2 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung

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1 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung Bevor wir mit der Untersuchung des Verhaltens von Unternehmen in unterschiedlichen Marktformen beginnen, geben wir einen kurzen Überblick bzw. eine kurze Wiederholung der Unternehmenstheorie [theory of the firm], die in der Mikroökonomik Vorlesung (VWL A)behandelt wurde, denn Grundkenntnisse aus diesem Bereich sind für das Verständnis der meisten industrieökonomischen Fragestellungen unabdingbar. Hierzu gehören in erster Linie die zentralen Konzete aus der Produktions- bzw. Kostentheorie, also die Produktionsfunktion und die Kostenfunktion sowie deren Eigenschaften. Aber auch einige wesentliche Asekte der Nachfrageseite sollen kurz diskutiert werden, wie etwa Nachfrage- und Preis-Absatz-Funktion und die Frage der Messung der Wohlfahrt der Konsumentinnen. Die Unternehmenstheorie Ein Unternehmen in der mikroökonomischen Theorie ist im allgemeinen vollständig charakterisiert durch seine technischen Möglichkeiten, Inuts in Oututs bzw. Produktionsfaktoren in Produkte zu verwandeln. Diese technischen Möglichkeiten können durch die Technologiemange [technology] beschriben werden, üblicherweise greift man aber auf das Konzet der Produktionsfunktion zurück. Die grundlegende Annahme bezüglich des Verhaltens eines Unternehmens ist die der Gewinmaximierung [rofit maximization]. Betrachten wir im folgenden die einfache Situation, in der ein Unternehmen nur ein Gut herstellt, zu dessen Produktion die beiden Produktionsfaktoren Kaital (k) und Arbeit (l) eingesetzt werden. Eine Produktionsfunktion gibt an, wie viele Einheiten des Produktes mit Hilfe der beiden Produktionsfaktoren hergestellt werden können. Dieser Zusammenhang wird formal durch die Produktionsfunktion [roduction function] y = f (l,k) beschrieben. Wir werden im weiteren unterstellen, dass diese Produktionsfunktion mindestens zweimal stetig differenzierbar ist, d. h. insbesondere dass die ersten und zweiten artiellen Ableitungen der Produktionsfunktion gebildet werden können. 5

2 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung 6 Die erste artielle Ableitung der Produktionsfunktion z. B. nach dem Faktor Arbeit gibt an, um welchen Betrag sich der Outut der Firma verändert, wenn wir den Produktionsfaktor Arbeit marginal erhöhen. Analog kann man das auch für den Faktor Kaital durchführen. Diese beiden artiellen Ableitungen GP l (l,k) = f(l,k) und GP k (l,k) = f(l,k) l k werden als die Grenzrodukte [marginal roduct] der Faktoren Arbeit und Kaital bezeichnet. Wir werden im allgemeinen davon ausgehen, dass die Grenzrodukte aller Produktionsfaktoren ositiv sind, d. h. f(l,k) l > 0 und f(l,k) k > 0. Beisiel.. Eine bekannte Produktionsfunktion ist die Cobb Douglas Produktionsfunktion, die wie folgt definiert ist y = f(l,k) = l α k β, α,β > 0. Die Grenzrodukte sind hier gegeben durch GP l (l,k) = αl α k β und GP k (l,k) = βl α k β Im weiteren unterscheiden wir zwei verschiedene Arten der Beziehung zwischen den Produktionsfaktoren. Definition.. Zwei Produktionsfaktoren sind komlementär [comlements] in einem gegebenen Produktionsrozess, wenn eine erhöhte Einsatzmenge des einen Faktors zu einem erhöhten Grenzrodukt des anderen Faktors führt, d.h. GP l (l,k) k > 0 und GP k (l,k) l. Zwei Produktionsfaktoren sind substitutiv [substitutes] in einem bestimten Produktionsrozess, wenn eine erhöhte Einsatzmenge des einen Faktors zu einem geringeren Grenzrodukt des anderen Faktors führt, d.h. GP l (l,k) k < 0 und GP k (l,k) l Im Beisiel der Cobb Douglas Produktionsfunktion sind die beiden Produktionfaktoren komlementär, da ( αl α k β) = ( βl α k β ) = αβl α k β > 0. k l Ein weiteres zentrales Konzet, das im Verlauf der Vorlesung noch häufig verwendet werden wird, ist das der Skalenerträge [returns to scale]. > 0. < 0. Universität des Saarlandes

3 7 Industrieökonomik Sommersemester 007 Definition.. Eine Produktionsfunktion weist zunehmende Skalenerträge [increasing returns to scale] auf, wenn gilt f(λl,λk) > λf(l,k), λ >, d. h. eine Erhöhung aller Produktionsfaktoren um den gleichen Faktor führt dazu, dass sich der Outut um mehr als diesen Faktor erhöht.. Eine Produktionsfunktion weist abnehmende Skalenerträge [decreasing returns to scale] auf, wenn gilt f(λl,λk) < λf(l,k), λ >, d. h. eine Erhöhung aller Produktionsfaktoren um den gleichen Faktor führt dazu, dass sich der Outut um weniger als diesen Faktor erhöht. 3. Eine Produktionsfunktion weist konstante Skalenerträge [constant returns to scale] auf, wenn gilt f(λl,λk) = λf(l,k), λ >, d. h. eine Erhöhung aller Produktionsfaktoren um den gleichen Faktor führt dazu, dass sich der Outut um den gleichen Faktor erhöht. Grafisch kann man sich die drei Arten von Skalenerträgen wie in Abbildung. gezeigt veranschaulichen. Dabei ist jeweils eine Produktionsfunktion mit einem Inut, der auf der Abszisse abgetragen wird, und einem Outut, der auf der Ordinate abgetragen wird, dargestellt. f l f l f l l, l, l Abbildung.: abnehmende, konstante und zunehmende Skalenerträge In unserem Beisiel der Cobb Douglas Produktionsfunktion hängt es von den Parametern α und β ab, ob abnehmende, konstante oder zunehmende Skalenerträge vorliegen. Es gilt f(λl,λk) = (λl) α (λk) β = λ α+β l α k β = λ α+β f(l,k). Für λ > ist > λ für α + β >, λ α+β = λ für α + β =, < λ für α + β <. Daher besitzt eine Cobb Douglas Produktionsfunktion Jörg Naeve

4 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung 8 zunehmende Skalenerträge, falls α + β >, konstante Skalenerträge, falls α + β = und abnehmende Skalenerträge, falls α + β <.. Kosten und Nachfrage Die Kostenfunktion [cost function] eines Unternehmens wird ermittelt, indem man für ein gegebenes Oututniveau, z. B. ȳ, feststellt, wie dieser Outut mit den geringstmöglichen Kosten hergestellt werden kann. Mit anderen Worten, die Kostenfunktion ergibt sich durch die Lösung eines Minimierungsroblems. Im Beisiel der Cobb Douglas Produktionsfunktion kann die Kostenfunktion wie folgt bestimmt werden. Zunächst müssen wir Preise für die beiden Produktionsfaktoren einführen. In Anlehnung an den Lohn (wage) für den Produktionsfaktor Arbeit, verwenden wir für Inutreise häufig die Notation w. Hier ist w l der Preis für Arbeit und w k der Preis für Kaital. Wenn ein Unternehmen mit der Cobb Douglas Produktionsfunktion die Menge ȳ zu geringstmöglichen Kosten herstellen möchte, muss es folgendes Minimierungsroblem lösen. min l,k w l l + w k k u.d.n. l α k β = ȳ. (.) Die Zielfunktion sind die Kosten, d. h. die mit den jeweiligen Inutreisen bewerteten Mengen von Arbeit bzw. Kaitel, die das Unternehmen einsetzt. Die Nebenbedingung ist, dass mit diesen Inuts gerade die gewünschte Menge ȳ roduziert wird. Die Lagrangefunktion für dieses Problem ist L (l,k,λ) = w l l + w k k + λ ( ȳ l α k β). Die Bedingungen erster Ordnung lauten L (l,k,λ) l L (l,k,λ) k L (l,k,λ) λ = w l λαl α k β = 0 (.) = w k λβl α k β = 0 (.3) = ȳ l α k β = 0. (.4) Daraus erhält man durch Division von Gleichung. durch Gleichung.3 w l w k = λαlα k β λβl α k = α β β lα l α k β k β = α k β l. Universität des Saarlandes

5 9 Industrieökonomik Sommersemester 007 Auflösen nach l ergibt l = α β w k w l k. (.5) Dies setzen wir in die Nebenbedingung (.4 ein und erhalten ȳ = ( ) α α w k k k β = β w l ( α β ) α w k k α+β w l Auflösen nach k ergibt k = y α+β ( α β ) α w α+β k. w l Dies gibt an, welche Menge des Produktionsfaktors Kaital das Unternehmen einsetzen wird, um bei gegebenen Faktorreisen w l und w k die Menge ȳ mit geringstmöglichen Kosten zu herzustellen. Diese Menge muss das Unternehmen am Markt kaufen, weshalb wir sie als bedingte (auf den vorgegebenen Outut ȳ) Faktornachfrage bezeichnen. Die bedingte Faktornachfragefunktion [contingent factor demand] gibt für alle Faktorreise und Oututniveaus die entsrechende bedingte Faktornachfrage an. Für Kaital lautet sie also k (w l,w k,y) = y α+β ( α β ) α w α+β k. w l Wenn wir dies in Gleichung (.5) einsetzen und vereinfachen erhalten wir auch die bedingte Faktornachfragefunktion für Arbeit l (w l,w k,y) = y α+β ( α β ) β w α+β k. w l Schließlich setzen wir diese beiden bedingten Faktornachfragefunktionen in die Zielfunktion unseres Minimierungsroblem ein, um die Kostenfunktion zu erhalten C (w l,w k,y) = w l l (w l,w k,y) + w k k (w l,w k,y). Diese Funktion gibt für alle Faktorreise w l und w k die minimalen Kosten an, die aufgewendet werden müssen, um ein vorgegebenes Oututniveau zu erzeugen. In unserem Fall ist die Kostenfunktion gegeben durch C (w l,w k,y) = [ (α β ) β ( ) ] α+β α α α+β + β w α α+β l w β α+β k y α+β Jörg Naeve

6 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung 0 Die Kosten, die ro hergestellter Einheit Outut anfallen, sind durch die Durchschnittskostenfunktion [average cost function] bestimmt. Wenn also y Einheiten roduziert werden, dann betragen die Durchschnittskosten AC (w l,w k,y) = (w l,w k,y). y Die Änderung in den Kosten, die durch eine marginale Erhöhung des Oututs entstehen, werden durch die Grenzkostenfunktion [marginal cost function] beschrieben MC (w l,w k,y) = C (w l,w k,y). y Um den Zusammenhang zwischen den Kosten, Durchschnitts- und Grenzkosten zu verdeutlichen, betrachten wir die Kostenfunktion C(y) = F + cy, F,c > 0. Hierbei sind durch F die oututunabhängigen Fixkosten [fixed costs] bezeichnet, also die Kosten die aufgewendet werden müssen, um überhaut etwas roduzieren zu können. Sie hängen nicht von der Ausbringungsmenge ab. Die Kostenfunktion hat hier nur ein Argument, nämlich die Oututmenge. Das heißt, dass wir imlizit unterstellen, dass die Faktorreise auf einem bestimmten Niveau konstant bleiben. Offensichtlich sind die Durchschnittskosten gegeben durch AC(y) = F y + cy und die Grenzkosten durch MC(y) = cy. Beide Kostenfunktionen sind in Abbildung.grafisch dargestellt. Die Grenzkostenfunktion ist linear mit der Steigung c und die Durchschnittskostenfunktion fällt für Oututniveaus y < F/c und steigt für Oututniveaus y > F/c. Im Punkt y = F/c erreichen die Durchschnittskosten ihr Minimum. Man sieht, dass die Durchschnittskostenfunktion gerade dort ihr Minimum erreicht, wo sie von der Grenzkostenfunktion geschnitten wird. Dies gilt auch allgemein, wie man sich leicht überlegt, wenn man die Bedingungen erster Ordnung für die Minimierung der Durchschnittskosten betrachtet. Universität des Saarlandes

7 Industrieökonomik Sommersemester 007 AC y Abbildung.: Durchschnitts und Grenzkosten dac(y) dy = 0 dc(y) y dy MC(y) y = 0 C(y) y = 0 MC(y) = C(y) y = AC(y). Damit kann man leicht das Oututniveau bestimmen, das die Durchschnittskosten minimiert. y min ist gegeben durch MC(y min ) = AC(y min ). Man muss also nur Grenz und Durchschnittskosten gleichsetzen und nach y auflösen. In unserem Beisiel ergibt sich dieses Oututniveau aus der Gleichung MC(y min ) = cy min = F y min + cymin = AC(y min ). Daraus folgt y min = und damit F c MC(y min ) = AC(y min ) = cf. Jörg Naeve

8 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung Der Zusammenhang zwischen Produktions- und Kostenfunktion: Dualität Da wir die Kostenfunktion aus dem Minimierungsroblem (wie im Beisiel.) hergeleitet haben, in dessen Nebenbedingung die Produktionsfunktion einging, besteht ein enger Zusammenhang zwischen Kosten- und Produktionsfunktion. Diese Beziehung wird als Dualität [duality] bezeichnet. Der Zusammenhang kann dazu herangezogen werden, um Informationen über die Produktionsfunktion zu erhalten, wenn die Kostenfunktion bekannt ist und umgekehrt. Betrachten wir als Beisiel einen Produktionsrozess, bei dem nur ein Produktionsfaktor (Arbeit) eingesetzt wird. Die Produktionsfunktion ist gegeben durch y = f(l) = l γ, γ > 0. Für unterschiedliche Werte von γ (γ <, γ = und γ > ), sieht die Produktionsfunktion aus wie in Abbildung.3 gezeigt. f l f l f l l, l, l Abbildung.3: Produktionsfunktion für γ =, γ =, γ = Um daraus Informationen über die Kostenfunktion zu erhalten, invertieren wir die Produktionsfunktion. l = y /γ Wenn der Lohnsatz w beträgt, ergeben sich die Kosten zur Herstellung von y als C(y) = wl = wy /γ. Diese Kostenfunktion ist in Abbildung.4 ebenfalls für die drei Parameterwerte dargestellt. Der Verlauf der Kosten- und Produktionsfunktion macht deutlich, dass zunehmende Skalenerträge, d. h. eine konvexe Produktionsfunktion mit einer konkaven Kostenfunktion, konstante Skalenerträge, d. h. eine lineare Produktionsfunktion mit einer linearen Kostenfunktion und abnehmende Skalenerträge, d. h. eine konkave Produktionsfunktion mit einer konvexen Kostenfunktion verbunden sind. Dies kann auch aus dem Verlauf der Durchschnittskosten entnommen werden, die in Abbildung.5 dargestellt sind. Universität des Saarlandes

9 3 Industrieökonomik Sommersemester 007 C y C y C y y, y, y Abbildung.4: konvexe, lineare und konkave Kostenfunktionen AC AC AC y, y, y Abbildung.5: zunehmende, konstante und fallende Durchschnittskosten Im ersten Fall steigende Skalenerträge nehmen die Kosten ro Stück mit zunehmender Oututmenge ab, bei konstanten Skalenerträgen, d. h. linearer Kostenfunktion bleiben sie konstant und bei abnehmenden Skalenerträgen nehmen sie zu. Übung: Überrüfen Sie anhand der Cobb Douglas Produktionsfunktion und der dazugehörigen Kostenfunktion den dargestellten Zusammenhang. Beachten Sie dabei, dass die Summe der Parameter α und β Auskunft über die Skalenerträge der Produktionsfunktion gibt. Nachfrage und Grenzerlösfunktion Um das Verhalten von Firmen am Markt zu studieren, müssen wir auch die Nachfrageseite modellieren. Dies wird im allgemeinen durch eine Nachfragefunktion [demand function] y() getan. Eine Nachfragefunktion gibt zu jedem vorgegebenen Preis die nachgefragte Menge an. Betrachten wir zum Beisiel die lineare Nachfragefunktion y() = a b b, wobei a und ositive Konstanten sind. Hier wird unterstellt, dass die Nachfrage nach dem Produkt y nur vom Preis dieses Produktes abhängt; dies ist tyisch für den artialanalytischen Ansatz vieler industrieökonomischer Modelle. In der Industrieökonomik wird jedoch häufig nicht mit der Nachfrage, sondern mit der inversen Nachfragefunktion [inverse demand function] gearbeitet. Diese Funktion gibt Jörg Naeve

10 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung 4 an, welchen Preis man für eine gegebene Menge am Markt erzielen kann. Die inverse Nachfragefunktion auch als Preis Absatz Funktion bezeichnet ist in unserem Fall (y) = a by. Eine grafische Darstellung ist in Abbildung.6 gegeben. x x Abbildung.6: Preis-Absatz-Funktion Eine wichtige Eigenschaft der Nachfragefunktion ist ihre Elastizität [elasticity]. Die Preiselastizität [rice elasticity] gibt an, um wieviel sich rozentual die Nachfrage ändert, wenn der Preis eine marginale rozentuale Erhöhung erfährt. Sie ist definiert als η (y) = dy() d y. Definition.3 Für eine gegebene Menge y heißt die Nachfrage. elastisch [elastic], wenn η (y) < ( η (y) > );. unelastisch [inelastic], wenn < η (y) < 0 ( η (y) < ); 3. einheitselastisch [unit elastic], wenn η (y) = ( η (y) = ). Die Elastizität der linearen Nachfragefunktion ist gegeben durch η (y) = dy() d y = b a by y = a by. Die Funktion ist daher elastisch für y < a/(b), unelastisch für y > a/(b) und einheitselastisch für y = a/(b). Diese Elastizitätsbereiche sind in Abbildung.7 in die Preis-Absatz-Funktion eingezeichnet. Universität des Saarlandes

11 5 Industrieökonomik Sommersemester 007 elastisch unelastisch η (y) = a b Abbildung.7: Elastizitätsbereiche y Erlös und Grenzerlösfunktion Die Erlösfunktion [revenue function] R(y) gibt an, welchen Erlös ein Unternehmen bei der Menge y erzielen kann, wenn der dazugehörige Preis über die Preis-Absatz-Funktion bestimmt wird. Dieser Erlös ergibt sich im Beisiel der linearen Nachfragefunktion als (y)y = ay by. Man kann nun die Frage stellen, wie der Erlös eines Unternehmens sich ändert, wenn die am Markt abgesetzte Menge etwas erhöht wird. Die Antwort darauf gibt die Grenzerlösfunktion [marginal revenue] M R(y). Sie ist definiert als die Ableitung der Erlösfunktion MR(y) = dre(y). y Für den Fall einer linearen Nachfrage- bzw. Preis-Absatz-Funktion gilt der folgende Zusammenhang. Satz.4 Ist die inverse Nachfragefunktion linear, dann ist auch die Grenzerlösfunktion linear und hat den selben Achsenabschnitt aber die doelte (negative) Steigung, d. h. MR(y) = a by. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Erlösfunktion. Man sieht auch, dass es einen Zusammenhang zwischen der Elastizität der Nachfragefunktion und der Grenzerlösfunktion gibt. Diesen Zusammenhang kann man wie folgt Jörg Naeve

12 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung 6 herleiten. MR(y) = dre(y) = d(y)y = + y d(y) dy dy dy [ ] = + y [ = + η (y) dy() d ]. (.6) Der Grenzerlös ist also ositiv im elastischen Bereich der Nachfragefunktion, gleich Null an der Stelle, an der die Elastizität gleich ist und negativ im unelastischen Bereich..3 Wohlfahrt Eine ökonomische Beurteilung verschiedener ökonomischer Situationen sollte sich aus klassischer mikroökonomischer Persektive grundsätzlich auf die individuellen Bewertungen durch die Wirtschaftssubjekte stützen. Wir srechen von Wohlfahrt [welfare] als dem maß dafür, wie gut ein bestimmter Zustand aus Sicht der Gesellschaft, also aller beteiligten Wirtschaftssubjekte als Grue ist. Die relevante Größe für die Unternehmen ist ihr Gewinn [rofit]. Die Summe aller gewinne bezeichnen wir daher auch als Produzentenrente [roducer rent]. Um das entsrechende Konzet für die Konsumentinnen zu definieren, starten wir mit der inversen Nachfragefunktion. Betrachten wir noch einmal die inverse Nachfragefunktion oder Preis Absatz Funktion eines Konsumenten nach einem Gut x, also die Funktion (x). Diese Funktion gibt zu jeder Menge x den Preis, (x) an, zu dem der Konsument gerade die Menge x nachfragt. Den Wert der Preis Absatz Funktion für x = können wir offenbar direkt als die Zahlungsbereitschaft des Konsumenten für eine Einheit des Gutes interretieren, denn ist dies der Preis kauft er eine Einheit, aber sobald der Preis höher ist, kauft er weniger. Den Wert der Preis Absatz Funktion für x = interretieren wir nun als die Zahlungsbereitschaft für die zweite Einheit des Gutes. Wir stellen uns also vor, der Konsument würde zwei Einheiten des Gutes nacheinander erwerben. Dann wäre er für die erste bereit () zu zahlen, für die zweite aber nur noch (). Demnach wären ihm beide Einheiten also () + () wert. Diese Überlegungen sind für die ersten drei Einheiten und eine lineare Preis Absatz Funktion in Abbildung.8(a) grafisch dargestellt. Dabei sind die Zahlungsbereitschaften für die einzelnen Einheiten als Säulen mit verschiedenen Grauschattierungen dargestellt, die gesamte Zahlungsbereitschaft für n Einheiten ergibt sich als Summe der Flächen der ersten n dieser Säulen. Dass wir eine lineare Preis Absatz Funktion betrachten liegt nur daran, dass die Grafiken für diese leichter zu konstruieren sind, rinziiell kann man die selben Überlegungen für jede beliebige Preis Absatz Funktion anstellen. Universität des Saarlandes

13 7 Industrieökonomik Sommersemester 007 () () (3) 3 x 3 x (a) diskret (b) kontinuierlich Abbildung.8: Zahlungsbereitschaft Für diese Überlegungen haben wir so getan, als werde das Gut nur in ganzzahligen Einheiten verkauft. In der Tat ist dies nicht der Fall, das Gut ist beliebig teilbar. Wir könnten daher die Breite der betrachteten Säulen beliebig klein machen und kommen schließlich dazu, dass die Zahlungsbereitschaft für eine Menge x gerade der Fläche unter der Preis Absatz Funktion zwischen 0 und x entsricht, dies ist in Abbildung.8(b) dargestellt. Das, was der Konsument für eine Menge x tatsächlich zahlen muss entsricht aber der Fläche des Rechtecks mit Breite x und Höhe ( x), da er ja für die gesamte Menge einen einheitlichen Preis (ro Stück) zahlen muss. Dieses Rechteck sind die Ausgaben für die Menge x. Dessen Fläche ist aber kleiner als die der Fläche, die seiner Zahlungsbereitschaft für x entsricht. Die Differenz zwischen dem, was er zu bezahlen bereit wäre und dem, was er tatsächlich zahlen muss, ist die Konsumentenrente []. Grafisch ist die Konsumentenrente die Fläche unter der Preis Absatz Funktion zwischen 0 und x abzüglich der Ausgaben. Grafisch ist dies in Abbildung 3.3 dargestellt. Die Konsumentenrente KR ist die schattierte Fläche. In der Zeichnung haben wir bewusst die Bezeichnung statt ( x) verwendet, um deutlich zu machen, dass die Konsumentenrente nicht auf den Fall beschränkt ist, dass wir die Grafik im Sinne einer Preis Absatz Funktion interretieren, also x vorgeben und (x) berechnen, sondern genausogut betrachtet werden kann, wenn wir sie im Sinne einer Nachfragefunktion interretieren, also vorgeben und x() berechnen. Die Konsumentenrente hängt in jedem Fall von der Lage des Punktes auf der Kurve ab. Damit können wir uns fragen, wie sich die Konsumentenrente ändert, wenn sich der Preis des Gutes ändert (und der Konsument dementsrechend seine nachgefragte Menge ändert). Abbildung.0 zeigt, dass die Konsumentenrente mit steigenden Preisen abnimmt, bzw. mit sinkenden Preisen steigt. dabei ist die Zeichnung so zu interretieren, Jörg Naeve

14 Grundlagen: Unternehmenstheorie und Wohlfahrtsbetrachtung 8 KR x x Abbildung.9: Konsumentenrente dass jede Fläche jeweils alle dunkler schattierten Flächen mit umfasst. KR( ) 3 KR( ) KR( 3 ) x( ) x( ) x( 3 ) x Abbildung.0: Änderung der Konsumentenrente bei Preisänderung Zwar können wir die Konsumentenrente für beliebige Nachfrage bzw. Preis Absatz Funktionen definieren und zeichnen, im Falle einer linearen Nachfrage bzw. Preis Absatz Funktion können wir sie aber auch einfach berechnen. Betrachten wir die Preis Absatz Funktion (x) = a bx. Daraus erhalten wir durch invertieren die Nachfragefunktion x () = a b b = a. b In Abbildung. ist die Konsumentenrente für diese Nachfragefunktion dargestellt. Universität des Saarlandes

15 9 Industrieökonomik Sommersemester 007 a a b KR() a x() = a b Abbildung.: Konsumentenrente bei linearer Nachfragefunktion a b x Da es sich bei der Fläche, die der Konsumentenrente entsricht im Falle linearer Funktionen um ein Dreieck handelt, erhalten wir die Fläche einfach nach der Formel Grundseite (hier a ) mal Höhe (hier a ) durch zwei (sonst hätten wir die Fläche des geunktet b angedeuteten Quadrats berechnet). Die Konsumentenrente bei der betrachteten Nachfragefunktion ist also KR () = a b (a ) = (a ). b Im allgemeinen Fall müssten wir zur Berechnung der Konsumentenrente bestimmte Integrale bilden und davon die Ausgaben abziehen. Die allgemeine Formel lautet für die Preis Absatz Funktion (x) KR( x) = x x=0 (x) dx [ x(x) ]. Wenn wir die Konsumentenrente in Abhängigkeit von ausdrücken wollen, müssen wir zunächst zu vorgegebenem die dazugehörige Menge x berechnen (für die = / x) gilt) und dann obige Formel anwenden. Wir führen diese Formel hier der Vollständigkeit halber auf. Dass sie für viele abschreckend wirkt, mag erklären, warum wir die Konsumentenrente in der Regel nur für lineare Nachfrage- bzw. Preis Absatz Funktionen betrachten. Statt individuelle Nachfrage- bzw. Preis Absatz Funktionen und damit die Konsumentenrente eines Konsumenten zu betrachten, können wir genauso aggregierte Nachfragebzw. Preis Absatz Funktionen betrachten, was dazu führt, das wir auch die Konsumentenrente als aggregierte Konsumentenrente interretieren müssen. In beiden Fällen haben wir dadurch ein Maß dafür gewonnen, wie der bzw. die Konsumenten verschiedenen Marktsituationen, d. h. Kombinationen von Mengen und Preisen beurteilen. Jörg Naeve

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