Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

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1 Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit verbreitet Verfahren, deren Sicherheit hauptsächlich auf der Schwerigkeit große Zahlen zu faktorisieren beruht Ein solche Verfahren ist das RSA-Verfahren 11 Das RSA-Verfahren Das RSA-Verfahren ist ein Beispiel für Verschlüsselungsverfahren, die auch als Pulic-Key-Verschlüsslungen bekannt sind Die Public-Key-Verschlüsslungen sind entwickelt um das bei normalen Verschlüsslungen vorkommende Bedarf einen kryptographische Schlüssel für jedes kommunizierende Paar zu haben umzugehen Bei der Public-Key-Verschlüsselungen, stellt ein Benutzer, sagen wir A, einen öffentliche Schlüssel zur Verfügung Mit diese kann jeder, der ein Nachricht an A schicken möchte, diese Nachricht verschlüsseln aber es bleibt immer noch nur für A die Möglichkeit diese Nachricht zu entschlüsseln Mit dem RSA-Verfahren wird dies wie folgt realisiert 111 Herstellung eines öffentlichen Schlüssels Der Benutzer, der wir oben A genannt haben, wählt zwei große Primzahlen p und q aus Danach berechnet er n = p q und wählt zusätzlich einen Zahl e aus mit folgende Eigenschaften 1 e ϕ(n) = (p 1)(q 1) und e ist teilerfremd zu ϕ(n) Hier ist natürlich ϕ(n) die bekannte Eulerfunktion Das Paar (n, e) bilden zusammen der öffentliche Schlüssel 1

2 112 Verschlüsselung Jetzt kann jeder, der eine Nachricht an A schicken möchte, diese Nachricht durch den folgende Funktion verschlüsseln 113 Entschlüsselung f A : Z/nZ Z/nZ x x e mod n A kann jetzt die verschlüsselte Nachrichten, die er bekommt, entschlüsseln, indem er d berechnet, so dass ed 1 mod ϕ(n) Dieses ist einfach durch die erweiterte euklidische Algorithmus zu finden Mit diese d, ist A auch in Besitz der inversen Funktion zu f A f 1 A : Z/nZ Z/nZ x x d mod n Dass diese Funktion tatsächlich die inverse Funktion zu f A ist, folgt aus dem kleinen Satz von Fermat Welche sagt, dass: und x ed = x x aϕ(n) x mod p x ed = x x aϕ(n) x mod q Nach der chinesischen Restsatz folgt jetzt, dass x ed x mod n Der Schlüssel zu diesem Verfahren ist, wie wir sehen, dass nur A Zugang zu d hat und dies ist auch der Fall, denn nur A kennt den Wert von ϕ(n) = (p 1)(q 1), da nur er den wert von p und q kennt Aber wir sehen auch, dass falls wir p und q aus n berechnen können, würden auch wir die Nachrichten lesen können Wie können wir jetzt einen gegebene Zahl n effizient faktorisieren? Das einfachste und was auch zuerst auf der Hand liegt, wäre einfach alle natürliche Zahlen durchzugehen und zu probieren, ob 2 n, 3 n, usw Wir sehen das spätestens bei n ein Teiler von n gefunden wird Das bedeutet aber, dass wenn wir kein Glück haben, wir 2

3 vielleicht n Berechnungen durchführen müssen und für ein Zahl n in der Größe von , bedeutet dies ungefähr Berechnungen, was selbstverständlich viel zu viel ist Wir werden jetzt zwei verschiedene Verfahren sehen, die beide auf eine ähnlichen Prinzip aufbaut und in der Lage sind einen Zahl n in der Laufzeit von O(log n) zu faktorisieren Zu bemerken ist aber, dass beide Algorithmen nicht deterministisch sind, dh sie werden nicht immer eine Faktorisierung von n finden können oder auf jedem Fall nicht innerhalb der gewünschten Laufzeit Aber bevor wir uns mit den Algorithmen beschäftigen eine kurze Definition Definition 11 Eine natürliches Zahl n N heißt B-glatt, falls alle Primteiler von n kleiner gleich B sind 3

4 2 Das Pollard-(p 1)-Verfahren Algorithm 1: Pollard-(p 1)-Algorithmus 1 Wähle ein natürliches Zahl a mit 2 a n und ggt(a, n) = 1 2 Bestimme ein B und eine B-glattes Zahl k ZB 3 Berechne d = ggt (a k 1, n) 4 k = kgv [2, 3,, B] Falls 1 < d < n haben wir einen echten Teiler von n gefunden Falls d = 1 2 und wähle eine neues B Falls d = n 1 und wähle ein neues a 21 Wann Pollards (p 1)-Verfahren funktioniert! Sei n = p q und wir haben Glück im Schritt 2 vom Algorithmus, so dass wir einen k findet mit k (p 1) Dann gilt nach dem kleinen Satz von Fermat a p 1 1 mod p a p mod p p a p 1 1 ggt (a p 1, n) p Zu bemerken ist auch, dass falls wir immer wieder B im 2 Schritt größer werden lassen, irgendwann B = 1 (p 1) gelten, und wir finden ein k, das 2 von p geteilt wird Würde es aber so lange dauern, ist die Algorithmus nicht mehr sinnvoll und dies ist der Schwäche von Pollards Algorithmus: dass es nur effizient ist, wenn für einen echten Teiler p von n, p 1 eine B-glatte Zahl zu relativ kleinem B ist Als Alternative zu des im 2 Schritt gegebenen Art k = kgv [2,, B] zu berechnen, kann man auch k wie folgt berechnen 4

5 Hier ist P B die Menge alle Primzahlen kleiner gleich B k = p P B p logp(n) Diese Art k zu bestimmen ist natürlich viel aufwändiger aber so vermeidet man das Problem, das entstehen kann, wenn p 1 einen Primzahlzerlegung hat mit kleine Primzahlen in großen bzw sehr großen Potenzen Behauptung 21 Die Pollard (p 1)-Algorithmus hat einen Laufzeit von O(log(n)) Beweis Das Algorithmus von Pollard hat keine Schleifen, daher müssen wir uns nur mit der Laufzeit jedes einzelnes Schritts beschäftigen Und wir führen das Beweis der Aussage zurück auf die zwei folgenden Lemmata, welche besagen, dass der ggt (a, b) und a b beide in der Laufzeit von O(log(b)) berechnet werden können Lemma 22 Sei a, b N und a > b so kann der ggt (a, b) durch der euklidischen Algorithmus in einer Laufzeit von O(log(b)) berechnet werden Beweis Das euklidische Algorithmus baut auf dem Prinzip auf, dass jeder Teiler von a, b auch den Rest von a/b teilt und so produziert es auch die Zahlen q i, r i N,wie in der Tabelle unten a =b q 0 + r 0 0 r 0 < b b =r 0 q 1 + r 1 0 r 1 < r 0 r i 1 =r i q i+1 + r i+1 0 r i+1 < r i Das Algorithmus hört sofort auf, falls r i+1 = 0 gilt Jetzt wollen wir zuerst zeigen, dass r i r i 1 gilt Sei r i 1 2 r i 1 so ist unsere Aussage fertig nach der strengen Monotonie der r i Wir nehmen also an r i > 1 2 r i 1 Dann gilt ( ) r i 1 = r i q i+1 + r i+1 mit 0 r i+1 < r i 5

6 mit der Annahme r i > 1 2 r i 1 folgt r i+1 = r i 1 r i q i+1 < r i 1 (1 1 2 q i+1) Weil q i+1 0, da q i+1 = 0 würde zu r i+1 = r i 1 folgen, was der strengen Monotonie der r i widerspricht Damit folgt q i+1 1 und damit auch unsere Behauptung Nach ( ) und der Tatsache, dass r 0 < b folgt dann, r 2 < 1 2 b, r 6 < 1 2 r 2 < 1 4 b,, r 2i < 1 2 i b Da r 2i N, gilt dann, r 2i = 0 i, so dass 2 i > b Diese ist äquivalent dazu, dass i > log 2 (b) und damit haben wir gezeigt, dass das euklidische Algorithmus in einer Laufzeit von O(log(b)) arbeitet Lemma 23 Sei a, b N so ist es möglich, durch die Benutzung eines binäre Expansionsschemas, a b in einer Laufzeit von O(log(b)) zu berechnen Beweis Da b N, existiert es eine 2-adische Entwicklung von b, das heißt, b i {0, 1}, so dass b = log 2 b i=0 b i 2 i Weiter können wir einen Tabelle wie folgt berechnen dann folgt, dass: A 0 = a A 1 = A 2 0 = a 2 A 2 = A 2 1 = a 4 A i = A 2 i 1 = a 2i a b = log 2 (b) i=0 (1) A b i i (2) Es ist klar, dass wir nur log 2 (b) Operationen brauchen um die Tabelle (1) sowie das Produkt (2) zu berechnen Damit haben wir auch gezeigt, dass es möglich ist a b in einer Laufzeit von O(logb) zu berechnen und, dass dieses auch die Laufzeit von Pollards (p 1)-Algorithmus ist 6

7 Algorithm 2: Lenstras Algorithmus Input: Ein natürlich Zahl n nicht Prim 1 Teste ggt (n, 6) = 1 2 Wähle natürliche Zahlen b, x, y {1,, n} 3 Berechne c = y 2 x 3 x (mod n), und lass C die folgende definierte Kurve sein C : y 2 = x 3 + bx + c, und P = (x, y) C 4Teste ob ggt (4b c 2, n) = 1, falls es ist gleich n wähle ein neues b 5 Bestimme ein B und eine B-glattes Zahl k ZB k = kgv [2, 3,, B] 6 Berechne 7 Berechne kp = ( ak, b ) k d 2 k d 3 k d = ggt (d k, n) 211 Wann das Algorithmus von Lenstra funktioniert Der Gedanke hinter dem Algorithmus von Lenstra ist, dass wir einen elliptische Kurve C und natürliches Zahl k finden, so dass #C(F p ) k teilt Wenn das der Fall ist, so teilt auch die Ordnung Ord(P ) von jedes Element P C k Insbesondere so gilt für jedes Element P C(Q) wenn wir es modulo p reduzieren, kp = k P = Õ Dass heißt, p muss d k aus dem 6 Schritt teilen Ferner müssen wir so, es sei denn wir haben großes Pech und auch n teilt d k, einen Teiler von n gefunden haben 7

8 22 Implementierung von Lenstras Algorithmus Die Darstellung des Algorithmus von oben ist, so gewählt um die theoretischen Gedanken hinter dem Algorithmus klar zu machen Beim praktischen Implementierung müssen natürlich viele andere Aspekte im Betracht gezogen werden Wir wollen hier uns kurz im 6 Schritt vertiefen Wie wird kp berechnet Mit einer ganz kleinen Veränderung vom binären Expansionsschema, welches wir benutzt haben um a b zu berechnen, können wir auch kp in der der Zeit von O(logk) berechnen und nicht als der k-fache Summe von P Ferner wollen wir auch nicht die Koordinaten von P bzw kp als rationale Zahlen darstellen, da diese Darstellung mit dem Quadrat von k wächst und schon für mittelgroßes k ist das nicht mehr möglich (für einen Rechner) zu hantieren Sondern wir wollen die Koordinaten von P bzw kp als ganze Zahlen modulo n darstellenerung vom binären Expansionsschema, welches wir benutzt haben um a b zu berechnen, können wir auch kp in der der Zeit von O(logk) berechnen und nicht als der k-fache Summe von P Ferner wollen wir auch nicht die Koordinaten von P bzw kp als rationale Zahlen darstellen, da diese Darstellung mit dem Quadrat von k wächst und schon für mittelgroßes k ist das nicht mehr möglich (für einen Rechner) zu hantieren Sondern wir wollen die Koordinaten von P bzw kp als ganze Zahlen modulo n darstellen Betrachten wir nun die Addition zweier Punkte P 1 P 2 C(K)Sagen unsere Regeln fürs Addieren, dass wir P 3 = P 1 + P 2 wie folgt finden, P i = (x i, y i ) falls P 1 P 2 und, x 3 = λ 2 x 1 x 2 und y 3 = λx 3 (y 1 λx 1 ) mit λ = y 2 y 1 x 2 x 1 x 3 = λ 2 2x 1 und y 3 = λ(x 3 x 1 ) y 1 mit λ = 3x2 1 + b 2y 1 Da Z/nZ kein Körper ist, kriegen wir Problem λ zu berechnen, denn x 2 x 1 muss ja kein inverse in Z/nZ haben Wir betrachten den Fall P 1 P 2 (für P 1 = P 2 gilt ähnliches) und hier gilt für d = ggt (x 2 x 1, n) 1 Falls d = 1 können wir ein Inverse zu x 2 x 1 finden und wir können weiter rechnen 8

9 2 Falls 1 < d < n können wir kein Inverse zu x 2 x 1 finden aber das macht nicht, da wir einen echten Teiler von n gefunden haben 3 Falls d = n haben wir richtig Pech gehabt und wir müssen zurück zu Schritt 2 und entweder einen neuen Punkt auf der Kurve oder eine neue Kurve wählen Dieses ist auch der springende Punkt des Algorithmus, denn das Algorithmus ist genau dann erfolgreich, falls die Addition zusammenbricht, es sei denn, wir haben den dritten Fall erwischt Mit anderen Worte heißt das, dass der 7 Schritt niemals in der Praxis ausgeführt wird, sondern falls wir tatsächlich kp berechnen können, müssen wir das Algorithmus noch mal durchlaufen lassen, dieses Mal entweder mit neuer Kurve C, Punkt P oder Wert von k 23 Die Vorteile Lenstras Algorithmus gegenüber Pollards Wie wir Oben gesehen haben Funktioniert das Algorithmus von Pollard nur dann wenn für mindestens einen Teiler p von n, p 1 von schöner Form ist, dh B-glatt zu relativ kleinen B und mit kleinen Potenzen Ist dies nichts der Fall, so gibt es nicht mehr was wir tun können In Lenstras Algorithmus übernimmt aber #C(F p ) für irgend eine elliptische Kurve C die Rolle von (p 1) über Nach dem Satz von Hasse wissen wir dass, #C(F p ) = p e p wobei e p p Es gilt auch, dass die #C(F p ) für verschiedene C relativ gleich verteilt auf das ganze Intervall [p + 1 p, p p] sind Daher ist die Wahrscheinlichkeit recht hoch, dass wir schnell eine Kurve C finden mit #C(F p ) von schöner Form 9

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