Lineare Gleichungssysteme

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1 Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen

2 Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2

3 Beispiel I Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 3x 1 + 2x 2 = 4 x 2 = 5 3x = 4 3x 1 = 6 x 1 = 2, x 2 = 5 Beispiele x 2 g 1 (2 5) g 2 eindeutige Lösung Die beiden Gleichungen beschreiben Geraden in der (x 1, x 2 )-Ebene: 1 1 x 1 g 1 : 3x 1 + 2x 2 = 4 x 2 = x 1 g 2 : x 2 = 5 Fakultät Grundlagen Folie: 3

4 Beispiel II Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele x 1 + x 2 = 7 2 2x 1 + 3x 2 = 6 x 1 + x 2 = x 2 {{ = 20 gestaffelte Form... x 2 = 4, x 1 = 3 eindeutige Lösung Die beiden Gleichungen beschreiben Geraden in der (x 1, x 2 )-Ebene: x 2 g 2 g 1 (3 4) 1 x 1 1 g 1 : x 1 + x 2 = 7 x 2 = 7 x 1 g 2 : 2x 1 + 3x 2 = 6 x 2 = x 1 Fakultät Grundlagen Folie: 4

5 Beispiel III Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele x 1 + x 2 = 1 ( 2) 2x 1 + 2x 2 = 4... Widerspruch! x 1 + x 2 = 1 0x 1 + 0x 2 {{ = 2 gestaffelte Form x 2 g 1 g 2 1 x 1 Die beiden parallelen Geraden haben keinen Schnittpunkt, d. h. es gibt keine Lösung. 1 Fakultät Grundlagen Folie: 5

6 Beispiel IV Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele x 1 + 2x 2 = 3 ( 2) 2x 1 + 4x 2 = 6 x 1 + 2x 2 = 3 0x 1 + 0x 2 {{ = 0 gestaffelte Form Die beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar; jeder Punkt der Geraden ist Lösung, also keine eindeutige Lösung. Eine Variable ist frei wählbar. x 2 = t 1 parametrige Lösung. x 1 = 3 2t Fallunterscheidung bei Lösbarkeit von linearen Gleichungen: eindeutige Lösung (Beispiel I, II) keine Lösung; Widerspruch! (Beispiel III) unendlich viele Lösungen (Beispiel IV) Fakultät Grundlagen Folie: 6

7 Systeme mit n Gleichungen und m Unbekannten I x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 ( 3) ( 2) ( 1) 3x 1 2x 2 x 3 = 5 2x 1 5x 2 + 3x 3 = 4 x 1 + x 2 + 8x 3 = 5 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 0 8x 2 7x 3 = 1 0 9x 2 x 3 = 8 0 x 2 + 6x 3 = 7 Vertauschung der Reihenfolge!! x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 2 6x 3 = 7 (8) (9) 8x 2 7x 3 = 1 9x 2 x 3 = 8 Fakultät Grundlagen Folie: 7

8 Systeme mit n Gleichungen und m Unbekannten II x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 2 6x 3 = 7 55x 3 = 55 ( 1) 55x 3 = 55 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 2 6x 3 = 7 55x 3 = 55 : ( 55) 0x 3 = 0 x ( 1) = 2 x 1 = 2 x 2 6 ( 1) = 7 x 2 = 1 x 3 = 1 Man erhält ein eindeutig lösbares System! Fakultät Grundlagen Folie: 8

9 Umformungen; Zielsetzung Umformungen, die die nicht beeinflussen: 1 Vertauschung der Reihenfolge zweier (oder mehrerer) Gleichungen. 2 Multiplikation einer Gleichung mit einer Konstanten c 0. 3 Addition des Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen. 4 Vertauschung von Unbekannten (Vertauschung von Spalten). 5 Gleichungen 0 = 0 weglassen = 0 = Bei der Trapezform hat man für jede Spalte hinter dem Dreieck (im oberen Bild die Spalten hinter der gestrichelten Linie) einen Parameter zu wählen. Fakultät Grundlagen Folie: 9

10 Matrizen Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Die Koeffizienten der Unbekannten x i und die Absolutglieder werden zu einer Matrix zusammengefasst. Alle elementaren Umformungen geschehen in Matrixform. x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 10 3x 2 + 9x 3 + 3x 4 = 15 x 1 + 5x x 3 + 7x 4 = 25 2x x x x 4 = ( 3) ( 6) ( 1) ( 2) Ausgeschrieben: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 10 x 2 + 3x 3 + x 4 = 5 0 = 0 0 = 0 Zwei Variable frei wählbar! x 3 = s, x 4 = t x 4 = t x 3 = s x 2 = 5 t 3s = 5 t 3s x 1 = 10 4t 3s 2(5 t 3s) = 2t + 3s Fakultät Grundlagen Folie: 10

11 Diagonalgestalt p 11 p 12 p p 1n q 1 p 22 p p 2n q 2 p p 3n q p rr + p r r+1... p rn q r q r q m Fall: r < n und q r+1 = q r+2 =... = q m = 0: Dann sind x r+1, x r+2,..., x n beliebig wählbar Parameter, x r, x r 1,..., x 1 sind dann von diesen Parametern abhängig. In diesem Fall erhält man eine Parameterlösung mit (n r) frei wählbaren Parametern. Fakultät Grundlagen Folie: 11

12 Diagonalgestalt p 11 p 12 p p 1n q 1 p 22 p p 2n q 2 p p 3n q p rr + p r r+1... p rn q r q r q m Fall: r = n und q r+1 = q r+2 =... = q m = 0: In diesem Fall erhält man eine eindeutige Lösung. Fakultät Grundlagen Folie: 12

13 Diagonalgestalt Fall: p 11 p 12 p p 1n q 1 p 22 p p 2n q 2 p p 3n q p rr + p r r+1... p rn q r q r+1 Nicht alle q r+1, q r+2... q m sind Null: q m In diesem Falle treten Widersprüche auf! z. B. 0 x n = q r+1 0. Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Fakultät Grundlagen Folie: 13

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