Balancierte Bäume. Martin Wirsing. in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer. SS 06

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1 Balancierte Bäume Martin Wirsing in Zusammenarbeit mit Moritz Hammer und Axel Rauschmayer SS 06

2 2 Ziele AVL-Bäume als einen wichtigen Vertreter balancierter Bäume kennen lernen Realisierung der Mengen-Operationen einfügen, löschen und der enthalten sein -Abfrage verstehen

3 3 Wiederholung: Suchbäume (Geordnete Binärbäume ) Ein Binärbaum b heißt Suchbaum, wenn b leer ist oder wenn Folgendes für alle nichtleeren Teilbäume t von b gilt: Der Schlüssel von t ist größer (oder gleich) als alle Schlüssel des linken Teilbaums von t und kleiner (oder gleich) als alle Schlüssel des rechten Teilbaums von t > 7 < 5 > > < 12

4 4 Beispiele: Suchbäume Beispiel: Zwei verschiedene binäre Suchbäume über den Monatsnamen: Nach welchen Kriterien (Vergleichsoperationen) sind diese Bäume geordnet?

5 5 Beispiele: Suchbäume Hoare Dijkstra Gosling Zuse Dijkstra Turing Gamma Zuse Einfügereihenfolge: Hoare, Dijkstra, Gosling,, Zuse, Gamma,, Einfügereihenfolge:,, Dijkstra, Turing,, Zuse

6 6 Beispiele: Suchbäume Hoare Level 1 Floyd Gosling Dijkstra Turing Zuse Level 2 Level 3 Level 4 Ein vollständig ausgeglichener Baum Einfügereihenfolge: Hoare, Floyd,, Dijkstra,, Zuse, Turing,, Gosling

7 7 Vollständig ausgeglichene binäre Suchbäume Ein vollständig ausgeglichener binärer Suchbaum ist ein binärer Suchbaum, bei dem - abgesehen von der untersten Schicht - alle Levels vollständig besetzt sind. Die Höhe eines vollständig ausgeglichenen Suchbaums beträgt log 2 (n1) Dies ist die minimale Höhe für alle Suchbäume: Optimaler Zeitaufwand für Suche

8 8 Vollständig ausgeglichene binäre Suchbäume Beispiele: Vollständig ausgeglichene binäre Suchbäume der Höhen 1-4

9 9 Vollständig ausgeglichene binäre Suchbäume Problem: Beim Einfügen eines Elements muss ein vollständiger Suchbaum möglicherweise vollständig reorganisiert werden. Beispiel: Einfügen von Zuse unproblematisch; Einfügen von führt zu vollständiger Reorganisation Hoare Hoare Zuse Floyd einfügen Floyd Gosling Turing Zuse Gosling Turing Floyd Hoare einfügen Gosling Turing Gosling Turing Floyd Hoare

10 10 Vollständig ausgeglichene binäre Suchbäume Problem: Beim Einfügen eines Elements muss ein vollständiger Suchbaum möglicherweise vollständig reorganisiert werden. Einfügezeit im schlechtesten Fall: O(n) Kompromißlösung nötig mit: Höhe des Baumes ist im schlechtesten Fall O(log(n)). Reorganisation bleibt auf einen Suchpfad beschränkt und ist damit im schlechtesten Fall in Zeit O(log(n)) ausführbar.

11 11 Eine Klasse von Suchbäumen heißt balanciert, falls: h max O(n log (n)) Balancierte Suchbäume die Operationen Suchen, Einfügen und Entfernen sind auf einen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt beschränkt und benötigen damit im schlechtesten Fall O(n log (n)) Zeit.

12 12 Ein binärer Suchbaum heißt AVL-Baum, falls für den linken Teilbaum T1 und den rechten Teilbaum T2 der Wurzel gilt: h(t2) h(t1) < 1 T1 und T2 sind ihrerseits AVL-Bäume. Der Wert h(t1) h(t2) wird als Balancefaktor (BF) eines Knotens bezeichnet. Er kann in einem AVL-Baum nur die Werte -1, 0 oder 1 (dargestellt durch -, und ) annehmen. AVL-Bäume Jeder AVL-Baum ist ein binärer Suchbaum.

13 13 Ein binärer Suchbaum heißt AVL-Baum, falls für die beiden Teilbäume T1 und T2 der Wurzel gilt: h(t1) h(t2) < 1 T1 und T2 sind ihrerseits AVL-Bäume. Der Wert h(t1) h(t2) wird als Balancefaktor (BF) eines Knotens bezeichnet. Er kann in einem AVL-Baum nur die Werte -1, 0 oder 1 (dargestellt durch -, und ) annehmen. Jeder AVL-Baum ist ein binärer Suchbaum. Strukturverletzungen durch Einfügen oder Entfernen von Schlüsseln erfordern Rebalancierungsoperationen. AVL-Bäume Die minimale Höhe eines AVL-Baumes mit n Schlüsseln ist log 2 (n1). Die maximale Höhe eines AVL-Baumes mit n Schlüsseln ist O(log n). Im Durchschnitt ist ein AVL-Baum ca. 44% höher als ein vollständig ausgeglichener Baum.

14 George Adelson-Velsky *1922, jetzt in Israel Forscher am ITEP (Moskau Inst. für Theor. u. Exper. Physik) Schachcomputer Pionier Gewann :1 im Computerschach gegen John McCarthy AVL-Bäume: Entstehung AVL Bäume sind benannt nach den russischen Mathematikern G.M. Adelson-Velskii und E. M. Landis, die diese schwächere Definition von Ausgeglichenheit eines Baums 1962 aufstellten. G. M. Adelson-Velskii und E. M. Landis, Doklady Nauk SSSR 146, S , 1962; Englische Übersetzung in Soviet Math 3, S Evgenii Mikhailovich Landis Diss. 1953, ITEP und Professor der Moskauer Staatsuni.

15 15 Beispiele: AVL-Bäume Mit Angabe der Balancefaktoren KEIN AVL-Baum

16 16 Einfügen in AVL-Baum Dijkstra Dijkstra einfügen - Einfügen von : Neuberechnung des Balancierungsfaktors, AVL Kriterium erfüllt

17 17 Einfügen in AVL-Baum Dijkstra Dijkstra einfügen - Einfügen von : Neuberechnung des Balancierungsfaktors, AVL Kriterium erfüllt Einfügen von : Verletzung des AVL Kriteriums Dijkstra -2 - Rechtsrotation Dijkstra Nach Rechtsrotation: AVL Kriterium wieder erfüllt

18 18 Einfügen in AVL-Baum Dijkstra Einfügen von : Nach Neuberechnung des Balancierungsfaktors ist AVL-Kriterium weiter erfüllt Einfügen von Zuse: 2 Dijkstra 2 Linksrotation Zuse Nach Linksrotation: AVL Kriterium wieder erfüllt Dijkstra Zuse

19 Einfügen in AVL-Baum Einfügen von Hoare: Benötigt Doppelrotation 2 Dijkstra - Zuse Hoare Doppelrotation - Dijkstra Hoare 19 Zuse Einfügen von Gosling und Naur: ohne Probleme Dijkstra - - Hoare Gosling Naur Zuse

20 20 Einfügen in AVL-Baum Einfügen von Turing: Noch einmal Doppelrotation Dijkstra 2 Dijkstra - Gosling Hoare -2 Naur Zuse Turing Doppelrotation - Hoare - Gosling Turing Naur Zuse Doppelrotation stellt AVL Kriterium wieder her Sind die vorgestellten Rotationen ausreichend?

21 21 Anwendungsstelle der Rotation Veränderungen der Balancierungsfaktoren geschehen ausschließlich auf dem Pfad von der Wurzel zur Einfügeposition Ausgangspunkt der Rotation ist immer der tiefste Elternknoten mit BF ±2 (dieser Knoten hatte vorher BF ±1) Der (auf dem Pfad) darunter liegende Knoten hat BF ±1 2 Dijkstra 2 Zuse - Dijkstra 2 Gosling Hoare -2 Naur Zuse Turing

22 22 Rotationstypen Betrachte ausgehend vom tiefsten Knoten mit BF 2 den Pfad zur Einfügeposition: RR: Rechts-Rechts Linksrotation LL: Links-Links Rechtsrotation RL: Rechts-Links Doppelrotation rechts LR: Links-Rechts Doppelrotation links L R L R L R R L Rotation ist immer eindeutig bestimmt Jetzt genauere Betrachtungen der einzelnen Typen

23 23 Typ RR: Linksrotation Wir bezeichnen den tiefsten Knoten mit Strukturverletzung mit A, dessen Kind mit S und den Enkelknoten mit B Bei der Linksrotation hat S den BF und A den BF 2 T1 A 2 T2 S T3 Linksrotation T1 S A T2 T3

24 24 Typ LL: Rechtsrotation Bei der Rechtsrotation hat S den BF - und A den BF -2 T1 A -2 S - T2 T3 Rechtsrotation T1 S T2 A T3

25 25 Typ RL: Doppelrotation Bei der RL-Doppelrotation hat A den BF 2, S den BF -2, B den BF oder -. Wir wählen - für den BF von B. T1 A 2 T2 B - T3 S - T4 RL Doppelrotation T1 A T2 B T3 S T4

26 26 Typ LR: Doppelrotation Bei der LR-Doppelrotation hat A den BF -2, S den BF, B den BF oder -. Wir wählen - für den BF von B. A B -2 S S A B T4 - T1 LR Doppelrotation T1 T2 T3 T4 T2 T3

27 27 Typ LR: Doppelrotation Variante der LR-Doppelrotation mit Balancefactor für B A B -2 S S A B T4 T1 LR Doppelrotation T1 T2 T3 T4 T2 T3

28 28 Löschen Das Löschen erfolgt wie bei Suchbäumen und kann (wie das Einfügen) zu Strukturverletzungen führen, die durch Rotationen ausgeglichen werden. Beim Löschen genügt nicht immer eine einzige Rotation oder Doppelrotation beseitigt. Im schlechtesten Fall muss auf dem Suchpfad bottom-up vom zu entfernenden Schlüssel bis zur Wurzel auf jedem Level eine Rotation bzw. Doppelrotation durchgeführt werden.

29 29 Weitere effiziente Baumstrukturen: (a,b)-bäume Interner Suchbaum: Information steht in den Knoten. Externer Suchbaum: Information steht nur in den Blättern; Knoten tragen Verwaltungsinformation.

30 30 Weitere effiziente Baumstrukturen: (a,b)-bäume Ein (a,b)-baum, wobei b > 2a - 1, ist ein externer Suchbaum, dessen interne Knoten außer der Wurzel einen Rang (Kinderzahl) zwischen a und b (einschließlich) haben. Die Wurzel hat mindestens 2 und höchstens b Kinder. Jeder interne Knoten vom Rang N enthält N-1 aufsteigend geordnete Zahlen k 1,, k N-1 als Verwaltungsinformation: Beim Suchen vergleicht man den Schlüssel k mit diesen ki. Es gilt: ist k überhaupt unterhalb des Knotens zu finden, so unterhalb des i- ten Kindes, falls k i-1 < k < k i. Beim Einfügen und Entfernen von Einträgen muss man all diesen Bedingungen Rechnung tragen.

31 31 Weitere effiziente Baumstrukturen: B-Bäume Ein B-Baum ist ein (a, b)-baum mit b 2a - 1. Entwickelt 1972 von Rudolf Bayer, em. Prof. TU München, und Edward McCreight; führte zur 1. relationalen SQL-Datenbank R von IBM In den Anwendungen ist a relativ groß, z.b Dadurch reduziert sich die Höhe enorm gegenüber einem Binärbaum. Das ist sinnvoll, wenn so viele Daten zu verwalten sind, dass die Knoten nicht im Hauptspeicher Platz finden, sondern auf Festplatten gespeichert werden. Ein Plattenzugriff dauert sehr lange (bis zu Mal solange wie ein Hauptspeicherzugriff), kann aber gleich eine ganze Seite auslesen, also z.b. einen ganzen Knoten eines B-Baumes. Interessant ist auch der Spezialfall a 2, b 3; d.h. die Knoten haben 2 oder 3 Kinder. Solche Bäume kann man wiederum als Binärbäume codieren und erhält so die Rot-Schwarz-Bäume [siehe Vorlesung Effiziente Algorithmen].

32 32 Zusammenfassung Balancierte Bäume sind besondere binäre Suchbäume, die der zusätzlichen Invariante Höhe O(log(Knotenzahl)) genügen. Dadurch laufen die Operationen Suchen, Einfügen, Löschen in logarithmischer Zeit. Vollständig ausgeglichen Suchbäume sind 1-balancierte Suchbäume. Beim Einfügen eines Elements muss ein vollständiger Suchbaum möglicherweise vollständig reorganisiert werden (Zeitkomplexität O(Knotenzahl)). AVL-Bäume sind 1-balancierte Bäume, bei denen die Operationen Suchen, Einfügen, Löschen logarithmische Zeitkompexität besitzen. Weitere effiziente Baumstrukturen sind (a,b)-bäume mit den Spezialfällen der B-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume.

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