Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung

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1 Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1

2 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1

3 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2

4 Beispiel 1: Steigung der Tangente, Fortsetzung Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 3

5 Beispiel 2: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 4

6 Beispiel 2: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 5

7 Beispiel 2: Fortsetzung Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 6

8 Methode des impliziten Differenzierens Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 7

9 Die zweite Ableitung implizit definierter Funktionen, Beispiel 5: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 8

10 Beispiel 1: Makroökonomisches Modell für geschlossene Wirtschaft: Kapitel 7.2: Ökonomische Beispiele 1

11 Beispiel 1(b): Kapitel 7.2: Ökonomische Beispiele 2

12 Beispiel 1(b): Interpretation der Lösung: Kapitel 7.2: Ökonomische Beispiele 3

13 Beispiel 1(c): Kapitel 7.2: Ökonomische Beispiele 4

14 Beispiel 2: Angebot und Nachfrage mit Verbrauchersteuer Kapitel 7.2: Ökonomische Beispiele 5

15 Ableitung der inversen Funktion Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 1

16 Beispiel 1: Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 2

17 Ableitung der Inversen Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 3

18 Das Wichtigste über Inverse Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 4

19 Geometrische Interpretation Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 5

20 Beispiel 2: Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 6

21 Beispiel 2: Lösung Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 7

22 Beispiel 3: Zweite Ableitung der inversen Funktion Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 8

23 Beispiel 3: Zweite Ableitung der inversen Funktion Kapitel 7.3: Differentiation der Inversen 9

24 Motivation Kapitel 7.4: Lineare Approximation 1

25 Definition der linearen Approximation Kapitel 7.4: Lineare Approximation 2

26 Beispiel 1: Bestimmen Sie die lineare Approximation Kapitel 7.4: Lineare Approximation 3

27 Beispiel 3: Bestimmen Sie eine Approximation für Kapitel 7.4: Lineare Approximation 4

28 Das Differential einer Funktion Kapitel 7.4: Lineare Approximation 5

29 Das Differential und die tatsächliche Funktionswertänderung Kapitel 7.4: Lineare Approximation 6

30 Geometrische Interpretation des Differentials Kapitel 7.4: Lineare Approximation 7

31 Notation Kapitel 7.4: Lineare Approximation 8

32 Beispiel 4: Berechnen Sie die folgenden Differentiale: Kapitel 7.4: Lineare Approximation 9

33 Regeln für Differentiale Kapitel 7.4: Lineare Approximation 10

34 Invarianz des Differentials Kapitel 7.4: Lineare Approximation 11

35 Quadratische Approximationen Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 1

36 Quadratische Approximation Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 2

37 Quadratische Approximation Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 3

38 Lineare und quadratische Approximation Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 4

39 Beispiel 1: Bestimmen Sie die quadratische Approximation für Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 5

40 Approximationen höherer Ordnung Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 6

41 Beispiel 3: Taylor-Polynom 3. Grades für Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 7

42 Beispiel 4: Taylor-Approximation für e-funktion Kapitel 7.5: Polynomiale Approximationen 8

43 Fehler bei der Approximation Kapitel 7.6: Taylor-Formel 1

44 Lagrange sche Form des Restgliedes Kapitel 7.6: Taylor-Formel 2

45 Restglied bei linearer Approximation Kapitel 7.6: Taylor-Formel 3

46 Anwendung des Restgliedes Kapitel 7.6: Taylor-Formel 4

47 Beispiel 2: Taylor-Formel für e-funktion Kapitel 7.6: Taylor-Formel 5

48 Restglied bei Entwicklung um x = x 0 Kapitel 7.6: Taylor-Formel 6

49 Motivation Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 1

50 Preiselastizität der Nachfrage Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 2

51 Preiselastizität der Nachfrage Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 3

52 Preiselastizität der Nachfrage Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 4

53 Preiselastizität der Nachfrage Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 5

54 Preiselastizität der Nachfrage Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 6

55 Allgemeine Definition der Elastizität Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 7

56 Beispiel 1: Elastizität einer Potenzfunktion Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 8

57 Anmerkung 1: Terminologie Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 9

58 Elastizitäten als logarithmische Ableitungen Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 10

59 Elastizitäten als logarithmische Ableitungen Kapitel 7.7: Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen 11

60 Stetigkeit, geometrisch gesehen Kapitel 7.8: Stetigkeit 1

61 Stetigkeit in Form von Grenzwerten Kapitel 7.8: Stetigkeit 2

62 Möglichkeiten der Unstetigkeit Kapitel 7.8: Stetigkeit 3

63 Rechenregeln für Grenzwerte aus Kap. 6.5: Kapitel 7.8: Stetigkeit 4

64 Regeln aus Kap. 6.5 in Worten: Kapitel 7.8: Stetigkeit 5

65 Eigenschaften von stetigen Funktionen Kapitel 7.8: Stetigkeit 6

66 Folgerungen aus den Eigenschaften Kapitel 7.8: Stetigkeit 7

67 Zusammenfassung Kapitel 7.8: Stetigkeit 8

68 Beispiel 1(a): Wo ist die Funktion stetig? Kapitel 7.8: Stetigkeit 9

69 Grenzwert Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 1

70 Beispiel 1: Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 2

71 Beispiel 1: Graph der Funktion; vertikale Asymptote Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 3

72 Abbildung 2: Einseitige Grenzwerte Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 4

73 Definition einseitiger Grenzwerte Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 5

74 Links- und rechtsseitige Grenzwerte Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 6

75 Uneigentliche Grenzwerte Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 7

76 Beispiel 2; Abbildung 3 Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 8

77 Beispiel 3: Begründen Sie die folgenden Grenzwerte: Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 9

78 Einseitige Stetigkeit Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 10

79 Beispiel 4: Abbildung 3 Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 11

80 Stetigkeit auf einem Intervall Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 12

81 Grenzwerte im Unendlichen Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 13

82 Uneigentliche Grenzwerte; Abbildung 4 Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 14

83 Beispiel 5(a): Untersuchen Sie die Grenzwerte für x Unendlich Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 15

84 Warnungen Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 16

85 Beispiel 6: Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 17

86 Stetigkeit und Differenzierbarkeit; Abbildung 5 Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 18

87 Die Betragsfunktion ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0 Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 19

88 Rechtsseitige und linksseitige Ableitung Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 20

89 Mathematisch exakte Definition von Grenzwerten Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 21

90 Abbildung 6 Kapitel 7.9: Mehr über Grenzwerte 22

91 Zwischenwertsatz Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 1

92 Anwendungen des Zwischenwertsatzes; Beispiel 1 Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 2

93 Graph zu Beispiel 1 Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 3

94 Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 4

95 Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 5

96 Newton-Verfahren, Formel für die Folge der Punkte Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 6

97 Newton-Verfahren, Formel für die Folge der Näherungspunkte Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 7

98 Beispiel 3: Finden Sie eine Näherung für die Nullstelle von Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 8

99 Beispiel 3: Finden Sie eine Näherung für die Nullstelle von Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 9

100 Anmerkung 1, Abbildung 2: Kapitel 7.10: Zwischenwertsatz, Newton-Verfahren 10

101 Was ist eine unendliche Folge? Kapitel 7.11: Unendliche Folgen 1

102 Beispiel 1/n Kapitel 7.11: Unendliche Folgen 2

103 Konvergenz einer Folge Kapitel 7.11: Unendliche Folgen 3

104 Beispiel 1: Kapitel 7.11: Unendliche Folgen 4

105 Beispiel 2: Kapitel 7.11: Unendliche Folgen 5

106 Grenzwerte eines Quotienten, wenn Zähler und Nenner gegen Null Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 1

107 Regel von L Hôspital Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 2

108 Beispiel 1: Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 3

109 Beispiel 3: Bestimmen Sie Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 4

110 Fazit aus Beispiel 3 und Warnungen Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 5

111 Regel von L Hôspital Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 6

112 Regel von L Hôspital Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 7

113 Ein wichtiger Grenzwert Kapitel 7.12: Unbestimmte Formen und Regeln von L Hôspital 8

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