Momente der Klassenzahlen binärer quadratischer Formen mit ganzalgebraischen Koeffizienten

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1 ACTA ARITHMETICA LXX ) Momente der Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen mit gnzlgebrischen Koeffizienten von Mnfred Peter Freiburg) 1. Einleitung und Formulierung des Ergebnisses. Für die Anzhl hd) der Äquivlenzklssen primitiver binärer qudrtischer Formen zur Diskriminnte d beweist Siegel [22] hd) log ε d = π2 18ζ3) x3/2 + Ox log x), 1<d x wobei ε d > 1 die Fundmentllösung der Pellschen Gleichung u 2 dv 2 = 4 ist. Für d 0 4) wurde eine nloge Formel von Guß vermutet Disquisitiones Arithmetice ); siehe uch I. M. Vinogrdov [27], Mertens [13], I. M. Vinogrdov [26], Shintni [20], Hooley [8]. Die Formel 1) hd) log ε d = 1 2 x2 + Ox 3/2 log 3 x) ε d x wurde von Srnk [16] mit Hilfe der Selbergschen Zetfunktion für diskontinuierliche Gruppen bewiesen; siehe uch Iwniec [9] und Srnk [18]. In [17] beweist Srnk die Formel 1) für qudrtische Formen, deren Koeffizienten gnze Zhlen us einem imginärqudrtischen Zhlkörper mit Klssenzhl 1 sind. Wolke [28] beweist die Formel h n) α = Θα)x α+2)/2 + Ox α+2)/2 1/4+ε ) α, ε > 0) n x vgl. Brbn [1]). Ziel der vorliegenden Arbeit ist folgende Verllgemeinerung von 1): k sei totlreeller Zhlkörper mit ungerder Klssenzhl. Sei O k der Ring der gnzen Zhlen in k, EO k ) seine Einheitengruppe, σ i : k R, 1 i n := [k : Q], seine Q-Einbettungen und o.e. σ 1 = id k, k R. Auf der Menge D := {D O k x 2 D 4) in O k lösbr, D kein Qudrt in O k, σ 1 D) > 0, σ 2 D),..., σ n D) < 0} [43]

2 44 M. Peter werde die Äquivlenzreltion durch D 1 D 2 : D 1 = e 2 D 2 für ein e EO k ) definiert; D D sei ein vollständiges Repräsentntensystem von. Für D D definiere mn die Gruppe 2) U D := { 1 2 x + y D) x, y O k, x 2 Dy 2 = 4 }. In 33) wird gezeigt, dß es eine direkte Zerlegung U D = {±1} ε D mit eindeutig bestimmtem ε D > 1 gibt. Ist D O k, x 2 D 4) lösbr, so heißt 3) x 2 +bxy+cy 2 mit, b, c O k, O k +bo k +co k = O k, D = b 2 4c primitive qudrtische Form mit Diskriminnte D. Äquivlenz von qudrtischen Formen 3) ist wie üblich bezüglich linerer Vriblentrnsformtionen mit Koeffizientenmtrizen p q r s), p, q, r, s O k, ps qr = 1, definiert; die Anzhl der Äquivlenzklssen werde mit hd) bezeichnet. Sei m N, ε > 0. Stz 1.1. Mit einer nur von n bhängigen Konstnte ϱ < 1 siehe 74)) und einem von k und m bhängigen λ m > 0 gilt für x Θ m x) := hd) log ε D ) m = λ m x m+1 + Ox m+ϱ+ε ). mn D D:ε D x Die zum Beweis verwendete Methode geht uf Srnk [18] zurück. Für x 1 sei Nx) := {D D ε D x}. Anlog zu Stz 1.1 beweist D D:ε D x hd) log D D 1/2 ) m ) x = µ m x + O. log x Wie bei Brbn [1] knn drus gefolgert werden: Stz 1.2. Es existiert eine Verteilungsfunktion F : R [0, 1], sodß in jedem Stetigkeitspunkt z von F für x gilt { } 1 Nx) D D ε hd) log D D x, z F z). D 1/2 Diese Arbeit ist eine Zusmmenfssung meiner Doktorrbeit. Ich dnke Herrn Prof. Wolke für die Betreuung meiner Arbeit und Herrn Prof. Hinz für seine Kommentre zu einer vorläufigen Version. 2. Die Dirichletsche Klssenzhlformel über Zhlkörpern. In diesem Abschnitt wird nur vorusgesetzt, dß k Zhlkörper mit ungerder Klssenzhl h k ist ds geht in Lemm 2.11 und 41) ein). Seien σ 1,..., σ r die reellen und σ r+1, σ r+1,..., σ r+s, σ r+s die komplexen Q-Einbettungen von k in C n = r + 2s).

3 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 45 Für eine Diskriminnte D O k d.h. X 2 D 4) soll in O k lösbr sein), D kein Qudrt, definiere mn K := k D); für ein Primidel p 0 in O k mit p 2 sei ) D 1, p D, x 2 D p 2+1 ) lösbr, 4) χ D p) := := 1, p D, x p 2 D p 2+1 ) unlösbr, 0, p D, 1, p spltet in K uf po k = P 1 P 2, P 1 P 2 ), χ Dp) := 1, p ist in K träge po k = P), 0, p ist in K verzweigt po k = P 2 ), χ D bzw. χ D wird multipliktiv uf die zu D bzw. zur Diskriminnte d K/k von K/k teilerfremden gebrochenen Idele von k fortgesetzt; uf den übrigen wird der Wert 0 definiert. Bei Hilbert [6], 5, Sätze 6 8, sind die folgenden Eigenschften zu finden: Lemm 2.1. ) χ D p) = χ Dp) für Primidele p D. b) p verzweigt in K p d K/k für beliebige Primidele p 0 in O k. Wie im Fll der Riemnnschen Zetfunktion und Dirichletscher L-Reihen beweist mn Lemm 2.2. Sind ζ K bzw. ζ k die Dedekindschen Zetfunktionen von K bzw. k und ist Ls, χ D) := χ D ) N k/q ) s Rs > 1), wobei lle gnzen Idele 0 von O k durchläuft, so gilt Ls, χ D) = 1 χ D p) ) 1 Np) s, ζ K s) = ζ k s)ls, χ D) Rs > 1). p In der Terminologie von Lndu [11] folgt us dem Artinschen Reziprozitätsgesetz im Spezilfll reltivqudrtischer Erweiterungen: Lemm 2.3. χ D ist Idelklssenchrkter mod DO k im engeren Sinn, ist nicht der Huptchrkter und wird von χ D induziert. χ D ist primitiver Idelklssenchrkter. χ D und χ D hben den Führer d K/k. Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis von Proposition 2.4. Ist die Klssenzhl von k ungerde, so gilt hd) = d k/q N k/q D) 1/2 T U D ) 2 p π n p RD) L1, χ D), wobei RD) durch 30) definiert ist, p := rng U D und Ls, χ D ) := χ D ) N k/q ) s Rs > 1).

4 46 M. Peter D ich keinen Beweis von Proposition 2.4 in der Litertur finden konnte Dirichlet [3] untersucht k = Q 1), Speiser [23] legt einen nderen Äquivlenzbegriff zugrunde, Shyr [21] behndelt lgebrische Tori), wird im Folgenden ein Beweis skizziert, der eine Übertrgung des Beweises von Zgier [29], S. 92ff, und S. 95, Aufgbe 5, sowie Borewicz Šfrevič [2], S. 153ff und S. 170, Aufgben 6 11, ist. Dbei wird der llgemeine Fll durch Loklisierung bezüglich Primidelen uf den Spezilfll h k = 1 zurückgeführt. Dher wird lles für einen beliebigen Dedekindring O k A k durchgeführt. Sei B := A [K] der gnze Abschluß von A in K. Die Loklisierung eines A-Moduls M K bezüglich eines Primidels p von O k wird mit M p bezeichnet. Es gilt 5) M = p M p wobei p lle mximlen Idele von A durchläuft. α α bezeichne die k-konjugtion uf K. Nch O Mer [15], Theorem 81:3), existiert eine k-bsis 1, ω von K und ein gnzes Idel b von A mit 6) B = A bω. Durch Loklisieren und verwenden der Formel für die Diskriminnte freier A p -Moduln erhält mn 7) d K/k = b 2 ω ω ) 2. Sei u O k mit u 2 D 4). Dnn ist M := A A u+ D 2 freier A-Modul in B und mit dem gnzen Idel c := N K/k M) gilt 8) DA = 1 u+ D 2 1 u D 2 2 A = d K/k M) = N K/k M) 2 d K/k = c 2 d K/k. Sei M K A-Netz endlich erzeugter A-Modul vom Rng 2) und O := {α K αm M} sein Multipliktorenring; für ihn gilt OM) B, OM) p = OM p ) für jedes Primidel p von A, und ferner ist OM) A-Ordnung d.h. A-Netz und Ring mit Eins). Der von der Menge {det ij ) k α i, β i K, β 1 A β 2 A M, α 1 A α 2 A OM), β i = i1 α 1 + i2 α 2, ij k, i = 1, 2} erzeugte A-Modul werde mit N M) bezeichnet vgl. Borewicz Šfrevič [2], S. 142). N M) ist gebrochenes A-Idel, ds i.. nicht mit der Körpernorm N K/k M) übereinstimmt; bei dieser lutet die zweite Bedingung α 1 A α 2 A B.

5 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 47 Sind M = β 1 A β 2 A und OM) = α 1 A α 2 A freie A-Moduln und β i = i1 α 1 + i2 α 2, ij k, so ist N M) = det ij )A. Für jedes Primidel p von A gilt N M) p = N M p ). Der konjugierte Modul M := {α α M} ist wieder A-Netz; es gilt OM ) = OM) = OM). Ist 0 gebrochenes A-Idel, so folgt wegen seiner Invertierbrkeit OM) = OM). Anlog zu Lemm 1 in Borewicz Šfrevič [2], S. 153, beweist mn Lemm 2.5. Für γ K \ k, M := A Aγ, sei Irrγ, k) = X 2 + b X + c ds Minimlpolynom von γ über k und, b, c A) := A b A c A = ggt ba, ca) 1 kgv ggt ba, ca), A). Dnn ist OM) = A γ. Sind O 1, O 2 K A-Ordnungen und 0 gebrochenes A-Idel mit O 1 = O 2, so ist O 1 = 1 O 2 = 1 O 2 O 2 = O 1 O 2 = O 1 O 1 = O 1 = O 2. Dmit und mit Lemm 2.5 knn folgendes Lemm genuso bewiesen werden wie 8), S. 155 und Stz 2, S. 156 in [2], flls A ein Huptidelring ist. Der llgemeine Fll wird mit 5) uf diesen Spezilfll zurückgeführt. Lemm 2.6. ) MM = N M)OM) für A-Netze M K. b) Für jede A-Ordnung O K ist GO) := {M M K A-Netz, OM) = O} bezüglich Modulmultipliktion eine belsche Gruppe. Insbesondere ist GB) die Gruppe der gebrochenen B-Idele. Mit den Bezeichnungen 6) und 8) sei die A-Ordnung 9) O := A bc ω B definiert. Durch Loklisieren folgt 10) N K/k O) = c. Lemm 2.7. φ : GO) GB), M MB, ist surjektiver Gruppenhomomorphismus. B e w e i s. 1. Aus der Invertierbrkeit von Elementen us GO) folgt, dß φ wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. 2. Sei A zunächst Huptidelring, b = ta, c = ra. Um die Surjektivität von φ nchzuweisen, genügt es zu zeigen, dß jedes N = A Aγ GB) γ K \ k) unter φ ein Urbild ht. Sei Irrγ, k) = X 2 + b X + c,, b, c A,, b, c) = 1. Indem mn γ durch γ + g, g := p A prim: p, p c p A,

6 48 M. Peter ersetzt, knn o.e., c) = 1 ngenommen werden. Dnn existieren l, m A mit r = lm, l, m) = 1, l, ) = 1, m, c) = 1. Lemm 2.5 liefert für ds A-Netz M := ma lγa OM) = O A lm ) γa = A Am 2 l γa = A + lma + Aγ) m und wegen N GB) 11) A Aγ = ON) = B = A tωa, d.h. insgesmt M GO). Aus 11) und γ 2 = bγ c folgt φm) = N. 3. Sei A jetzt beliebig, N GB) und o.e. N B. Die Menge M := {p p 0 Primidel in A, p c oder N p B p } ist endlich. Für p M existiert nch 2. ein A p -Netz Mp) K mit OMp)) = O p, Mp)B p = N p. Der A-Modul M := p M Mp) B ist A-Netz, und es gilt 12) M p = Mp) für lle p M. Zum Beweis der nichttrivilen Inklusion sein α Mp). Für q M\{p} ist A q diskreter Bewertungsring und es gibt n 0 mit { A α Mq)} = A { A q α Mq)} = A qa q ) n = q n, d.h. es gibt q A\p mit q α Mq). Ferner existiert wegen Mp) N p B p ein s A\p mit sα B. Wegen p q M q)sα M, p q M q)s A \ p ist α M p. Anlog beweist mn M p = B p für lle p M. Zusmmen mit 12) folgt durch Loklisieren MB = N und OM) = O. Lemm 2.8. Für ein A-Netz M K gilt OM) = O, BM = M Es gibt ξ B mit cb + ξb = B, M = cb + ξa. B e w e i s. : MB = B ist klr. Ist α OM), so ist αξ M = cb + ξa, d.h. es gibt x A mit α x)ξ cb. D cb und ξb teilerfremd sind, ist α x cb, d.h. α A + cb = O. Für α O B ist ferner αm = αcb + αξa cb + A + bc ω)ξa = cb + ξa = M, d.h. α OM). : 1. Sei A zunächst diskreter Bewertungsring mit Primelement p, b = ta, c = ra. Nch O Mer [15], Theorem 81:3), existiert zu M B = A tωa eine Zerlegung M = p e A δa, δ = p f + p g εtω, e, f, g 0, ε EA). Wegen B = MB = p e B + δb sind p e und δδ in A teilerfremd. δ/p e ist Nullstelle von X 2 δ + δ )p e p 2e X + δδ p 2e,

7 d.h. nch Lemm 2.5 ist Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 49 A trωa = O = OM) = A p 2e δ p e A = A pe p f + p g εtω)a, d.h. ra = p e+g A. Dmit ist rb = p e+g A p e+g tωa p e A p f + p g εtω)a = M. Für e = 0 sei ξ := 1 M, nsonsten ξ := δ = p f + p g εtω M. Wegen B = p e B + p f + p g εtω)b ist ferner min{e, f, g} = 0. Dmit folgt in jedem Fll rb + ξa = M. 2. Sei A jetzt beliebig. Ist p c Primidel von A, so existiert nch 1. ein ξp) B p mit M p = cb p +ξp)a p. Durch Multipliktion mit einem Element von A \ p knn ξp) B erreicht werden. Nch dem Chinesischen Reststz existiert ξ B mit ξ ξp) mod p ord pc B für lle p c. Für diese p ist dnn ξ ξp))a p p ord p c B p = cb) p, d.h. 13) M p = cb p + ξp)a p + ξ ξp))a p = cb + ξa) p. Für p c ist OM p ) = O p = B p, M p B p = B p, d.h. M p = B p = cb) p = cb + ξa) p. Zusmmen mit 13) ergibt sich M = cb + ξa. Ferner ist B = MB = cb + ξb. Lemm 2.9. Für A := O k gilt Kern φ = N k/q c) p c B e w e i s. Nch Lemm 2.8 ist 1 χ D p) ) =: γd). N k/q p) ψ : EO K /co K ) Kern φ, ξ mod co K co K + ξo k, wohldefinierter surjektiver Gruppenhomomorphismus. EO/cO K ). Der knonische Homomorphismus O k O/cO K, x x mod co K ist surjektiv und ht den Kern O k co K = c. Es gilt lso Er ht den Kern 14) Kern φ = EO K /co K ) : Kern ψ = EO K /co K ) : EO k /c). Mit der Verllgemeinerung der Eulerschen φ-funktion Nrkiewicz [14], Theorem 1.8) und der Definition von χ D folgt ) 1 EO K /co K ) = N K/Q co K ) 1 N K/Q P) P co K = Nc) ) 1 χ D p) ), Np) Np) p c

8 50 M. Peter EO k /c) = Nc) p c und dmit us 14) die Behuptung. 1 1 ) Np) Wie bei Nrkiewicz [14], Chp. III, 5, Bem. 4 der 1. Auflge von 1974 zeigt mn, dß es eine Untergruppe U k gibt, sodß die direkte Zerlegung 15) k = EO k ) U gilt. Zwei O k -Netze M 1, M 2 K heißen äquivlent im engen Sinn M 1 eng M 2 ), wenn es ξ K gibt mit N K/k ξ) U und M 1 = ξm 2. Sei νd) := [{α EO K ) N K/k α) = 1} : {α EO) N K/k α) = 1}]. Lemm Für die in 2) definierte Gruppe gilt U D = {α EO) N K/k α) = 1}, νd) <, GO)/ eng = GO K )/ eng γd) : νd). B e w e i s. Die Endlichkeit der Äquivlenzklssen-Anzhlen wird sich us dem Beweis von Lemm 2.12 ergeben. D U Gruppe ist, knn uf GO) := GO)/ eng und GOK ) := GO K )/ eng vertreterweise die Multipliktion definiert werden. φ induziert einen Gruppenhomomorphismus φ : GO) GOK ), [M] eng [MO K ] eng, der nch Lemm 2.7 surjektiv ist; [M] eng sei die Äquivlenzklsse von M. Mit der Untergruppe G := {ξo K ξ K, N K/k ξ) U} GO K ) gilt dnn unter Verwendung von U EO k ) = {1}, GO)/{[M] eng φm) G} = GO K ), Kern φ/{ξo ξ EO K ), N K/k ξ) = 1} = {[M] eng φm) G}, {ξ EO K ) N K/k ξ) = 1}/{ξ EO) N K/k ξ) = 1} = {ξo ξ EO K ), N K/k ξ) = 1}. Mit Lemm 2.9 folgen drus die beiden letzten Behuptungen. Ist α = x + y D)/2 U D, so ist α + α = x O k und αα = x 2 y 2 D)/4 = 1 O k. Drus folgt α = z + tω O K = O k bω und mit 7) und 8), y 2 c 2 b 2 ω ω ) 2 = α α ) 2 O k = t 2 ω ω ) 2 O k, d.h. t ycb cb und dmit α O. Ebenso folgt α O und dmit α EO). Die umgekehrte Richtung wird nlog bewiesen. Sei M D := {M GO) M freier A-Modul}. Jede Äquivlenzklsse us GO), die M D schneidet, liegt gnz in M D. Lemm Ht k ungerde Klssenzhl h k, so gilt GO) = hk M D / eng.

9 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 51 B e w e i s. Bezüglich der durch M 1 M 2 : Es existiert ein Automorphismus ϱ des k-vektorrums K mit M 1 = ϱm 2 ) uf GO) definierten Äquivlenzreltion ist M D eine Äquivlenzklsse. Jede eng -Äquivlenzklsse liegt in einer -Äquivlenzklsse. Sei [[M]] die - Äquivlenzklsse von M. Für GO k ) ist die Abbildung GO) GO), M M, wohldefiniert und bijektiv; Äquivlenzklssen bezüglich eng und bleiben unter ihr erhlten, d.h. 1 = 1 für M GO). [N] eng [[M]] [P ] eng [[M]] Sind M 1, M 2 GO), so existieren nch Nrkiewicz [14], Theorem 1.13, gebrochene Idele 1, 2 GO k ) mit M 1 = Ok 1, M 2 = Ok 2, wobei = die Isomorphie von O k -Moduln bezeichnet; sie knn jeweils zu einem Isomorphismus der k-vektorräume K und k k fortgesetzt werden. Qudrieren ist uf der Idelklssengruppe von k ein Isomorphismus, d sie ungerde Ordnung h k ht. Es gibt dher GO k ) und 0 α k mit α 2 1 = 2. Wegen M 1 = 1 folgt us [14], Theorem 1.14, M 1 = M2, d.h. M 1 M 2 nch Fortsetzen des O k -Modul-Isomorphismus zu einem k-automorphismus von K. Insgesmt gilt lso 1 = 1, GO) = [[M]] GO)/ [N] eng [[M 1 ]] 1 [N] eng [[M]] [P ] eng [[M 2 ]] 1 = GO)/ M D / eng. Sei M 0 GO), M 0 = Ok 0, 0 GO k ). Für 1, 2 GO k ) folgt us den oben zitierten Sätzen [[ 1 M 0 ]] = [[ 2 M 0 ]] ist Huptidel und dmit GO)/ = h k. Lemm Ist h k ungerde, so gilt hd) = h K [EO k ) : N K/k EO K ))] γd) h k [{α EO K ) N K/k α) = 1} : U D ]. B e w e i s. Die folgenden Schlüsse sind nlog zu denen in Zgier [29], S. 92ff. 1) Für M M D, M = O k α O k β folgt us α α 2 β β O k = d K/k M) = N K/k M) 2 d K/k

10 52 M. Peter mit 8) und der Invrinz von αβ α β)/ D unter Konjugtion αβ α β D k und d.h. es gibt genu ein nm) U mit 16) N K/k M)c 1 = nm)o k, αβ α β D O k = N K/k M)c 1, αβ α β nm) D EO k). Die O k -Bsis α, β) von M heißt positiv orientiert, flls αβ α β = nm) D. Jedes M M D ht eine solche Bsis α, β), und für sie wird definiert f M,α,β x, y) := N K/kαx + βy) nm) = αα nm) x2 + αβ + α β xy + nm) ββ nm) y2. Wegen der positiven Orientiertheit der Bsis ht diese qudrtische Form die Diskriminnte D. Mn bezeichne ihre Koeffizienten mit, b, c. Ist ) β Irr α, k = X 2 + r t X + s t, r, s, t O k, so folgt us Lemm 2.5, 10) und 8) O = OM) = O k β α, = ggt ro k, so k ) 1 kgv ggt ro k, so k ), to k ), DO k = N K/k O) 2 d K/k = d K/k O) = 2 αβ α β) 2 αα ) 2 d.h. = O k. Dmit ergibt sich O k + bo k + co k = O k + r t O k + s ) t O k = 2 nm)2 D αα ) 2, = t ggt to k, ggt ro k, so k )) = O k. f M,α,β ist lso primitive qudrtische Form über O k mit Diskriminnte D. 2) Seien M i M D, i = 1, 2, im engeren Sinn äquivlent mit positiv orientierten Bsen α i, β i ). Ist λ K, N K/k λ) U, M 1 = λm 2, so existiert p q v w) GL2 O k ) mit ) ) ) α1 p q λ α2 =. v w λ β 2 β 1 Es folgt nm 1 )c = N K/k λ)nm 2 )c, d.h. nm 1 ) = N K/k λ)nm 2 ). Dmit ist f M1,α 1,β 1 x, y) = f M2,α 2,β 2 px + vy, qx + wy) und wegen der positiven Orientiertheit nm 1 ) D = pw qv)nm 1 ) D, d.h. pw qv = 1. Also sind f Mi,α i,β i, i = 1, 2, äquivlent.

11 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 53 Ist A D die Menge ller primitiven qudrtischen Formen über O k mit Diskriminnte D, so ist lso die Abbildung Φ : M D / eng A D /, [M 1 ] eng [f M1,α 1,β 1 ], wohldefiniert. 3) Die Äquivlenzklsse jedes Elements von A D := {x 2 + bxy + cy 2 O k + bo k + co k = O k, b 2 4c = D, N K/k K ) U} ist stets gnz in A D enthlten 0, d D kein Qudrt ist), und es gilt Bild Φ = A D/. Dbei ist die Inklusion trivil. Umgekehrt, sei f = x 2 + bxy + cy 2 A D, M := O k O k β, β := b D K \ k. 2 Aus Lemm 2.5 folgt OM) = O k βo k. Wegen β O K = O k bω ist β = x + yω, x O k, y b. Aus 7) und 8) folgt DO k = β β) 2 O k = Dy 2 b 2 c 2, d.h. yo k = bc. Drus folgt OM) = O, d.h. M M D. Seien λ K, z U, mit =N K/k λ)z 1. Mn definiere α 1 :=λ, β 1 :=λβ. Mit 16) folgt, dß α 1, β 1 ) positiv orientierte O k -Bsis von M 1 :=λm M D ist mit z =nm 1 ). Ferner ist f M1,α 1,β 1 =f, d.h. [f]=φ[m 1 ] eng ). Φ ist injektiv. Dzu sei f A D und M 1 wie oben. Ht M M D die positiv orientierte Bsis α, β) und ist f M, α, β = f, so ist β = β α und M = αo k βo k ) = α ) α λ M 1 mit N K/k = n M) U, λ z d.h. M eng M 1. Ist nun M M D mit positiv orientierter Bsis α, β) und Φ[ M] eng ) = [f], so existiert p q v w) SL2 O k ) mit f = f + qy, vx + M, α, βpx wy) = f ; dbei ist M, α, β ) ) ) α p v α := β q w β positiv orientierte Bsis von M, d.h. nch dem eben Bewiesenen M eng M 1. Insgesmt ist 17) M D / eng = A D/. 4) Durch f 1 = 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 f 2 = 2 x 2 + b 2 xy + c 2 y 2 : 1 / 2 N K/k K )U ist uf A D eine Äquivlenzreltion erklärt mit f 1 f 2 f 1 f 2.

12 54 M. Peter Sei L A D / und f = e 1 zx L, e EO k ), z U. Dnn ist die Abbildung L A De 2, g eg, bijektiv und mit der -Äquivlenz qudrtischer Formen verträglich. Wegen M De 2 = M D ist lso nch 17) 18) L/ = A De 2/ = M D/ eng, Die Abbildung d.h. A D / = A D / M D / eng. A D / k /N K/k K )U, f = x mod N K/k K ) U, ist bijektiv, d ex 2 + uxy + u2 D 4e y 2, e EO k ), u 2 D 4), uf e mod N K/k K )U bgebildet wird. Aus 18) folgt 19) hd) = A D / = M D / eng [k : N K/k K )U]. 5) Für den Gruppenhomomorphismus N K/k : EO K ) EO k ) gilt wegen der endlichen Erzeugtheit von EO k ) EO k ) 2 Bild N K/k EO k ), 20) m := [EO k ) : Bild N K/k ] [EO k ) : EO k ) 2 ] <, EO k ) k /U Bild N K/k, mod U Bild N K/k, ist surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Bild N K/k ls Kern ht. Sei v := [N K/k K )U : Bild N K/k U]. Dnn ist lso 21) [k : UN K/k K )] = [EO k ) : Bild N K/k ] : [UN K/k K ) : U Bild N K/k ] = m/v <. Ist N K/k α i ), α i K, i = 1,..., v, vollständiges Repräsentntensystem von N K/k K )U/Bild N K/k U, K GO K ) Äquivlenzklsse im weiteren Sinn, A K, so ist α i A, i = 1,..., v, vollständiges Repräsentntensystem von K/ eng, d.h. K/ eng = v. Ist h K die Idelklssenzhl von K im weiteren Sinn, so gilt lso 22) GO K )/ eng = vh K. Aus 19), 21), 22), Lemm 2.10 und Lemm 2.11 folgt schließlich hd) = M D / eng m v = GO) m h k v = m h K γd). νd) h k B e w e i s v o n P r o p o s i t i o n 2.4. Die Numerierung der Körperhomomorphismen sei wie folgt: σ 1 D) > 0,..., σ r1 D) > 0, σ r1 +1D) < 0,..., σ r D) < 0, 0 r 1 r.

13 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 55 Die Vorzeichen der Wurzeln seien so gewählt, dß gilt σi D) = σ i+s D), r + 1 i r + s. Für α = x + y D K, x, y k, sei σ i α) := σ i x) + σ i y) σ i D), σ i α) := σ i x) σ i y) σ i D), 1 i r + 2s. Dnn sind σ i, σ i für 1 i r 1 die reellen und für r i r + 2s die komplexen Q-Einbettungen von K in C. Sei r := 2r 1, 2s := 2n 2r 1. Es gilt σ i = σ i für r i r, 23) σ i = σ i+s für r + 1 i r + s, σ i = σ i+s für r + 1 i r + s, Sei σ i α) = σ i α ) für 1 i r + 2s, α K. Kern N K/k ) := {α EO K ) α m Kern N K/k für ein m 1}. Die Torsionsfreiheit von EO K )/Kern N K/k ) und T Kern N K/k ) ) = T EO)) liefert mit dem Huptstz über endlich erzeugte belsche Gruppen 24) EO K ) = Kern N K/k ) ε 1... ε l, Kern N K/k ) = T EO K )) η 1... η p, EO K ) = T EO K )) η 1... η p ε 1... ε l. Der Dirichletsche Einheitenstz ergibt mit EO K )/Kern N K/k = Bild NK/k und 20) l = rng EO K )/Kern N K/k = rng EO k ) = r + s 1, p + l = r + s 1, Für 1 j p und eine Q-Einbettung σ : K C ist 25) ση j )ση j) = 1. Mit 23) ergibt sich drus 26) σ i η j ) = 1 für r i r, 1 j p, d.h. p = r 1 + s. 27) log σ i N K/k ε q )) = log σ i ε q ) 2 für r i r, 1 q l. Nch 23) besteht die Regultormtrix von K us zwei Splten, wobei in der ersten die Mtrizen A 1 = log σ i η j ) ) 1 i r1 1 j p, A 2 = log σ i η j ) 2 ) r1 +1 i r, 1 j p A 3 = log σ i η j ) 2 ) r+1 i r+s, 1 j p

14 56 M. Peter A 4 = log σ i η j) ) 1 i r1, A 5 = log σ i η j) 2 ) r+1 i r+s 1 1 j p 1 j p und in der zweiten die entsprechenden Mtrizen mit ε q, 1 q l, sttt η j, 1 j p, vorkommen. Wegen 25), 26) und 27) ist d.h. A 2 = 0, A 1 + A 4 = 0, erste s 1 Zeilen von A 3 ) + A 5 = 0, 28) R K = R 1 R 2 mit R 1 = bs det t log σ i η j ) ) 1 i r1 1 j p, log σ i η j ) 2 ) r+1 i r+s ), 1 j p R 2 = detlog σ i N K/k ε q )) ) 1 i,q r+s 1 2 s 1. Aus 24) folgt Bild N K/k = T Bild N K/k ) N K/k ε 1 )... N K/k ε l ), d.h. R 2 ist der Regultor von Bild N K/k. D der Regultor von EO k ) uch der Regultor R k von k ist, folgt 29) [EO k ) : Bild N K/k ] = [T EO k )) : T Bild N K/k )] R 2 R k. D Kern N K/k ) /Kern N K/k eine endlich erzeugte Torsionsgruppe ist, folgt mit Lemm 2.10 p = rngkern N K/k ) = rng U D und die Existenz einer direkten Zerlegung Mit U D = T U D ) β 1... β p. 30) RD) := bs det t log σ i β j ) ) 1 i r1 1 j p und d R 1 Regultor von Kern N K/k ) ist, gilt, log σ i β j ) 2 ) r+1 i r+s ) 1 j p [Kern N K/k ) : U D ] = [T EO K )) : T U D )] RD) R 1. Einschränkung von N K/k uf Kern N K/k ) liefert und dmit Kern N K/k ) /Kern N K/k = T Bild NK/k ) T U D ) [Kern N K/k : U D ] T Bild N K/k ) 31) RD) = R 1. T EO K ))

15 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 57 Mit der Klssenzhlformel für Zhlkörper [2], S. 336, Stz 2) folgt us Lemm 2.12, 28), 29), 31), Lemm 2.2, 8), Lemm 2.9, und Lemm 2.1 hd) = [EO k) : Bild N K/k ] γd) Res s=1 ζ K s) T EO K )) d K/Q 1/2 [Kern N K/k : U D ] 2 r +s π s R K 2 r+s π s R k Res s=1 ζ k s) T EO k )) d k/q 1/2 = T U D) d k/q 1/2 N K/k D) 1/2 RD)2 p π n p L1, χ D ). D χ D und χ D Idelklssenchrktere im engeren Sinn sind und keine Huptchrktere, sind Ls, χ D ) und Ls, χ D) Heckesche L-Reihen und dmit gnze Funktionen Lndu, [11], Stz LXIII). 3. Der Spezilfll p = 1. Erfüllt k die in Abschnitt 1 gennnten schärferen Vorussetzungen, so ist für D D 32) Ferner ist r = n, r 1 = 1, s = 0, p = 1, k, K R, σ 1 = id K, T K ) = {±1}. 33) U D = {±1} ε D, RD) = log ε D, mit eindeutig bestimmtem ε D > 1. Für α = u + v D)/2 U D gilt 34) 1 < α x 2 < u x + x 1, v D > 0. Für D, u, v O k, u 2 Dv 2 = 4, u > 2, 2 i n gilt: v 0, D > 0 und 35) σ i D) < 0 σ i u) < 2 D kein Qudrt in O k. Für die Hlbgruppe V := U O k gilt 36) O k \ {0} = EO k ) V. Für D 1 D, K := k D 1 ), x 2, definiere mn 37) S K := {D, u, v) D O k Diskriminnte, k D) = K, u O k, v V, u 2 Dv 2 = 4, 2 < σ 1 u) x, σ i u) < 2, i = 2,..., n}. Dnn ist für x := x + x 2 4)/2 S K = α Kern N K/k : 1<α x oder 1<α 1 x { D, u, v) S K 1 2 u + v D) = α }. Ist α fest, D 1, u 1, v 1 ) S K, u 1 + v 1 D)/2 = α, so ist der Summnd wegen 36) 1 τ 2 u 2 1 4)O k ) N k/q u 2 1 4)O k ) ε x 2ε. D,v) O k V: u 2 1 4=Dv2

16 58 M. Peter Nch Lemm 2.10 ist [Kern N K/k : U D1 ] <, d.h. Kern N K/k = {±1} ε, ε = y + z D 1 )/2 > 1. Dbei ist y = ε + ε O k, y 2 D 1 z 2 = 4εε = 4, d.h. z D 1 > 0, y > 2, σ i y) < 2, i = 2,..., n, und dmit ε y/2. Ds Bild von O k unter der Abbildung 38) φ : k R n, t σ 1 ),..., σ n )), ist ein Gitter in R n. Dher ist ε µk) > 1 und 39) S K x 2ε 2ε log x 1 x log µk) x3ε. α Kern N K/k : 1<α x Ferner ist ε D1 = ε l für ein l N und dmit 40) ε D1 µk) > 1 für lle D 1 D. Für ein Idel q 0 in O k definiere mn T q := {K Es gibt D D mit K = k D), d K/k = q}. Für K, K 1 T q existieren D K, D K1 D mit K = k D K ), K 1 = k D K1 ), und nch 8) gnze Idele c K, c K1 mit D K O k = qc 2 K, D K 1 O k = qc 2 K 1. D h k ungerde ist, existiert l K k mit D K D 1 K 1 O k = c k c 1 K 1 ) 2 = lk 2 O k, d.h. es gibt e K EO k ) mit D K = e K lk 2 D K 1. Für festes K 1 ist die Abbildung injektiv. Dmit gilt T q EO k )/EO k ) 2, K e K mod EO k ) 2, 41) T q [EO k ) : EO k ) 2 ] Beweis von Stz 1.1. Für x > 1 gilt mit 34) einerseits 42) S m x) : = hd) log ε D ) m = D D, α U D : 1<α x D D, u,v O k : u 2 Dv 2 =4, 2<u x+x 1, v D>0 hd) log ε D ) m und mit 33) ndererseits 43) Sm x) = hd) log ε D ) m = Θ m x 1/l ). D D, l N: ε l D x l 1 Die Summe S m x) := D O k Diskr., u O k, v V: u2 Dv 2 =4, Nv) 2 n 1 x 2<σ 1 u) x, σ i u) <2, i=2,...,n hd) log ε D ) m ist wegen 35) wohldefiniert; wegen 36) und d φo k ) R n Gitter ist siehe 38)), ist S m x) endlich.

17 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 59 Seien D j, u j, v j ), 1 j N, die Tripel, über die in S m x + x 1 ) summiert wird. Wegen 35) ist D j D und es gibt genu ein e j EO k ) mit e 2 j D j D, e 1 j v j e 2 j D j > 0. Dnn sind e 2 j D j, u j, e 1 j v j ), 1 j N, genu die verschiedenen Tripel, über die in 42) summiert wird, d.h. es gilt N 44) S m x) = he 2 jd j ) log ε e 2 j D j ) m = j=1 N hd j ) log ε Dj ) m = S m x + x 1 ). j=1 Seien D j mod 4O k, 1 j L, die Qudrte in O k /4O k. Für 1 j L, 0 v O k, seien m ij v) mod 4v 2, 1 i s j v), die Lösungen von x D j v 2 4v 2 ). Mit dem Chinesischen Reststz und x 2)O k + x + 2)O k 4O k folgt s j v) N k/q 4O k ) {x mod v 2 x 2 4 v 2 )} p v {x mod p 2 ord p v x ±2 p 2 mx{ord p v ord p 2, 0} )} p v 2N k/q p) 2 ord p v 2 mx{ord p v ord p 2, 0} 2 ωvo k) N k/q 4O k ), wobei ω) := p 1 ist. Mit τ l) := 1... l = 1 gilt wie im rtionlen Fll 45) 2 ω) τ 2 ) N) ε, s j v) Nv) ε. Sei f v,i,j t) := 16v 2 t 2 + 8m ij t + m 2 ij 4)/v2 O k [t]. Dnn gilt für 0 v O k, 1 j L, u O k, 46) u 2 Dv 2 = 4 lösbr mit einem D D j 4) Es gibt 1 i s j v) mit u m ij 4v 2 ). Lemm 4.1. Für jedes Primidel p 2 zerfällt f v,i,j mod p im lgebrischen Abschluß von O k /p in ein oder zwei verschiedene Linerfktoren; insbesondere ist es nicht ds Nullpolynom mod p. B e w e i s. Wegen p m ij O k + vo k ht f v,i,j mod p keine oder eine Nullstelle, die nicht Nullstelle von f v,i,j mod p ist. Für ein gnzes Idel 0 von O k sei M) vollständiges Repräsentntensystem von O k /4O k. Für 0 v O k, 1 j L, sei 47) c j v, ) := s j v) i=1 M) ) fv,i,j )

18 60 M. Peter 4) ist für beliebiges D O k sinnvoll). Wegen f v,i,j ) m 2 ij 4)/v2 D j 4) ist f v,i,j ) immer Diskriminnte. Die Definition ist unbhängig von der speziellen Whl von M), d ds Gewicht 4-periodisch ist. Lemm 4.2. Für ein Primidel p 2 und einen Chrkter φ von O k /p, +) gilt ) fv,i,j ) φ) p 2N k/qp) 1/2. mod p B e w e i s. p) ist Chrkter von Ok /p), ) Hecke [5], S. 196) und nicht der Huptchrkter. Aus den Weilschen Chrktersummenbschätzungen Schmidt [19], Lemm 2C, S.11 und Theorem 2C und 2G, S. 43 und 45) zusmmen mit Lemm 4.1 folgt die Behuptung. Für ein gnzes Idel 0 definiere mn K) := p : ord p ungerde p. Lemm 4.3. Sei 0 v O k, 0 Idel von O k, 1 j L, 1 i s j v), R vollständiges Repräsentntensystem von O k /4, φ Chrkter von O k /4, +). Dnn ist ) fv,i,j ) φ) N k/q )N k/q K)) 1/2 2 ω). R B e w e i s. Seien 4 = p p t t, = p c pc t t Primidelzerlegungen. Nch dem Chinesischen Reststz existieren die Isomorphismen der folgenden Gruppe und ihrer Dulgruppe: O k /4 = O k /p O k/p t t, Ok /4) = O k /p 1 1 )... O k /p t t ). Die bzuschätzende Summe S ist unbhängig von R und dmit t ) cl fv,i,j b l ) 48) S = φ l b l ) = b r mod p r r t l=1 b l mod p l l, r=1,...,t l=1 p l ) cl fv,i,j b l ) φ l b l ) =: p l wobei φ l der durch φ uf O k /p l l induzierte dditive Chrkter ist. Trivilerweise ist 49) S l 1 = N k/q p l l ). b l mod p l l Ist p l 2, c l ungerde, so ist l = c l und S l = ) fv,i,j d + c) φ l d + c) d mod p l c p l /p c l l p l t l=1 S l

19 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 61 = d mod p l fv,i,j d) p l ) φ l d) c p l /p c l l φ l c). Ist φ l uf der Untergruppe p l /p c l l O k /p c l l nicht der Huptchrkter, so verschwindet die zweite Summe und es ist S l = 0. Im nderen Fll knn φ l ls Chrkter von O k /p l ufgefßt werden, und mit Lemm 4.2 folgt S l N k/q p c l 1 l ) 2N k/q p l ) 1/2. Aus 48) und 49) folgt dmit S N k/q p l ) l 2N k/q p l ) l 1/2 l: p l 2 oder c l gerde N k/q )N k/q K)) 1/2 2 ω). Sei α 1,..., α n eine feste Z-Bsis von O k. l: p l 2, c l ungerde Lemm 4.4. Sei 0 v O k, 0 gnzes Idel, 1 j L, 1 i s j v). Dnn existiert eine Z-Bsis β 1,..., β n von 4 mit β l = l1 α ll α l, lq Z, l = 1,..., n. Für 0 u l v l ll 1, l = 1,..., n, e EO k ), gilt u l t l v l, l=1,...,n fv,i,j e n l=1 α ) lt l ) N)NK)) 1/2 2 ω) log n N4). B e w e i s. Die Existenz der Bsis β 1,..., β n folgt us Theorem 35 von Hecke [5]. Nch Theorem 36 in [5] ist N4) = nn und { n } 50) R := e α l x l xl Z, 0 x l < ll, l = 1,..., n l=1 vollständiges Repräsentntensystem von O k /4. Seien α1,..., αn und β1,......, βn die dulen Bsen zu α 1,..., α n und β 1,..., β n. Dnn sind Ok = α1z... αnz und 4) = β1z... βnz die dulen Moduln zu O k und 4 Lng [12], S. 57, Proposition 1). Ist βl = n m=1 b lmαm, b lm Q, so gilt n n n δ lt = Sp k/q βl β t ) = b lm tu Sp k/q αmα u ) = b lm tm, m=1 u=1 m=1 1 l, t n. D lm ) untere Dreiecksmtrix ist, ist lso b lm ) obere Dreiecksmtrix, d.h. 51) b lm = 0 für l > m, b ll = 1 ll für lle l. Für x 1,..., x n Z bzw. λ 1,..., λ n Z sei fv,i,j e n F x 1,..., x n ) := l=1 α lx l ) ),

20 62 M. Peter F λ 1,..., λ n ) := = 0 x l < ll, l=1,...,n 0 x l < ll, l=1,...,n γ = γλ 1,..., λ n ; ) := e 1 n F x 1,..., x n )e m,r=1 F x 1,..., x n )e Sp k/q γ n m=1 β mλ m 4). b mr λ m x r ) n eα l x l )), Dbei ist ex) := e 2πix. φα) := esp k/q γα)) ist Chrkter von O k /4, +). Mit 50) folgt us Lemm 4.3 für lle λ 1,..., λ n Z 52) F λ1,..., λ n ) = ) fv,i,j α) φα) N)NK)) 1/2 2 ω). α R Aus 51) und der Orthogonlitätsreltion folgt durch Auswerten der Summen von innen nch ußen 0 λ 1 < λ n < nn n e m,r=1 ) b mr λ m x r t r ) l=1 { = nn für x 1,..., x n ) = t 1,..., t n ), 0 sonst für 0 t l, x l < ll, t l, x l Z, l = 1,..., n. Dmit gilt für 0 t l < ll, t l Z, l = 1,..., n, 53) F t 1,..., t n ) = nn 1 0 λ l < ll, l=1,...,n F λ 1,..., λ n )e n m,r=1 b mr λ m t r ). Seien u l, v l wie in der Vorussetzung, λ 1,..., λ n Z. Mit 51) und x := min l Z x l gilt 54) Gλ 1,..., λ n ) := = u l t l v l, l=1,...,n n r=1 u r t r v r e e n { min rr, 1 2 r=1 n m,r=1 b mr λ m t r ) n ) b mr λ m )t r m=1 r } 1 b mr λ m. m=1 Summtion über λ n liefert für λ 1,..., λ n 1 Z

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