periode., E = 0 Perihel, E = π Aphel. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 23

25 2.2 Planetenbahnen Der Planet in der Bahn II Kepler-Gleichung ist transzendente Gleichung, Lösung iterativ starte zu einer festen Zeit (eg. t = P/4) mit Anfangswert E 0 (eg. π/2), und iteriere Berechne wahre Anomalie φ mit tan E k+1 = M + e sin E k (20) ( ) φ 2 und Abstand r nach (12) = ( ) 1 + e E 1 e tan 2 (21) r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 24

26 2.2 Planetenbahnen Dimensionen im Sonnensystem Größe Symbol Wert Äquatorialer Erdradius R m Sonnenparallaxe π Astronomische Einheit (AE) a = R /π m (große Halbachse der Erde) Lichtgeschwindigkeit c m/s Lichtlaufzeit für 1 AE a /c s mittl. Bahngeschw. der Erde v m/s Sonnenparallaxe: des Erdradius von Sonne aus betrachtet. vgl. Sonnenradius: m W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 25

27 2.2 Planetenbahnen Planetenbewegung Umlaufzeiten: siderische: Wahre Umlaufzeit P eines Planeten um die Sonne synodische: Umlauf relativ zur Sonne, P syn Zeit zwischen 2 Konjunktionen Mittlere Bahngeschwindigkeiten: Relativgeschwindigkeit: Für äußere Planeten (n erde > n planet ) Beispiel Mars P syn = 2.14 Jahre n erde, n planet n erde n planet = 2π/P syn 1 = 1 1 P syn P erde P planet W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 26

28 2.2 Planetenbahnen Bahnelemente I Vollständige Beschreibung der Bahn durch: - 2 Bahnelemente a, e (Große Halbachse, Exzentrizität) - 3 Winkel, welche die Orientierung der Bahn angeben - 1 Zeitursprung T P, z.b. der Durchgang durch Perihel Referenzkoordinatensystem: Kartesisches System: Im Ursprung die Sonne x y Ebene = Ekliptikebene = Ebene der Erdbahn z-achse in Richtung des Drehimpulse der Erdbahn x-achse in Richtung des aufsteigenden Knotens der Erdbahn, (Frühlingspunkt (-Äquinoktium, Tag- und Nachtgleiche), Widderpunkt) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 27

29 2.2 Planetenbahnen Bahnelemente II a, e Frühlingspunkt Knoten : aufsteigender absteigender i Inklination Erdbahn-Eklipt. Ω Länge des aufsteig. Knotens in Ekliptik ω Länge des Perihels vom in Bahnebene T P Periheldurchgang W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 28

30 2.2 Planetenbahnen Bahnelemente III Mit allen 6 Größen a, e, i, Ω, ω, T P ist eindeutige Bestimmung des Position des Planeten möglich Damit können z.b. die Orte r und die Geschwindigkeiten v des Planeten eindeutig angegeben werden. Bewegungsgleichungen (9 Körper, Sonne + 8 Planeten) r i = GM i r i r i 3 + F i, i = 1,..., 9 (22) F i Störungen der anderen Körper auf i-ten Planeten (Masse m i ) M i = (M + m i ) Gl. nicht exakt lösbar, näherungsweise Ellipsen plus Störungen Variation der Bahnelemente (oskulierende Elemente) z.b. variiert e zwischen 0 und 0.06, heute W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 29

31 2.2 Planetenbahnen Überblick: Sonnensystem W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 30

32 2.2 Planetenbahnen Bahnelemente der Planeten Momentane Bahnelemente der Planeten Name Symb. Gr. Halbachse Exzent. Inklin. Periode a [AU] e Grad [Jahre] Merkur Venus Erde Mars Ceres Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto Die Bahnelemente variieren (oskulieren) aufgrund der Wechselwirkungen untereinander W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 31

33 2.2 Planetenbahnen Titius-Bode r n = n (Johann Titius 1766) Name Nummer Titius-Bode Polyeder Beobachtet a n a K a Merkur Venus Erde Mars Ceres Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto Veröffentlicht im Astronomische Jahrbuch 1772 durch Bode Übereinstimmung mit den Daten von Uranus (n = 6) und Ceres (n = 3) Diente Adams und Leverrier zum Auffinden von Neptun Passt innen und außen nicht: Starke Kritik u.a. von Gauss Polyeder (fünf platonische Körper) von Kepler 1596 W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 32

34 2.2 Planetenbahnen Resonanzen Einige der Umlaufzeiten der Planeten stehen (fast!) im Verhältnis zweier ganzer Zahlen, d.h. sie sind kommensurabel. Planeten P 1 /P 2 Resonanz Jupiter-Saturn :5 Saturn-Uranus :3 Uranus-Neptun :2 Neptun-Pluto :3 Andere Formulierung: 5n S 2n J = /Jahr (23) 2n N 3n P = /Jahr (24) n i mittlere Bewegung (Winkel/Zeit) der Planeten in der Bahn. Perihel von Pluto ist kleiner als das von Neptun: Orbitcrossing Aber: Perihels liegen etwa 180 auseinander. D.h. die Neptun und Pluto kommen sich niemals nahe. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 33

35 2.2 Planetenbahnen Neptun und Pluto I Umlaufzeiten: Neptun: 165 Jahre Pluto: 248 Jahre Abstand (Gr. Halbachse): Neptun: AE Pluto: 39.5 AE Exzentrizität: Pluto: 0.25 Kreuzende Bahnen!! (α-centauri, BR-Online) Stabilisierung durch: 3:2 Resonanz Neptun 3 Umläufe Pluto 2 Umläufe W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 34

36 2.2 Planetenbahnen Neptun und Pluto II Planetenbahnen: im mitrotierenden System von Neptun Pluto Neptun Uranus Saturn (Gravity Simulator, Tony Dunn) W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 35

37 2.2 Planetenbahnen Masse und Drehimpuls Massen: M = kg, M Planeten = kg Massenanteile: Wasserstoff: X = 0.73, Helium: Y = 0.25, Metalle: Z = 0.02 Sonne hat mehr Masse in schweren Elementen als alle Planeten zusammen Drehimpuls: Sonnenrotation: 25.4d am Äquator, 36d am Pol, im Innern 27 Tage Der Spindrehimpuls der Sonne (Neigung um 7 gegen Ekliptik) L = α M R 2 Ω = α kg m 2 s 1 (25) α ist der Faktor des Trägheitsmoments. Für zentrale Dichte 100 mal der mittleren: α (homog. Kugel 0.4). Bahndrehimpuls der Planeten: L i = m i µ i a(1 e 2 i ) = m i µi p i (26) Die vier großen Planeten ergeben L P = kg m 2 s 1. D.h. die Sonne hat 99.86% der Masse, aber nur 0.5% des Gesamtdrehimpulses. W. Kley: Planetenentstehung (WS 2012/13) 36