2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten.

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1 2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. Die Theorie der schwarzen Steinchen haben wir jetzt halbwegs vertanden. Statt mit schwarzen Steinen wie die Griechen, wollen wir jetzt mit schwarzen und weißen Steinchen spielen. Mit schwarzen und weißen Steinen köennen wir ganz neue Ketten bilden:,,,... Es entsteht damit etwas völlig Neues. Um das Neue zu sehen, führen wir den Begriff der Menge ein. Dann werde wir sehen, dass man mit schwarzen Ketten nur abzählbare, mit schwarz-weisse Ketten aber überabzählbar große Mengen bilden kann. 1. Mengenlehre der schwarzen Ketten. Ebenso wie die griechisch-klassische Mathematik die Lehre vom Geraden und Ungeraden als Basislehre hatte, so ist für die moderne Mathematik die Lehre vom abzählbar und überabzählbar Unendlichen fundamental. Man könnte es auch als die Mengenlehre der schwarzen und die Mengenlehre der schwarz-weissen Ketten bezeichnen. Wir beginnen mit der Mengenlehre der schwarzen Ketten. Die Länge einer Kette ist die Anzahl ihrer Steinchen. Es gibt genau eine schwarze Kette zu jeder Länge. Mit anderen Worten wir haben eine 1-1 Zuordnung Wir bilden jetzt die Mengen N := {,,,,,... } N := { 1, 2, 3, 4, 5,... }

2 2. Lineare Algebra (L2/L5) Wir schreiben x N genau dann wenn x eine Zahl aus N ist. Die einzelnen Ketten in der Menge N haben endliche Länge, aber wir behaupten, dass die Menge N selbst unendlich ist. Frage. Was heißt unendlich? Hierzu die folgende Beobachtung von Galilei ( ). Galilei hat die Beobachtung gemacht, dass man eine 1-1-Zuornung zwischen den Zahlen und ihren Quadraten herstellen kann x : x 2 : und somit eine 1-1-Zuordnung zwischen einer Menge und einer echten Teilmenge. Galilei hat daraus den weiteren Schluss gezogen, dass je zwei konzentrische Kreise die gleiche Zahl von Punkten (Atomen) haben müssen. In der Mengenlehre wird aus dem nicht-definierten Grundbegriff Zuordnung der definierte Begriff Abbildung zwischen Mengen : Definition. Seien A, B zwei Mengen (endlich oder nicht). Eine Abbildung zwischen A und B ist eine Zuordnung, die jedem Element von A genau ein Element von B zuordnet. Bezeichnung: f : A B. Definition. f ist injektiv (f(x) = f(y) impliziert x = y) f ist surjektiv zu jedem b B gibt es mindestens ein a A mit f(a) = b f ist bijektiv f ist injektiv und surjektiv Damit können wir jetzt den Satz formulieren und beweisen. Satz. Die Zuordnung x x 2 definiert eine Abbildung die injektiv, aber nicht surjektiv ist. f : N N, x x 2,

3 2 Mengen und Abbildungen 3 Beweis. 1. Behauptung. Die Zuordnung definiert eine Abbildung. Die Zuordnung x x 2 ordnet jeder Zahl x genau ein Quadrat zu, nämlich x 2. Also: die Zuordnung x x 2 definiert eine Abbildung. 2. Behauptung. f ist injektiv. Ein Vergleich von Quadraten zeigt, dass zwei Quadrate nur dann die gleich Anzahl von Steinchen haben, ihre Seiten gleichlang sind: Quadrate sind verschieden Sei x,y N mit f(x) = f(y) x 2 = y 2 x = y. Also: f ist injektiv. 3. Behauptung. f ist nicht surjektiv. 1 2 < 2 und 2 < 2 2 x 2 2, für alle x N. f(x) 2, für alle x N. Also: f ist nicht surjektiv. Definition. Eine Menge A heißt unendlich, wenn es eine injektive Abbildung f : A A gibt, die nicht surjektiv ist. Eine Menge heißt endlich, wenn sie nicht unendlich ist. Beispiel. { 1, 2, 3, 4 } ist endlich, N und N sind unendlich. Definition. Die Menge N ist die abzählbar unendliche Standard Menge. Definition. Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung f : M N gibt. Bemerkung. Wir haben eingangs gesehen, dass die Menge aller schwarzen Ketten abzählbar ist.

4 4. Lineare Algebra (L2/L5) Wir haben den Begriff Menge bisher recht naiv verwendet. Wir wollen jetzt den Umgang mit Mengen etwas stärker präzisieren. Definition. Eine Menge ist eine Zusammenfassung einer Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten (Elementen) zu einer Einheit. Die Objekte heißen Elemente der Menge. Schreibweise: a M. Bemerkung. Eine Menge N heißt Teilmenge einer Menge M, wenn x N x M. Bemerkung. Wichtig ist hier, dass Mengen selbst wieder Objekte sind, die zu neuen Einheiten zusammengefaßt werden können. Das Element Zeichen schafft eine Hierarchie in der Bildung dieser Mengen: Z.B. { 2,7,+, } = Menge, {1,2,1,3,1} = keine Menge, { 2, {2}, {2, {2}}} = Menge Weiter ist 2 {0,2,4,6,8,10}, 2 {1,3,5,7,9}, 2 {{2}, {2, {2}}} Bemerkung. Wir spielen jetzt mit schwarzen Steinchen auf einem neuen Niveau. Statt lediglich Ketten zu bilden, können wir jetzt Mengen von Mengen von Ketten usw. bilden. Das sieht im Augenblick vielleicht eher künstlich und gewollt aus, aber das täuscht. Wir werden in dieser Vorlesung sehen, dass im Gegenteil mit diesem Trick der Hierarchisierung eine Revolution in der Mathematik erreicht ist. Mengenbildungen. Seien A, B Mengen. Dann sind auch A B := { x x A oder x B } (Vereinigungsmenge) A B := { x x A und x B } (Durchschnittsmenge) P(A) := {B B A } (Potenzmenge) wieder Mengen. Satz. Jede Teilmenge von N ist entweder endlich oder abzählbar unendlich. Beweis. Man ordne die Zahlen aus N wie folgt: 1 < 2 < 3 < 4 <... Sei nun A N. Dann gibt es in dieser Ordnung ein 1., 2., 3. usw. Element aus A. Dann ist entweder A endlich oder die Zuordnung n n-tes Element aus A definiert eine injektive Abbildung f : N A.

5 2. Mengenlehre der schwarz-weissen Ketten. 2 Mengen und Abbildungen 5 Wir wollen jetzt mit schwarzen und weißen Steinchen spielen. Wir bilden also Ketten der Form,,,... Uns fällt sofort auf, dass es zu jeder Länge mehr als eine Kette gibt. Tatsächlich wächst die Anzahl dieser Ketten sehr schnell mit ihrer Länge. #Ketten = 2 = 2 1 = 4 = 2 2 = 8 = Tatsächlich ist das Wachstum exponentiell, d.h. explosionsartig: Satz. Es gibt 2 n schwarz-weisse Ketten der Länge n. Beweis. (durch Induktion) Induktions Anfang. Es gibt 2 Ketten der Länge 1. Induktions Annahme. Angenommen es gibt 2 n Ketten der Länge n. Induktions Schluss. Jede Kette der Länge n gibt Anlass zu zwei Ketten der Länge n + 1 denn man kann ja die Kette entweder mit einem schwarzen oder mit einem weissen Stein verlängern. Also gibt es insgesamt 2 2 n = 2 n+1 Ketten der Länge n + 1. Bemerkung. Wir bezeichnen R := Menge aller schwarz-weissen Ketten N := Menge aller schwarzen Kette Bezeichnen wir weiter R n := Menge aller schwarz-weissen Ketten der Länge n, N n := Menge aller schwarzen Ketten der Länge n dann gilt R := R 1 R 2... und N := N 1 N 2...

6 6. Lineare Algebra (L2/L5) Die Mengen N n wachsen polynomiell und die Mengen R n wachsen exponentiell. Da also Mengen von schwarz-weissen Ketten viel schneller wachsen als Mengen von schwarzen Ketten allein, könnte man die Vermutung haben, dass die Menge aller schwarz-weissen Ketten viel größer ist als die Menge aller schwarzen Ketten (in dem Sinne dass es keine bijektive Abbildung N R gibt). Sowohl R als auch N ist abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen Mengen. Ist so etwas abzählbar? Sind unendliche Vereinigungen überhaupt statthaft? Satz. Die Menge aller endlichen schwarz-weissen Ketten ist abzählbar. Beweis. Es gibt verschiedene Möglichkeiten dies zu beweisen. Z.B. kann man jeder endlichen schwarz-weisse Kette z R eine Gödel Nummer g(z) N wie folgt zuordnen z = g(z) = = Behauptung. Die Zuordnung z g(z) ist eine Abbildung g : R N. Es gibt beliebig viele Primzahlen. Sind nämlich Primzahlen, dann ist p 1,p 2,...,p n p n+1 = p 1 p 2... p n + 1 eine Primzahl verschieden von allen Primzahlen p 1,...p n. Also ist jeder beliebig langen schwarz-weissen Kette wie oben genau eine Gödelzahl g(z) zugeordnet. Demnach ordnet die Zuordung z g(z) jeder Zeichenkette genau eine Zahl aus N zu. Die Zuordnung ist somit eine Abbildung. 2. Behauptung. Die Abbildung g : R N ist surjektiv. Sei n N. n = p m 1 1 pm p m n n, denn jede Zahl n hat mindestens eine Primzahlzerlegung. Sei z die schwarz-weisse Kette, die abwechselnd aus m 1 schwarzen, m 2 weissen, m 3 schwarzen usw. Steinen besteht. g(z) = p m 1 1 pm p m n n = n (nach Konstruktion) Also: g : R N ist surjektiv.

7 3. Behauptung. Die Abbildung R N ist injektive. Seien z 1,z 2 R zwei Zeichenketten mit 2 Mengen und Abbildungen 7 g(z 1 ) = g(z 2 ) Dann gilt für die entsprechenden Primzahlzerlegungen p m 1 1 pm p m u u = g(z 1 ) = g(z 2 ) = q n 1 1 qn qn v v, m i, n i N. Die Primzahlzerlegung ist aber eindeutig, d.h. u = v und nach Umsortierung p i = q i, für alle 1 i u. Also: die Zeichenketten z 1 und z 2 sind gleich. Bemerkung. Wir haben hier einige Tatsachen zu Primzahlzerlegungen benutzt, die wir uns in der nächsten Vorlesung noch genauer ansehen müssen. Hier ist noch eine weitere eigenartige Idee. Es gibt einen eigenartigen Zusammenhang zwischen endlich langen schwarz-weisse Ketten und Teilmengen von schwarzen Ketten. Beispiel. Das nächste Beispiel zeigt wie man der Teilmenge {3,6,7,9,10,11} genau eine schwarz-weisse Kette zuordnet. { 3, 6, 7, 9, 10, 11 } { } Wir haben also 1-1-Zuordnung von endlich langen schwarz-weisse Ketten und endlichen Teilmengen von N. Wir wissen bereits, dass die Menge der endlich langen schwarz-weisse Ketten abzählbar ist. Also folgt: Satz. Die Menge aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar. Auf der anderen Seite gilt: Satz. Die Menge P(N) aller Teilmengen von N ist nicht abzählbar. Bemerkung. Der Beweis nutzt die griechische Idee des indirekten Beweises in einer extremen Form aus.

8 8. Lineare Algebra (L2/L5) Beweis des Satzes. (durch Widerspruch) Wir sollen zeigen, dass es keine bijektive Abbildung N P(N) geben kann. Annahme. Es gibt eine surjektive Abbildung f : N P(N). Definiere M := {x N x f(x) } Dann ist M N, also M P(N). Da f surjektiv ist, gibt es ein z N mit f(z) = M 1. Fall. z M. z M = f(z) z f(z) z M (nach Definition von M). 2. Fall. z M. z M = f(z) z f(z) z M (nach Definition von M). Wir bekommen also einen Widerspruch. Damit ist die Annahme widerlegt und der Satz folgt. Literatur. K. Appell, J. Appell: Mengen-Zahlen-Zahlbereiche, Spektrum, Elsevier (2005)

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