Multiplikation und Division

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1 Lernziele: Wenn Sie diese Qualifizierungseinheit bearbeitet haben, können Sie -ganze Zahlen multiplizieren und dividieren -Kommazahlen multiplizieren und dividieren -Zahlen mit Bezeichnungen (Einheiten) multiplizieren und dividieren -Sachaufgaben zur Multiplikation und Division lösen -Zahlen mit Einheiten runden. Methodische Hinweise Sie werden den Stoff eigenverantwortlich bearbeiten. In kleinen Schritten vermitteln wir Ihnen den Lernstoff. Sie können die Übungsaufgaben direkt im Heft lösen. Überlegen Sie aber, ob es sinnvoller sein kann, die Aufgaben auf kariertem Papier zu bearbeiten. Dann haben Sie die Möglichkeit, später einige Aufgaben zu wiederholen.vielleicht entscheiden Sie sich auch, nur einen kleinen Teil der Aufgaben zu beabeiten, weil Sie sich erinnern und sicher im Verfahren sind. Denn schließlich wollen Sie schon Gelerntes auffrischen! Wir freuen uns, wenn unsere Hinweise Ihnen helfen, Rechenwege jetzt zu verstehen., bei denen Sie früher Schwierigkeiten hatten. Überlegen Sie, wie Sie die Arbeit in kleine Schritte einteilen können, und vergessen Sie die Pausen nicht! Eine Lerneinheit soll nicht länger als 90 Minuten dauern. Hierin sind ca. drei Pausen enthalten. Den Taschenrechner sollten Sie nicht verwenden - der kann es nämlich schon! Hinweis: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, große mehrstellige Zahlen so zu schreiben, so dass sie besser zu lesen sind, entweder gruppenweise mit Leerschritt oder mit dem sogenannten Tausenderpunkt. Sie finden in dieser Qualifizierungseinheit beide Varianten: oder oder Und ansonsten wünschen wir Ihnen viel Spaß!

2 Kapitel 0: Aufrunden?? - Abrunden?? Beim Rechnen mit Maßeinheiten stehen oft mehr Stellen hinter dem Komma als benötigt werden. Dann muß gerundet werden - denn: Bestimmte Maßeinheiten erfordern eine bestimmte Stellenzahl hinter dem Komma! 1 Stelle nach dem Komma steht bei Dezimeter (dm), Zentimeter (cm) und Millimeter (mm). Beispiel: 0,5 mm 78,9 cm 128,2 cm 235,6 mm 2 Stellen nach dem Komma stehen bei, Meter (m), Hektoliter (hl) und bei den Flächenmaßen mm 2, cm 2, dm 2 und m 2. Beispiel: 40,78 m 1 289,37 23,98 m 2 298,72 hl 3 Stellen nach dem Komma stehen bei den Einheiten mit k : Kilogramm (kg), Kilometer (km), Kilowatt (kw) und bei Raummaßen (cm 3, dm 3, m 3...). Beispiel: 89,836 km 762,741 kw 562,987 kg 627,345 m 3 Personen und Stückzahlen werden auf volle Zahlen gerundet!!! Seite 2

3 Wie wird gerundet??? Abgerundet wird dann, wenn hinter der letzten benötigten Stelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4 folgt. Die letzte benötigte Stelle bleibt unverändert. Beispiel: 834, ,95 abrunden! 2 Stellen, also 3.Stelle ansehen 92,527 cm 92,5 cm abrunden! cm 1 Stelle, also 2.Stelle ansehen Aufgerundet wird dann, wenn hinter der letzten benötigten Stelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9 folgt. Zur letzten benötigten Stelle wird 1 addiert: Beispiel: 974, ,09 08 aufrunden zu 09 2 Stellen, also 3.Stelle ansehen 75,66 cm 75,7 cm 6 aufrunden zu 7 cm 1 Stelle, also 2.Stelle ansehen Diese Methode entspricht dem kaufmännischen Runden. In Sachaufgaben dürfen Sie erst das Endergebnis runden, denn jede Rundung ist ja, genau betrachtet, eine Ungenauigkeit. Sie werden feststellen, dass in einigen Bereichen, z.b. im Bankgewerbe, mit 3 Stellen nach dem Komma gerechnet wird. Der Dollarkurs ist zur Zeit bei 1,578. Seite 3

4 Aufrunden?? Abrunden?? 1) Überlegen Sie, wieviel Stellen die angegebene Einheit fordert! a) b) c) 0,88 cm 22,689 m 3,2342 km 22,3441 mm 3, ,9958 kw 8,972 cm 42,37834 hl 96,4564 kg 100,999 dm 99, ,45721 kw 90,998 cm 6,7855 hl 0,9983 kg 0,3426 mm 46,7643 hl 42,9895 km 50,1347 cm 45,988 m 29,9997 km 98,299 cm 57,9523 m 5,9599 kg 0,759 dm 87,9999 m 247,9009 kg 2) m 2 hat zwei Stellen hinter dem Komma! a) b) c) 6,789 m² 24,7689 m² 0,2342 m² 0,674 m² 75,2354 m² 47,2792 m² 54,958 m² 195,999 m² 68,79009 m² 3) Drei Stellen nach dem Komma stehen bei m³. a) b) c) 66,2345 m³ 48,7655 m³ 8,94962 m³ 47,3495 m³ 70,8994 m³ 11,56734 m³ 6,7599 m³ 5,8703 m³ 672,0094 m³ 4) Noch einmal alles durcheinander: a) b) c) 46,7345 cm 8,5679 m 23,3478 m³ 5, ,3454 kg 27,76999 km 9,999 48,9099 0,453 cm 70,9983 m³ 59,9909 m 746,258 m² 88,599 cm 75,9279 m² 0,9781 m³ 55,26877 kw 69,899 m² 1,47 cm 17,344 mm 58,993 45,43 cm 93,9993 t 74,2559 km 120,997 m² Seite 4

5 Kapitel 1: Multiplikation Malnehmen nennt man auch Multiplizieren oder Multiplikation: 7 8 = 56 Faktor mal Faktor gleich Produkt 8 7 = 56 Bei der Multiplikation gilt das Vertauschungsgesetz! Um Ihr Wissen über die Multiplikation aufzufrischen, empfehlen wir Ihnen, das kleine und große Einmaleins zu wiederholen. Das erleichtert Ihnen später beim schriftlichen Multiplizieren die Arbeit! Zerlegen Sie die Zahlen in Faktoren! Es gibt oft mehrere Möglichkeiten! 42 = 6 7 = 3 14 = = = 25 = 18 = 48 = 63 = 32 = 54 = 30 = 60 = 56 = Auch größere Zahlen lassen sich auf diese Weise zerlegen 240 = = = 80 3 = =... Versuchen Sie es mit 720, 180, 250, 125, 1000, Sie werden feststellen, dass manche Zahlen nur in sehr wenige Faktoren zerlegbar sind. Wissen Sie, woran das liegt? Hinweis: Mehr über Teilbarkeit und Zerlegung in Faktoren erfahren Sie in unserer Qualifizierungseinheit Teilbarkeit! Seite 5

6 Das Verfahren der schriftlichen Multiplikation wird meist über ein halbschriftliches Verfahren erlernt. Beispiel: 23 7 = oder 23 7 = 20 7 = = = = = = zerlegen Sie in (20 + 3) 7 und addieren die Teilergebnisse von 20 7 und 3 7. Dabei spielt die Reihenfolge keine Rolle. Wenn Sie 23 7 im Kopf rechnen, verfahren Sie ebenso. Lösen Sie folgende Aufgaben im Kopf oder halbschriftlich, indem Sie in Teilschritte zerlegen: Aufgabe = 27 4 = 56 6 = 73 6 = = 85 8 = = 96 6 = = 25 9 = 36 7 = 75 4 = 5 45 = = = = = = = = = = 12 1 = Seite 6

7 1.1 Das Verfahren der Multiplikation mit einstelligem Faktor 7 Erster Schritt: Multiplizieren Sie den zweiten Faktor mit der rechten, kleinsten Stelle des ersten Faktors = 72 ; 2 notieren, 7 merken Fangen Sie genau unter der Zahl an zu schreiben, mit der sie beginnen zu multiplizieren! Zweiter Schritt: und arbeiten Sie sich dann nach vorne durch = 54 ; = 61 ; 1 notieren, 6 merken = 45 ; = 51 - notieren Seite 7

8 Die folgenden Aufgaben können Sie hier im Heft bearbeiten oder Sie benutzen kariertes Papier. 2 a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d) Seite 8

9 1.2 Das Verfahren der Multiplikation mit mehrstelligem Faktor ohne Komma 7 Erster Schritt: Multiplizieren Sie die größte Stelle des zweiten Faktors mit der kleinsten Stelle des ersten Faktors = 72 ; 2 notieren, 7 merken 2 Wichtig ist es, genau unter der Zahl anzufangen zu schreiben, mit der Sie zuerst multiplizieren und arbeiten Sie sich dann nach vorne durch Zweiter Schritt: Multiplizieren Sie die folgende Stelle des zweiten Faktors mit der kleinsten Stelle des ersten Faktors = 16; 6 notieren; 1 merken Wichtig ist es, genau unter der Zahl anzufangen zu schreiben, mit der Sie zuerst multiplizieren. Jetzt entsteht eine Treppe und arbeiten Sie sich dann nach vorne durch Haben Sie noch weitere Stellen, mit denen Sie multiplizieren müssen, fangen Sie immer wieder genau unter der Zahl eine neue Zeile an. Die Treppe erhält weitere Stufen. Dritter Schritt: Nun addieren Sie die Zeilen der errechneten Werte Seite 9

10 6 a) b) c) d) a) b) c) a) b) c) a) b) c) a) b) c) Seite 10

11 Bei der Multiplikation mit 10, 100, gibt es einen Trick! Es werden einfach die Nullen angehängt. Bei Dezimalzahlen muß man das Komma entsprechend nach rechts verschieben und ggf. noch zusätzlich Nullen anhängen. Beispiele: = (2 Nullen anhängen!) 3, = 34,56 (Komma um eine Stelle verschieben!) 2, = (Komma um eine Stelle verschieben, und 2 Nullen anhängen!) 11 a) = b) = c) = d) = e) 78,01 10 = f) 6, = g) 56, = h) 99, = i) 0, = j) 4, = k) 0, = l) 0, = Seite 11

12 1.3 Das Verfahren der Multiplikation mit Komma Aufgaben mit Dezimalstellen multiplizieren Sie zunächst ohne Berücksichtigung des Kommas und dann werden so viele Kommastellen abgestrichen, wie beide Faktoren zusammen Nachkommastellen haben. Beispiel: 2,5 3,45 = 8,625 2,5 hat eine, 3,45 zwei Nachkommastellen - ergibt beim Ergebnis mit der Ziffernfolge Stellen hinter dem Komma, also 8,625. Beantworten Sie zunächst nur die Frage, wieviel Kommastellen jeweils das Ergebnis in Aufgabe 1 hat! a) hat Stellen b) hat Stellen c) hat Stellen d) hat Stellen e) hat Stellen f) hat Stellen g) hat Stellen h) hat Stellen i) hat Stellen 1 a) b) c) 6,5 8,3 1,74 0,009 18,2 0,59 d) e) f) 18,04 0,084 0,876 0,606 0,438 20,01 g) h) i) 406,5 30,07 10,8 3,27 621,88 29,97 Seite 12

13 1.4 Die Multiplikation von Größen Bei der Multiplikation von Größen weist das Ergebnis unter Umständen mehr Stellen hinter dem Komma auf, als erforderlich sind. In diesen Fällen muß gerundet werden. Tauchen 2 gleiche Einheiten auf, müssen diese selbstverständlich auch multipliziert werden. Beispiele: 2,5 kg 5,279 = 13,1975 kg 13,198 kg 3,34 m 5,67 m = 18,9378 m² 18,94 m² 2 a) b) 347,24 3,7 560,234 kg 0,82 c) d) 6,7 cm 23,4 800,79 m 28,4 m e) f) 46,30 23,39 9,784 kw 0,8 h Seite 13

14 g) h) 420,81 20, ,6 cm 24,85 cm i) j) 568,459 km 23,7 697,120 km 64,55 Seite 14

15 1.5 Sachaufgaben zur Multiplikation 1) Frau Meier benötigt für ihre Tochter Friederike im ersten Jahr durchschnittlich 5 Windeln pro Tag, im zweiten noch 3 Windeln täglich und im dritten Jahr noch eine Windel. Eine Windel kostet im Durchschnitt 0,52. (1 Jahr = 360 Tage) Wieviel hat Frau Meier in den ersten 3 Jahren für Windeln ausgegeben? 2) Für eine Kinovorstellung wurden 35 Karten zu 8,50, 24 Karten zu 10,50 und 38 Karten zu 12,50 verkauft. Wie hoch war der Umsatz bei dieser Vorstellung? 3) Trittstufen aus Marmor werden angeboten zu 37,65 pro Stück bei einem Meter Länge. Wie teuer wird eine Treppe mit 35 Stufen bei einer Breite von 2,00 m? 4) Ein Amerikaner fährt mit seinem Auto in einer deutschen Stadt 32 Meilen/h. a) Hat er damit die Begrenzung auf 50 km/h eingehalten? (1 US-Meile = 1,609 km) b)wieviel km/h liegt er über bzw. unter der Marke? Seite 15

16 5) Herr Schulze führt für sein Auto ein Fahrtenbuch. Im vergangenen Monat ist er km gefahren und hat dafür 345 l Benzin verbraucht. Ein Liter kostet 1,48. Wieviel kostete das Benzin? 6) Ein Wagen verbraucht 6,2 l auf 100 km. Wieviel Liter verbraucht er auf 800 km / 850 km / 320 km? 7) Zur Renovierung ihrer Wohnung benötigt Familie Süßkind folgende Materialien: 6 Rollen Raufasertapete zu je 13,80 12 Rollen Blumentapete zu je 19,45 3 Rollen Streifentapete zu je 20,95 5 Packungen Tapetenkleister zu je 3,75 7 Rollen Glasfasertapete zu je 45,20 2 Pakete Spezialkleister zu je 5,65 17,5 m 2 Teppichboden zu je 48,30 12,5 m 2 Teppichboden zu je 29,75 Wieviel muß Familie Süßkind im Baumarkt bezahlen? Seite 16

17 1.6 Potenzen POTENZ Eine Potenz ist eine abgekürzte Schreibweise für ein Produkt aus gleichen Faktoren. Beispiel: 5 4 = = 625 Gesprochen: 5 hoch 4 5 ist die Basis oder Grundzahl, 4 ist der Exponent oder die Hochzahl Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor gesetzt werden muß. 1) Schreiben Sie ausführlich, und berechnen Sie: 8 3 = = = 15 3 = 6 6 = 3,5 3 = 0,25 2 = 0,3 4 = 20 5 = 10 8 = 2 12 = Seite 17

18 Lösungen: (nach Größe geordnet) 1) 0,0081; 0,0625; 42,875; 3 375; 4 096; ; ; ; ) Man kann Potenzen auch addieren und subtrahieren. Versuchen Sie's mal! a) = b) 6 3 2= c) = d) = e) = f) = g) = h) = Ist der Exponent eine "2", nennt man das Ergebnis Quadratzahl. Ist der Exponent eine "3", nennt man das Ergebnis Kubikzahl. 3) Schreiben Sie die Quadrat- und Kubikzahlen von 1 bis 20 auf! 1 2 = 1 1 = = = = 2 2 = 2 3 = = = = 3 Seite 18

19 4) Hier etwas zum Knobeln! Ergänzen Sie die Basis oder den Exponenten! a) _ 4 = 625 b) 7 = c) 2- = 1024 d) 16- = 256 e) 3 = ) 5 Häsinnen haben jeweils 5 Töchter, die jede wiederum 5 Junge wirft. Wie viele Hasen befinden sich insgesamt im Stall? Seite 19

20 Kapitel 2: Division Teilen nennt man auch Dividieren oder Division: 56 : 8 = 7 Dividend durch Divisor gleich Quotient Bei der Division gilt das Vertauschungsgesetz nicht!!! 1) Welche Divisionsaufgaben fallen Ihnen zu folgenden Zahlen ein? Schreiben Sie auch die entsprechende Multiplikation auf! 63, 48, 96, 72, 60, 42, 125, 144, 300, 169, 175, 189 Beispiel: 63 : 9 = 7 denn: 9 7 = : 3 = 21 denn: 3 21 = 63 Merke: Durch eine Multiplikation kann man eine Probe zu jeder Division machen, um so das Ergebnis zu überprüfen! Es ist sinnvoll, gerade am Anfang bei allen Aufgaben die Probe zu machen. Das geht meist schnell und Sie werden sicherer dabei! Seite 20

21 2) Teilen Sie im Kopf und zerlegen Sie dabei in geeignete Teilschritte! Beispiel: 368 : 8 = 320 : 8 = : 8 = 6 46 Also: 368 : 8 = 46 Machen Sie es genauso bei: 135 : : : : : : : : : : : : : : 15 = 1275 : 25 = 4450 : 50 = Seite 21

22 Kapitel 2.1: Die schriftliche Division ohne Komma Das schriftliche Dividieren funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie das Dividieren im Kopf oder das halbschriftliche Teilen. Halten Sie die Reihenfolge der Schritte unbedingt ein: : 13 = 5 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren Wie oft ist die 13 in der 74 enthalten? : 13 = 5 2. Schritt: zurück multiplizieren = Schritt: Rest ausrechnen (schriftlich subtrahieren!) und kontrollieren. In dem Rest darf der Divisor nicht mehr enthalten sein! : 13 = Schritt: neue Ziffer (Stelle) herunter holen 5. Schritt: = 1. Schritt : 13 = 57 Teilen und Ergebnis notieren! : 13 = Probe: = Übrigens: Wenn Sie bei dem Verfahren unsicher sind, machen Sie sich zu Schritt 1-5 einen Merkzettel! Denken Sie auch daran, bei den Aufgaben die Probe durchzuführen! Seite 22

23 Sie finden Hinweise zu typischen Stolpersteinen im Anschluss an diese Übung. Wenn Sie also in dieser oder in späteren Aufgaben ein Problem haben, schauen Sie bitte dort nach!! 1 Rechnen Sie, und machen Sie die Probe! a) b) : : 6 c) d) 612 : : 56 e) f) 805 : : 44 g) h) : : 25 i) j) : : 24 Seite 23

24 k) l) : : 150 m) n) : : 282 o) p) : 452 = : 18 = q) r) : 88 = : 111= Seite 24

25 Typische Stolpersteine (Teil 1) Ergebnisziffer zu niedrig geschätzt? : 13 = 4??? 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren Wie oft ist die 13 in der 74 enthalten? Sie schätzen fälschlicherweise zu niedrig! : 13 = 4 2. Schritt: zurück multiplizieren = Schritt: Rest ausrechnen (schriftlich subtrahieren!) und kontrollieren. In dem Rest ist der Divisor enthalten! Das darf nicht sein! Hier sollten Sie bereits merken, dass etwas schief gelaufen ist. Wenn nicht, passiert Folgendes: Wenn Sie den Rest durch 13 teilen, ohne vorher die nächste Stelle dazu geholt zu haben, wird Ihr Ergebnis später zu viele Stellen haben! : 13 = : 13 = Richtiges Ergebnis! Probe: = Seite 25

26 Typische Stolpersteine (Teil 2) Ergebnisziffer zu hoch geschätzt? : 13 = 6? 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren Wie oft ist die 13 in der 74 enthalten? Sie schätzen fälschlicherweise 6mal! : 13 = 6 2. Schritt: Zurück multiplizieren! = 78 Das geht ja gar nicht!! 78 haben Sie nicht zur Verfügung, nur 74!! Neuer Versuch!! : 13 = Probe: = Seite 26

27 Die Sache mit den Nullen (Teil 1) Nullen (oder fehlende Nullen) im Ergebnis Die neue Zahl ist zu klein, um sich teilen zu lassen. In Ihrem Ergebnis fehlt mittendrin die Ziffer 0. Ihr Ergebnis hat zu wenige Stellen : 13 = 57 Bis hier ging alles glatt. 65 Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! : 13 = 57 0.Nächster Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! ist nicht in 1 enthalten! Darum müssen Sie im... Ergebnis eine 0 notieren. Wenn Sie die 0 weglassen, dann fehlt in Ihrer Zahl ein Stellenwert. Ihr Ergebnis ist unbrauchbar!! Der Wert 0 bedeutet nicht nichts, sondern er ist wichtig wie jede andere Ziffer auch! gleich Die nächsten Schritte Zurück multiplizieren und Rest ausrechnen können Sie sich sparen, denn es wird ein Rest von 1 bleiben. Sie machen den : 13 = nächsten Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! Nächster Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! usw.... Seite 27

28 Die Sache mit den Nullen (Teil 2) Nullen im Dividenden : 13 = 5 Bis hier ist alles in Ordnung. 65 Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! : 13 = 56 Die nächste Ziffer ist Nun dürfen Sie nicht 0 ins Ergebnis übertragen, 90 sondern Sie rechnen 90 : : 13 = 569 Die nächste Ziffer ist wieder Auch diese 0 dürfen Sie nicht ins Ergebnis 90 übertragen, sondern Sie rechnen 120 : : 13 = Sie rechnen weiter, bis an dieser Stelle die 65 Rechnung aufgeht. Aber noch ist die Aufgabe 90 nicht zu Ende! : 13 = Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! 65 Das ergibt 0 im Ergebnis! 0 : 13 = Nächster Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! 117 Das ergibt 0 im Ergebnis! 0 : 13 = Seite 28

29 Kapitel 2.2: Der Dividend ist eine Kommazahl Wenn Sie im Dividenden (1. Zahl!) über das Komma hinweggehen, müssen Sie im Ergebnis ein Komma setzen. Beispiel: 110,40 : 23 = 4 Sie fangen zunächst 92 vorne an zu teilen ,40 : 23 = 4, Nun müssten Sie die nächste Stelle 92 nehmen. Vorher kommt aber 18 4 das Komma! 110,40 : 23 = 4,8 Die 1.Stelle nach dem Komma 92 liefert dann auch im Ergebnis die 18 4 erste Stelle nach dem Komma. 110,40 : 23 = 4,80 Nun rechnen Sie die Aufgabe bis 92 zum Ende Seite 29

30 Sie finden wieder Hinweise zu typischen Stolpersteinen im Anschluss an diese Übung. Wenn Sie also in dieser oder in späteren Aufgaben ein Problem haben, schauen Sie bitte dort nach oder auf den Seiten 27-30!! Überlegen Sie, wann das Komma gesetzt werden muß! Rechnen Sie bis zu Ende, Sie brauchen nicht runden! 1 a) 28,6 cm : 22 b) 49,28 : 44 c) 93,09 : 29 d) 45,666 km : 43 e) 33,12 m : 69 f) 5,535 km : 45 g) 23,115 km : 67 h) 3,225 km : 43 Seite 30

31 Typische Stolpersteine (Teil 3) Kleine Zahl geteilt durch große Zahl 4 : 64 = 0 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! Wie oft ist 64 in 16 enthalten? 0mal! 4 : 64 = 0 2. Schritt: Zurück multiplizieren! Schritt: Rest ausrechnen!? 4. Schritt: Neue Ziffer (Stelle) herunterholen! Halt! - Komma setzen!!! 4,000 : 64 = 0, Statt 4 notiere ich nun 4, Die neue Stelle ist 0!... 4,000 : 64 = 0,0 5. = 1. Schritt: Teilen und Ergebnis notieren! : 64 ergibt 0 im Ergebnis.... Beim Zurückrechnen bleibt 40 als Rest, also erspare 4,000 : 64 = 0,0625 ich mir das Aufschreiben und hole gleich die nächste 0 Stelle dazu: 400 : 64 = Nun rechnen Sie weiter Seite 31

32 2 a) 147,6 : 12 b) 14,76 : 12 c) 1,476 : 12 d) 35,25 : 15 e) 453,2 : 22 f) 45,32 : 22 g) 4,532 : 22 h) 82,188 : 18 i) 1 735,482 : 42 j) 76,944 : 24 Seite 32

33 k) 67,815 : 33 l) 3 469,425 : 25 m) ,28 : 56 n) 284,26 : 122 o) 2 260,125 : 525 p) 2 536,968 : 84 q) ,45 : 123 r) 3 962,277 : 99 s) ,3635 : 45 t) 136, : 45 Seite 33

34 u) ,8 : 204 v) 2 452,08 : 204 w) 245,208 : 204 x) 24,5208 : 204 Seite 34

35 Geht eine Division nicht auf, wird im Ergebnis eine Stelle weiter ausgerechnet als notwendig und dann gerundet. Beim Dividieren von Zahlen, die mit einer Einheit verbunden sind, bestimmt die Einheit die Anzahl der erforderlichen Stellen nach dem Komma. Bei anderen Zahlen kann man die Anzahl der notwendigen Stellen vereinbaren. In der Regel sollte jedoch auf drei Stellen nach dem Komma ausgerechnet und auf zwei Stellen gerundet werden. Beispiel: 49,8 : 7 = 7, ,11 Rechnen Sie die Aufgaben und achten Sie darauf, ob eine Einheit dabeisteht! 3 a) ,49 : 3 b) ,788 km : 619 c) 6 km : 300 d) 23 dm 3 : 405 e) 96,37 : 8 f) 456,23 : 36 g) 567,49 : 46 h) 123,50 : 150 Seite 35

36 Lernbrief Multiplikation und Division i) 8,5 cm : 11 j) 44,78 cm 2 : 42 k) 45 : 123 l) 5 678,347 kg : 426 m) 1396,35 : 87 n) 500,06 m 2 : 13 o) 444 km :445 p) 445 km : 444 Seite 36

37 Kapitel 2.3: Der Divisor ist eine Kommazahl Versuchen Sie, dieses Phänomen zu erklären! Warum ist in allen Divisionsaufgaben hier das Ergebnis (der Quotient) gleich 3? 1,2 : 0,4 = 3 12 : 4 = : 40 = : 400 = : 200 = : 50 = 3 15 : 5 = 3 1,5 : 0,5 = 3 Der Quotient 3 drückt aus, daß die Zahlen der Divisionsaufgabe im Verhältnis zu stehen. Das Ergebnis einer Division gibt an, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Daher können Sie ja Ihr Ergebnis durch eine Multiplikation überprüfen. In diesem Fall ist die Zahl, durch die geteilt wird jeweils dreimal in der Zahl enthalten, die zum Dividieren zur Verfügung steht. Also: Der Quotient 3 drückt aus, daß die Zahlen der Divisionsaufgabe im Verhältnis 3 zu 1 stehen. Das übliche Verfahren der schriftlichen Division kann man nicht anwenden, wenn der Divisor (die Zahl, durch die geteilt werden soll), eine Kommazahl ist. Falls Sie es probieren, werden Sie feststellen, dass Sie beim Zurückmultiplizieren nicht wissen, wie Sie das Komma unterbringen sollen. Also sucht man eine gleichwertige Aufgabe, bei der die Zahlen im gleichen Verhältnis stehen; das erreicht man durch Verschieben des Kommas bzw. Anhängen von Nullen: Beispiel: 75,5 : 2,5 = 56,784 : 0,08 = 75 : 0,125 = : 25 = 30,2 5678,4 : 8 = 7, :125 = 600 Das Ergebnis der erweiterten Aufgaben ist absolut identisch mit dem Ergebnis der ursprünglichen!!! Seite 37

38 Bei der Division durch eine Kommazahl erweitern Sie die Aufgabe um so viele Stellen, wie der Divisor Stellen hinter dem Komma hat! Beispiel: 75,5 : 2,5 = 56,784 : 0,08 = 75 : 0,125 = 1 Stelle 2Stellen 3 Stellen Komma verschieben: 75,5 : 2,5 = 56,784 : 0,08 = 75,000 : 0,125 = um 1 Stelle um 2 Stellen um 3 Stellen Also rechnen Sie 755 : 25 = 30,2 5678,4 : 8 = 7, :125 = 600 Die Aufgaben haben nun im Divisor keine Kommastellen und sind wie gehabt auszurechnen. Wenn Sie in der ersten Zahl das Komma passieren, setzen Sie selbstverständlich das Komma auch im Ergebnis. Dies Ergebnis ist ebenso das Endergebnis der ursprünglichen Aufgaben. Also: 75,5 : 2,5 = 30,2 56,784 : 0,08 = 7, : 0,125 = 600 Verwandeln Sie zunächst alle Aufgaben in gleichwertige Aufgaben ohne Komma im Divisor! 1 a) 2,45 : 0,5 b) 12,87 : 0,09 c) 10 : 0,625 d) 234,7 : 14,7 e) 558,73 : 23,675 f) ,6 : 56,12 g) 95,245 : 1,5 h) 0,025 : 16,1 Rechnen Sie nun alle Aufgaben auf einem Extrablatt aus! Achtung: Einige Aufgaben gehen auf, andere müssen Sie runden! Seite 38

39 Erweitern Sie die Aufgaben zunächst und rechnen Sie dann! 2 a) 45,5 : 0,12 b) 3,675 : 1,8 c) : 7,3 d) 455 : 2,95 e) 4,2 : 0,055 f) 3,33 : 7,5 g) 19,6531 : 20,08 h) 0,5634 : 0,08 Seite 39

40 Lernbrief Multiplikation und Division i) 0,0063 : 0,4 j) 0,04003 : 0,0105 k) 3,85 : 25,1 l) 0,08004 : 0,11 Auch umgekehrt geht es. Wenn der Divisor Nullen am Ende hat, können Sie entsprechend beide Werte um die gleiche Anzahl von Stellen kürzen und sich so das Schreiben vieler Nullen ersparen! Eventuell rutscht in die vordere Zahl ein Komma hinein, das stört aber nicht weiter. 3 a) : = : = 120 : 4 = b) : = c) : = d) : = e) : = Seite 40

41 Einige Aufgaben müssen vorher umgewandelt werden, andere können Sie so rechnen, wie sie sind. 4 a) 3 521,25 : 45 b) 4 931,07 : 123 c) 0, : 0,48 d) 0,415 : 0,500 e) 700,02 : 8,1 f) : 6,25 g) 0,1213 : 17,3 h) 5 020,4 : 0,753 i) 400 : 3,99 j) : k) 0, : 0,145 l) : Seite 41

42 m) : 9,4 n) 50 : 98,2 o) 22 : 0,8 p) 5,6 : 5,55 q) : r) 64,5 : 0,00025 Verschieben Sie zunächst das Komma und rechnen Sie dann im Kopf! 5 a) 0,21 : 0,03 = b) 2,1 : 0,003 = c) 3,5 : 0,007 = d) 35 : 0,7 = e) 2,55 : 0,05 = f) 5,1 : 1,7 = g) 14,4 : 0,002 = h) 810 : 0,9 = i) 25 : 1,25 = j) 3 : 0,015 = k) 1,75 : 0,025 = l) 6,5 : 1,3 = m) 150 : 0,3 = n) 0,27 : 0,0009 = o) 1,6 : 0,32 = p) 6,3 : 0,9= q) 10,5 : 0,3 = r) 17 : 0,2 = s) 2,43 : 0,03 = t) 1,96 : 0,04 = u) 4,5 : 0,15 = v) 14,7 : 0,7 = w) 6,6 : 1,1 = x) 8,5 : 0,5 = y) 3,8 : 0,02 = z) 33 : 1,1 = Seite 42

43 Kapitel 2.4: 1 Für 67 reguläre Arbeitsstunden wurden 1 544,35 ausbezahlt. Berechnen Sie den Stundenlohn! 2 Die Filiale einer Einkaufskette machte folgende Umsätze: Montag ,21 Dienstag ,50 Mittwoch ,25 Donnerstag ,87 Freitag ,07 Samstag ,97 Berechnen Sie die Wocheneinnahme und den Tagesdurchschnitt! 3 Herr Walter kauft ein Motorrad für ,-. Er zahlt 2 500,- an und bezahlt den Rest in 36 Monatsraten. Wie hoch sind die Raten? 4 Mit einer Dose Farbe kann man 7,5 m2 Fläche streichen. Wie viele Dosen muß man kaufen, um 115,42 m2 zu streichen? 5 Auf einer Stoffrolle befinden sich 400 m Waffelpikee. Für ein Handtuch benötigt man 1,45 m. Wie viele Handtücher können aus dem Stoff genäht werden? 6 Ein Raum ist 2,78 m breit und 4,60 m lang und soll mit Fliesen ausgelegt werden. Es stehen 2 veschiedene Fliesengrößen zur Verfügung: Eine Fliese vom Typ A ist 40 cm x 40 cm groß und kostet pro Stück 7,90. Eine Fliese vom Typ B ist 0,33 m x 0,33 m groß und kostet pro Stück 5,49. a) Wie viele Fliesen werden benötigt? b) Berechnen Sie den Kaufpreis der Fliesen! Welche Fliesen sind günstiger? Seite 43

44 7 In einer Klasse sind 27 Kinder, die zusammen 427,84 Jahre alt sind. Berechnen Sie den Altersdurchschnitt der Klasse auf 4 Stellen genau! 8 Bilden Sie den Quotienten aus 456 und 1,5, und multiplizieren Sie das Ergebnis mit 0, a) Teilen Sie die Summe aus und durch die Differenz aus und ! b) Mit welcher Zahl muß ich den Quotienten multiplizieren, um 3,534 zu erhalten? Seite 44

45 Name: Vorname: Klasse/Kurs: Datum: Kontrollbogen Bitte senden Sie den ausgefüllten Kontrollbogen mit Ihren Nebenrechnungen zurück! 1 a) ,26 b) 2 654,8 23,4 c) 69,84 10,001 d) ,13 e) 34,567 7,01 f) 56,943 kg 23,9 2 a) 67,5 98,43 b) 12,006 87,09 c) 347,87 12,4 d) 89,77 kg 543,2 e) 34,2 cm 56,7 cm f) 19,3 dm 87,1 dm 3 a) 63,89 : 0,4054 b) 325,61 : 0,003 c) 459,025 : 5,78 d) 951,05 : 0,25 e) 42,003 7,005 f) 12,4 0,7008 g) 689,54 19,21 h) 40,09 52,003 4 Frau Nordhausen möchte sich ein neues Auto kaufen. Sie kann zwischen zwei Angeboten wählen: Bei Barzahlung kostet das Auto ,00, bei Ratenzahlung muss sie anzahlen und dann 25 Raten á 800,00 leisten. Welches Angebot empfehlen Sie? Seite 45

46 5 a) 74,265 kw: 2,54 b) 7 322,85 : 0,303 c) 485,25 m : 2,55 d) 1 081,05 kg : 0,927 e) 42,85 10,265 f) 812,4 g 87,23 g) 689,54 19,21 h) 7 140,9 552,998 6 Familie Engel betreibt ein kleines Kaufhaus und erzielte im letzten Jahr einen Umsatz von ,00, den 48 Verkäuferinnen erwirtschafteten. Die Anzahl der Kunden betrug a) Wieviel Umsatz entfiel durchschnittlich auf einen Kunden? b) Wieviel Umsatz entfiel durchschnittlich auf eine Verkäuferin? c) Wie viele Kunden bediente eine Verkäuferin im Schnitt! 7 Firma DRUCKFIX bestellt : 5000 Bogen Karton zu je 1, Bogen Karton zu je 0, Pakete Endlospapier zu je 6, Pakete Filmmaterial zu je 27,60 Ermitteln Sie den Wert des bestellten Materials! 8 45 Personen chartern ein Schiff zum Preis von Berechnen Sie den Anteil eines Teilnehmers! ( Auf volle runden! ) Wenn jeder Teilnehmer tatsächlich einen vollen -Betrag gezahlt hat, hat der Organisator einen Gewinn gemacht. Wieviel? Seite 46