Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011"

Transkript

1 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof. Barbara König Übungsleitung: Mathias Hülsbusch Dabei klären wir vor allem einige grundlegende Begriffe und betrachten verschiedene Graphdarstellungen. Barbara König Mathematische Strukturen Graphen: Einführung Barbara König Mathematische Strukturen 262 Graphen: Einführung Graphen können zur Darstellung und Modellierung verschiedenster Strukturen eingesetzt werden: Beispiele für Graphen, die soziale Netzwerke darstellen. Wer kennt wen? Computer-Netzwerke (z.b. Internet) Straßennetze Nachbarschaftsbeziehungen Zustandsübergangsdiagramme UML-Diagramme im Software-Engineering Semantische Beziehungen zwischen Stichworten Soziale Netzwerke Barbara König Mathematische Strukturen 263 Barbara König Mathematische Strukturen 264

2 Graphen: Einführung rten von Graphen Beispiel für ein UML-Klassendiagramm Wir definieren zunächst zwei häufige Typen von Graphen: gerichtete Graphen und ungerichtete Graphen. Parkplatz enthaelt uto 0..5 besitzt Person 4 besteht aus Rad Gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E V V. (D.h., die Kantenmenge ist eine Relation auf der Knotenmenge.) Ein gerichteter Graph is also eigentlich nichts anderes als eine Relation auf einer Menge V. Barbara König Mathematische Strukturen 265 rten von Graphen Barbara König Mathematische Strukturen 266 rten von Graphen Beispiel: gerichteter Graph Der Graph besteht aus folgender Knoten- und Kantenmenge: V = {, B, C, D} E = {(, ), (, B), (, C), (, D), (B, ), (B, C), (C, D)} Bemerkungen (gerichteter Graph): Für eine Kante e = (v, v 2 ) heißt v Quellknoten von e und v 2 Zielknoten von e. Bei gerichteten Graphen sind Schleifen erlaubt. Eine Schleife an einem Knoten v V wird durch ein Paar (v, v) in der Kantenmenge dargestellt. Von einem Knoten v zu einem anderen Knoten v 2 kann es höchstens eine Kante geben, denn in der Menge E kann ein Paar (v, v 2 ) nicht mehrfach vorkommen. Es kann jedoch unter Umständen eine Vorwärtskante (v, v 2 ) E und eine dazugehörige Rückwärtskante (v 2, v ) E geben. Barbara König Mathematische Strukturen 267 Barbara König Mathematische Strukturen 268

3 rten von Graphen rten von Graphen Beispiel: gerichteter beschrifteter Graph y Oft betrachtet man auch gerichtete Graphen mit Beschriftungen. Gerichteter beschrifteter Graph Sei L eine Menge von Beschriftungen (oder Labels). Ein gerichteter beschrifteter Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E V L V. Barbara König Mathematische Strukturen 269 rten von Graphen x z B x C y D y Beschriftungs-, Knoten- und Kantenmengen: L = {x, y, z} V = {, B, C, D} E = {(, y, ), (, x, B), (, y, C), (, z, D), (B, z, ), (B, x, C), (B, y, C), (C, y, D)} y z Barbara König Mathematische Strukturen 270 rten von Graphen Bemerkungen (gerichteter beschrifteter Graph): Eine Kantenbeschriftung kann mehrfach im Graphen auftauchen. Da Kanten durch die Beschriftung unterschieden werden, kann es bei beschrifteten Graphen zwischen denselben Knoten zwei oder mehr Kanten in der gleichen Richtung geben. Diese müssen jedoch alle unterschiedlich beschriftet sein. Im Beispiel gibt es zwei Kanten zwischen den Knoten B und C: (B, x, C), (B, y, C) Bei ungerichteten Graphen spielt die Kantenrichtung keine Rolle. Kanten werden daher nicht durch Tupel/Paare, sondern durch Mengen dargestellt. Ungerichteter Graph Ein ungerichteter Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E, wobei jede Kante durch eine zweielementige Teilmenge von V dargestellt wird. (D.h., die Kantenmenge ist eine Menge von zweielementigen Mengen.) Barbara König Mathematische Strukturen 27 Barbara König Mathematische Strukturen 272

4 rten von Graphen rten von Graphen Beispiel: ungerichteter Graph Knoten- und Kantenmengen: Bemerkungen (ungerichteter Graph): Bei unseren ungerichteten Graphen sind Schleifen nicht erlaubt. (Es gibt jedoch auch Erweiterungen mit Schleifen.) Zwischen zwei Knoten kann es höchstens eine Kante geben, die sie verbindet. (Es gibt keine Unterscheidung zwischen Vorund Rückwärtskanten.) V = {, B, C, D} E = {{, B}, {, C}, {, D}, {B, C}, {C, D}} Barbara König Mathematische Strukturen 273 rten von Graphen Barbara König Mathematische Strukturen 274 Es gibt noch weitere rten von Graphen: Ungerichtete beschriftete Graphen Graphen mit Knotenbeschriftung Graphen mit Mehrfachkanten (auch Multigraphen) genannt Hypergraphen, bei denen eine Kante auch mit mehr als zwei Knoten verbunden sein kann Wir betrachten im folgenden die Begriffe Weg, Zyklus, Pfad und Kreis. Weg Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Eine Folge v,, v m von Knoten aus V heißt Weg, falls es für alle i {,, m } eine Kante von v i nach v i+ gibt. D.h., aufeinanderfolgende Knoten sind miteinander verbunden: Im gerichteten Fall: (v i, v i+ ) E. Im ungerichteten Fall {v i, v i+ } E. Ein Weg v,, v m hat die Länge m. (Die Länge ist also die nzahl der Kanten, nicht die nzahl der Knoten.) Ein Weg, der nur aus einem Knoten v besteht, hat die Länge 0. Barbara König Mathematische Strukturen 275 Barbara König Mathematische Strukturen 276

5 Beispiele für Wege: Gerichteter Fall: Wege:,,, B,, C, D, B, C, D Keine Wege: B, D C, D, B, B, B Ungerichteter Fall: Wege:, C, B, C, B,, C, B, C, D, Keine Wege: B, D D, B, Einige der Wege kehren wieder an ihren usgangspunkt zurück. Solche Wege bezeichnet man als Zyklen. Zyklus Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Weg v,, v m heißt Zyklus, falls v = v m. Einige der Wege im vorherigen Beispiel sind auch Zyklen. Gerichteter Fall:,,, B, Ungerichteter Fall:, B, C, D, (Dies sind nicht die einzigen Zyklen in den Beispielgraphen.) Barbara König Mathematische Strukturen 277 Barbara König Mathematische Strukturen 278 Wege, die keinen Knoten mehrfach besuchen, bezeichnet man als Pfade. Pfad Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Weg v,, v m heißt Pfad, falls alle Knoten v,, v m voneinander verschieden sind. Beispiele für Pfade: Gerichteter Fall: Pfade:, B, C, D, C, D, D Ungerichteter Fall: Pfade:, B, C, D, C, D, C, B, D, C, B D,, B, C Barbara König Mathematische Strukturen 279 Barbara König Mathematische Strukturen 280

6 Wege, die wieder zum usgangspunkt zurückkehren und keinen Knoten mehrfach besuchen, bezeichnet man als Kreise. Kreis Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Weg v,, v m heißt Kreis, falls v = v m (der nfangsknoten und der Endknoten sind gleich) und alle Knoten in v,, v m voneinander verschieden sind. Beispiele für Kreise: Gerichteter Fall: Kreise:,, B, Ungerichteter Fall: Kreise:, B,, B, C,, C, D,, B, C, D, Bis auf den Wechsel des Startpunkts handelt es sich im gerichteten Fall um alle möglichen Kreise. Barbara König Mathematische Strukturen 28 Barbara König Mathematische Strukturen 282 Bemerkung: Da ein Pfad keinen und ein Kreis höchstens einen Knoten mehrfach besuchen darf, ist die Länge von Pfaden und Kreisen durch die nzahl der Knoten im Graphen beschränkt. Längere Pfade oder Kreise sind nicht möglich. Das heißt insbesondere auch, dass es in einem gegenen endlichen Graphen nur endlich viele Pfade und Kreise gibt. Oft ist man auch am kürzesten Weg zwischen zwei Knoten interessiert (beispielsweise für Tourenplanung, Navigationssoftware). Kürzester Weg Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und seien v, w V zwei Knoten. Ein Weg v = v,, v m = w heißt kürzester Weg von v nach w, wenn seine Länge minimal ist. Der kürzeste Weg zwischen v und w ist auf jeden Fall ein Pfad, d.h., er enthält keinen Knoten mehrfach. Falls v = w gilt, so hat der kürzeste Weg die Länge 0 und besteht einfach nur aus dem Knoten v. Barbara König Mathematische Strukturen 283 Barbara König Mathematische Strukturen 284

7 Beispiele für kürzeste Wege: Gerichteter Fall: B,, D und B, C, D sind beides kürzeste Wege von B nach D, beide mit Länge 2. Es gibt keinen Weg von D nach und daher auch keinen kürzesten Weg. Ungerichteter Fall: B,, D und B, C, D sind beides kürzeste Wege von B nach D. Beide haben die Länge 2. Barbara König Mathematische Strukturen 285 Wie vorher beschrieben können Graphen als Mengen (oder Listen) von Knoten und Kanten dargestellt werden. Es gibt jedoch noch kompaktere Darstellungen in Form von Matrizen: djazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen. Dazu nimmt man an, dass die Knoten des Graphen durch natürliche Zahlen von bis n = V gegeben sind. Die Knotenmenge hat daher im folgenden immer diese Form: V = {,, n}. ußerdem betrachten wir für die Matrizendarstellung nur unbeschriftete Graphen. Barbara König Mathematische Strukturen 286 djazenzmatrix (Nachbarschaftsmatrix) Die djazenz- oder Nachbarschaftsmatrix eines Graphen G = (V, E) ist eine n n-matrix, wobei n = V. Sie enthält folgende Einträge: falls G ein gerichteter Graph ist: Beispiel: gerichteter Graph { falls (i, j) E i,j = 0 sonst falls G ein ungerichteter Graph ist: { falls {i, j} E i,j = 0 sonst Mit i, j {,, n}. Die djazenzmatrix des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: = Barbara König Mathematische Strukturen 287 Barbara König Mathematische Strukturen 288

8 Bemerkungen (gerichteter Fall): Die nzahl der Kanten im Graphen entspricht der nzahl der Einsen in der djazenzmatrix. Der Graph ist schleifenfrei, genau dann, wenn die Diagonale (von links oben nach rechts unten) nur Nullen enthält. Schleifenfrei bedeutet, dass der Graph keine Schleifen enthält. Zwei Knoten, die miteinander verbunden sind, nennt man adjazent. Beispiel: ungerichteter Graph Die djazenzmatrix des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: = Barbara König Mathematische Strukturen 289 Barbara König Mathematische Strukturen 290 Bemerkungen (ungerichteter Fall): Ungerichtete Graphen sind per Definition immer schleifenfrei, d.h., die Diagonale (von links oben nach rechts unten) enthält nur Nullen. Es gilt: {i, j} E genau dann, wenn {j, i} E, wegen {i, j} = {j, i}. Das heißt, wenn i,j den Wert eins hat, dann hat auch j,i den Wert eins, und umgekehrt. (nschaulich: wenn in einem ungerichteten Graph i mit j verbunden ist, dann ist auch j mit i verbunden.) Daher ist die Matrix (spiegel-)symmetrisch bezüglich der Diagonalen. ußerdem wird jede Kante doppelt gezählt. Die Matrix enthält daher zweimal soviel Einsen wie der Graph Kanten. Neben djazenzmatrizen gibt es auch noch sogenannte Inzidenzmatrizen. Hier nehmen wir an, dass auch die Kanten in eine Reihenfolge gebracht wurden. Wir bezeichnen die Kanten der Reihenfolge nach mit e, e 2,, e m. Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix) Die Inzidenz- oder Knoten-Kanten-Matrix B eines Graphen G = (V, E) ist eine m n-matrix, wobei m = E und n = V. Sie enthält folgende Einträge: falls G ein schleifenfreier gerichteter Graph ist: falls j Quellknoten von e i ist B i,j = 0 falls j Zielknoten von e i ist Barbara König Mathematische Strukturen 29 Barbara König Mathematische Strukturen 292

9 Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix) (Fortsetzung) falls G ein ungerichteter Graph ist: { falls j ei B i,j = 0 sonst Beispiel: gerichteter Graph 2 e 5 e e 3 e2 e 4 e Mit i {,, m}, j {,, n}. Die Bedingung, j e i bedeutet, dass die Kante e i mit Knoten j verbunden ist. (In einem ungerichteten Graph ist eine Kante eine Menge!) Man sagt, dann auch, dass der Knoten j und die Kante e i zueinander inzident sind. Die Inzidenzmatrix B des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: B = Barbara König Mathematische Strukturen 293 Bemerkungen (gerichteter Fall): In jeder Zeile steht genau eine und genau eine. Inzidenzmatrizen werden hier nur für schleifenfreie gerichtete Graphen betrachtet. Schleifen können in dieser Darstellung nicht repräsentiert werden. Die nzahl der Werte in der Spalte j ist die nzahl der ausgehenden Kanten des Knoten j. Man nennt diese Zahl auch den usgangsgrad von j. Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten den usgangsgrad 3. Die nzahl der Werte in der Spalte j ist die nzahl der eingehenden Kanten des Knoten j. Man nennt diese Zahl auch den Eingangsgrad von j. Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten 4 den Eingangsgrad 2. Barbara König Mathematische Strukturen 295 Barbara König Mathematische Strukturen 294 Beispiel: ungerichteter Graph e e2 e 3 e 4 Die Inzidenzmatrix B des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: e B = Barbara König Mathematische Strukturen 296

10 Bemerkungen (ungerichteter Fall): In jeder Zeile stehen genau zwei Einsen. Die nzahl der Werte in der Spalte j ist die nzahl der Kanten, die mit dem Knoten j inzident sind. Man nennt diese Zahl auch den Grad von j. Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten den Grad 3. Bemerkungen zu djazenz- und Inzidenzmatrizen: Es gibt eine eindeutige Zuordnung zwischen Graphen und ihren Matrizendarstellungen (zumindest sobald die Reihenfolgen der Knoten und Kanten fixiert sind): djazenzmatrizen Jeder gerichtete und ungerichtete Graph kann durch eine djazenzmatrix dargestellt werden. Zu jeder Matrix gibt es höchstens einen dazugehörigen Graphen, der diese Matrix als djazenzmatrix hat. Zu einer Matrix, die nur mit Nullen und Einsen belegt ist, gibt es immer einen dazugehörigen gerichteten Graphen. Bei ungerichteten Graphen gibt es auch Matrizen, die keinem Graphen entsprechen. Das passiert beispielsweise, wenn die Matrix nicht symmetrisch ist. Barbara König Mathematische Strukturen 297 Barbara König Mathematische Strukturen 298 Bemerkungen zu djazenz- und Inzidenzmatrizen (Fortsetzung): Inzidenzmatrizen Jeder schleifenfreie gerichtete und jeder ungerichtete Graph kann durch eine Inzidenzmatrix dargestellt werden. Zu jeder Matrix gibt es höchstens einen dazugehörigen Graphen, der diese Matrix als Inzidenzmatrix hat. Es gibt auch Matrizen, die keinem Graphen entsprechen. Das passiert beispielsweise, wenn eine Matrix in einer Zeile mehr oder weniger als zwei Einträge hat, die von 0 verschieden sind. Frage: Hat Matrizenmultiplikation eine Bedeutung für Matrizen, die Graphen darstellen? ntwort: Ja. Insbesondere für djazenzmatrizen von gerichteten Graphen gibt es eine graphen-theoretische Interpretation von Matrizenmultiplikation. Wir rechnen im folgenden in den reellen Zahlen (auch wenn nur Elemente aus N 0 vorkommen werden). Barbara König Mathematische Strukturen 299 Barbara König Mathematische Strukturen 300

11 djazenzmatrizen, Matrizenmultiplikation und nzahl der Wege Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit Knotenmenge V = {,, n} und seine djazenzmatrix. Wir berechnen für ein k N 0 : M = k = } {{ } k-mal Dann gilt: M i,j beschreibt die nzahl der Wege der Länge k von i nach j. Warum gilt dieser Zusammenhang? Für k = gilt M = =. In diesem Fall gibt es zwischen i und j höchstens einen Weg und zwar genau dann, wenn diese mit einer Kante (i, j) E verbunden sind. Und genau in diesem Fall hat auch M i,j = i,j den Wert. Barbara König Mathematische Strukturen 30 Warum gilt dieser Zusammenhang? (Fortsetzung) ngenommen N = k beschreibt korrekt die nzahl der Wege der Länge k. Dann gilt für M = k+ = N : M i,j = n N i,l l,j l= = N i,,j + N i,2 2,j + + N i,n n,j In dem Summanden N i,l l,j wird die nzahl der Wege der Länge k von i nach l mit der nzahl der Einschritt-Wege von l nach j multipliziert. Er beschreibt also die nzahl der Wege der Länge k + von i nach j, die im letzten Schritt über l führen. Wenn man die Werte N i,l l,j für jedes l aufaddiert, erhält man genau die nzahl der Wege der Länge k + von i nach j. Barbara König Mathematische Strukturen 302 Graphische Darstellung: N i,,j Beispiel: Wege der Länge 3 in folgendem Graphen i. j N i, n Gestrichelte Linien: Wege der Länge k Durchgezogenen Linien: Wege der Länge (echte Kanten) n,j = = = Die vier Wege der Länge 3 von nach 4 sind:,,, 4,, 3, 4, 2, 3, 4, 2,, 4 Barbara König Mathematische Strukturen 303 Barbara König Mathematische Strukturen 304

12 Bemerkung: Mit einer etwas modifizierten Matrizenmultiplikation ist es auch möglich, die Länge des kürzesten Weges zwischen zwei Knoten zu berechnen. Warshall-lgorithmus Wir betrachten diesen lgorithmus jedoch nicht in der Vorlesung. Nun betrachten wir noch kurz eine spezielle Klasse von Graphen:. (Gerichteter) Baum Ein gerichteter Graph G = (V, E) heißt Baum, falls es einen Knoten r V gibt (der sogenannte Wurzelknoten) und es von r aus genau einen Weg zu jedem Knoten gibt. Barbara König Mathematische Strukturen 305 Barbara König Mathematische Strukturen 306 (Gegen-)Beispiele für gerichtete : r r r (Gegen-)Beispiele für gerichtete (Fortsetzung): r r Dieser gerichtete Graph ist ein Baum Kein Baum: es führt mehr als ein Weg von r zu v v w Kein Baum: es führt kein Weg von r zu w Kein Baum: die Wege führen zum Wurzelknoten r und nicht vom Wurzelknoten weg. Kein Baum: es gibt zwei Wege von r zu r. Einmal den Weg der Länge 0 und außerdem den Kreis. Barbara König Mathematische Strukturen 307 Barbara König Mathematische Strukturen 308

13 (Gegen-)Beispiele für ungerichtete : (Ungerichteter) Baum Ein ungerichteter Graph G = (V, E) heißt Baum, falls es von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten genau einen Pfad gibt. v v w Bemerkungen: Ungerichtete sind immer kreisfrei, d.h., sie enthalten keinen Kreis. Ungerichtete haben nicht unbedingt einen ausgezeichneten Wurzelknoten. Man kann jedoch einen beliebigen Knoten zum Wurzelknoten bestimmen. Dieser ungerichtete Graph ist ein Baum w Kein Baum: es gibt mehr als einen Pfad von v zu w Kein Baum: es führt kein Weg von Knoten v zu Knoten w. Der Graph ist nicht zusammenhängend. Barbara König Mathematische Strukturen 309 Barbara König Mathematische Strukturen 30 Beispiel: zur Klassifikation nwendungen von n: Suchbäume Tiere zur Klassifikation Darstellung von Verzeichnisstrukturen und Menüs Wirbeltiere Insekten Darstellung von Vererbungshierarchien in der objektorientierten Programmierung (hier gehen die Kanten jedoch in die Gegenrichtung) Fische mphibien Reptilien Vögel Ursäuger Säugetiere Beutelsäuger Höhere Säugetiere Barbara König Mathematische Strukturen 3 Barbara König Mathematische Strukturen 32

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Graphen und Bäume. A.1 Graphen

Graphen und Bäume. A.1 Graphen Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63

Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63 Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders

Mehr

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 3.2.07 astian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Organisatorisches / Review is zum 2.2 müssen alle Praxisaufgaben

Mehr

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007

Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007 Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Kodieren Von Graphen

Kodieren Von Graphen Kodieren Von Graphen Allgemeine Anwendungen: Routenplaner Netzpläne Elektrische Schaltungen Gebäudeerkennung aus Luftaufnahmen Definitionen:? Graph Ein Graph G besteht aus einem geordneten Paar G = (V,E)

Mehr

15. Elementare Graphalgorithmen

15. Elementare Graphalgorithmen Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes

Mehr

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation 4. Relationen Relationen spielen bei Datenbanken eine wichtige Rolle. Die meisten Datenbanksysteme sind relational. 4.1 Binäre Relationen Eine binäre Relation (Beziehung) R zwischen zwei Mengen A und B

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen

Lernmodul 2 Graphen. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Graphen Folie 1 von 20 Lernmodul 2 Graphen Folie 2 von 20 Graphen Übersicht Motivation Ungerichteter Graph Gerichteter Graph Inzidenz, Adjazenz, Grad Pfad, Zyklus Zusammenhang, Trennende Kante, Trennender Knoten

Mehr

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind.

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind. 3.5 Gerichteter Pfad Definition 291 Eine Folge (u 0, u 1,..., u n ) mit u i V für i = 0,..., n heißt gerichteter Pfad, wenn ( i {0,..., n 1} ) [ (u i, u i+1 ) A]. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung

Kapitel 6: Graphalgorithmen Gliederung Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

f h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d

f h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d ) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach h: c 7 a b f 5 h 3 4 5 i e 6 g 2 2 d Beim Dijkstra-Algorithmus wird in jedem Schritt von den noch unmarkierten Knoten jener

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

Verteilen von Bällen auf Urnen

Verteilen von Bällen auf Urnen Verteilen von Bällen auf Urnen Szenario: Wir verteilen n Bälle auf m Urnen, d.h. f : B U mit B = {b 1,..., b n } und U = {u 1,..., u m }. Dabei unterscheiden wir alle Kombinationen der folgenden Fälle

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Konzepte der Informatik

Konzepte der Informatik Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Übungsblatt 2 - Lösung

Übungsblatt 2 - Lösung Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Thomas Krakow Rostock, den 26. April 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundbegriffe und einfache Sätze über Graphen 5 2.1 Der Knotengrad.................................

Mehr

Graphenalgorithmen I

Graphenalgorithmen I enalgorithmen I Tobias Pröger 21. Dezember 2016 Erklärung: Diese Mitschrift ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Wir sind froh über

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Expander Graphen und Ihre Anwendungen

Expander Graphen und Ihre Anwendungen Expander Graphen und Ihre Anwendungen Alireza Sarveniazi Mathematisches Institut Universität Göttingen 21.04.2006 Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen 21.04.2006

Mehr

Verkettete Datenstrukturen: Bäume

Verkettete Datenstrukturen: Bäume Verkettete Datenstrukturen: Bäume 1 Graphen Gerichteter Graph: Menge von Knoten (= Elementen) + Menge von Kanten. Kante: Verbindung zwischen zwei Knoten k 1 k 2 = Paar von Knoten (k 1, k 2 ). Menge aller

Mehr

8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016

8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016 8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016 Lisa Kohl Lisa.Kohl@kit.edu (mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag, Christian Staudt und Christoph Striecks) Nachtrag: Quicksort, alternative

Mehr

Durchschnitt von Matroiden

Durchschnitt von Matroiden Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt

Mehr

2. Repräsentationen von Graphen in Computern

2. Repräsentationen von Graphen in Computern 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen

Mehr

Beziehungsmatrix. Jürgen Lerner

Beziehungsmatrix. Jürgen Lerner Beziehungsmatrix Jürgen Lerner Zusammenfassung Ausser durch Graphen lassen sich Netzwerke auch durch Matrizen repräsentieren. Zunächst einmal ist diese Art der Darstellung nicht ausdrucksstärker als die

Mehr

Objektorientierte Programmierung. Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln

Objektorientierte Programmierung. Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln Stefan Brass: OOP (Java), 3. Syntaxdiagramme und Grammatikregeln 1/32 Objektorientierte Programmierung Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln Stefan Brass Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Definition eines Spiels

Definition eines Spiels Definition eines piels 1. Einleitung 1.1 Einführung: Die mathematische pieltheorie beschäftigt sich nicht nur mit der Beschreibung und Analyse von pielen im üblichen inn, sondern allgemein mit Konfliktsituationen

Mehr

1. Woche Einführung in die Codierungstheorie, Definition Codes, Präfixcode, kompakte Codes

1. Woche Einführung in die Codierungstheorie, Definition Codes, Präfixcode, kompakte Codes 1 Woche Einführung in die Codierungstheorie, Definition Codes, Präfixcode, kompakte Codes 1 Woche: Einführung in die Codierungstheorie, Definition Codes, Präfixcode, kompakte Codes 5/ 44 Unser Modell Shannon

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1 Lösungen zu den Übungsaufgaben im Kapitel 4 des Lehrbuches Operations Research Deterministische Modelle und Methoden von Stephan Dempe und Heiner Schreier Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring

Kürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring Kürzeste Wege in Graphen Orte mit Straßenverbindungen Orte als Knoten eines Graphen Straßenverbindungen als Kanten eines Graphen Ungerichteter Graph G = (V,E) Kanten Knoten Knotenmenge V = {,,n} oder {,,n

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Binary Decision Diagrams. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS / KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor

Mehr

Erzeugung zufälliger Graphen und Bayes-Netze

Erzeugung zufälliger Graphen und Bayes-Netze Erzeugung zufälliger Graphen und Bayes-Netze Proseminar Algorithmen auf Graphen Georg Lukas, IF2000 2002-07-09 E-Mail: georg@op-co.de Folien: http://op-co.de/bayes/ Gliederung 1. Einleitung 2. einfache

Mehr

Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen

Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen Künstliche Intelligenz Maschinelles Lernen Stephan Schwiebert Sommersemester 2009 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Maschinelles Lernen Überwachtes Lernen

Mehr

Massive Parallelität : Neuronale Netze

Massive Parallelität : Neuronale Netze Massive Parallelität : Neuronale Netze PI2 Sommer-Semester 2005 Hans-Dieter Burkhard Massive Parallelität : Neuronale Netze Knoten: Neuronen Neuronen können erregt ( aktiviert ) sein Kanten: Übertragung

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48

Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Am Dienstag, den 16. Dezember, ist Eulenfest. 1/48 Grundbegriffe der Informatik Einheit 12: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Informatik IC2. Balazs Simon 2005.03.26.

Informatik IC2. Balazs Simon 2005.03.26. Informatik IC2 Balazs Simon 2005.03.26. Inhaltsverzeichnis 1 Reguläre Sprachen 3 1.1 Reguläre Sprachen und endliche Automaten...................... 3 1.2 Determinisieren.....................................

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und

Mehr

Einführung in die Graphentheorie. Monika König

Einführung in die Graphentheorie. Monika König Einführung in die Graphentheorie Monika König 8. 11. 2011 1 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln 1.1-1.3 des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Matchings (Paarungen) in Graphen. PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr

Matchings (Paarungen) in Graphen. PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr Matchings (Paarungen) in Graphen PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr 1 Gliederung 1) Definitionen und Beispiele 2) Algorithmus des maximalen Matchings 3) Das Personal-Zuteilungsproblem Ungarischer

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010 . Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/200 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes Aufgabenblatt

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und

Definition 7.1. Der Coxeter Graph zu W ist der ungerichtete gewichtete Graph Γ W = (V, E), mit Eckenmenge V und Kantenmenge E, gegeben durch V = und 7. Coxeter Graphen Um die endlichen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren, wollen wir ihnen nun Graphen zuordnen, die die Gruppen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen. Im Folgenden sei wie vorher Π Φ

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott,

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen

Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen C# Projekt 1 Name: Statistische Untersuchungen zu endlichen Funktionsgraphen Aufgabe: Basierend auf dem Abschnitt 2.1.6. Random mappings, Kap.2, S 54-55, in [1] sollen zunächst für eine beliebige Funktion

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek

Mehr

5. Verschiedene Repräsentanten

5. Verschiedene Repräsentanten 5. Verschiedene Repräsentanten 5.1. Die Sätze Hall und König Sei I := {1,...,n}, und sei A(I) = (A 1,...,A n ) eine Familie von Teilmengen einer endlichen Menge E. Zu K I seien A(K) := (A i : i K) und

Mehr

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP

Mehr