Informationssicherheit - Lösung Blatt 2

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1 Informationssicherheit - Lösung Blatt 2 Adam Glodek

2 1 Aufgabe 1: One Time Pad 1.1 Aufgabenstellung Gegeben ist der folgende Klartext 12Uhr (ASCII). Verschlüsseln Sie den Klartext mit einem One-Time-Pad, das den folgenden Schlüsselstrom in Hexadezimaldarstellung erzeugt hat: 8F BD 0E 49 B1. Wie lautet der Chiffrattext in Binär- und Hexadezimaldarstellung? Hinweis: Konvertieren Sie zuerst den Klartext auf die Hexadezimaldarstellung des ASCII-Codes. 1.2 Lösung gegeben ist der Plaintext: 12Uhr. Mit Hilfe einer ASCII-Tabelle (googlen!) braucht man nur ablesen: 1 2 U h r ASCII = HEX Die Addition mit dem Schlüsselstrom in Hexadezimalschreibweise ist zwar jetzt möglich, aber ohne Taschenrechner oder selbstgeschriebenen Algorithmus zeitaufwändig! Damit wir die Sonne doch noch was geniessen können, wandeln wir beides ins binäre Zweiersystem um und addieren dann :-) P(hex) K(hex) 8F BD 0E 49 B1 P(bin) K(bin) & 2 =

3 Unser Ergebnis kann jetzt ins Hexadezimale oder in ASCII zurückgewandelt werden, um das Chiffrat zu erhalten. Lösung: BE 8F 5B 21 C3 HEX 2 Aufgabe 2: OTP Sicherheit 2.1 Aufgabenstellung Erklären Sie: Warum ist eine One-Time-Pad Verschlüsselung nicht durch Brute- Force angreifbar? Betrachten Sie als Beispiel die Verschlüsselung eines kurzen Wortes (4 Buchstaben) mit dem One-Time Pad. Hinweis: Lösen Sie das Paradoxon. Eine Antwort wie Das One-Time Pad ist absolut sicher, deshalb funktioniert Brute Force nicht ist hier nicht gefragt! 2.2 Lösung Das OTP ist eine Erweiterung des Vernam-Chiffre. Es erzeugt ein komplett zufälliges Schlüsselwort gleicher Länge und lässt sich so nicht algorithmisch nachbauen. Also müssen bei einem Brute Force Angriff alle möglichen Kombinationen durchprobiert werden. Darunter ist sicherlich auch die richtige Lösung enthalten, allerdings auch alle anderen, so dass man sie nicht mehr eindeutig identifizieren kann. Beispiel 4 Buchstaben: Baum > Haus > Maus > DREI >... Alle Buchstaben sind statistisch gleichverteilt! 3

4 3 Aufgabe 3: OTP bei Buchstaben 3.1 Aufgabenstellung Entwickeln Sie ein One-Time-Pad Verfahren für die Verschlüsselung von Buchstaben A-Z. 1. Welche Anforderungen an den Schlüssel gibt es? 2. Wie lautet die Ver- und Entschlüsselungsfunktion? 3. Verschlüsseln Sie den Text THOMASMANN mit dem One-Time-Pad Schlüssel ZWEHKBKLQI. 3.2 Lösung 1.) jeder Schlüssel ist zufällig und unabhängig (keine rekursiven Algorithmen) es werden für jeden Plaintext 26 neue Schlüssel erzeugt guter Zufallsgenerator ist Vorraussetzung! 2.) Wir weisen genau wie bei den Substitutionschiffren aus Blatt 1 jedem Buchstaben eine Zahl zu A B C D E F G H I J K L M... Daraus ergeben sich die Funktionen: E k (x 1, x 2,..., x n ) = (x 1 + k 1, x 2 + k 2,..., x n + k n )mod26 D k (x 1, x 2,..., x n ) = (x 1 k 1, x 2 k 2,..., x n k n )mod26 4

5 Daraus ergibt sich: P = K = C Beispiel: B + D = E = 4 3.) Nun wenden wir die Verschlüsselungsfunktion auf den Plaintext an: THOMASMANN SZWEHKBKLQI P K = Lösung: S D S T K T W L D V 4 Aufgabe 4: bedingte Wahrscheinlichkeiten 4.1 Aufgabenstellung Betrachten Sie das folgende Kryptosystem: Es sei P = a, b die Menge aller Klartexte X mit Wahrscheinlichkeitsverteilung p(x = a) = 0.75 und p(x = b) = Es sei K = k1, k2, k3 die Menge aller Schlüssel K mit Wahrscheinlichkeitsverteilung p(k = k1) = p(k = k2) = 0.25 und p(k = k3) = 0.5. Es sei C = 1, 2, 3 die Menge aller Chiffrattexte Y. Die Verschlüsselungsfunktionen sind wie folgt definiert: Ek1(a) = 1, Ek1(b) = 2, Ek2(a) = 2, Ek2(b) = 3, Ek3(a) = 3, Ek3(b) = Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(y = 1 X = a), p(y = 1 X = b), p(y = 2 X = a), p(y = 2 X = b), p(y = 3 X = a), p(y = 3 X = b). 5

6 2. Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(y = 1 K = k1), p(y = 1 K = k2), p(y = 1 K = k3), p(y = 2 K = k1), p(y = 2 K = k2), p(y = 2 K = k3), p(y = 3 K = k1), p(y = 3 K = k2), p(y = 3 K = k3). 3. Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(x = a Y = 1), p(x = b Y = 1), p(x = a Y = 2), p(x = b Y = 2), p(x = a Y = 3), p(x = b Y = 3). 4. Wie groß ist die Entropie des Klartexts X, des Schlüssels K und des Chiffrattextes Y? Was ergibt sich mit dem Theorem von Folie 23 der Vorlesung für H(K C)? 5. Berechnen Sie die konditionale Entropie H(K C) mittels der Definition (Folie 21 der Vorlesung). 6

7 4.2 Lösung Im Verlauf des Studiums haben wir viele interessante Dinge gelernt. Statistik gehörte nicht dazu. Leider scheint sie aber in der Kryptographie sehr gefragt zu sein. Schaut man sich die Aufgaben was näher an, dann findet man heraus, dass es nicht viel mehr ist als Werte ablesen oder in Formeln einsetzen. Man muss nur wissen wie und wann. Als Hilfe hab ich die Aufgaben mit Zeichnungen, Grundformeln ergänzt. a) Klartext > X, Schlüssel > K und Chiffra > Y p(y = 1 X = a) = P (K = k 1 X = a) = P (k 1 ) = 0, 25 oder in Worten: für Chiffrat 1 und Klartext a gibt es nur einen Schlüssel, nämlich k 1 p(y = 1 X = b) = P (K = k 3 X = b) = P (k 3 ) = 0, 5 p(y = 2 X = a) = P (K = k 2 X = a) = P (k 2 ) = 0, 25 p(y = 2 X = b) = P (K = k 1 X = b) = P (k 1 ) = 0, 25 7

8 p(y = 3 X = a) = P (K = k 3 X = a) = P (k 3 ) = 0, 5 p(y = 3 X = b) = P (K = k 2 X = b) = P (k 2 ) = 0, 25 b) p(y = 1 K = k1) = P (X = a) = 0, 75 k 1 bildet den Klartext a auf das Chiffre 1 ab p(y = 1 K = k2) = 0 (es gibt keine entsprechende Abbildungsfunktion) p(y = 1 K = k3) = P (X = b) = 0, 25 p(y = 2 K = k1) = P (X = b) = 0, 25 p(y = 2 K = k2) = P (X = a) = 0, 75 p(y = 2 K = k3) = 0 p(y = 3 K = k1) = 0 p(y = 3 K = k2) = P (X = b) = 0, 25 p(y = 3 K = k3) = P (X = a) = 0, 75 c) Für c reicht die Zeichnung allein nicht mehr, nun müssen wir uns die Formel aus der Vorlesung zu Hilfe nehmen: P (X = a Y = 1) = P (X = a, Y = 1) P (Y = 1) Dazu berechnen wir jeweils: P (X = a Y = 1) und dann P (Y = 1) = P (X = a, Y = 1) = P (X = a, K = k 1 ) = P (X = a) P (K = k 1 ) oder mal in Klartext: wir gucken in der Zeichnung welche Pfeile beim Chiffrat Y = 1 ankommen und addieren jeweils die einzelnen Wahrscheinlichkeiten (W von Plaintext * W der Keywahl) > für die zweite Formel 8

9 P (X = a Y = 1) = P (X = a) P (K = k 1 ) P (X = a Y = 1) = 0, 75 0, 25 = 3 P (Y = 1) = P (X = a) P (K = k 1 ) + P (X = b) P (K = k 3 ) P (Y = 1) = 0, 75 0, , 25 0, 5 = 5 Ergebnis: P (X = a Y = 1) = 3 5 = 3 5 = 0, 6 P (X = b Y = 1) = P (X = b) P (K = k 3 ) P (X = b Y = 1) = 0, 25 0, 5 = 1 8 P (Y = 1) = P (X = a) P (K = k 1 ) + P (X = b) P (K = k 3 ) P (Y = 1) = 0, 75 0, , 25 0, 5 = 5 Ergebnis: P (X = b Y = 1) = = 2 5 = 0, 4 P (X = a Y = 2) = P (X = a) P (K = k 2 ) P (X = a Y = 2) = 0, 75 0, 25 = 3 P (Y = 2) = P (X = a) P (K = k 2 ) + P (X = b) P (K = k 1 ) P (Y = 2) = 0, 75 0, , 25 0, 25 = 1 4 9

10 Ergebnis: P (X = a Y = 2) = = 3 4 = 0, 75 P (X = b Y = 2) = P (X = b) P (K = k 1 ) P (X = b Y = 2) = 0, 25 0, 25 = 1 P (Y = 2) = P (X = a) P (K = k 2 ) + P (X = b) P (K = k 1 ) P (Y = 2) = 0, 75 0, , 25 0, 25 = Ergebnis: P (X = b Y = 2) = 1 4 = 1 3 = 0, 33 P (X = a Y = 3) = P (X = a) P (K = k 3 ) P (X = a Y = 3) = 0, 75 0, 5 = 3 8 P (Y = 3) = P (X = a) P (K = k 3 ) + P (X = b) P (K = k 2 ) P (Y = 3) = 0, 75 0, 5 + 0, 25 0, 25 = 7 Ergebnis: P (X = a Y = 3) = = 6 7 = 0, 86 P (X = b Y = 3) = P (X = b) P (K = k 2 ) P (X = b Y = 3) = 0, 25 0, 25 = 1 P (Y = 3) = P (X = a) P (K = k 3 ) + P (X = b) P (K = k 2 ) 10

11 P (Y = 3) = 0, 75 0, 5 + 0, 25 0, 25 = 7 Ergebnis: P (X = b Y = 3) = d) 1 7 = 1 7 = 0, 14 H(P ) = H(X) = x P (X = x) lg(p (X = x) für die Klartexte ergibt sich also: H(X) = P (X = a) lg(p (X = a) + ( )P (X = b) lg(p (X = b) H(X) = 0, 75 lg(0, 75) 0, 25 lg(0, 25) = 0, 81 analog ist die Berechnung für Schlüssel und Chiffre, nur die Variable x wird getauscht: H(Y ) = y P (Y = y) lg(p (Y = y) H(Y ) = 5 lg( 5 ) 4 lg( 5 ) 7 lg( 7 ) = 1, 55 H(K) = k P (K = k) lg(p (K = k) H(K) = 1 4 lg(1 4 ) 1 4 lg(1 4 ) 1 1 lg(1 1 ) = 1, 5 zum Schluss mit der Formel aus der angegebenen Folie: H(K C) = H(K) + H(P ) H(C) H(K C) = 1, 5 + 0, 81 1, 55 = 0, 76 e) kommt noch, nach 3 Stunden nur Wahrscheinlichkeiten konnte ich nicht mehr ;-) 11

12 5 Aufgabe 5: Entropien 5.1 Aufgabenstellung Berechnen Sie die Entropie von einem 8 Byte Schlüssel, der mit den folgenden drei Schlüsselerzeugungsprozessen generiert wird. Geben Sie für jeden Schlüsselerzeugungsprozess die Größe des Schlüsselsuchraumes an. Wie lange braucht jeweils ein Angreifer durchschnittlich für einen Brute-Force Angriff, wenn der Angreifer 10 6 Schlüssel pro Sekunde testen kann? (a) Zufällige Auswahl eines ASCII-Zeichens für jedes Schlüsselbyte. (b) Zufällige Auswahl eines Großbuchstabens A bis Z, Kleinbuchstabens a bis z, oder einer Ziffer 0 bis 9. (c) Zufällige Auswahl eines Grobuchstabens A bis Z. 5.2 Lösung a) Eine ASCII-Tabelle (wie wir sie auch schon vorher benutzt haben) enthält 128 Zeichen. Wir nehmen natürlich an, dass alle Zeichen gleichverteilt sind. Die Entropie fr ein Zeichen beträgt also lg(128) = 7 (Erinnerung: Entropie ist der mittlere Informationsgehalt eines Zeichens). Da jedes Zeichen gleichverteilt und somit unabhängig von den anderen ist ergibt sich bei einem 8 Bit Schlüssel: 8 * H(X) = 8 * 7 = 56. (Originalformel: H(X) = x P (X = x) lg(p (X = x), x P (X = x) ergibt hierbei allerdings immer 1 ). Da wir im Binärsystem arbeiten, ergeben sich so 2 56 mögliche Schlüssel. Eine sehr große Zahl. Der Angreifer kann 10 6 Schlüssel 12

13 / Sekunde testen, somit bräuchte er: = 3, s um alle Schlüssel s durchzuprobieren. Warum 2 55? Ganz einfach: statistisch gesehen hat der Angreifer nach der Hälfte der Schlüssel den Richtigen gefunden, sprich 256. Stellen wir die 21 Zahl mal was schmackhafter dar: Stunden Tage 1142 Jahre oder kurz gesagt: bis der Angreifer ihn raus hat...ist er tot! b) Hier haben wir = 62 Zeichen zur Auswahl. Die Entropie berechnen wir trivial zu a). H(X) = 8 * lg(62) = 48. Wir haben also 2 48 mögliche Schlüssel. Etwas weniger als davor, aber ein Angriff würde trotzdem s s oder 4,5 Jahre dauern. c) = Diesmal haben wir das Alphabet nur einmal und allein, sprich wir kriegen als Entropie: H(X) = 8 * lg(26) = 38. Für 2 37 mögliche Schlüssel braucht der Angreifer 38 Stunden oder knapp mehr als 1,5 Tage. 6 Aufgabe 6: Eindeutigkeitsdistanz 6.1 Aufgabenstellung Berechnen Sie die Eindeutigkeitsdistanz der englischen Sprache (Buchstaben: A-Z) für die folgenden Kryptosysteme. (a) Additive Chiffre. 13

14 (b) Vigenre-Chiffre mit einem l-zeichen langen Schlüsselwort. (c) AES mit einer Schlüssellänge von 128 Bit. 6.2 Lösung Formel für Eindeutigkeitsdistanz: n 0 lg K R L lg P Auf Folie 28 ist angegeben, dass für die englische Sprache, welche wir hier als Basis nehmen, die Redundanz R L = 0, 75 beträgt. Die restlichen Variablen leiten sich je nach Aufgabenstellung wie folgt ab: a) Für additive Chiffren werden 26 Schlüssel (quasi das ganze Alphabet) einmal sequentiell durchprobiert, bis der Klartext Sinn ergibt. K und P sind also gleich der Zeichenmöglichkeiten des Alphabets. n 0 lg 26 0, 75 lg 26 1, 33 nach einer Verschlüsselung von knapp über einem Zeichen ist der Schlüssel eindeutig. b) Bei Vigenere muss der Schlüssel nicht zwangsweise so lang sein wie der Plaintext, er wird dann einfach wiederholt bis der ganze Text chiffriert ist. P = 26, aber K = 26 a. 14

15 n 0 lg 26 a 0, 75 lg 26 a 1, 33 Anmerkung: 26 a wurde mathematisch geschickt gewählt, da der Logarithmus davon a als Faktor darstellt. c) Das AES hat eine Schlüssellänge von 128 Bit. Da wir uns wieder im Binärsystem befinden, sind K = Schlüssel möglich, P ist immer noch 26. n 0 lg , 75 lg 26 36, 1 15

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