binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

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1 Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme, dass de Daten dynamsch verändert werden, durch Löschoperatonen Enfügeoperatonen Wr haben de Frage zurückgestellt, we dese Operatonen auf Bäumen durchzuführen snd. Zur Ernnerung: / 4 / 4 Stchwortsuche Gegeben: en Lexkon mt n Stchworten. Frage: st en gegebener Begrff m Lexkon enthalten? Durch Enfügen und Löschen von Stchworten kann der Suchbaum we folgt aussehen: a g b Zwe möglch Ansätze: c d verkettete Lsten: O(n) m worst-case d b f h j bnärer Baum als Suchbaum organsert: Wörter m lnken Unterbaum snd alphabetsch größer als das Wort n der Wurzel Wörter m rechten Unterbaum snd alphabetsch klener als das Wort n der Wurzel Folgerung Wr können n O(Höhe(T )) entscheden, ob das gesuchte Wort m Lexkon vorkommt. j a c e Wr werden versuchen, dese Stuaton zu verhndern, und balancerte Bäume verwenden. Wr werden n desem Kaptel de Laufzeten der Operatonen Entferne, Suche und Zugrff auf Suchbäumen untersuchen. Füge_en, / 4 4 / 4

2 Sprechwesen Glederung grundlegende Defntonen Operatonen auf bnären Suchbäumen erwartete Suchzeten n bnären Suchbäumen Se T en Baum mt Wurzel r und Unterbäumen T,..., T k. Ferner se r de Wurzel des Baumes T. r st -ter Sohn von r, r st Vater der r,... r k, r j st Bruder von r, u st Nachfolger von r, falls u m Unterbaum T legt, en Knoten ohne Nachfolger heßt Blatt, Knoten von T, de ncht Blatt snd, heßen nnere Knoten, / 4 6 / 4 Bezechnungen Sprechwesen T T Nveau Se T en Baum mt Wurzel r und Unterbäumen T,..., T k. Wurzel 0 Ferner se r de Wurzel des Baumes T. ene Folge von Knoten v 0, v,..., v k heßt Weg, falls v + Nachfolger von v st für alle 0 k, der Weg v 0, v,..., v k hat de Länge k, lnker Unterbaum von Knoten 8 Kanten Tefe()= Tefe(v, T ) = Länge des Weges von Knoten v zur Wurzel r, Höhe(v, T ) = Länge des längsten Weges von v zu enem Blatt, Höhe(T ) = Höhe (Wurzel, T ). st Vater von st Vater von st lnker Sohn von st rechter Sohn von Blatt 8 4 / 4 8 / 4

3 Bnäre Bäume En Baum, n dem jeder Knoten höchstens Söhne hat, heßt bnär. Darstellung bnärer Bäume durch Felder Leftson und Rghtson dazu ggf. Informatonen über: Inhalt der Knoten, Väter, # Nachfolger n zusätzlchen Feldern symmetrsches Durchmustern von Bnärbäumen () Durchmustere n symmetrscher Ordnung T lnks (falls er exstert) () Durchmustere de Wurzel () Durchmustere n symmetrscher Ordnung T rechts (falls er exstert) De Knoten m lnken Telbaum von r tragen klenere Nummern als r, de m rechten größere. 4 6 R L Folgerung Wr können (auch nach dem Löschen von Knoten) n O(Höhe(T )) entscheden, ob en Knoten mt der Nummer p vorkommt. 9 / 4 0 / 4 bnaäre Suchbäume Datenstruktur zur Unterstützung der folgenden Operatonen auf dynamschen Mengen: suche bestmme das Mnmum bestmme das Maxmum bestmme den Vorgänger ener symmetrschen Durchmusterung bestmme den Nachfolger ener symmetrschen Durchmusterung füge en lösche Wr haben bnäre Bäume schon benutzt (Heapsort, untere Schranke für Sorteren). Wr unterscheden: Suchbäume: alle Knoten enthalten Schlüssel, Blattsuchbäume: de Schlüssel snd n den Blättern gespechert, de nneren Knoten enthalten Wegweser für de Suche wr behandeln n desem Kaptel ausschleßlch Suchbäume / 4 / 4

4 Bnäre Suchbaumegenschaft Für jeden Knoten p des Baums glt: de Schlüssel m lnken Telbaum von p snd klener als der Schlüssel von p de Schlüssel m rechten Telbaum von p snd größer als der Schlüssel von p Glederung grundlegende Defntonen Operatonen auf bnären Suchbäumen erwartete Suchzeten n bnären Suchbäumen / 4 4 / 4 suche(v, k) n Suchbäumen // suche m Baum mt Wurzel v nach Schlüssel k f v.key = k return p f k < v.key then do f leftson(v) then suche(leftson(v), k) else return ncht gefunden end f else f rghtson(v) then suche(rghtson(v), k) else return ncht gefunden end f end f bestmme Mnmum (v) n Suchbäumen // m Baum mt Wurzel v bestmme den mnmalen Schlüssel whle leftson(v) do v = leftson(v) end whle return v Korrekthet: folgt aus der Suchbaumegenschaft, denn n jedem Schrtt glt: alle Schlüssel m rechten Telbaum snd größer als der n der Wurzel alle Schlüssel m lnken Telbaum snd klener als der n der Wurzel d.h., wenn v enen lnken Telbaum bestzt, so befndet sch das Mnmum darn Laufzet:O(Höhe(T (v ))) Laufzet: O(Höhe(T (v ))) / 4 Entsprechend lässt sch das Maxmum bestmmen. 6 / 4

5 Se v en Knoten und u der Knoten mt dem nächstgrößeren Schlüsselwert. hat v enen rechten Sohn, so st u der mnmale Schlüssel m rechten Telbaum von v n engen Anwendungen muss zu enem Knoten v der Knoten u mt dem nächstgrößeren (nächstkleneren) Schlüsselwert bestmmt werden Beobachtung: de symmetrsche Durchmusterung durchläuft offenschtlch de Knoten nach aufstegenden Schlüsselwerten damt st u der nächste Knoten n der symmetrschen Durchmusterung hat v kenen rechten Sohn, so st u der erste Vorfahr von v, dessen lnker Sohn x auch Vorfahr von v st, denn: v hat maxmalen Schlüsselwert m Telbaum T x, danach wrd n symmetrscher Durchmusterung u errecht. x u v / 4 8 / 4 bestmme Nachfolger(p) n Suchbäumen f rghtson(p) then return mnmum(rghtson(p)) else q = father(p) whle father(p) and p = rghtson(q) do p = q q = father(p) end whle f father(p) return q else return ken Nachfolger füge_en(t, k ) fügt enen neuen Knoten mt Schlüssel k n den Suchbaum en. suche nach k st k schon n T enthalten, stop andernfalls endet de Suche n enem Knoten v mt Schlüssel j, und j > k und v hat kenen lnken Sohn, oder j < k und v hat kenen rechten Sohn erzeuge den entsprechenden Sohn von v spechere k n v Laufzet: O(Höhe(T (p))) Laufzet: O(Höhe(T )) Entsprechend lässt sch der Vorgänger n der symmetrschen Durchmusterung bestmmen. 9 / 4 0 / 4

6 Bespel: Enfügen des Schlüssels k = 6 Illustraton zu Entfernung des Knotens v : v u 6 9 successor() = successor() = nsert(6) / 4 / 4 v v u 6 Fall : v hat kene Knder (m Bespel Knoten ) enfach entfernen. u 6 Fall : v hat en Knd (m Bespel Knoten 6) zwe Zeger ändern ( herausschneden ): Vater von v zegt auf Sohn von v / 4 4 / 4

7 v Laufzet für Entfernen: O(Höhe(T )) 6 Aufbau enes bnären Suchbaums 0 erzeuge enen leeren Baum füge de Schlüssel n gegebener Rehenfolge n den Baum en 0 8 m Extremfall kann der Baum zu ener lnearen Lste ausarten, wenn z.b. de Enträge nach aufstegenden Schlüsseln engefügt werden u 6 Fall : v hat zwe Knder (m Bespel Knoten ) se u der Knoten mt dem nächstgrößeren Schlüssel u hat kenen lnken Sohn, da sonst der nächstklenere Schlüssel von u m lnken Telbaum u erfüllt Fall oder wenn wr v durch u ersetzen, blebt de Suchbaumegenschaft erhalten entferne u und ersetze v durch u n desem Fall dauern de Operatonen lneare Zet, da h(t ) = Θ(n). (vollständge bnäre Bäume T haben de Höhe h(t ) = Θ(log n)) wr versuchen zu analyseren, we lange de Operatonen m Erwartungswert dauern / 4 6 / 4 Glederung grundlegende Defntonen Operatonen auf bnären Suchbäumen erwartete Suchzeten n bnären Suchbäumen als Maß für de Güte enes Suchbaums betrachten wr de mttleren Suchzeten Suchzet für Knoten p = Anzahl der Knoten auf dem Pfad von p zur Wurzel = Tefe(p) + Mttelung über: alle Permutaton der n Schlüssel, oder alle Suchbäume mt n Knoten Wr beschränken uns auf den ersten Fall. / 4 8 / 4

8 Annahmen: alle Schlüssel snd paarwese verscheden, obda {,,..., n} en zufällger bnärer Suchbaum entsteht durch Enfügen der Schlüssel hnterenander gemäß ener zufällgen Permutaton jede Permutaton π bestmmt endeutg enen bnären Suchbaum T π, Konventonen: wr schreben v T für v st en Knoten m Baum T T st de Anzahl der Knoten m Baum T falls T > 0, so se T l lnker und T r rechter Telbaum von T de Umkehrung glt jedoch ncht: T π =,, π =,, T π = T π T l T r 9 / 4 0 / 4 Suchpfadlänge enes Baumes T : ϕ(t ) = X v T(Tefe T (v ) + ) Lemma (Rekursve Defnton von ϕ(t )) ϕ(t ) = j 0, falls T = 0 T + ϕ(t l ) + ϕ(t r ), falls T > 0 Bespel: Bewes: ϕ(t ) = X v T(Tefe T (v ) + ) Tefe+ = + X v Tl(Tefe T (v ) + ) + X v T r (Tefe T (v ) + ) φ(τ)=4 = + X v Tl(Tefe Tl (v ) + ) + X v T r (Tefe Tr (v ) + ) = T + X v Tl(Tefe Tl (v ) + ) + X v T r (Tefe Tr (v ) + ) per Def. = T + ϕ(t l ) + ϕ(t r ) / 4 / 4

9 se de durchschnttlche Suchpfadlänge gegeben durch ϕ(t ) = ϕ(t ) T ϕ(t ) st de Anzahl der Knoten, de be ener zufällgen, erfolgrechen Suche n T besucht werden n unserem Bespel für n = : π =,, π =,, T π = T π se S n de Menge aller Permutaton auf {,,..., n} für π S n se T π der Bnärbaum, der entsteht, wenn n der Rehenfolge von π engefügt wrd wr mtteln jetzt de Suchzeten über alle Bäume: E ϕ (n) = X ϕ(t π ) n! π S n E ϕ (n) = X ϕ(t π ) = n! n E ϕ(n) π S n de Permutatonen,, und,, lefern ene Pfadlänge von alle anderen führen zu lnearen Lsten mt Pfadlänge 6 des lefert ene mttlere Pfadlänge von E ϕ () = 4 8 des st fast de mttlere Pfadlänge ener lnearen Lste (= ) wr werden zegen, dass deses Bespel täuscht / 4 4 / 4 Satz E ϕ (n) = ln n + O(). Bewes: wr berechnen zunächst E ϕ (n) se π = π(), π(),..., π(n) S n zufällg gewählt dann st π() Wurzelschlüssel von T π für jedes k {,,..., n} st π() = k mt Wahrschenlchket n se π <k de Enschränkung von π = π(), π(),..., π(n) auf,,..., k Bespel: se π = 4,,,,, 6 dann st π <4 =,, entsprechend se π >k de Enschränkung von π auf k +, k +,..., n Schlüssel,,..., k k Schlüssel k +, k +,..., n π <k und π >k snd Permutaton auf den entsprechenden Telmengen st π S n zufällg, so snd π <k S k und π >k S n k ebenfalls zufällg T π,l T π,r / 4 6 / 4

10 mt Hlfe deser Beobachtung und etwas formalem Aufwand (den wr her ncht treben) ergeben sch daraus Rekursonsformeln für E ϕ (n): 8 < E ϕ (n) = : 0, für n = 0,, für n =, n P n k = (E ϕ(k ) + E ϕ (n k ) + n), für n >. Somt: E ϕ (n) = n (E ϕ (k ) + E ϕ (n k ) + n) k = = n + n (E ϕ (k ) + E ϕ (n k )) k = = n + Xn E ϕ (k ) n k =0 (n + ) E ϕ (n + ) = (n + ) + E ϕ (k ) k =0 Xn n E ϕ (n) = n + E ϕ (k ) k =0 Subtrakton lefert: E ϕ (n + ) = n + n + + n + n + E ϕ(n) / 4 8 / 4 E ϕ (n + ) = n + n + + n + n + E ϕ(n) Ṗer Indukton zegt man: E ϕ (n) = (n + ) P n = n, denn E ϕ (n + ) = n + n + + n + n + E ϕ(n) = n + n + + n + h (n + ) n + = n + n + + (n + ) = (n + ) = (n + ) = = Xn+ = (n + ) = = = n n(n + ) n + + n + n 6n n + + (n + ) (n + ) (n + ) n + (per Indukton) 9 / 4 E ϕ (n) = (n + ) De Abschätzung der Summe lefert: und = n E ϕ (n) n ln n + ln n n E ϕ (n).4 log n + ln n n 40 / 4

11 Unter allen Suchbäumen auf n Knoten hat der vollständge Baum mnmale mttlere Suchpfadlänge. Se beträgt: Zum Verglech: log(n + ) M ϕ (n) = log(n + ) + n = log(n + ) + O() = log(n) + O() E ϕ (n) = ln n + O() = log e log n + O() = log n + O() dese Analyse glt jedoch nur, wenn der Baum ncht durch Enfüge- und Lösch-Operatonen verändert wrd unsere Lösch-Stratege führt dazu, dass größere Schlüssel nach oben wandern der Baum wrd dadurch mehr und mehr lnkslastg ene Analyse ergbt ene mttlere Suchpfadlänge von Θ( n) wr wollen m folgenden versuchen, den Baum balancert zu halten D.h. für große n st de durchschnttlche Suchpfadlänge nur ca. 40% länger als m Idealfall. 4 / 4 4 / 4

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