10.4 Funktionen von mehreren Variablen

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1 10.4 Funktionen von mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen Veranschaulichung von Funktionen eine Variable wei Variablen f() oder = f() (, ) f(, ) oder = f(, ) D(f) IR; Darstellung auf einer D(f) IR 2 ; Darstellung in einer Achse: Achse. Ebene: (, ) Ebene = f() f() = f(, ) f(, ) (, ) Graph: mehrere Punkte, i. Allg. eine Kurve Graph: Punkte über der (, ) Ebene, i. Allg. eine Fläche im Raum =f(,) Darstellung über Schnittkurven Hier kommen besonders Ebenen in Betracht, die parallel u den Koordinatenebenen verlaufen. Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel ur (, )-Ebene mit dem Funktionsgebirge. Man erhält die sogenannten Höhenlinien. Deren Projektion auf die (, )-Ebene nennt man Isoquanten.

2 88 10 Analsis Isoquanten Höhenlinie, Isoquanten: Linien im Definitionsbereich, in deren Punkten gleiche Funktionswerte vorliegen. Oder: Verbindet man Punkte (, ) mit gleichen Funktionswerten, so entstehen Isoquanten. Isoquanten sind die senkrechten Projektionen der Höhenlinien in den Definitionsbereich. In der Umgangssprache, auf Wanderkarten etc. werden auch die Isoquanten als Höhenlinien beeichnet. Die Schnittkurven mit Ebenen parallel ur (, )-Ebene ( = 0 konstant) und (, )-Ebene ( = 0 konstant) erhält man dadurch, dass man in der Funktionsgleichung = f(, ) eine Variable als konstant vorgibt: Schnitt mit Ebene parallel (, )-Ebene = 0, konstant = f(, 0 ) Schnitt mit Ebene parallel (, )-Ebene = 0, konstant = f( 0,) Beispiel: = 2 Isoquanten: = c : c = 2 = c 2 Isoquanten (Höhenlinien) Die Schnitte mit Ebenen parallel ur (, )-Ebene = c : = c 2 Geraden Die Schnitte mit Ebenen parallel ur (, )-Ebene = c : = c 2 Parabeln

3 10.4 Funktionen von mehreren Variablen 89 Partielle Ableitungen Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion von einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung behandelt. = f(, ) = 0 Ableitung: f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ) lim h 0 h = f ( 0, 0 ) Geometrische Interpretation: Steigung des Graphen von = f(, 0 ) im Punkt ( 0,f( 0, 0 )) in -Richtung. Wenn dieser Grenwert eistiert, spricht man von der partiellen Ableitung f ( 0, 0 ). Schreibweise: f = f ( 0, 0 ): partielle Ableitung von f nach an der Stelle ( 0, 0 ). (0, 0 )

4 90 10 Analsis Analog ergibt sich die partielle Ableitung von f nach an der Stelle ( 0, 0 ). f( 0, 0 + h) f( 0, 0 ) lim = f ( 0, 0 ): h 0 h Geometrische Interpretation: Steigung des Graphen von = f( 0,) im Punkt ( 0,f( 0, 0 ))in -Richtung. Die Ausdrücke f (, ), f (, ) heißen partielle Ableitungen. Partielle Ableitungen höherer Ordnung Die Funktionen f (, ), f (, ) lassen sich wieder als Funktionen von wei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach bw. partiell differeniert werden. f = 2 f 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f nach. Analog erhält man f,f,f,... Bei in der Prais auftretenden Funktionen kann die Reihenfolge der Ableitungsvariablen vertauscht werden (Sat von Schwar): f = f,f = f = f usw. Tangentialebene f(, ) = f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ) ( 0 ) + f ( 0, 0 ) ( 0 ). } {{ } Tangentialebene Diese Ebene erfüllt die Bedingungen: Der Punkt ( 0 0 f( 0, 0 )) liegt auf der Ebene. Die beiden partiellen Ableitungen von Fläche und Ebene stimmen überein. = f(, ) E t ( 0 0 )

5 10.4 Funktionen von mehreren Variablen 91 Totales Differenial Wir betrachten die Veränderung des Wertes auf der Tangentialebene als (lineare) Näherung für den eigentlichen Funktionsuwachs Δf. Δf = f( 0 + d, 0 + d) f( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) d + f ( 0, 0 ) d Dieser Zuwachs ergibt sich durch Multiplikation der Veränderung d bw. d mit den partiellen Ableitungen f ( 0, 0 )bw.f ( 0, 0 ). Schreibweise: df = f ( 0, 0 ) d + f ( 0, 0 ) d df heißt totales Differenial der Funktion f(, ). = f(, ) f d E t d f d 0 + d d Das Differenial wird ur näherungweisen Berechnung der Veränderung der Funktionswerte benutt und findet. B. in der Fehlerrechnung Anwendung. Beispiel: Das Volumen eines Kreislinders mit Radius r und Höhe h ergibt sich aus: V = f(r, h) = π r 2 h. Der Radius r = 10 cm werde um dr =0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh =0.5 cm verändert. Ableitungen f r (r, h) = 2πrh f r (10, 12) = 240π : im Punkt (10, 12) f h (r, h) = πr 2 f h (10, 12) = 100π Differential: ΔV dv = f r (10, 12) dr + f h (10, 12) dh = 240π π 0.5 = 98π. Eakter Zuwachs: ΔV = f(10.2, 12.5) f(10, 12) = π 1200π = 100.5π.

6 92 10 Analsis Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts unter dem Einfluss einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. df f(, ) = f (, ) d + f (, ) d f(, ) = f (, ) f(, ) d + f (, ) f(, ) d Wir beeichnen diese Größen als (partielle) Elastiitäten: ε f, (, ) = f (, ) f(, ) ; ε f, (, ) = f (, ) f(, ). Lokale Etremwerte ohne Nebenbedingungen Die Funktion = f(, ) hat an der Stelle ( 0, 0 ) ein lokales Etremum, wenn gilt und Ist dabei f ( 0, 0 ) = 0 und f ( 0, 0 )=0 Δ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) (f ( 0, 0 )) 2 > 0. f ( 0, 0 ) > 0, dann liegt ein lokales Minimum vor, ist f ( 0, 0 ) < 0, dann liegt ein lokales Maimum vor. Vorgehensweise: 1. Schritt: Bestimmen der Kandidaten für Etremstellen. In Frage kommen alle ( E, E ), an denen sämtliche partiellen Ableitungen Null sind: f ( E, E ) = 0 und f ( E, E ) = 0. Es ergibt sich ein Sstem von wei (i. a. nichtlinearen) Gleichungen für die Unbekannten E und E.DieLösungen ( E, E ) dieses Sstems heißen auch stationäre Stellen. 2. Schritt: Überprüfung, ob es sich bei ( E, E ) tatsächlich um Etremstellen handelt. Hieru berechnet man die weiten Ableitungen von f(, ), sett E und E für bw. ein und berechnet den Wert des Ausdrucks Δ = f f (f ) 2 an dieser Stelle: Δ( E, E ) = f ( E, E ) f ( E, E ) (f ( E, E )) 2. Falls Δ( E, E ) > 0,soist( E, E ) eine Etremstelle und war Maimumstelle, falls Δ( E, E ) > 0 und f ( E, E ) < 0, Minimumstelle, falls Δ( E, E ) > 0 und f ( E, E ) > 0. Falls Δ( E, E ) < 0,soist( E, E ) eine Sattelpunktstelle. Falls Δ( E, E ) = 0, so muss man weitere Überlegungen anstellen.

7 10.4 Funktionen von mehreren Variablen 93 Zusammenstellung und Vergleich IR mit IR 2 Funktion f() f(, ) Ableitungen erster Ordnung Kandidaten für Etremstellen f () f ( E )=0 f (, ) f (, ) f ( E, E )=0 f ( E, E )=0 Ableitungen weiter Ordnung f () f (, ), f (, ), f (, ) Entscheidungskriterium f ( E ) 5 Δ( E, E ) = f ( E, E ) f ( E, E ) (f ( E, E )) 2 Maimum liegt vor, wenn bei einem Kandidaten Minimum liegt vor, wenn bei einem Kandidaten Sattelpunkt liegt vor, wenn bei einem Kandidaten f ( E ) < 0 5 Δ( E, E ) > 0 und f ( E, E ) < 0 f ( E ) > 0 5 Δ( E, E ) > 0 und f ( E, E ) > 0 Δ( E, E ) < 0 Beispiel: f(, ) = (Paraboloid). f = 2 4 = 0 Schritt 1: =1, f = = 0 = 2 Schritt 2: (1, 2) ist Kandidat.. f =2,f = 1, f =4 also lokales Etremum,, f f f 2 =8> 0 da f > 0, lokales Minimum. Etremwertprobleme mit Nebenbedingungen Die Funktion = f(, ) soll maimal (minimal) werden unter Einhaltung einer Nebenbedingung g(, ) =0. Eliminationsmethode: Aus der Nebenbedingung g(, ) = 0erhält man durch Auflösen nach die Funktion (). Durch Einseten in die Zielfunktion ergibt sich eine Funktion einer Veränderlichen: = f(, ()) Deren Etrema sind die gesuchten Punkte. 5 Alternativ kann auch f auf Voreichenwechsel untersucht werden.

8 94 10 Analsis Lagranges Multiplikatormethode: Man bildet eine neue Funktion ( Lagrange-Funktion ) F (,, λ) = f(, )+λg(, ) (Funktion von drei Variablen). Notwendige Bedingung für ein relatives Etremum der Funktion F (,, λ) ist F =0: f (, )+λg (, ) = 0, F =0: f (, )+λg (, ) = 0, F λ =0: g(, ) = 0 (Nebenbedingung). Es ergibt sich automatisch die ursprüngliche Nebenbedingung g(, ) = 0. Die hinreichende Bedingung für Etremwerte ist gegebenenfalls durch eine Plausibilitätsbetrachtung nachuweisen. Beispiel: Zlindrische Dose mit vorgegebenem Volumen, Oberfläche soll minimal sein. Oberfläche: O =2πr 2 +2πr h = f(r, h), Nebenbedingung: πr 2 h = V 0 = vorgegebenes Volumen. Eliminationsmethode Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen: h = V 0 πr 2 ; einseten in f(r, h). O = 2πr 2 +2πr h V h= 0 = 2πr 2 +2πr V 0 = 2πr 2 + 2V 0 = O(r) πr 2 πr 2 r Es bleibt eine Funktion von einer Variablen übrig. Etremwertbestimmung: do = 2π 2r 2V 0! dr r 2 = 0 4πr = 2V 0 r 2 r 3 = 2V 0 4π d 2 O dr 2 = 4π + 4V 0 r 3 > 0 : lokales Minimum. Es liegt also ein Minimum vor für r = 3 V0 2π, h = V 0 πr 2 = 3 4V0 π. Lagrange Methode F (r, h, λ) = 2πr 2 +2πrh+ λ (πr 2 h V 0 ) 6 F r = 4πr+2πh+ λ 2πrh =! 0 (1) F h = 2πr+ λπr 2! = 0 (2) F λ = πr 2 h V 0! = 0 (3) (2) = λ = 2 r. Dies in (1) eingesett: 4πr+2πh 4πh=0 = h =2r. Dies in (3): πr 2 2r = V 0 = r = 3 V0 2π,h=2 3 V0 2π = 3 4V0 π. r = 3 V0 2π 6 Die Nebenbedingung muss immer in die Form g(, ) = 0 gebracht werden: πr 2 h V 0 = g(r, h) =0