Informatik II. Kodierung. Kodierung. Kodierung Kodierung. Rainer Schrader. 24. Oktober Ein Alphabet Σ ist eine endliche Menge.

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1 Informatik II Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 24. Oktober / 1 2 / 1 Ein Alphabet Σ ist eine endliche Menge. hat mehrere Bedeutungen: (das Erstellen von Programmcode) die Darstellung von Zeichen und Zahlen im Rechner die Transformierung von Zeichenketten einer Sprache in eine andere Beispiele: Σ 1 = {0, 1, }, Σ 2 = {A,..., Z }, Σ 3 = {0, 1} Σ 4 = {0,..., 9, A,..., Z, a,..., z, +,, /,?,!} 3 / 1 4 / 1

2 Sei Σ ein Alphabet und i N. (i) Σ i := {a 1 a 2... a i : a j Σ, 1 j i} ist die Menge der Wörter der Länge i über Σ. (ii) bezeichnet das leere Wort (iii) Σ := S 0 i< Σi ist die Menge der endlichen Wörter über Σ. übliche Alphabete: Σ = {0, 1} Σ = {0,..., 9, A,..., F } wir lassen im Folgenden auch allgemeinere Alphabete zu wir fassen die zu kodierenden Objekte in drei Gruppen zusammen: (iv) Sei M eine Menge, f : M Σ f von M. eine bijektive Abbildung. Dann heißt (i) Text (ii) ganze Zahlen mit oder ohne Vorzeichen (iii) reelle Zahlen 5 / 1 6 / 1 Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Fehlertoleranz Ein Bit (binary digit) ist die kleinstmögliche Informationseinheit die Informationsmenge der Antwort auf eine Frage, die zwei Antworten zulässt: ja oder nein wahr oder falsch schwarz oder weiß. 7 / 1 8 / 1

3 der Antwort durch einen Code mit zwei Zeichen 0 oder 1 in elektronischen Datenverarbeitungsanlagen 0 0 Volt 1 5 Volt auf Festplatten 0 unmagnetisiert 1 magnetisiert durch Folgen von Bits kann man offensichtlich mehr Antworten kodieren: Beispiele: 2 Bits: 00, 01, 10, 11 4 = 2 2 mögliche Bitfolgen/Antworten 3 Bits: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, = 2 3 mögliche Bitfolgen/Antworten n Bits: 2 n mögliche Bitfolgen/Antworten 9 / 1 10 / 1 Bezeichnungen von Bitfolgen fester Länge n: n = 1 Bit n = 4 Halbbyte n = 8 Byte n = 16 Halbwort Diese Begriffe n = 32 Wort werden nicht n = 64 Doppelwort einheitlich verwendet Eine Datei ist eine beliebig lange (aber endliche) Folge von Bytes, die Informationen repräsentiert wie Texte Zahlen Musikstücke Bilder Videos / 1 12 / 1

4 die Größe einer Datei ist die Anzahl ihrer Bytes üblicherweise enthalten Dateinamen eine Erweiterung, die festlegt, wie die Bytefolge zu interpretieren ist, z.b. name.txt, name.doc für unformatierten Text name.tex, für formatierten Text name.wav, name.mp3 für Musik name.tiff, name.jpeg für Bilder name.avi, name.mp4 für Videos in UNIX ist es üblich, den Typ der Datei in den ersten Inhaltsbytes zu kennzeichnen analog zu Gewichtsmaßen definieren wir 1 Kilobyte = 1024 = 2 10 Bytes 1 Megabyte = = 2 20 Bytes 1 Gigabyte = = 2 30 Bytes 1 Terabyte = = 2 40 Bytes 1 Petabyte = = 2 50 Bytes 1 Exabyte = = 2 60 Bytes Vorsicht: Hersteller verwenden oft Giga für 10 9 statt 2 30 dann enthält eine 500-Gigabyte-Festplatte tatsächlich nur 465 Gigabyte Speicherplatz [ ] 13 / 1 14 / 1 Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Fehlertoleranz Alphanumerische Codes der Zeichen der Tastatur über {0, 1}, d.h.: 52 Groß- und Kleinbuchstaben 10 Ziffern arithmetische Symbole, Sonderzeichen Steuerzeichen (Zeilenvorschub, Tabulator, Backspace, ) es reichen 7 Binärziffern (= 2 7 = 128 Möglichkeiten) 15 / 1 16 / 1

5 gebräuchliche Codes: ASCII: American Standard Code for Information Interchange z.b. Zeichen ASCII Zeichen ASCII A a B b Z z CR ? benutzt 7 Bits = 7 Binärzeichen üblicherweise durch eine führende Null zu 8 Bits ergänzt 7-Bit ASCII Code (American Standard Code for Information Interchange) Bits 3210/7654 P000 P001 P010 P011 P100 P101 P110 P NULL DC 0 P p 0001 SOM DC 1! 1 A Q a q 0010 EOA DC 2 2 B R b r 0011 EOM DC 3 # 3 C S c s 0100 EOT DC 4 $ 4 D T d t 0101 WRU ERR % 5 E U e u 0110 RU SYNC & 6 F V f v 0111 BELL LEM 7 G W g w 1000 FE S 0 ( 8 H X h x 1001 HT/SK S 1 ) 9 I Y i y 1010 LF S 2 * : J Z j z 1011 V/TAB S 3 + ; K [ k 1100 FF S 4, < L \ l ACK 1101 CR S 5 - = M ] m UC 1110 SO S 6. > N n ESC 1111 SI S 7 /? O o DEL 17 / 1 18 / 1 (2) für Erweiterungen die 2 7 = 128 ASCII-Zeichen entsprechen den Bytes für ASCII 0 bis für ASCII 127 damit ist das erste Bit immer 0 und kann zusätzlich genutzt werden: (1) Paritätsbit setze es stets so, dass das Byte immer eine ungerade Anzahl von Einsen enthält damit kann es zur Fehlererkennung benutzt werden verwende die Bytes bis für Sonderzeichen wie Umlaute, Akzente, griechische Buchstaben, andere Schriften, graphische Zeichen, die ISO (International Organization for Standardization) hat verschiedene ASCII-Erweiterungen normiert darunter die ASCII-Erweiterung Latin-1 für europäische Bedürfnisse und Dekodierung mittels verschiedener ASCII-Erweiterungen erzeugt Kuddelmuddel (Umlaute werden durch merkwürdige Zeichen ersetzt) UNIX ignoriert das erste Bit es gibt ein Programmpaar uuencode/uudecode zur Konvertierung in 7-Bit-ASCII und zurück. (Gewisse -Programme machen das automatisch.) 19 / 1 20 / 1

6 Unicode (universal character set) ein Standard, der versucht, das ASCII-Erweiterungschaos zu überwinden fasst die relevanten Zeichen der verschiedenen Kulturkreise im universellen 16-Bit-Code UCS-2 zusammen UCS-2 ist international standardisiert unter der Norm ISO ebenso wurde eine 31-Bit-Version (UCS-4) festgelegt UTF-8 eine kompakte, ist kompatibel mit der historischen 7-Bit-ASCII- trägt den UCS-Erweiterungen Rechnung: Norm ISO Anhang R UTF steht für UCS Transformation Format UTF-8 hat variable slängen 1 Byte für 7-Bit-ASCII-Zeichen 2 6 Bytes für andere Zeichen 21 / 1 22 / 1 UTF-8 Schema 1-Byte Codes haben die Form 0xxx xxxx für 7-Bit-ASCII. 2-Byte Codes haben die Form 110x xxxx, 10xx xxxx für 11-Bit UCS-2. 3-Byte Codes haben die Form 1110 xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx für 16-Bit UCS-2. 4-Byte Codes haben die Form xxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx für 21-Bit UCS-2. 5-Byte Codes haben die Form xx, 10xx xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx für 26-Bit UCS-2. 6-Byte Codes haben die Form x, 10xx xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx, 10xx xxxx für 31-Bit UCS-2 weitere Codes: (vorwiegend auf Großrechnern) BCD EBCDIC ANSI d.h. für 7-Bit-ASCII erhöht sich die Dateilänge nicht erlaubt, bei einem Übertragungsfehler leicht wieder aufzusetzen. 23 / 1 24 / 1

7 von Zeichenketten Zeichenketten (strings) werden kodiert, indem man die Codes der Zeichen aneinander fügt z.b. (7-Bit-ASCII mit Paritätsbit) für INFORMATIK II : Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen natürliche Zahlen (inkl.der Null) ganze Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Fehlertoleranz 25 / 1 26 / 1 sei b > 1 eine natürliche Zahl (Basis) und z 0, z 1,..., z b 1 b Zahlzeichen (Ziffern) die Zahlzeichen entsprechen den natürlichen Zahlen: z 0 0, z 1 1, z 2 2,... z b 1 b 1. Darstellung natürlicher Zahlen: Satz [b-adische Darstellung] Sei b N mit b 2. (i) Jede natürliche Zahl a > 0 lässt sich eindeutig darstellen in der Form rx a = a k b k mit a k {0,..., b 1}, a r 0 k =0 (ii) Jede natürliche Zahl a kann so mit O(log b a) Ziffern kodiert werden. Satz [b-adische Darstellung] Sei b N mit b 2. (i) Jede natürliche Zahl a > 0 lässt sich eindeutig darstellen in der Form a = rx a k b k mit a k {0,..., b 1}, a r 0 k =0 (ii) Jede natürliche Zahl a kann so mit O(log b a) Ziffern kodiert werden. Beweis: (i) Existenz: Setze a k = a b k mod b, denn rechnet man leicht nach, dass: a = rx a k b k. k =0 27 / 1 28 / 1

8 (ii) Eindeutigkeit: angenommen a habe zwei Darstellungen d.h. nach eventuellem Auffüllen mit 0-Koeffizienten gilt: a = rx a k b k = k =0 rx a k bk mit a k, a k {0,..., b 1}. k =0 somit: P r k =0 (a k a k )bk = 0 mit b < a k a k < b und: da a N, folgt a 0 a 0 b a 0 a 0 b N + rx k =1 (a k a k 1 )bk {z } a = 0 da b < a 0 a 0 < b, folgt a 0 a 0 = 0 Anwendung des Arguments auf a ergibt a k = a k (k = 0,..., r ) Beispiele für Zahlensysteme Historisch: Zahlensystem Basis b Ziffern Dezimalsystem 10 0, 1, 2,..., 9 Dualsystem 2 0, 1 Oktalsystem 8 0, 1, 2,..., 7 Hexadezimalsystem 16 0, 1, 2,..., 9, A,..., F b = 12 ( Dutzend, Gros ) b = 20 ( quatre-vingt ) b = 60 (Zeitrechnung, Schock) 29 / 1 30 / 1 Beispiele: = = = B5 16 = = = Sprechweise: (a r,..., a 0 ) b ist die Darstellung der Zahl P a k b k zur Basis b. Beispiel angewandt auf a = Korollar und b = 10 liefert das des obigen Verfahrens: a 0 = a mod 10 = 4 1 a 1 = a = (5013) mod 10 = Insbesondere lässt sich jede natürliche Zahl n eindeutig in der Form n = rx z i 2 i mit z i Σ 2 = {0, 1} darstellen. 31 / 1 32 / 1

9 Beispiel: binäre Darstellung von n n 2 n mod Konvertierungsregeln Wie lassen sich natürliche Zahlen vom b-adischen System in das Dezimalsystem umrechnen und umgekehrt? dezimal b-adisch: a P a k b k j a k a k = b k mod b b-adisch dezimal: (a r, a r 1,..., a 0 ) b a: a = rx a i b i eventuell unter Verwendung des Hornerschemas: a = a 0 + b(a 1 + b(a b(a r 1 + ba r ))...) d.h = ( ) 2 33 / 1 34 / 1 Umwandlungen zwischen Zahlensystemen: z.b.: ? 16 also = 1B : 16 = 27 Rest 5 27 : 16 = 1 Rest 11 1 : 16 = 0 Rest 1 besonders einfach: dual hexadezimal E 6 B 5 Arithmetische Operationen ähnlich wie im Dezimalsystem z.b. Addition im Binärsystem dezimal binär / 1 36 / 1

10 Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen natürliche Zahlen (inkl. der Null ganze Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Fehlertoleranz teile auf in Vorzeichen und Betrag erstes Bit für das Vorzeichen, restliche Bits wie gehabt: 0 für + 1 für z.b.: (8 Bit Wörter) 5 : : darstellbarer Bereich bei Wortlänge n: n = 8 : [ 127, +127] allgemein: [ 2 n 1 + 1, 2 n 1 1] 37 / 1 38 / 1 Nachteile es gibt keine eindeutige Null (+0, 0) das Rechenwerk braucht ein Addierwerk und ein Subtrahierwerk, sowie eine Logik, die entscheidet, ob addiert oder subtrahiert werden muss z.b. Addition zweier Zahlen x und y in dieser Darstellung: Vorzeichen Vorzeichen Operation auf Vorzeichen des von x von y den Beträgen Ergebnisses + + Add x + y + Add x + y + x y Subtr x y + x < y Subtr y x + x y Subtr x y x < y Subtr y x + Abhilfe: Rückführung der Subtraktion auf die Addition Komplementdarstellungen Idee: für z > 0 Darstellung von z durch z = C z für geeignetes C dann gilt: x y = x + (C y ) C = x + y C d.h. Subtraktion durch Addition des Komplements und anschließender Subtraktion von C (und die muss einfach sein!) 39 / 1 40 / 1

11 (b 1)-Komplement sei b die Basis, n die Wortlänge wähle C = b n 1 Komplementbildung von x = P n 1 x i b i : x = C x = (b n 1) x i b i = b i+1 b i = ((b 1) x i )b i x i b i Beispiele: (4 Stellen) Dezimalsystem: 4711 = 5288 Null: 0000, 9999 Dualsystem 0101 = 1010 (erstes Bit: Vorzeichen) Null: 0000, 1111 Zahlenbereich: [ (b n 1 1), (b n 1 1)] d.h. Komplementbildung durch stellenweises Komplementieren 41 / 1 42 / 1 (b 1)-Komplement: Veranschaulichung am Zahlenring 7=1000 7=0111 6=1001 6=0110 5=1010 5=0101 4=1011 4=0100 3=1100 3=0011 2=1101 2=0010 (b 1)-Komplement: Subtraktion von C sei z = x y = x + y C Fall 1: x > y ( z > 0) x + y = x + (C y ) = x + (b n 1 y ) n = x y 1 + b {z } 0<z<b n b n x + y < 2b n 1=1110 0=1111 0=0000 1=0001 d.h. Überlauf von 1 in die nicht existierende (n + 1)-te Stelle ignorieren des Überlaufs entspricht Subtraktion von b n ignorieren und Addition von 1 entspricht Subtraktion von C = b n 1 43 / 1 44 / 1

12 (b 1)-Komplement: Beispiele Dezimalsystem (n = 2) Dualsystem (n = 5) Einserrücklauf (b= 00111) (b 1)-Komplement: Beispiele Dualsystem (n = 5) die negative Null stört nicht / 1 46 / 1 b-komplement (b 1)-Komplement: Subtraktion von C Fall 2: x y ( z 0) z ist in Komplementdarstellung erwünscht: C z z = z = x + y C x + y = C z C = b n 1 richtige Darstellung: kein Überlauf, kein Einserrücklauf Beispiel: = = sei b die Basis, n die Wortlänge und C = b n Komplementbildung von x = P n 1 x i b i : x = C x = b n x i b i = (b n 1) x i b i + 1 = = b i+1 b i ((b 1) x i )b i + 1 x i b i / 1 d.h. Stellenkomplement bilden, Eins aufaddieren (kaum schwieriger) nur eine Null Zahlenbereich: [ b n 1, (b n 1 1)] 48 / 1

13 b-komplement: Veranschaulichung am Zahlenring 6=1010 7=1001 8=1000 7=0111 6=0110 Beispiel: 4 Stellen Dezimalsystem 4711 = 5289 Dualsystem 0101 = 1011 (erstes Bit: Vorzeichen) 5=1011 4=1100 5=0101 4=0100 3=1101 3=0011 2=1110 2=0010 1=1111 1=0001 0= / 1 50 / 1 b-komplement: Subtraktion von C einfach: C = b n, d.h. Überlauf in (n + 1)-ter Stelle ignorieren (kein Einserrücklauf) Beispiele: Dezimalsystem (n = 2) Dualsystem (n = 5) Überschreiten des zulässigen Zahlenbereichs z.b. b-komplement, n = b= b= (= 00010) Übungsaufgabe: Analysieren Sie alle Fälle, in denen arithmetische Überläufe auftreten können, und schlagen Sie vor, wie man solche entdecken kann 51 / 1 52 / 1

14 Exkurs: Blaise Pascal ( ) Pascaline (1645) eigentlich konnte die Maschine nur addieren Subtraktion wurde mit Hilfe des Neunerkomplements realisiert 53 / 1 54 / 1 Multiplikation x y im b-komplement x > 0, y > 0, z.b.: (n = 10) Multiplikation x y im b-komplement x > 0, y < 0, Darstellung des Ergebnisses im b-komplement 13 * * x y = b n x y = b n b n x + x (b n y ) = b n b n x + x y = x y b n (x 1) d.h. ignoriere die oberen n Stellen 55 / 1 56 / 1

15 Multiplikation x y im b-komplement x > 0, y < 0: x y = x y b n (x 1) Multiplikation x y im b-komplement x < 0, y < 0: Ergebnis x y = (2 n x) (2 n y ) } } n Stellen n Stellen = 2 2n 2 n x 2 n y + x y = 2 n (2 n x y ) +x y {z } 2 n ignorieren z.b. b = 2 und n = 5: 3 ( 2) = * = / 1 z.b. (n = 5): ( 3) ( 2) = * = 6 58 / 1 ganzzahlige Division x/y (x > 0, y > 0) z.b.: 425 / 18 = 23 Rest 11 Excess-2 n 1 -Darstellung : = ganzzahliger Quotient Rest negative Operanden Umweg über positive Divisor = 0 Fehlermeldung ZERO DIVIDE repräsentiere x als x + 2 n 1 z.b. n = 8: Excess : = 125 = Zahlenbereich: [ 128, 127] [0, 255] wie 2-Komplement, linkes Bit anders herum Vergleiche x y leichter auch: Excess-A-Darstellung für A 2 n 1 z.b. A = 2 n / 1 60 / 1

16 Excess-2 3 -Darstellung am Zahlenring 3=1011 4=1100 2=1010 1=1001 0=1000 1=0111 2=0110 3=0101 4=0100 5=0011 Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Festkommazahlen 5=1101 6=1110 7=1111 8=0000 7=0001 6=0010 Gleitkommazahlen Fehlertoleranz 61 / 1 62 / 1 vom Dezimalsystem ins Dualsystem: Darstellung reeller Zahlen Sei b N mit b 2 und a R. Dann ist Beispiel a = ± rx k = vom Dualsystem ins Dezimalsystem: a k b k, a k {0,..., b 1}, a r 0. ( ) 2 = = = ( ) 10 = = (10011) Der Rest-Bruch wird nun solange umgerechnet, bis er verschwindet. (Ausnahme: periodische Zahlen, s.u.) = = = = = = = = = ( ) 10 = ( ) 2 63 / 1 64 / 1

17 Der obige Umwandlungsalgorithmus terminiert nicht in jedem Fall: Beispiel: (0.1) 3 = (0.33 ) 10 (0.24) 10 = ( ) 2 als Übungsaufgabe reelle Zahlen werden im Rechner etwas anders dargestellt: gedachtes Komma irgendwo an fester Stelle integer: ganz rechts oder z.b. bei Geld 2-te Stelle von rechts: x 5 x 4 x 3 x 2 {z x 1 x 0 x 1 x 2 } {z } n=6 Stellen m=2 Nachkommastellen Wert: P n 1 i= m x i 2 i 65 / 1 66 / 1 Umrechnung z.b.: =? 2 : 6 : 2 = 3 R 0 3 : 2 = 1 R 1 1 : 2 = 0 R 1 x?? y = = = 1.0 Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Ergebnis: = Nachteil: Signifikante Nachkommastellen gehen verloren; z.b. m = 2, (abgerundet) Abhilfe: Gleitkommazahlen Festkommazahlen Gleitkommazahlen Fehlertoleranz 67 / 1 68 / 1

18 Idee: Speicherung der Zahl und der Position des Kommas dezimal: = = allgemein: x = m b e m Mantisse, b Basis, e Exponent; Abspeicherung als (±m, ±e) keine eindeutige Darstellung, z.b. (dezimal) 3.14 = = ( ) =... Formal: Eine Gleitkommazahl der Form ±m 2 ±e heißt normalisiert, falls 1 m < 1. b Beispiele für b = 2: Zahlen werden stets normalisiert dargestellt ( ) normalisierte Darstellung: Komma vor Mantisse, erste Nachkommaziffer 0 69 / 1 70 / 1 Addition / Subtraktion Angleichung des Exponenten: Denormalisieren des Operanden mit dem kleineren Exponenten x = m x 2 e x y = m y 2 e y e x = e y : x ± y = (m x ± m y ) 2 e x e x < e y : x ± y = (m x 2 e x e y ± m y ) 2 e y e x > e y : x ± y = (m x ± m y 2 e y e x ) 2 e x anschließend wieder normalisieren Beispiel: x = y = z = x + y = = y + z = = = (x + y ) + z = = = x + (y + z) = = = / 1 Das Assoziativgesetz gilt nicht! 72 / 1

19 Multiplikation / Division Zahlenbereich x y = (m x m y ) 2 e x +e y x : y = (m x : m y ) 2 e x e y z > 0 : z ( ) z < 0 : ( ) z Eine Darstellung im Rechner (n = 32) negativer underflow darstellbare neg. Zahlen mit Lücken negativer underflow positiver underflow darstellbare positive Zahlen mit Lücken positiver overflow 1 Bit 8 Bits 23 Bits Exponent Mantisse Vorzeichen 2 Komplement Darstel der Mantisse lung des Exponenten z.b.: ( ) ( ) Probleme: Loch um den Nullpunkt, keine Null das linkeste Bit der Mantisse ist immer 1 (b = 2). überflüssig zu speichern! = = / 1 74 / 1 bis ca. 1980: jeder Computerhersteller hat eigenes Gleitkommaformat seit 1979: IEEE-Komitee (Institute of Electrical and Electronic Engineers) 1985: IEEE Standard 754, bis heute allgemein akzeptiert IEEE Standard 754 single precision (32 Bits) 1. Vorzeichen der Mantisse 1 Bit 8 Bits 23 Bits Exponent double precision (64 Bits) 2. 1 Bit 11 Bits Exponent Mantisse 52 Bits Mantisse IEEE Standard 754 Exponenten Excess-127, Bereich [ 126, +127] Excess-1023, Bereich [ 1022, +1023] kleinste normalisierte Zahl: sp: dp: größte normalisierte Zahl: sp: dp: Vorzeichen der Mantisse extended precision (80 Bits) (interner Gebrauch zur Reduzierung von Rundungsfehlern) 75 / 1 76 / 1

20 Gliederung Bits, Bytes, Dateien Darstellung von Texten Darstellung ganzer Zahlen Darstellung von Dezimalzahlen Fehlertoleranz bisher: als Darstellung von Zeichen im Rechner allgemeiner ist die Übertragung von einer Sprache in eine andere d.h. Folgen von Zeichen eines Alphabets werden in Zeichenfolgen eines anderen Alphabets übertragen bei der Wahl der können die folgenden Aspekte eine Rolle spielen: Eindeutigkeit der Nachricht Kürze der Nachricht effiziente Durchführung der Operationen Fehlertoleranz bei Rauschen (Einzelne Bits sind falsch gesetzt.) Verschlüsselung (Kryptographie) 77 / 1 78 / 1 in der Übermittlung von Daten können Fehler auftreten Magnetspeicher können ausfallen elektronische Speicherstellen können (mit geringer Wahrscheinlichkeit) ihre Informationen verlieren oder verfälschen prinzipiell werden dabei zwei Fehlerquellen unterschieden: hard errors: Die Zelle ist physikalisch beschädigt sie liefert immer denselben Wert zurück: (stuck at zero/one) soft errors: Die Information ist verloren, nach neuem Beschreiben aber vorhanden dynamische Speicher benutzen kleine Kondensatoren Ladung b= Zustand 1 Ladung kann absinken Fehlererkennung Verwendung von parity bits ein Speicher der Länge n nimmt nur Dualzahlen d n 2 d n 3... d 0 Länge n 1 auf das Bit d n 1 wird wie folgt gesetzt: j P 0, falls n 2 d n 1 = d i ungerade 1, sonst dann muss P n 1 d i stets ungerade sein andernfalls ist ein Fehler aufgetreten entsprechend kann man etwa einer Folge d 1,... d n 1 Vektoren einen parity-vektor d hinzufügen, so dass d j die Parität der Summen P n 1 i=1 d j i kontrolliert. der 79 / 1 80 / 1

21 Fehlerbehebung sei c : M {0, 1} n eine in Blöcke der Länge n für a, b {0, 1} n sei d (a, b) = {i : a i b i } der Hammingabstand von a, b sei h(c) = min{d (a, b) : a, b c(m)} der Minimalabstand von c. Beispiel: sei c(m) = 00000, 10011, 01010, 11001, 00101, 10110, 01111, dann ist h(c) = 2 wird z.b empfangen und ist maximal ein Bit gekippt, so wurde oder gesendet. Lemma (Hammingcodes) (i) In einem Blockcode c der Länge n können k gleichzeitig auftretende Fehler erkannt werden, wenn h(c) k + 1 ist. (ii) Ist h(c) 2k + 1, so können sie auch korrigiert werden. Beweis: (i) ist h(c) k + 1, so kann ein Wort nicht durch k falsche Bits in ein anderes überführt werden (ii) Ist h(c) 2k + 1, so unterscheidet sich das empfangene Wort vom gesendeten in k bits, das empfangene Wort unterscheidet sich von jedem anderen in mindestens 2k + 1 k > k Bits. Anwendungen u.a. in RAID-Systemen. 81 / 1 82 / 1

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