Magische Quadrate. Mögliche Aufgabenstellungen: Überprüfen, ob ein vorgegebenes Zahlenquadrat ein magisches Quadrat ist.

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1 . Was sind magische Quadrate? Magische Quadrate Die Zahlen bis lassen sich auf vielerlei Arten so in einem x Quadrat anordnen, dass - jede der vier Zeilensummen, - jede der vier Spaltensummen - und auch jede der beiden Diagonalensummen denselben Wert hat Eine solche Anordnung von Zahlen nennt man ein magisches Quadrat (oder auch ein Zauberquadrat). Die gemeinsame Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme heißt magische Konstante des Quadrats. Die magische Konstante eines x-quadrats mit den Eintragungen bis beträgt: Summe aller Zahlen des Quadrats Anzahl der Zeilen = = = Genauso kann man aus den Zahlen bis 5 (bzw. aus den Zahlen bis, bis 9, bis, usw. ) magische 5x5-Quadrate (bzw. x- Quadrate, 7x7-Quadrate, x-quadrate usw. ) zusammensetzen. Das kleinste mögliche magische Quadrat ist ein x-quadrat. Da bereits ein x-quadrat aus den Zahlen bis die magische Konstante hat, kommen für Aufgabenstellungen zum Kopfrechnen eigentlich nur x-, x- und 5x5-Quadrate in Frage. Magisches Quadrat mit den Zahlen Magische Konstante bis 9 x 5 bis x bis 5 5x5 5 bis x bis 9 7x7 75 bis x 0 bis 9x9 9 Überprüfen, ob ein vorgegebenes Zahlenquadrat ein magisches Quadrat ist. Durch Nachrechnen der Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen können die Kinder überprüfen, ob ein vorgegebenes Zahlenquadrat aus den Zahlen bis ein magisches x-quadrat bzw. ob ein vorgegebenes Zahlenquadrat aus den Zahlen bis 5 ein magisches 5x5-Quadrat ist. Fehlende Zahlen in unvollständig vorgegebenen magischen x-quadraten ergänzen. Beispiel : Es empfiehlt sich, die vorgegebene Anordnung mit Zahlenkarten nachzulegen und das Quadrat dann Schritt für Schritt mit den restlichen Zahlenkarten zu vervollständigen. In der ersten Zeile ergibt sich ++9 =, es fehlt also die Zahl auf die Zeilensumme. Genauso ergänzt man die drei Zahlen der zweiten Zeile mit der Zahl auf. Auch in der zweiten Spalte und in der dritten Spalte sind jeweils drei Zahlen bekannt, so dass man die fehlende vierte Zahl bzw. 5 durch Ergänzen auf bestimmen kann. Da außerdem jede der beiden Diagonalensummen betragen muss, kann man auch hier die fehlenden Zahlen 0 und 5 bestimmen. Nun kann man noch die erste Spalte mit 7 und die letzte Spalte mit auf ergänzen..

2 Beispiel : 5 Wie in Beispiel ergänzt man - in der zweiten Zeile, 9 - in der vierten Spalte, - in der dritten Zeile, - in der linken Diagonale 5, - in der rechten Diagonale. Dadurch erhält man das rechts abgebildete Quadrat. Beim Legen mit Zahlenkarten sieht man, dass die Zahlen, 7, 0 und noch übrig sind Durch systematisches Probieren kann man die richtigen Anordnung der vier Zahlen, 7, 0, finden. Es empfiehlt sich, dabei stets mit der größten Zahl (d.h. hier mit ) zu beginnen: - Da ++9 größer als ist, kann nicht in der dritten Spalte stehen. - Da +5+5 = ist, und durch keine der noch verfügbaren Zahlen, 7, 0 auf ergänzt werden kann, kann auch nicht in der ersten Zeile stehen. - Somit kann nur in der letzten Zeile neben angeordnet werden. Die restlichen Zahlen sind dadurch festgelegt. Fehlende Zahlen in unvollständig vorgegebenen magischen 5x5-Quadraten ergänzen. Analog zu den Beispielen oben können auch magische 5x5-Quadrate aus den Zahlen bis 5 vervollständigt werden. Hier ist zu berücksichtigen, dass die magische Konstante stets 5 beträgt.. Alle Zahlen eines magischen Quadrats um,,,... vergrößern Vergrößert man jede der Eintragungen eines magischen x-quadrats um eins, so wird - jede Zeilensumme um vier vergrößert, - jede Spaltensumme um vier vergrößert - und auch jede Diagonalensumme um vier vergrößert. Aus einem magischen x-quadrat mit den Eintragungen bis erhält man somit ein magisches x-quadrat mit den Eintragungen bis 7. Die magische Konstante dieses neuen Quadrats beträgt Allgemein gilt: - Vergrößert man in einem magischen x-quadrat jede der Eintragungen um (bzw. um,,,...), so erhält man stets wiederum ein magisches Quadrat. Die magische Konstante dieses neuen Quadrats ist um (bzw. um,,,...) größer als die des Ausgangsquadrats. - Vergrößert man in einem magischen 5x5-Quadrat jede der 5 Eintragungen um (bzw. um,,,...), so erhält man ein magisches Quadrat, dessen magische Konstante um 5 (bzw. um 0, 5, 0,...) größer als die des ursprünglichen magischen Quadrats ist. - Verdoppelt (bzw. verdreifacht) man jede Zahl eines magischen Quadrats, so erhält man ein magisches Quadrat mit doppelt so großer (bzw. mit drei Mal so großer) magischer Konstante wie das ursprüngliche Quadrat. Die Kinder sollen ein vorgegebenes magisches x-quadrat aus den Zahlen bis mit Zahlenkarten nachlegen und dann a. jede der Zahlen des Quadrats um (bzw. um,,,...) vergrößern b. jede der Zahlen verdoppeln Durch Nachrechnen der Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen kann man verifizieren, dass das neue Zahlenquadrat wieder ein magisches Quadrat ist. Wie ändert sich die magische Konstante eines magischen x-quadrats, wenn man jede der Eintragungen um (bzw. um,,,...) vergrößert? Wie, wenn man alle Eintragungen verdoppelt (oder verdreifacht)? Wie ändert sich die magische Konstante eines magischen 5x5-Quadrats, wenn man jede der 5 Eintragungen um (bzw. um,,,...) vergrößert?

3 . Symmetrieeigenschaften magischer Quadrate Jedes magische Quadrat liefert sofort sieben weitere magische Quadrate, indem man das Quadrat um 90, 0 bzw. 70 dreht oder indem man es an einer der vier Symmetrieachsen des Quadrats spiegelt (siehe Abb. rechts). um 90 nach links gedreht um 0 gedreht um 90 nach rechts gedreht Unterscheidet man diese acht symmetrischen Lagen nicht, so gibt es - genau ein magisches x Quadrat mit den Zahlen bis 9 (siehe Abb. rechts) - 0 verschiedene magische x Quadrate mit den Zahlen bis verschiedene magische 5x5 Quadrate mit den Zahlen bis an der waagrechten Symmetrieachse gespiegelt an der linken Diagonale gespiegelt an der rechten Diagonale gespiegelt an der senkrechten Symmetrieachse gespiegelt Ein vorgegebenes magisches x-quadrat oder magisches 5x5-Quadrat soll um 90 nach links (bzw. um 90 nach rechts oder um 0 ) gedreht oder an einer der vier Symmetrieachsen gespiegelt werden. Durch Nachrechnen der Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen soll verifiziert werden, dass das neue Zahlenquadrat wiederum ein magisches Quadrat ist.. Die Struktur magischer x-quadrate Aus den Zahlen bis kann man acht Zahlenpaare mit Summe 7 bilden, nämlich und, und 5, und, und, 5 und, und, 7 und 0, und 9. Verbindet man in einem magischen -Quadrat jedes dieser Zahlenpaare durch eine Linie, so erhält man stets ein regelmäßiges Muster. Je nach Aussehen dieses Musters kann man die magischen -Quadrate in zwölf Gruppen einteilen: Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe 5 Gruppe Gruppe 7 Gruppe Gruppe 9 Gruppe 0 Gruppe Gruppe

4 In einem vorgegebenen magischen x-quadrat aus den Zahlen bis sollen je zwei Zahlen, die zusammen 7 ergeben, durch eine Linie verbunden werden. Dann soll das magische Quadrat anhand der obigen Strukturdiagramme einer der Gruppen bis zugeordnet werden. 5. Weitere Zahlenmuster in magischen x-quadraten entdecken In magischen x-quadraten mit den Zahlen bis tritt die magische Konstante nicht nur als Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme, sondern stets auch als Summe der folgenden vier Zahlen auf (siehe Abb. rechts): - Summe der vier Eckzahlen - Summe der vier inneren Zahlen - Summe der beiden mittleren Zahlen der ersten und der letzten Zeile - Summe der beiden mittleren Zahlen der ersten und der letzten Spalte Darüber hinaus haben in vielen (aber nicht in allen!!!) magischen x-quadraten die folgenden Vierergruppen von Zahlen die Summe : - jeder der vier Quadranten - jedes der vier x-teilquadrate - zwei Rechtecke In einem vorgegebenen magischen x-quadrat aus den Zahlen bis sollen Vierergruppen von Zahlen mit Summe entdeckt werden.. Magische x Quadrate umordnen Weitere Möglichkeiten für interessante Fragestellungen ergeben sich im Zusammenhang mit Umordnungen der Zahlen bis eines vorgegebenen magischen x-quadrats. Hier sollen die Kinder ein vorgegebenes magisches x-quadrat mit Zahlenkarten nachlegen, dann die Zahlen bis nach einer der unten angeführten Vorschriften umordnen und überprüfen, ob das neue Zahlenquadrat wieder magisch ist. Beispiele für geeignete Umordnungen der Zahlen bis : Vertausche mit, mit 5, mit, mit, 5 mit, mit, 7 mit 0 und mit 9. In diesem Fall erhält man stets wieder ein magisches Quadrat. Vertausche mit, mit, 5 mit, 7 mit, 9 mit 0, mit, mit und 5 mit. Diese Vertauschung führt bei vielen (aber nicht bei allen!) magischen x-quadraten wieder auf ein magisches Quadrat: Nur wenn jede Zeile, jede Spalte und auch jede Diagonale des Ausgangsquadrats zwei gerade Zahlen und zwei ungerade Zahlen enthält, ergibt diese Umordnung wieder ein magisches Quadrat.

5 Vertausche mit 9, mit 0, mit, mit, 5 mit, mit, 7 mit 5 und mit. Bei dieser Umordnung wird jede der Zahlen bis um vergrößert und jede der Zahlen 9 bis um verkleinert. Die Umordnung ergibt daher nur dann ein magisches Quadrat, wenn jede Zeile, jede Spalte und auch jede Diagonale des Ausgangsquadrats genau zwei der Zahlen bis und zwei der Zahlen 9 bis enthält. Das ist zwar bei vielen, aber nicht bei allen magischen x-quadraten der Fall. Auch bei den folgenden Umordnungen der Zahlen bis bleiben viele (aber nicht alle!!) magischen x-quadrate magisch: Vertausche mit 5, mit 7, 0 mit, mit 5 und lasse die übrigen Zahlen gleich. Vertausche mit 9, mit 0, 7 mit, mit und lasse die übrigen Zahlen gleich. Vertausche mit 5, mit, mit, mit und lasse die übrigen Zahlen gleich. Vertausche mit 9, mit, mit, mit 5 und lasse die übrigen Zahlen gleich. Konkrete Aufgabenstellungen zu magischen Quadraten findet man in Koth, M. Spielereien mit Zahlen und Ziffern. Aulis Verlag Deubner (005). ISBN Grosser, N. und Koth, M., Alles klar!. Mathematik für wissbegierige Schulkinder. Veritas-Verlag (007) Prof. Dr. Maria Koth PH Wien und Fakultät für Mathematik der Universität Wien maria.koth@univie.ac.at