MATHEMATIK GRUNDWISSEN 5. KLASSE LESSING GYMNASIUM

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1 MATHEMATIK GRUNDWISSEN 5. KLASSE LESSING GYMNASIUM NEU-ULM

2 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 2/17

3 I. ZAHLEN 1. Natürliche und ganze Zahlen 1.1 Zahlenmengen Natürliche Zahlen N = { 1, 2, 3, 4,...} Natürliche Zahlen mit der Null = {0, 1, 2, 3, 4,...} N 0 Ganze Zahlen Z = {... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Primzahlen Das sind natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben. z.b.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Wenn eine Zahl a zu einer Menge M gehört, schreibt man: a M, z.b. 4 N Wenn eine Zahl a nicht zu einer Menge M gehört, schreibt man: a M, z.b. -3 N 1.2 Wichtige Stufenzahlen und Zehnerpotenzen 1T (Tausend) = = = 10³ (3 Endnullen) 1M (Million) = = 10 6 (6 Endnullen) 1 Md (Milliarde) = = 10 9 (9 Endnullen) 1 B (Billion) = = (12 Endnullen) 1.3 Betrag einer Zahl Der Abstand einer Zahl a von der Null heißt Betrag der Zahl a, kurz a. z.b. +7 = 7 = 7 2 = 2 = +2 Es gilt immer: a > Anordnung der ganzen Zahlen < 7 4 < 3 Die kleinere Zahl steht auf der Zahlengeraden weiter links. 8 < 2 8 > +7 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 3/17

4 2. Rechnen mit ganzen Zahlen 2.1 Addition und Subtraktion Addition: = Summand 2. Summand Wert der Summe Subtraktion: 5 3 = 2 Minuend Subtrahend Wert der Differenz Summe 5 wird zu 7 addiert. Differenz 3 wird von 5 subtrahiert. Vereinfachung der Schreibweise: + (+ a) = + a ( a) = + a + ( a) = a (+ a) = a z.b.: (+ 5) + ( 7) = 5 7 ( 4) (+8) = 4 8 (+5) ( 7) = Bei gleichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt: + a + b = + ( a + b ) a b = ( a + b ) für alle a, b N Die Beträge werden addiert. Das Ergebnis hat das gemeinsame + oder Zeichen Bei unterschiedlichen Rechenzeichen/ Vorzeichen gilt: Der kleinere Betrag wird vom größeren Betrag subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. z.b.: = + (3 + 4) = = (3 + 4) = = + (5 3) = = (5 3) = = + (6 4) = = (4 1) = 3 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 4/17

5 2.2 Rechengesetze der Addition und Subtraktion Für alle a, b Z gilt das Kommutativgesetz: a + b = b + a Vorsicht: Bei der Anwendung des Kommutativgesetzes müssen die Vorzeichen/Rechenzeichen mitgenommen werden! Für alle a, b, c Zgilt das Assoziativgesetz: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c z. B.: = ( ) + 9 = 17 + ( ) Anwendung beider Rechengesetze: = = 25 + (17 + 3) = = 5 KG AG 2.3 Multiplikation und Division Multiplikation: 7 5 = Faktor 2. Faktor Wert des Produkts Produkt 7 wird mit 5 multipliziert. Division: 12 : 2 = 6 Dividend Divisor Wert des Quotienten Quotient 12 wird durch 2 dividiert. Bei der Multiplikation gilt: Bei der Division gilt: (+ a) (+ b) = + (a b) (+ a) : (+ b) = + (a : b) ( a) ( b) = + (a b) ( a) : ( b) = + (a : b) (+ a) ( b) = (a b) (+ a) : ( b) = (a : b) ( a) (+ b) = (a b) ( a) : (+ b) = (a : b) für a, b N Beachte: Division durch Null ist nicht erlaubt! z.b.: ( 3) (+ 5) = 15 ( 21) : ( 3) = : ( 2) = 9 Potenz: 2 5 = = Potenz (lies: 2 hoch 5) 2: Basis 5: Eponent Beachte: ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = = ( ) = 16 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 5/17

6 2.4 Rechengesetze der Multiplikation und Division Für alle a, b Z gilt das Kommutativgesetz: a b = b a Für alle a, b, c Z gilt das Assoziativgesetz: ( a b ) c = a ( b c ) = a b c Für alle a, b, c Z gilt das Distributivgesetz: (a + b) c = a c + b c (a + b) : c = a : c + b : c (c ist Teiler von a und b) Klammern auflösen Ausklammern z.b.: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz: (25 83) ( 4) = ( 4 25) 83 = = 8300 ( 125) 217 ( 8) 3 = (125 8) (2173) = = z.b.: Klammern auflösen: = 3 ( ) = = = = 17 (300 2)= = = : 7 = ( ) : 7 = 350 : : 7 = = : 9 = (900 18) : 9 = 900 : 9 18 : 9 = = 98 z.b.: Ausklammern: = 26 ( ) = = = ( ) 18 = = : : 12 = ( ) : 12 = 360 : 12 = : ( 4) : 4 = ( ): 4 = 220 : 4 = 55 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 6/17

7 2.5 Terme Eine sinnvolle Zusammenstellung von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern nennt man Term. z.b.: ( ) ist ein Term Aufstellen von Termen: z.b.: Subtrahiere die dreifache Summe der Zahlen 12 und 17 vom Produkt der Zahlen 15 und 8! ( ) Multipliziere den Quotienten der Zahlen 35 und 7 mit der Summe der Zahlen 9 und 14! (835 : 7) (9 + 14) Dividiere die Summe der Zahlen 25 und 11 durch die Differenz der Zahlen 12 und 8! ( ) : (12 8) Regeln für das Berechnen von Termen: - Klammern vor allem. Treten mehrere Klammern auf, so wird der Inhalt der innersten Klammer zuerst berechnet. - Potenzen werden vor Punktrechnungen ausgeführt, wenn nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben. - Die Regel Punkt vor Strich bedeutet, dass Punktrechnungen (Multiplikation und Division) vor Strichrechnungen (Addition und Subtraktion) ausgeführt werden, wenn nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorschreiben. - Was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibe unverändert an. (kein Missbrauch des Gleichheitszeichens!) z.b.: = = : 6= = (3 5) = ( 2) = = (30-82) = ) = = = 88 [ 4 ( 12)] [ : ( 3)] = [ ] [2 + ( 6)] = 8 ( 4) = (12 17) 2 = ( 5) 2 = = = = 3 16 = 48 (3 4) 2 = 12 2 = 144 Gliedern von Termen: Die Rechenart, die zuletzt ausgeführt wird, bestimmt die Art des Terms. z.b.: : 4 Der Term ist eine Differenz. Der Minuend ist die Zahl 25. Der Subtrahend ist ein Quotient. Der Dividend ist die Zahl 12. Der Divisor ist die Zahl 4. Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 7/17

8 2.6 Teilbarkeit und Faktorisieren Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6, oder 8 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. z.b.: ist durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer 8 ist ist nicht durch 2 teilbar, da die letzte Ziffer eine 7 ist ist durch 3 teilbar, da die Quersumme ( = 21) durch 3 teilbar ist ist nicht durch 3 teilbar, da die Quersumme ( = 11) nicht durch 3 teilbar ist ist durch 5 teilbar, da die Zahl auf 0 endet ist durch 9 teilbar, da die Quersumme ( = 18) durch 9 teilbar ist ist nicht durch 9 teilbar, da die Quersumme ( = 17) nicht durch 9 teilbar ist ist durch 4 teilbar, da 12 durch 4 teilbar ist ist nicht durch 4 teilbar, da 34 nicht durch 4 teilbar ist ist durch 6 teilbar, da durch 2 und durch 3 teilbar ist ist nicht durch 6 teilbar, da nicht durch 2 teilbar ist ist nicht durch 6 teilbar, da 7846 nicht durch 3 teilbar ist ist durch 12 teilbar, da durch 3 und durch 4 teilbar ist ist nicht durch 12 teilbar, da 6438 nicht durch 4 teilbar ist ist nicht durch 12 teilbar, da 7324 nicht durch 3 teilbar ist. Die Primfaktorzerlegung einer Zahl erhält man, indem man die Zahl als Produkt darstellt, in dem alle Faktoren Primzahlen sind. z.b: 72 = 2 36 = = = = = = = Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 8/17

9 II. Größen und ihre Einheiten 1. Längeneinheiten Millimeter 1 mm Zentimeter 1 cm = 10 mm Dezimeter 1 dm = 10 cm Umrechnung Meter von Längeneinheiten 1 m = 10 dm Kilometer 1 km = m Umrechnungsfaktor 10 Umrechnen von Längeneinheiten: cm = 30 km 408 m 2 cm 8,2 km = 8 km 200 m 7,06003 km = 7 km 60 m 3 cm Rechnen mit Längeneinheiten 9km 200m 3km 850m = 8km 1200m 3km 850m = 5km 350m = 5,35km 17,3m 5m 45cm = 16m 130cm 5m 45cm = 11m 85cm = 11,85m 24m 60cm 4 = 96m 240cm = 98m 40cm = 98,4m 12m : 40 cm = 1200 cm : 40cm = 30 3m : 8 = 3000mm : 8 = 375mm = 37,5cm 2. Maßstab Ein Maßstab 1 : bedeutet, dass 1 cm auf der Karte cm in Wirklichkeit entsprechen. z.b.: - 3,2 cm auf der Karte entsprechen also 32 mm = mm = 1600 m = 1,6 km in Wirklichkeit. - 3,8 km in Wirklichkeit entsprechen cm : = 7,6 cm auf der Karte. Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 9/17

10 3. Flächeneinheiten Quadratmillimeter 1 mm² Quadratzentimeter 1 cm² = 100 mm² Quadratdezimeter 1 dm² = 100 cm² Quadratmeter 1 m² = 100 dm² Umrechnungsfaktor 100 Ar 1 a = 100 m² Hektar 1 ha = 100 a Quadratkilometer 1 km² = 100 ha Umrechnen von Flächeneinheiten cm 2 = 75m 2 30dm 2 = 75,3m m 2 = 8ha 4m ,075 m 2 = 20a 30m 2 7dm 2 50cm 2 709,302 ha = 7km 2 9ha 30a 20m 2 Rechnen mit Flächeneinheiten 18ha 25a 3a 65m 2 = 18ha 24a 100m 2 3a 65m 2 = 18ha 21a 35m 2 38m 2 : 20 = 3800dm 2 : 20 = 190dm 2 = 1,9m 2 12a : 40m 2 = 1200m 2 : 40m 2 = 30 2m 2 : 80cm = 200dm 2 : 8dm = 25dm 56 ha : 70m = m 2 : 70m = 8000m = 8 km 4. Masseneinheiten Milligramm 1 mg Gramm 1 g = mg Kilogramm 1 kg = g Tonne 1 t = kg Umrechnungsfaktor 1000 Umrechnung von Masseneinheiten g = 30 kg 900 g = 30,9 kg mg = 72 kg 3 g = 72,003 kg 4,0807 kg = 4 kg 80 g 700 mg 2,30005 t = 2 t 300 kg 50 g Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 10/17

11 5. Zeiteinheiten Sekunde 1 s Minute 1 min = 60 s Stunde 1 h = 60 min = 3600 s (h: hour, englisch: Stunde) Tag 1 d = 24 h (d: day, englisch: Tag) Rechnen mit Zeiteinheiten 385 min = 6h 25 min 4h 35 min = 275 min 0,1 h = 6 min 0,3 h = 18 min 2,5 min = 2 min 30s 3h 20 min : 8 = 200 min : 8 = 25min 1h 5 min : 20s = 3900s : 20s = 195 Zeitdauer von 8.47 Uhr bis Uhr: 13 h 18 min 8 h 47 min = 12 h 78 min 8 h 47 min = 4 h 31 min Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 11/17

12 III. Geometrie 1. Koordinatensystem Punkte im Koordinatensystem: Die Lage eines Punktes P wird durch ein Zahlenpaar ( y) angegeben. II. Quadrant y P I. Quadrant z.b. P(2 1), Q( 3 4) Die -Koordinate ist der Rechtswert, die y-koordinate ist der Hochwert O Die Koordinatenachsen teilen die Zeichenebene in vier Quadranten ein. III. Quadrant -2-3 IV. Quadrant Q Strecken, Halbgeraden, Geraden Die Strecke [AB] ist die kürzeste Verbindung der Punkte A und B. Die Länge der Strecke wird mit AB bezeichnet. z.b. AB = 1,5 cm Die Halbgerade [AB besitzt den Anfangspunkt A und verläuft durch den Punkt B. A A B B Die Gerade AB verläuft durch die Punkte A und B. Eine Gerade besitzt keinen Anfangs- und keinen Endpunkt. A B Wenn ein Punkt P auf der Geraden AB liegt, schreibt man P AB A B P Wenn ein Punkt Q nicht auf der Geraden AB liegt, schreibt man Q AB Senkrechte Geraden: g h Parallele Geraden: g h Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie ein gemeinsames Lot besitzen. Abstand paralleler Geraden: d(g;h) = Länge der Lotstrecke zwischen g und h h g d(g;h) l A B h g P Q Abstand eines Punktes P von einer Geraden g: d(p;g) = Länge der Lotstrecke von P zum Lotfußpunkt F F g Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 12/17

13 3. Besondere Vierecke Parallelogramm: Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Rechteck: Raute: Quadrat: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und die Seiten senkrecht aufeinander stehen. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind und senkrecht aufeinander stehen. 4. Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck Quadrat: s Flächeninhalt: Umfang: A Qu = s s U Qu = 4 s s Beispiele: a) Ein Quadrat besitzt einen Umfang von 32 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt? s = 32cm:4 = 8cm A = 8cm8cm = 64cm 2 b) Ein Quadrat besitzt einen Flächeninhalt von 9 ha. Wie groß ist sein Umfang? ss = 90000m 2 ; s = 300m U = 4300m = 1200m = 1,2 km Rechteck: Breite b Flächeninhalt A R = l b Umfang U R = 2(l + b) Länge l Beispiele: a) Ein Rechteck ist 75m lang und besitzt einen Umfang von 280m. Wie breit ist das Rechteck? 2 (75m + b) = 280m 75m + b = 140m b = 140m 75m = 65m b) Ein Rechteck ist 250m lang und besitzt einen Flächeninhalt von 3 ha. Welchen Umfang besitzt das Rechteck? b = 3 ha : 250 m = m 2 : 250 m = 120m U = 2(250m + 120m)= 740m Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 13/17

14 5. Winkel Ein Winkel wird durch zwei Halbgeraden [SA und [SB festgelegt. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels, S ist der Scheitel des Winkels. Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet. z.b.: α: alpha β: beta γ: gamma δ: delta ε: epsilon S α A B Die Schreibweise α = ASB bedeutet, dass A ein Punkt auf dem 1. Schenkel, S der Scheitel und B ein Winkel Punkt werden auf dem in 2. der Schenkel Winkeleinheit ist. Grad ( ) angegeben. 0 o < α < 90 o : spitzer Winkel α α = 90 o : rechter Winkel α 90 o < α < 180 o : stumpfer Winkel α 180 o < α <360 o : überstumpfer Winkel α α = 180 o : gestreckter Winkel α α = 360 o : Vollwinkel α Messen von Winkeln: Ablesen: 59 Nullpunkt des Geodreiecks an den Scheitel anlegen Geodreieck auf Schenkel 1 anlegen Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 14/17

15 6. Kreis Alle Punkte P auf der Kreislinie k(m; r) besitzen vom Mittelpunkt M die gleiche Entfernung r (Radius). d = 2r ist der Durchmesser des Kreises. M r k Kreislinie 7. Achsensymmetrie Sind die Punkte P und P symmetrisch zur Achse a, so ist die Strecke [PP ] senkrecht zur Symmetrieachse a. Punkt P und Spiegelpunkt P besitzen den gleichen Abstand von der Symmetrieachse. P S P Es gilt: PS = P S [PP ] a Symmetrieachse a Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 15/17

16 8. Geometrische Körper 8.1 Geometrische Grundkörper Würfel Quader 5-seitiges Prisma 3-seitiges Prisma Zylinder Kegel Kugel Pyramide 8.2 Würfel und Quader Würfel: s s Oberfläche O W = 6ss s s z.b. a) Welche Oberfläche besitzt ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1,2m? O W = 612 dm12 dm = 6144 dm 2 = 864 dm 2 = 8,64 m 2 b) Welche Kantenlänge besitzt ein Würfel mit einer Oberfläche von 150 cm 2? s s = 150 cm 2 : 6 = 25 cm 2 => s = 5 cm Quader: Höhe h Oberfläche O Qu = 2(lb + lh + bh) Länge l Breite b z.b. Welche Oberfläche besitzt ein Quader, der 1,5m lang, 4cm breit und 3dm hoch ist? O Qu = 2(150 cm4 cm cm30 cm + 4 cm30 cm) = = 2(600 cm cm cm 2 ) = = cm 2 = cm 2 = 104,4 dm 2 = 1,044 m 2 Zusammengesetzte Körper: z.b: Welche Oberfläche besitzt der folgende zusammengesetzte Körper? 8 cm 1 cm 2 cm 4 cm 1 cm 3 cm O Körper = 28 cm2 cm + 22 cm1 cm + 28 cm1 cm 1 cm3 cm cm4 cm + 24 cm1 cm + 3 cm1 cm = = 32 cm cm cm 2 3 cm cm cm cm 2 = 84 cm 2 Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 16/17

17 IV. Stochastik z.b. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können aus den Ziffern 2,3,4,5 gebildet werden, wenn sich die Ziffern nicht wiederholen dürfen? Baumdiagramm 1. Stelle: Stelle: Stelle: Stelle: Es gibt 4 Belegungsmöglichkeiten für die 1. Stelle, 3 Möglichkeiten für die 2. Stelle, 2 Möglichkeiten für die 3. Stelle und 1 Möglichkeit für die 4. Stelle, also können 4321 = 24 Zahlen gebildet werden. z.b. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen können aus den Ziffern 2, 3, 4 und 5 gebildet werden? Für jede Stelle gibt es 4 Belegungsmöglichkeiten, also gibt es 444 = 4 3 = 64 Zahlen. z.b. Auf einer Speisekarte werden für ein Menü 2 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte und 3 Nachspeisen angeboten. Wie viele verschiedene Menüs aus je einer Vorspeise, einem Hauptgericht und einer Nachspeise können zusammengestellt werden? Es gibt 243 = 24 verschiedene Zusammenstellungen. Zählprinzip: Gibt es für die 1. Stelle n 1 Belegungsmöglichkeiten, für die 2. Stelle n 2 Belegungsmöglichkeiten, für die k. Stelle n k Belegungsmöglichkeiten, so gibt es insgesamt n 1 n 2 n k Möglichkeiten. Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 17/17