Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

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1 Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Das praxisnahe Lehrbuch - bewährt durch seine brillante Darstellung 16., aktualisierte Auflage Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungsaufgaben STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 VII Vorwort Symbolverzeichnis Abkürzungen, Variablennamen, griechisches Alphabet V XV XVI 1 Grundlagen und Hilfsmittel Mengen und Aussagen Mengenbegriff Spezielle Zahlenmengen Aussagen und Aussageformen Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen Konjunktion Disjunktion Negation Zusammengesetzte Aussagen Folgerung (Implikation) und Äquivalenz Folgerung (Implikation) Äquivalenz Relationen zwischen Mengen Gleichheit zweier Mengen Teilmengen Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Restmenge (Differenzmenge) Paarmengen, Produktmengen Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln in IR Axiome Elementare Rechenregeln für reelle Zahlen Betrag einer Zahl Das Summenzeichen Das Produktzeichen Fakultät und Binomialkoeffizient Potenzen Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln 37

3 VIII Potenzen mit reellen Exponenten Logarithmen Begriff des Logarithmus Logarithmenbasen Rechenregeln für Logarithmen Logarithmen zu beliebiger Basis Gleichungen Allgemeines über Gleichungen und deren Lösungen Äquivalenzumformungen Lineare Gleichungen ax + b = ex + d Lineare Gleichungssysteme (LGS) Quadratische Gleichungen ax 2 + bx + c = Gleichungen höheren als zweiten Grades Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmengleichungen Bruchgleichungen Ungleichungen Wo steckt der Fehler? Fehler bei Termumformungen Fehler bei der Lösung von Gleichungen Fehler bei der Lösung von Ungleichungen 76 2 Funktionen einer unabhängigen Variablen Begriff und Darstellung von Funktionen Funktionsbegriff Graphische Darstellung von Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen Umkehrfunktionen Implizite Funktionen Verkettete Funktionen Eigenschaften von Funktionen Beschränkte Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Nullstellen von Funktionen Elementare Typen von Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynome) Grundbegriffe, Horner-Schema Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen Nullstellen von Polynomen und Polynomzerlegung Gebrochen-rationale Funktionen 114

4 IX Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi) Beispiele ökonomischer Funktionen Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Der Grenzwertbegriff Grenzwerte von Funktionen für x-»x Grenzwerte von Funktionen für x-> oo (bzw. x->-co) Grenzwerte spezieller Funktionen Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen Der Stetigkeitsbegriff Unstetigkeitstypen Stetigkeitsanalyse Stetigkeit ökonomischer Funktionen Asymptoten Differentialrechnung, für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik Grundlagen der Differentialrechnung Problemstellung Durchschnittliche Funktionssteigung (Sekantensteigung) und Differenzenquotient Steigung und Ableitung einer Funktion. (Differentialquotient) Differenzierbarkeit und Stetigkeit Technik des Differenzierens Die Ableitung der Grundfunktionen Ableitung der konstanten Funktion f(x) = C Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x n Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e x Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = In x Ableitungsregeln Faktorregel 211

5 X Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ergänzungen zur Ableitungstechnik Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung allgemeiner Exponential- und Logarithmusfunktionen Logarithmische Ableitung Höhere Ableitungen Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken - Regeln von de L'Höspital Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung Das Differential einer Funktion Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische) Grenzfunktion Grenzkosten Grenzerlös (Grenzumsatz, Grenzausgaben) Grenzproduktivität (Grenzertrag) Grenzgewinn Marginale Konsumquote Marginale Sparquote Grenzrate der Substitution Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funktionen Monotonie- und Krümmungsverhalten Extremwerte Wendepunkte Kurvendiskussion Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme 'Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableitungen Beschreibung des Wachstumsverhaltens ökonomischer Funktionen Konstruktion ökonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften 274

6 XI Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen Fahrstrahlanalyse Diskussion ökonomischer Funktionen Gewinnmaximierung Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funktion Optimale Lagerhaltung Die Elastizität ökonomischer Funktionen Änderungen von Funktionen Begriff, Bedeutung und Berechnung der Elastizität von Funktionen Elastizität ökonomischer Funktionen Graphische Ermittlung der Elastizität Überprüfung ökonomischer Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe der Differentialrechnung Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Grundlagen Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen Partielle Ableitung höherer Ordnung Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung durch partielle Ableitungen Partielles und vollständiges (totales) Differential Kettenregel, totale Ableitung Ableitung impliziter Funktionen Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Relative Extrema ohne Nebenbedingungen Extremwerte unter Nebenbedingungen Problemstellung Variablensubstitution Lagrange-Methode Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Partielle Elastizitäten Begriff der partiellen Elastizität Die Eulersche Homogenitätsrelation Elastizität homogener Funktionen Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes Ökonomische Beispiele für relative Extrema (ohne Nebenbedingungen) Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion 362

7 XII Gewinnmaximierung von Mehrproduktunternehmungen Gewinnmaximierung bei räumlicher Preisdifferenzierung Die Methode der kleinsten Quadrate Ökonomische Beispiele für Extrema unter Nebenbedingungen Minimalkostenkombination Expansionspfad, Faktornachfrage- und Gesamtkostenfunktion Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum Nutzenmaximale Güternachfrage- und Konsumfunktionen Einführung in die Integralrechnung Das unbestimmte Integral Stammfunktion und unbestimmtes Integral Grundintegrale Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten Integrals Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Integralfunktion Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Flächeninhaltsberechnung Spezielle Integrationstechniken Partielle Integration Integration durch Substitution Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung 422 ' Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen Die Konsumentenrente Die Produzentenrente Kontinuierliche Zahlungsströme "Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft Optimale Nutzungsdauer von Investitionen Elementare Differentialgleichungen Einleitung Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen 438

8 XIII Ökonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen Exponentielles Wachstum Funktionen mit vorgegebener Elastizität Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow Einführung in die Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Grundbegriffe der Matrizenrechnung Spezielle Matrizen und Vektoren Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalarfaktor Die skalare Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) Multiplikation von Matrizen Die inverse Matrix Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Analyse) Lineare Gleichungssysteme (LGS) Grundbegriffe Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme - Gaußscher Algorithmus Pivotisieren Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Berechnung der Inversen einer Matrix Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme Teilebedarfsrechnung, Stücklistenauflösung Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Lineare Optimierung (LO) Grundlagen und graphische Lösungsmethode Ein Problem der Produktionsplanung Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems Ein Diät-Problem Graphische Lösung des Diät-Problems Sonderfälle bei graphischer Lösung Graphische Lösung von LO-Problemen - Zusammenfassung Simplexverfahren Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems Grundidee des Simplexverfahrens Einführung von Schlupfvariablen 512

9 XIV Eckpunkte und Basislösungen Optimalitätskriterium Engpassbedingung Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall - Zusammenfassung Beispiel zum Simplexverfahren (Standard-Maximum-Problem) Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme Sonderfälle bei LO-Problemen Keine zulässige Lösung Keine endliche optimale Lösung (unbeschränkte Lösung) Degeneration (Entartung) Mehrdeutige optimale Lösungen Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens im allgemeinen Fall Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus Produktionsplanungsproblem Problemformulierung, Einführung von Einheiten Optimaltableau und optimale Basislösung Deutung der Zielfunktionskoeffizienten Deutung der inneren Koeffizienten Zusammenfassung Diätproblem Dualität Das duale LO-Problem Dualitätssätze Ökonomische Interpretation des Dualproblems Dual eines Produktionsplanungsproblems Dual eines Diätproblems Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis 589