Koordinaten und darstellende Matrizen

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1 Koordinaten und darstellende Matrizen Olivier Sète 23 Juli 200

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3 Inhaltsverzeichnis Koordinatenabbildung 5 Definition und Eigenschaften 5 2 Beispiele 6 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus 9 2 Berechnung einer darstellenden Matrix 9 22 Zusammenhang zwischen darstellender Matrix und linearer Abbildung 0 23 Mehr Übersicht durch Diagramme 24 Beispiele 2 25 Matrixdarstellung von Verknüpfungen von linearen Abbildungen 4 3 Basiswechsel 7 3 Basiswechselmatrizen 7 32 Beispiel 8 33 Basiswechsel und darstellende Matrizen 9 34 Beispiel 20 4 Matrixdarstellung von Bilinear- und Sesquilinearformen 23 4 Berechnung einer darstellenden Matrix Basiswechsel und darstellende Matrizen von Bilinear- und Sesquilinearformen Beispiel 25

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5 Koordinatenabbildung Ziel: Von einem beliebigen (abstrakten) endlichdimensionalen K-Vektorraum in den (konkreteren) K-Vektorraum K n wechseln, da man dort leichter rechnen kann (viele Hilfsmittel) Definition und Eigenschaften Sei K ein Körper (zum Beispiel R oder C, aber es funktioniert für jeden erdenklichen Körper!), und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit dim K (V ) = n Bekanntlich existieren dann Basen, und wir wählen eine aus: Sei B = {v,, v n } (in dieser Reihenfolge) eine K-Basis von V Dann gilt: Für jedes v V existieren Koeffizienten α j K, j n, so dass sich v als Linearkombination der v j darstellen lässt: n v = α j v j j= Die Koeffizienten α,, α n heißen Koordinaten von v (bezüglich B) Schreibt man α,, α n als Vektor, nennt man das den Koordinatenvektor von v Wichtig: da B eine Basis ist, sind die α j eindeutig durch v bestimmt Daher können wir eine Abbildung definieren, die einem Vektor v die α j, genauer den Koordinatenvektor, zuordnet Das ist die sogenannte Koordinatenabbildung Φ B (bezüglich der Basis B): Φ B : V K n, v Φ B (v) := α α n Achtung: Φ B hängt (natürlich!) von der Wahl der Basis ab Eine andere Basis definiert eine andere Koordinatenabbildung B Der Index B am Vektor in K n soll andeuten, dass es sich um Koordinaten bezüglich der Basis B handelt Dies dient nur der Übersicht (wo lebt dieses Objekt?), und wird natürlich meistens weggelassen Wir wollen ihn aber erstmal mitnehmen, da die Koordinaten eben von der Wahl der Basis abhängen Man kann zeigen, dass Φ B ein Vektorraumisomorphismus zwischen V und K n ist (dh Φ B ist ein bijektiver Vektorraumhomomorphismus), siehe Vorlesung Dieser Sachverhalt wird oft ausgenutzt, um ein Problem von einem abstrakten Vektorraum V ein den konkreten Matrizenvektorraum K n zu übersetzen, da zu lösen, und dann zurückzurechnen (zb um den Kern von linearen Abbildungen zu berechnen) 5

6 Koordinatenabbildung 2 Beispiele Beispiel Betrachte C[t] 3, den Raum der Polynome mit Koeffizienten in C vom Grad kleiner oder gleich 3 in der Unbestimmten t, als C-Vektorraum Es ist C[t] 3 = {p K[t] Grad(p) 3} = { a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 a 0, a, a 2, a 3 C } Dann ist B = {, t, t 2, t 3 } eine C-Basis von C[t] 3 (dies ist die sogenannte kanonische Basis oder Standardbasis) und die Koordinatenabbildung Φ B bezüglich der Basis B sieht so aus: a 0 Φ B (a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ) = a a 2 a 3 B Um einmal an einem Beispiel zu sehen, dass sich Koordinaten bezüglich verschiedener Basen unterscheiden, betrachten wir eine weitere Basis: B = {, + t, t 2, t 3 } Bezeichnet Φ B die zu dieser Basis gehörige Koordinatenabbildung, so ist Φ B(a 3 t 3 + a 2 t 2 ( + a t + a 0 ) = Φ a3 B t 3 + a 2 t 2 + a ( + t) + (a 0 a ) ) = a 0 a a a 2 a 3 Wir stellen fest: Die Koordinatenvektoren des Polynoms sind bezüglich verschiedener Basen (B und B) verschieden Andersherum kann es sein, dass Koordinatenvektoren bezüglich verschiedener Basen gleich aussehen, aber verschiedene Vektoren darstellen Zum Beispiel ist 0 0 Φ B (t) = 0 und 0 = Φ B( + t), 0 0 B B von daher sind die Koordinatenvektoren nicht gleich, auch wenn es die selben 4 -Matrizen sind Beispiel 2 Betrachte den K-Vektorraum K 2,3 der 2 3-Matrizen über K Dann ist {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} B :=,,,,, eine Basis von K 2,3 (die sogenannte Standardbasis von K 2,3 ) Ist A = [ a ij ] K 2,3, so gilt [ ] [ ] [ ] [ ] a a 2 a = a a 2 a 22 a + a a [ ] [ ] [ ] a 2 + a a , 0 0 B 6

7 2 Beispiele also sieht die Koordinatenabbildung Φ B bzgl B wie folgt aus: a Φ B ( [ a 2 ] a ij ) = a 3 a 2 a 22 a 23 B K 6, Eine weitere Basis von K 2,3 ist durch {[ ] [ ] [ ] B :=,, gegeben Für diese ist, [ ] 0 0 0, 0 0 [ ] 0 0 0, 0 [ 0 0 ]} [ ] [ ] [ ] [ ] a a 2 a = (a a 2 a 22 a a 2 ) + a a [ ] [ ] [ ] (a 2 a 22 ) + a a 0 23, 0 0 also a a 2 Φ [ a 2 ] B( a ij ) = a 3 a 2 a 22 a 22 a 23 B K 6, Beispiel 3 Betrachte den R-Vektorraum R 3, mit der Basis 0 0 B := 0,, (der Standardbasis oder kanonischen Basis), sowie den Basen 0 B 2 := 0,,, B 3 := 2,, Sei v = [ x x 2 x 3 ] T R 3, Die Koordinaten bzgl B von v sind 3 x Φ B (v) = Φ B x j e j = x 2 j= x 3 B 7

8 Koordinatenabbildung (Vorsicht: v und sein Koordinatenvektor in der kanonischen Basis sehen gleich aus, trotzdem sollte man sie unterscheiden! Bei anderen Basen ist das nämlich nicht mehr der Fall) Die Koordinaten von v bezüglich B 2 ergeben sich durch x x 2 Φ B2 (v) = Φ B2 (x x 2 ) 0 + (x 2 x 3 ) + x 3 = x 2 x x 3 B2 Die Koordinaten von v bzgl B 3 sind komplizierter zu ermitteln Man kann hier wie folgend vorgehen Seien α, α 2, α 3 R die (noch unbekannten) Koordinaten von v bzgl B 3 Dann gilt x 0 0 α x 2 = v = α 2 + α 2 + α 3 = 2 α 2, x α 3 also α 0 α 2 = 2 α 3 0 x x 2 x 3 = woraus α Φ B3 (v) = α 2 = x + x 3 3x + 2x 2 x 3 2 α 3 x x 3 folgt x x 2 x 3 = 2 x + x 3 3x + 2x 2 x 3 x x 3 8

9 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus Ziel: Beschreibe eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix, da man für Matrizen sehr gute Rechenverfahren hat (auch computertaugliche!) ZB lässt sich ein Kern dann als Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems berechnen, wo man den Gauß-Algorithmus anwenden kann 2 Berechnung einer darstellenden Matrix Seien K ein Körper, V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K (V ) = n, dim K (W ) = m und B V = {v,, v n } eine K-Basis von V, B W = {w,, w m } eine K-Basis von W Sei f : V W ein Vektorraumhomomorphismus (=lineare Abbildung) Berechne die Bilder f(v j ) der Basisvektoren v j von V Für alle j n ist f(v j ) W, also lässt sich f (v j ) in der Basis B W von W darstellen Dh es existieren eindeutig bestimmte Elemente a ij K ( i m, j n) mit f(v ) = a w + a 2 w a m w m, f(v 2 ) = a 2 w + a 22 w a m2 w m, f(v j ) = a j w + a 2j w a mj w m, j n, f(v n ) = a n w + a 2n w a mn w m Dabei sind die Koeffizienten a ij die Koordinaten von f(v j ) und [ a j a 2j a mj ] T B W ist der Koordinatenvektor von f(v j ) Möchte man dies mit der Koordinatenabbildung schreiben, sieht dies so aus: Φ BW (f(v j )) = a j a 2j a mj B W 9

10 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus Dann ist die darstellende Matrix [f] BV,B W von f bezüglich der Basen B V und B W durch a a 2 a n a 2 a 22 a 2n [f] BV,B W = Km,n a m a m2 a mn gegeben Beachte, dass die Koordinaten von f(v ) in die erste Spalte kommen, die von f(v 2 ) in die zweite, Nutzt man die Koordinatenabbildung, so kann man dies auch so schreiben: [f] BV,B W = [ Φ BW (f(v )) Φ BW (f(v 2 )) Φ BW (f(v n )) ] Wir haben eben gesehen, dass wir jeder linearen Abbildung f : V W eine eindeutige Matrix [f] BV,B W zuordnen können Dies können wir als Abbildung [ ] BV,B W : L(V, W ) K m,n, f [f] BV,B W interpretieren (dabei bezeichnet L(V, W ) = Hom K (V, W ) die Menge der linearen Abbildungen von V nach W ) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass [ ] BV,B W sogar ein Vektorraumisomorphismus ist 22 Zusammenhang zwischen darstellender Matrix und linearer Abbildung Frage: Was hat die berechnete Matrix mit der linearen Abbildung f zu tun? Der folgende Satz beantwortet diese Frage Satz 2 Seien K ein Körper, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen B V von V und B W von W und sei f : V W linear Für v V gilt [f] BV,B W Φ BV (v) = Φ BW (f(v)) (2) Formel (2) bedeutet, dass die darstellende Matrix von f die Koordinaten von v auf die Koordinaten von f(v) abbildet (entsprechend der Basen, die bei der Berechnung von [f] BV,B W benutzt wurden) Anders gesagt macht [f] BV,B W mit den Koordinatenvektoren das, was f mit den Vektoren macht Beweis Die Koordinaten von v j sind durch den kanonischen Einheitsvektor e j gegeben, dh es ist Φ BV (v j ) = e j Dann folgt [f] BV,B W Φ BV (v j ) = [f] BV,B W e j = a j a mj BW = Φ BW (f(v j)) 0

11 23 Mehr Übersicht durch Diagramme Sei nun v V mit Koordinatendarstellung β n v = β j v j =: (v,, v n ) j= β n B V in der Basis B V Dabei ist das hintere Produkt wie in der Vorlesung durch die vordere Summe definiert Dann gilt n n n [f] BV,B W Φ BV (v) = [f] BV,B W β j e j = β j [f] BV,B W e j = β j Φ BW (f(v j )) Dies zeigt unsere Behauptung j= j= n = Φ BW β j f(v j ) = Φ BW (f(v)) j= Damit haben wir geschafft: Gehen wir von V und W zu K n und K m über (mit den Koordinatenabbildungen, die Isomorphismen sind), können wir die Aktion von f durch eine Matrixmultiplikation beschreiben Achtung: Die darstellende Matrix kann immer nur auf Koordinatenvektoren (bzgl B V ) angewandt werden (selbst wenn V schon ein K n ist), und liefert immer nur Koordinatenvektoren (bzgl B W ) Andersherum kann die Abbildung selbst nur auf Vektoren aus V angewandt werden, nicht auf die Koordinatenvektoren (dies wird am Beispiel 22 deutlich, siehe unten) 23 Mehr Übersicht durch Diagramme Die bisherigen Resultate können wir in Form eines Bildes darstellen Dies hat den Vorteil, dass man sich das ganze vielleicht leichter merken kann, und nicht so schnell die Übersicht verliert, in welchem Raum man sich gerade befindet j= Φ BV V (K n, B V ) f W Φ B W [f] BV,B W (K m, B W ) So ein Bild wird Diagramm genannt Es beschreibt wie die verschiedenen vorhandenen Abbildungen zusammenhängen Hier haben wir f, [f] BV,B W, Φ BV, Φ BW und die Inverse Koordinatenabbildung Φ B W Bei den Räumen K n und K m haben wir explizit die Basis mit aufgeführt, um deutlich zu machen, dass es sich um Koordinatenvektoren bzgl der Basen B V und B W handelt Oft wird dies ohne die Basen geschrieben, wir wollen sie aber der Klarheit zuliebe aufschreiben Ein Diagramm heißt kommutativ, falls folgendes gilt: Können wir einen Punkt im Diagramm auf zwei verschiedene Weisen auf einen anderen Raum abbilden, so sind die Bilder gleich

12 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus Dies ist sicher nicht für jedes Diagramm, was wir aufmalen können, richtig Beispiel: Ersetze in obigem Diagramm zb Φ BV ( durch die Konstante Nullabbildung, ) und betrachte f 0 L(V,W ) Dann gibt es v V mit f(v) 0 W, aber Φ B W [f] BV,B W 0 L(V,K n ) (v) = 0 W f(v) Damit ist klar, dass nur vom Aufmalen eines Diagramms noch nichts folgt Eigenschaften müssen immer noch richtig bewiesen werden (auch wenn das gerne mal bei den Leuten wegfällt, die Diagramme oft benutzen) In unserem Fall ist das Diagramm kommutativ Das folgt aus Satz 2: Und zwar haben wir in (2) gesehen, dass für jedes v V [f] BV,B W Φ BV (v) = Φ BW (f(v)) = (Φ BW f)(v) gilt Dies ist äquivalent zu [f] BV,B W Φ BV = Φ BW f und, da Φ BW bijetiv ist, zu Φ B W [f] BV,B W Φ BV = f Also haben wir es wirklich mit einem kommutativen Diagramm zu tun Der Nutzen der kommutativen Diagramme ist, das man auf dem Diagramm schauen kann, wo welches Objekt lebt und wie die Abbildungen zusammenhängen Besonders interessant wird es, wenn man verschiedene Basen und dazugehörige darstellende Matrizen betrachtet, und wie diese untereinander zusammenhängen Dies untersuchen wir in Abschnitt 3 Am Anfang sind Diagramme gewöhnungsbedürftig, aber wenn man sich ein bischen mit ihnen beschäftigt, sind sie sehr praktisch, da man übersichtlich und ohne Formeln viel sagen kann 24 Beispiele Beispiel 22 Betrachte wie in Beispiel V = C[t] 3 = {p C[t] Grad(p) 3} = { a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 a 0, a, a 2, a 3 C } und W = C[t] 2 als C-Vektorräume Als lineare Abbildung wollen wir die Ableitung von Polynomen betrachten: D : C[t] 3 C[t] 2, a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 3a 3 t 2 + 2a 2 t + a Um eine darstellende Matrix zu berechnen, brauchen wir eine Basis im Definitions- und Bildbereich Wir wählen jeweils die kanonische Basis, dh B V := {, t, t 2, t 3 }, B W := {, t, t 2 } Berechne die Bilder der Basisvektoren: D() = 0 = t + 0 t 2, D(t) = = + 0 t + 0 t 2, D(t 2 ) = 2t = t + 0 t 2, D(t 3 ) = 3t 2 = t + 3 t 2 2

13 24 Beispiele Damit hat die darstellende Matrix bzgl B V [D] BV,B W = und B W die Gestalt Hier sehen wir noch einmal am Beispiel, dass die darstellende Matrix [D] BV,B W nur auf Koordinatenvektoren angewandt werden kann, nicht aber auf die Polynome: Matrix mal Polynom ergibt einfach nichts sinnvolles Andersherum kann die lineare Abbildung D nur auf Polynome angewandt werden, nicht aber auf Koordinatenvektoren: Die Polynomableitung macht für Spaltenvektoren nun einmal keinen Sinn In beiden Fällen sind die Räume einfach falsch, was man auch im folgenden Diagramm wiederfinden kann: Φ BV C[t] 3 D C[t] 2 Φ B W (C 4, B V ) [D]BV,B W (C 3, B W ) Dieses Diagramm kommutiert, wie wir in Abschnitt 23 gesehen haben Beispiel 23 Wie im vorhergehenden Beispiel 22 betrachten wir den C-Vektorraum C[t] 3 mit der Ableitung von Polynomen, diesmal jedoch als Abbildung von C[t] 3 nach C[t] 3, also D : C[t] 3 C[t] 3, a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 3a 3 t 2 + 2a 2 t + a Wie in Beispiel 22 wollen wir eine darstellende Matrix von D bestimmen, brauchen also zwei Basen Wir wählen beide gleich der kanonischen Basis, also B V = B W := B = {, t, t 2, t 3 } Berechne die Bilder der Basisvektoren: D() = 0 = t + 0 t t 3, D(t) = = + 0 t + 0 t t 3, D(t 2 ) = 2t = t + 0 t t 3, D(t 3 ) = 3t 2 = t + 3 t t 3 Damit hat die darstellende Matrix bzgl B die Gestalt [D] B,B = Wir wollen die darstellende Matrix bezüglich einer weiteren Basis berechnen, und zwar bezüglich der bereits aus Beispiel bekannten Basis B V = B W := B = {, + t, t 2, t 3 } 3

14 2 Matrixdarstellung eines Vektorraumhomomorphismus Wir berechnen wieder die Bilder der Basisvektoren und stellen diese in der Basis B W dar: D() = 0 = ( + t) + 0 t t 3, D( + t) = = + 0 ( + t) + 0 t t 3, D(t 2 ) = 2t = ( + t) + 0 t t 3, D(t 3 ) = 3t 2 = ( + t) + 3 t t 3 Also hat die darstellende Matrix von D bezüglich B die Gestalt [D] B, = B Wir halten noch fest, dass [D] B,B einfacher aussieht als [D] B, B Hier lässt sich erahnen, dass es Basen gibt, in denen die darstellende Matrix einer linearen Abbildung schöner aussieht (dh eine einfachere Gestalt besitzt) als in anderen Basen Dies ist insbesondere bei Endomorphismen von Interesse, und führt auf das Diagonalisieren von quadratischen Matrizen und letztendlich auf die Jordannormalform 25 Matrixdarstellung von Verknüpfungen von linearen Abbildungen Sei K ein Körper, V, W, X endlichdimensionale K-Vektorräume Seien B V, B W und B X K- Basen von respektive V, W und X Seien weiter f L(V, W ) und g L(W, X) Dann ist g f : V X wieder linear, also g f L(V, X), und wir können die Matrixdarstellung dieser Abbildung betrachten Für diese gilt [g f] BV,B X = [g] BW,B X [f] BV,B W (22) In Worten bedeutet das: die Matrixdarstellung der Verknüpfung von Abbildungen ist das Produkt der Matrixdarstellungen der einzelnen Abbildungen, oder noch anders: beim Übergang zu Matrizen geht Hintereinanderausführung in Multiplikation über In Diagramm-Sprache lässt sich dies auch so formulieren: Ist das kommutative Diagramm V f W g g f X gegeben (dieses Diagramm ist kommutativ nach Definition der Verknüpfung von zwei Abbildungen!), dann ist auch (K dim K(V ), B V ) [f] BV,B W (K dim K(W ), B W ) [g] BW,B X [g f] BV,B X (K dimk(x), B X ) 4

15 25 Matrixdarstellung von Verknüpfungen von linearen Abbildungen ein kommutatives Diagramm Der Beweis wurde in der Vorlesung erbracht, die Formel lässt sich aber auch leicht nachrechnen Die größte Schwierigkeit ist, sich nicht in Indizes zu verlieren Daher ist es sehr empfehlenswert, die Formel einmal selbst nachzurechnen (Training!) Als wichtige Konsequenz wollen wir untersuchen, wie die darstellende Matrix der Inversen f eines Isomorphismus mit der Matrixdarstellung von f zusammenhängt Sei K ein Körper, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K (V ) = dim K (W ) Seien B V eine K-Basis von V und B W eine K-Basis von W Sei f : V W ein Isomorphismus Dann existiert die Umkehrabbildung f und ist wieder linear Es gelten id V = f f und id W = f f Wenden wir [ ] BV,B V auf die erste und [ ] BW,B W auf die zweite Gleichung an, so folgt und I n = [id V ] BV,B V = [f f] BV,B V = [f ] BW,B V [f] BV,B W I n = [id W ] BW,B W = [f f ] BW,B W = [f] BV,B W [f ] BW,B V Damit ist [f ] BW,B V eine Links- und Rechtsinverse für [f] BV,B W, und daher die eindeutig bestimmte inverse Matrix von [f] BV,B W Damit haben wir folgenden Satz bewiesen Satz 24 Seien K ein Körper, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume mit K-Basen B V von V und B W von W und mit dim K (V ) = dim K (W ) Ist f : V W ein Isomorphismus, so ist [f] BV,B W invertierbar mit [f ] BW,B V = ([f] BV,B W ) (23) In Worten: Die darstellende Matrix der inversen Abbildung f ist die Inverse der darstellenden Matrix von f Wir halten noch den folgenden Spezialfall fest, da wir ihn im nächsten Abschnitt 3 benötigen Korollar 25 Seien K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit K- Basen B und B Dann gilt [id V ] B,B = ( [id V ] B, B) Beweis Dies folgt unmittelbar aus Satz 24 mit V = W, B V = B, B W = B und f = id V 5

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17 3 Basiswechsel Ziel: Koordinaten bezüglich verschiedener Basen ineinander umrechnen, sowie darstellende Matrizen bezüglich verschiedener Basen ineinander umrechnen 3 Basiswechselmatrizen Bisher haben wir immer nur eine Basis pro Vektorraum betrachtet Wir wissen aber, dass es ia verschiedene Basen gibt Wir wollen nun untersuchen, wie sich Koordinatenvektoren bezüglich verschiedener Basen ineinander umrechnen lassen Sei dazu K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit K-Basen B und B und seien Φ B und Φ B die zugehörigen Koordinatenabbildungen Frage: Wie hängen Φ B und Φ B zusammen? Wir betrachten die Aussage aus Satz 2 für den Fall V = W mit Basen B und B: Ist f : V V linear, so gilt [f] B, BΦ B (v) = Φ B(f(v)) für v V Mit f = id V folgt [id V ] B, BΦ B (v) = Φ B(v) für v V und wir haben den Zusammenhang zwischen verschiedenen Koordinaten gefunden Dieses Korollar halten wir als Satz fest Satz 3 Seien K ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit K-Basen B und B Dann gilt für v V [id V ] B, BΦ B (v) = Φ B(v), dh [id V ] B, B überführt Koordinatenvektoren bzgl B in Koordinatenvektoren bzgl B Die Matrix [id V ] B, B wird Basisübergangsmatrix oder Basiswechselmatrix von der Basis B in die Basis B genannt In Korollar 25 haben wir [id V ] B,B = ( ) [id V ] B, B gezeigt Also wird der umgekehrte Basiswechsel durch die Inverse der ursprünglichen Basisübergangsmatrix beschrieben 7

18 3 Basiswechsel Wir wollen noch einmal aufschreiben, wie sich die Koeffizienten der Matrix [id V ] B, B berechnen Seien dim K (V ) = n, B = {v,, v n } und B = {ṽ,, ṽ n } Setze [id V ] B, B = [ p ij ] = P Dann sind die p ij durch v = p ṽ + p 2 ṽ p n ṽ n, v 2 = p 2 ṽ + p 22 ṽ p n2 ṽ n, v n = p n ṽ + p 2n ṽ p nn ṽ n eindeutig bestimmt Dies lässt sich auch als (v, v 2,, v n ) = (ṽ, ṽ 2,, ṽ n )P schreiben (Diese Multiplikation wurde in der Vorlesung formal wie eine Matrixmultiplikation definiert, ist aber natürlich keine Matrixmultiplikation, da im Allgemeinen weder v j noch ṽ j Spaltenvektoren sind) Damit haben wir genau die Definition der Basisübergangsmatrix aus der Vorlesung und dem Skript wiedergefunden Achtung: Die Basisübergangsmatrix [id V ] B, B wird von links an die Koordinatenvektoren multipliziert, aber von rechts an die Basisvektoren von V 32 Beispiel Beispiel 32 Betrachte wieder den Vektorraum V = C[t] 3, mit den Basen B = {, t, t 2, t 3 } und B = {, + t, t 2, t 3 } aus Beispiel Die Basiswechselmatrix [id V ] B, B von B nach B berechnet sich mit als id V () = = + 0 ( + t) + 0 t t 3, id V (t) = t = + ( + t) + 0 t t 3, id V (t 2 ) = t 2 = ( + t) + t t 3, id V (t 3 ) = t 3 = ( + t) + 0 t 2 + t 3, 0 0 [id V ] B, = B Mit den bereits in Beispiel berechneten Koordinatendarstellungen folgt 0 0 a 0 a 0 a [id V ] B, BΦ B (a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ) = a a 2 = a a a 3 a 3 = Φ B(a 3 t 3 + a 2 t 2 + a t + a 0 ), wie es nach unseren theoretischen Überlegungen auch sein muss B B 8

19 33 Basiswechsel und darstellende Matrizen 33 Basiswechsel und darstellende Matrizen Wir wollen nun untersuchen, wie sich darstellende Matrizen einer linearen Abbildung bzgl verschiedener Basen ineinander umrechnen lassen Seien K ein Körper, V und W endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen B V und B V von V und B W und B W von W, und f : V W ein Vektorraumhomomorphismus Frage: Wie hängen die darstellenden Matrizen [f] BV,B W und [f] BV, B W von f zusammen? Es ist f = id W f id V, da beide Identitäten nichts bewirken Übergang zur Matrixdarstellung mit [ ] BV, B W liefert [f] BV, B W = [id W f id V ] BV, B W Nun nutzen wir Formel (22) aus Abschnitt 25 und schieben in V die Basis B V die Basis B W dazwischen: und in W [f] BV, B W = [id W f id V ] BV, B W = [id W f] BV, B W [id V ] BV,B V = [id W ] BW, B W [f] BV,B W [id V ] BV,B V Damit haben wir den gesuchten Zusammenhang zwischen zwei darstellenden Matrizen einer linearen Abbildung bzgl verschiedener Basen gefunden und halten ihn als Satz fest Satz 33 Seien K ein Körper, V und W endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen B V und B V von V und B W und B W von W, und f : V W ein Vektorraumhomomorphismus Dann gilt [f] BV, B W = [id W ] BW, B W [f] BV,B W [id V ] BV,B V (3) Dieser Zusammenhang lässt sich wie folgt in einem kommutativen Diagramm darstellen: [id V ] BV, B V (K n, B V ) (K n, B V ) [f] BV,B W (K m, B W ) [f] BV, B W (K m, B W ) [id W ] BW,B W Als Letztes wollen wir die Ergebnisse aus diesem Abschnitt (Zusammenhang zwischen darstellenden Matrizen bzgl verschiedener Basen) und die aus Abschnitt 23 (Zusammenhang zwischen Abbildung und ihrer Matrixdarstellung bzgl gegebener Basen) zu einem großen 9

20 3 Basiswechsel kommutativen Diagramm zusammenfassen Dabei behalten wir die Bezeichnungen von eben bei (K n, B V ) Φ BV [id V ] BV, B V V Φ BV (K n, B V ) [f] BV,B W (K m, B W ) Φ BW f W [id W ] BW,B W Φ BW (K m, B W ) [f] BV, B W 34 Beispiel Beispiel 34 Betrachte den C-Vektorraum V = C[t] 3 mit den C-Basen B = {, t, t 2, t 3 } und B = {, + t, t 2, t 3 } aus Beispiel, und als lineare Abbildung die Ableitung D, wie in Beispiel 23 In Beispiel 23 und Beispiel 32 haben wir folgende darstellende Matrizen berechnet: [D] B,B = , [D] = B, B , [id V ] B, = B Nach Korollar 25 lässt sich [id V ] B,B durch [id V ] B,B = 0 0 ( ) [id V ] B, B = = bestimmen (Natürlich lässt sich [id V ] B,B auch direkt berechnen) Nun ist [id V ] B, [D] B B,B [id V ] B,B = = = = [D] B, B, 20

21 34 Beispiel wie es Satz 33 besagt Somit hätten wir uns früher die Berechnung einer der beiden darstellenden Matrizen von D sparen können Wir können auch darstellende Matrizen von D bezüglich anderer Kombination von Basen berechnen, zb [D] B, B: [D] B, = [id B V ] B, [D] B B,B = =

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23 4 Matrixdarstellung von Bilinear- und Sesquilinearformen Ziel: Beschreibe Bilinearformen (oder Sesquilinearformen) auf endlich-dimensionalen Vektorräumen durch Matrizen, wieder um gut rechnen zu können 4 Berechnung einer darstellenden Matrix Seien K ein Körper, V, W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit dim K (V ) = n, dim K (W ) = m, B V = {v,, v n } eine K-Basis von V und B W = {w,, w m } eine K-Basis von W Sei β : V W K eine Bilinearform (bzw Sesquilinearform) Dann ist [β] BV B W := [ b i,j ] = [ β(vj, w i ) ] i m, j n Km,n die Matrixdarstellung von β bzgl der Basen B V und B W Wie bei linearen Abbildungen kann man für feste B V und B W zeigen, dass [ ] BV B W : {β : V W K β bilinear (sesquilinear)} K m,n ein Vektorraumisomorphismus ist (Übungsaufgabe!) β [β] BV B W Bemerkung: Oft wird der Spezialfall V = W und B V = B W betrachtet Dann erhalten wir quadratische Matrizen Der folgende Satz beantwortet die Frage, wie eine Bilinearform mit ihrer darstellenden Matrix zusammenhängt Satz 4 Seien K ein Körper und V, W endlichdimensionale K-Vektorräume mit K-Basen B V = {v,, v n } von V und B W = {w,, w m } von W (i) Sei β : V W K eine Bilinearform Dann gilt für v V und w W Φ BW (w) T [β] BV B W Φ BV (v) = β(v, w) (4) In einigen Büchern wird die Matrixdarstellung genau durch die Transponierte unserer Matrix definiert Das ändert nichts an der Theorie, und wir erhalten Sätze für diese andere Definition aus den hier gezeigten Säzen durch Transponieren der Gleichungen 23

24 4 Matrixdarstellung von Bilinear- und Sesquilinearformen (ii) Sei β : V W K eine Sesquilinearform Dann gilt für v V und w W Φ BW (w) H [β] BV B W Φ BV (v) = β(v, w) (42) Im Satz haben wir K und K, identifiziert Beweis Wir zeigen die zweite Aussage Seien v = n λ j v j V und w = m µ j w j W, also mit den Koordinatenvektoren Φ BV (v) = [ λ ] T λ n und ΦBW (w) = [ µ ] T µ m Dann gilt Φ BW (w) H [β] BV B W Φ BV (v) = [ µ ] [ µ m β(vj, w i ) ] i m, j n j= = [ µ ] [ ] n µ m β(v j, w i )λ j i= j= j= i m j= λ λ n [ m ] n = µ i β(v j, w i )λ j i= j= [ m ] [ ( )] n n = β(λ j v j, µ i w i ) = β λ j v j, m µ i w i = [ β(v, w) ] = β(v, w) Im Falle einer Bilinearform geht die Rechnung analog, nur das komplex Konjugieren der µ i entfällt Damit ist gesichert, dass die Definition der darstellenden Matrix einer Bilinearform (Sesquilinearform) sinnvoll ist j= i= 42 Basiswechsel und darstellende Matrizen von Bilinear- und Sesquilinearformen Ziel: Darstellende Matrizen von Bilinearformen (Sesquilinearformen) bezüglich verschiedener Basen ineinander Umrechnen Satz 42 Seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume mit Basen B V und B V von V und B W und B W von W (i) Sei β : V W K eine Bilinearform Dann gilt [β] BV B W = [id W ] T BW,B W [β] BV B W [id V ] BV,B V (ii) Sei β : V W K eine Sesquilinearform Dann gilt [β] BV B W = [id W ] H BW,B W [β] BV B W [id V ] BV,B V 24

25 43 Beispiel Beweis Wir zeigen die zweite Aussage Seien B V = {v,, v n } und B V = {ṽ,, ṽ n }, sowie B W = {w,, w m } und B W = { w,, w m } Setzen wir [ p ij ] := [idv ] BV,B V und [ qij ] := [idw ] BW,B W, so folgt [id W ] H BW,B W [β] BV B W [id V ] BV,B V = [ ] H [ q ij β(vj, w i ) ] i m, j n = [ [ ] H n ] q ij β(v k, w i )p kj k= [ m ] n = β(v k, w l )p kj [ m = = q li l= k= l= k= [ β ] n β(p kj v k, q li w l ) ( n [ pij ] i m, j n i m, j n i m, j n p kj v k, m )] q li w l k= l= i m, j n = [ β(ṽ j, w i ) ] i m, j n = [β] BV B W Die Aussage für Bilinearformen folgt genauso, nur das komplex Konjugieren der q ij entfällt Bemerkung: Im Spezialfall V = W, B V = B W erhalten wir gerade eine Kongruenztransformation der darstellenden Matrix bei Basistransformation: [β] BV B V = P T [β] BV B V P, wobei P = [id V ] BV,B V ist 43 Beispiel Beispiel 43 Betrachte den R-Vektorraum V = P 3 (R) der polynomialen Abbildungen von R nach R mit Grad kleiner gleich 3, also P 3 (R) = {f : R R p R[t] 3 mit f(x) = p(x) für alle x R} Definiere für j 4 p j : R R, x x j Dann sind B := {p, p 2, p 3, p 4 } und B := {p, p + p 2, p 3, p 4 } zwei R-Basen von P 3 (R) Betrachte die Bilinearform (Übungsaufgabe!) β : P 3 (R) P 3 (R) R, (p, q) β(p, q) = 0 p(x)q(x) dx 25

26 4 Matrixdarstellung von Bilinear- und Sesquilinearformen Wir berechnen die darstellende Matrix [β] B B von β bezüglich der Basen B und B Für i, j 4 ergeben sich die Einträge durch i = j = b ij = β(p j, p i ) = x j x i dx = x i+j 2 dx = 0 0 i+j xi+j i + j 2 > 0 { i = j = = i+j i + j 2 > Somit ergibt sich die Matrixdarstellung [β] B B = Dass die Matrixdarstellung von Vorteil sein kann, lässt sich hier nun gut erkennen Wenn wir einmal die darstellende Matrix haben, so können wir β(p, q) statt dem Integral nun als Produkt Vektor mal Matrix mal Vektor mit den Koordinatenvektoren berechnen Bezüglich einer geeigneten Basis, wie der kanonischen Basis B, lassen sich die Koordinaten der Polynomfunktionen sofort hinschreiben, und wir können β(p, q) rasch berechnen Andernfalls müssen erst die Polynome p und q ausmultipliziert werden, was bei Polynomen vom Grad 3 bereits keinen Spaß mehr macht, und dann das Ergebnis integriert werden Nun berechnen wir [β] B B über einen Basiswechsel Die Basistransformationsmatrix ist 0 0 P = [id V ] B,B = Daher folgt aus Satz [β] B = P B T [β] B B P = = = Auch hier sehen wir: Die Transformation mit der Basisübergangsmatrix geht relativ schnell (wenn die Basisübergangsmatrix gegeben ist oder sich leicht berechnen lässt) Alternativ kann man die Einträge durch Integration bestimmen Dazu sind 6 Integrale auszuwerten, bzw genügen hier 0 Integrale, da β symmetrisch ist