Momente der Klassenzahlen binärer quadratischer Formen mit ganzalgebraischen Koeffizienten

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Momente der Klassenzahlen binärer quadratischer Formen mit ganzalgebraischen Koeffizienten"

Transkript

1 ACTA ARITHMETICA LXX ) Momente der Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen mit gnzlgebrischen Koeffizienten von Mnfred Peter Freiburg) 1. Einleitung und Formulierung des Ergebnisses. Für die Anzhl hd) der Äquivlenzklssen primitiver binärer qudrtischer Formen zur Diskriminnte d beweist Siegel [22] hd) log ε d = π2 18ζ3) x3/2 + Ox log x), 1<d x wobei ε d > 1 die Fundmentllösung der Pellschen Gleichung u 2 dv 2 = 4 ist. Für d 0 4) wurde eine nloge Formel von Guß vermutet Disquisitiones Arithmetice ); siehe uch I. M. Vinogrdov [27], Mertens [13], I. M. Vinogrdov [26], Shintni [20], Hooley [8]. Die Formel 1) hd) log ε d = 1 2 x2 + Ox 3/2 log 3 x) ε d x wurde von Srnk [16] mit Hilfe der Selbergschen Zetfunktion für diskontinuierliche Gruppen bewiesen; siehe uch Iwniec [9] und Srnk [18]. In [17] beweist Srnk die Formel 1) für qudrtische Formen, deren Koeffizienten gnze Zhlen us einem imginärqudrtischen Zhlkörper mit Klssenzhl 1 sind. Wolke [28] beweist die Formel h n) α = Θα)x α+2)/2 + Ox α+2)/2 1/4+ε ) α, ε > 0) n x vgl. Brbn [1]). Ziel der vorliegenden Arbeit ist folgende Verllgemeinerung von 1): k sei totlreeller Zhlkörper mit ungerder Klssenzhl. Sei O k der Ring der gnzen Zhlen in k, EO k ) seine Einheitengruppe, σ i : k R, 1 i n := [k : Q], seine Q-Einbettungen und o.e. σ 1 = id k, k R. Auf der Menge D := {D O k x 2 D 4) in O k lösbr, D kein Qudrt in O k, σ 1 D) > 0, σ 2 D),..., σ n D) < 0} [43]

2 44 M. Peter werde die Äquivlenzreltion durch D 1 D 2 : D 1 = e 2 D 2 für ein e EO k ) definiert; D D sei ein vollständiges Repräsentntensystem von. Für D D definiere mn die Gruppe 2) U D := { 1 2 x + y D) x, y O k, x 2 Dy 2 = 4 }. In 33) wird gezeigt, dß es eine direkte Zerlegung U D = {±1} ε D mit eindeutig bestimmtem ε D > 1 gibt. Ist D O k, x 2 D 4) lösbr, so heißt 3) x 2 +bxy+cy 2 mit, b, c O k, O k +bo k +co k = O k, D = b 2 4c primitive qudrtische Form mit Diskriminnte D. Äquivlenz von qudrtischen Formen 3) ist wie üblich bezüglich linerer Vriblentrnsformtionen mit Koeffizientenmtrizen p q r s), p, q, r, s O k, ps qr = 1, definiert; die Anzhl der Äquivlenzklssen werde mit hd) bezeichnet. Sei m N, ε > 0. Stz 1.1. Mit einer nur von n bhängigen Konstnte ϱ < 1 siehe 74)) und einem von k und m bhängigen λ m > 0 gilt für x Θ m x) := hd) log ε D ) m = λ m x m+1 + Ox m+ϱ+ε ). mn D D:ε D x Die zum Beweis verwendete Methode geht uf Srnk [18] zurück. Für x 1 sei Nx) := {D D ε D x}. Anlog zu Stz 1.1 beweist D D:ε D x hd) log D D 1/2 ) m ) x = µ m x + O. log x Wie bei Brbn [1] knn drus gefolgert werden: Stz 1.2. Es existiert eine Verteilungsfunktion F : R [0, 1], sodß in jedem Stetigkeitspunkt z von F für x gilt { } 1 Nx) D D ε hd) log D D x, z F z). D 1/2 Diese Arbeit ist eine Zusmmenfssung meiner Doktorrbeit. Ich dnke Herrn Prof. Wolke für die Betreuung meiner Arbeit und Herrn Prof. Hinz für seine Kommentre zu einer vorläufigen Version. 2. Die Dirichletsche Klssenzhlformel über Zhlkörpern. In diesem Abschnitt wird nur vorusgesetzt, dß k Zhlkörper mit ungerder Klssenzhl h k ist ds geht in Lemm 2.11 und 41) ein). Seien σ 1,..., σ r die reellen und σ r+1, σ r+1,..., σ r+s, σ r+s die komplexen Q-Einbettungen von k in C n = r + 2s).

3 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 45 Für eine Diskriminnte D O k d.h. X 2 D 4) soll in O k lösbr sein), D kein Qudrt, definiere mn K := k D); für ein Primidel p 0 in O k mit p 2 sei ) D 1, p D, x 2 D p 2+1 ) lösbr, 4) χ D p) := := 1, p D, x p 2 D p 2+1 ) unlösbr, 0, p D, 1, p spltet in K uf po k = P 1 P 2, P 1 P 2 ), χ Dp) := 1, p ist in K träge po k = P), 0, p ist in K verzweigt po k = P 2 ), χ D bzw. χ D wird multipliktiv uf die zu D bzw. zur Diskriminnte d K/k von K/k teilerfremden gebrochenen Idele von k fortgesetzt; uf den übrigen wird der Wert 0 definiert. Bei Hilbert [6], 5, Sätze 6 8, sind die folgenden Eigenschften zu finden: Lemm 2.1. ) χ D p) = χ Dp) für Primidele p D. b) p verzweigt in K p d K/k für beliebige Primidele p 0 in O k. Wie im Fll der Riemnnschen Zetfunktion und Dirichletscher L-Reihen beweist mn Lemm 2.2. Sind ζ K bzw. ζ k die Dedekindschen Zetfunktionen von K bzw. k und ist Ls, χ D) := χ D ) N k/q ) s Rs > 1), wobei lle gnzen Idele 0 von O k durchläuft, so gilt Ls, χ D) = 1 χ D p) ) 1 Np) s, ζ K s) = ζ k s)ls, χ D) Rs > 1). p In der Terminologie von Lndu [11] folgt us dem Artinschen Reziprozitätsgesetz im Spezilfll reltivqudrtischer Erweiterungen: Lemm 2.3. χ D ist Idelklssenchrkter mod DO k im engeren Sinn, ist nicht der Huptchrkter und wird von χ D induziert. χ D ist primitiver Idelklssenchrkter. χ D und χ D hben den Führer d K/k. Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis von Proposition 2.4. Ist die Klssenzhl von k ungerde, so gilt hd) = d k/q N k/q D) 1/2 T U D ) 2 p π n p RD) L1, χ D), wobei RD) durch 30) definiert ist, p := rng U D und Ls, χ D ) := χ D ) N k/q ) s Rs > 1).

4 46 M. Peter D ich keinen Beweis von Proposition 2.4 in der Litertur finden konnte Dirichlet [3] untersucht k = Q 1), Speiser [23] legt einen nderen Äquivlenzbegriff zugrunde, Shyr [21] behndelt lgebrische Tori), wird im Folgenden ein Beweis skizziert, der eine Übertrgung des Beweises von Zgier [29], S. 92ff, und S. 95, Aufgbe 5, sowie Borewicz Šfrevič [2], S. 153ff und S. 170, Aufgben 6 11, ist. Dbei wird der llgemeine Fll durch Loklisierung bezüglich Primidelen uf den Spezilfll h k = 1 zurückgeführt. Dher wird lles für einen beliebigen Dedekindring O k A k durchgeführt. Sei B := A [K] der gnze Abschluß von A in K. Die Loklisierung eines A-Moduls M K bezüglich eines Primidels p von O k wird mit M p bezeichnet. Es gilt 5) M = p M p wobei p lle mximlen Idele von A durchläuft. α α bezeichne die k-konjugtion uf K. Nch O Mer [15], Theorem 81:3), existiert eine k-bsis 1, ω von K und ein gnzes Idel b von A mit 6) B = A bω. Durch Loklisieren und verwenden der Formel für die Diskriminnte freier A p -Moduln erhält mn 7) d K/k = b 2 ω ω ) 2. Sei u O k mit u 2 D 4). Dnn ist M := A A u+ D 2 freier A-Modul in B und mit dem gnzen Idel c := N K/k M) gilt 8) DA = 1 u+ D 2 1 u D 2 2 A = d K/k M) = N K/k M) 2 d K/k = c 2 d K/k. Sei M K A-Netz endlich erzeugter A-Modul vom Rng 2) und O := {α K αm M} sein Multipliktorenring; für ihn gilt OM) B, OM) p = OM p ) für jedes Primidel p von A, und ferner ist OM) A-Ordnung d.h. A-Netz und Ring mit Eins). Der von der Menge {det ij ) k α i, β i K, β 1 A β 2 A M, α 1 A α 2 A OM), β i = i1 α 1 + i2 α 2, ij k, i = 1, 2} erzeugte A-Modul werde mit N M) bezeichnet vgl. Borewicz Šfrevič [2], S. 142). N M) ist gebrochenes A-Idel, ds i.. nicht mit der Körpernorm N K/k M) übereinstimmt; bei dieser lutet die zweite Bedingung α 1 A α 2 A B.

5 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 47 Sind M = β 1 A β 2 A und OM) = α 1 A α 2 A freie A-Moduln und β i = i1 α 1 + i2 α 2, ij k, so ist N M) = det ij )A. Für jedes Primidel p von A gilt N M) p = N M p ). Der konjugierte Modul M := {α α M} ist wieder A-Netz; es gilt OM ) = OM) = OM). Ist 0 gebrochenes A-Idel, so folgt wegen seiner Invertierbrkeit OM) = OM). Anlog zu Lemm 1 in Borewicz Šfrevič [2], S. 153, beweist mn Lemm 2.5. Für γ K \ k, M := A Aγ, sei Irrγ, k) = X 2 + b X + c ds Minimlpolynom von γ über k und, b, c A) := A b A c A = ggt ba, ca) 1 kgv ggt ba, ca), A). Dnn ist OM) = A γ. Sind O 1, O 2 K A-Ordnungen und 0 gebrochenes A-Idel mit O 1 = O 2, so ist O 1 = 1 O 2 = 1 O 2 O 2 = O 1 O 2 = O 1 O 1 = O 1 = O 2. Dmit und mit Lemm 2.5 knn folgendes Lemm genuso bewiesen werden wie 8), S. 155 und Stz 2, S. 156 in [2], flls A ein Huptidelring ist. Der llgemeine Fll wird mit 5) uf diesen Spezilfll zurückgeführt. Lemm 2.6. ) MM = N M)OM) für A-Netze M K. b) Für jede A-Ordnung O K ist GO) := {M M K A-Netz, OM) = O} bezüglich Modulmultipliktion eine belsche Gruppe. Insbesondere ist GB) die Gruppe der gebrochenen B-Idele. Mit den Bezeichnungen 6) und 8) sei die A-Ordnung 9) O := A bc ω B definiert. Durch Loklisieren folgt 10) N K/k O) = c. Lemm 2.7. φ : GO) GB), M MB, ist surjektiver Gruppenhomomorphismus. B e w e i s. 1. Aus der Invertierbrkeit von Elementen us GO) folgt, dß φ wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. 2. Sei A zunächst Huptidelring, b = ta, c = ra. Um die Surjektivität von φ nchzuweisen, genügt es zu zeigen, dß jedes N = A Aγ GB) γ K \ k) unter φ ein Urbild ht. Sei Irrγ, k) = X 2 + b X + c,, b, c A,, b, c) = 1. Indem mn γ durch γ + g, g := p A prim: p, p c p A,

6 48 M. Peter ersetzt, knn o.e., c) = 1 ngenommen werden. Dnn existieren l, m A mit r = lm, l, m) = 1, l, ) = 1, m, c) = 1. Lemm 2.5 liefert für ds A-Netz M := ma lγa OM) = O A lm ) γa = A Am 2 l γa = A + lma + Aγ) m und wegen N GB) 11) A Aγ = ON) = B = A tωa, d.h. insgesmt M GO). Aus 11) und γ 2 = bγ c folgt φm) = N. 3. Sei A jetzt beliebig, N GB) und o.e. N B. Die Menge M := {p p 0 Primidel in A, p c oder N p B p } ist endlich. Für p M existiert nch 2. ein A p -Netz Mp) K mit OMp)) = O p, Mp)B p = N p. Der A-Modul M := p M Mp) B ist A-Netz, und es gilt 12) M p = Mp) für lle p M. Zum Beweis der nichttrivilen Inklusion sein α Mp). Für q M\{p} ist A q diskreter Bewertungsring und es gibt n 0 mit { A α Mq)} = A { A q α Mq)} = A qa q ) n = q n, d.h. es gibt q A\p mit q α Mq). Ferner existiert wegen Mp) N p B p ein s A\p mit sα B. Wegen p q M q)sα M, p q M q)s A \ p ist α M p. Anlog beweist mn M p = B p für lle p M. Zusmmen mit 12) folgt durch Loklisieren MB = N und OM) = O. Lemm 2.8. Für ein A-Netz M K gilt OM) = O, BM = M Es gibt ξ B mit cb + ξb = B, M = cb + ξa. B e w e i s. : MB = B ist klr. Ist α OM), so ist αξ M = cb + ξa, d.h. es gibt x A mit α x)ξ cb. D cb und ξb teilerfremd sind, ist α x cb, d.h. α A + cb = O. Für α O B ist ferner αm = αcb + αξa cb + A + bc ω)ξa = cb + ξa = M, d.h. α OM). : 1. Sei A zunächst diskreter Bewertungsring mit Primelement p, b = ta, c = ra. Nch O Mer [15], Theorem 81:3), existiert zu M B = A tωa eine Zerlegung M = p e A δa, δ = p f + p g εtω, e, f, g 0, ε EA). Wegen B = MB = p e B + δb sind p e und δδ in A teilerfremd. δ/p e ist Nullstelle von X 2 δ + δ )p e p 2e X + δδ p 2e,

7 d.h. nch Lemm 2.5 ist Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 49 A trωa = O = OM) = A p 2e δ p e A = A pe p f + p g εtω)a, d.h. ra = p e+g A. Dmit ist rb = p e+g A p e+g tωa p e A p f + p g εtω)a = M. Für e = 0 sei ξ := 1 M, nsonsten ξ := δ = p f + p g εtω M. Wegen B = p e B + p f + p g εtω)b ist ferner min{e, f, g} = 0. Dmit folgt in jedem Fll rb + ξa = M. 2. Sei A jetzt beliebig. Ist p c Primidel von A, so existiert nch 1. ein ξp) B p mit M p = cb p +ξp)a p. Durch Multipliktion mit einem Element von A \ p knn ξp) B erreicht werden. Nch dem Chinesischen Reststz existiert ξ B mit ξ ξp) mod p ord pc B für lle p c. Für diese p ist dnn ξ ξp))a p p ord p c B p = cb) p, d.h. 13) M p = cb p + ξp)a p + ξ ξp))a p = cb + ξa) p. Für p c ist OM p ) = O p = B p, M p B p = B p, d.h. M p = B p = cb) p = cb + ξa) p. Zusmmen mit 13) ergibt sich M = cb + ξa. Ferner ist B = MB = cb + ξb. Lemm 2.9. Für A := O k gilt Kern φ = N k/q c) p c B e w e i s. Nch Lemm 2.8 ist 1 χ D p) ) =: γd). N k/q p) ψ : EO K /co K ) Kern φ, ξ mod co K co K + ξo k, wohldefinierter surjektiver Gruppenhomomorphismus. EO/cO K ). Der knonische Homomorphismus O k O/cO K, x x mod co K ist surjektiv und ht den Kern O k co K = c. Es gilt lso Er ht den Kern 14) Kern φ = EO K /co K ) : Kern ψ = EO K /co K ) : EO k /c). Mit der Verllgemeinerung der Eulerschen φ-funktion Nrkiewicz [14], Theorem 1.8) und der Definition von χ D folgt ) 1 EO K /co K ) = N K/Q co K ) 1 N K/Q P) P co K = Nc) ) 1 χ D p) ), Np) Np) p c

8 50 M. Peter EO k /c) = Nc) p c und dmit us 14) die Behuptung. 1 1 ) Np) Wie bei Nrkiewicz [14], Chp. III, 5, Bem. 4 der 1. Auflge von 1974 zeigt mn, dß es eine Untergruppe U k gibt, sodß die direkte Zerlegung 15) k = EO k ) U gilt. Zwei O k -Netze M 1, M 2 K heißen äquivlent im engen Sinn M 1 eng M 2 ), wenn es ξ K gibt mit N K/k ξ) U und M 1 = ξm 2. Sei νd) := [{α EO K ) N K/k α) = 1} : {α EO) N K/k α) = 1}]. Lemm Für die in 2) definierte Gruppe gilt U D = {α EO) N K/k α) = 1}, νd) <, GO)/ eng = GO K )/ eng γd) : νd). B e w e i s. Die Endlichkeit der Äquivlenzklssen-Anzhlen wird sich us dem Beweis von Lemm 2.12 ergeben. D U Gruppe ist, knn uf GO) := GO)/ eng und GOK ) := GO K )/ eng vertreterweise die Multipliktion definiert werden. φ induziert einen Gruppenhomomorphismus φ : GO) GOK ), [M] eng [MO K ] eng, der nch Lemm 2.7 surjektiv ist; [M] eng sei die Äquivlenzklsse von M. Mit der Untergruppe G := {ξo K ξ K, N K/k ξ) U} GO K ) gilt dnn unter Verwendung von U EO k ) = {1}, GO)/{[M] eng φm) G} = GO K ), Kern φ/{ξo ξ EO K ), N K/k ξ) = 1} = {[M] eng φm) G}, {ξ EO K ) N K/k ξ) = 1}/{ξ EO) N K/k ξ) = 1} = {ξo ξ EO K ), N K/k ξ) = 1}. Mit Lemm 2.9 folgen drus die beiden letzten Behuptungen. Ist α = x + y D)/2 U D, so ist α + α = x O k und αα = x 2 y 2 D)/4 = 1 O k. Drus folgt α = z + tω O K = O k bω und mit 7) und 8), y 2 c 2 b 2 ω ω ) 2 = α α ) 2 O k = t 2 ω ω ) 2 O k, d.h. t ycb cb und dmit α O. Ebenso folgt α O und dmit α EO). Die umgekehrte Richtung wird nlog bewiesen. Sei M D := {M GO) M freier A-Modul}. Jede Äquivlenzklsse us GO), die M D schneidet, liegt gnz in M D. Lemm Ht k ungerde Klssenzhl h k, so gilt GO) = hk M D / eng.

9 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 51 B e w e i s. Bezüglich der durch M 1 M 2 : Es existiert ein Automorphismus ϱ des k-vektorrums K mit M 1 = ϱm 2 ) uf GO) definierten Äquivlenzreltion ist M D eine Äquivlenzklsse. Jede eng -Äquivlenzklsse liegt in einer -Äquivlenzklsse. Sei [[M]] die - Äquivlenzklsse von M. Für GO k ) ist die Abbildung GO) GO), M M, wohldefiniert und bijektiv; Äquivlenzklssen bezüglich eng und bleiben unter ihr erhlten, d.h. 1 = 1 für M GO). [N] eng [[M]] [P ] eng [[M]] Sind M 1, M 2 GO), so existieren nch Nrkiewicz [14], Theorem 1.13, gebrochene Idele 1, 2 GO k ) mit M 1 = Ok 1, M 2 = Ok 2, wobei = die Isomorphie von O k -Moduln bezeichnet; sie knn jeweils zu einem Isomorphismus der k-vektorräume K und k k fortgesetzt werden. Qudrieren ist uf der Idelklssengruppe von k ein Isomorphismus, d sie ungerde Ordnung h k ht. Es gibt dher GO k ) und 0 α k mit α 2 1 = 2. Wegen M 1 = 1 folgt us [14], Theorem 1.14, M 1 = M2, d.h. M 1 M 2 nch Fortsetzen des O k -Modul-Isomorphismus zu einem k-automorphismus von K. Insgesmt gilt lso 1 = 1, GO) = [[M]] GO)/ [N] eng [[M 1 ]] 1 [N] eng [[M]] [P ] eng [[M 2 ]] 1 = GO)/ M D / eng. Sei M 0 GO), M 0 = Ok 0, 0 GO k ). Für 1, 2 GO k ) folgt us den oben zitierten Sätzen [[ 1 M 0 ]] = [[ 2 M 0 ]] ist Huptidel und dmit GO)/ = h k. Lemm Ist h k ungerde, so gilt hd) = h K [EO k ) : N K/k EO K ))] γd) h k [{α EO K ) N K/k α) = 1} : U D ]. B e w e i s. Die folgenden Schlüsse sind nlog zu denen in Zgier [29], S. 92ff. 1) Für M M D, M = O k α O k β folgt us α α 2 β β O k = d K/k M) = N K/k M) 2 d K/k

10 52 M. Peter mit 8) und der Invrinz von αβ α β)/ D unter Konjugtion αβ α β D k und d.h. es gibt genu ein nm) U mit 16) N K/k M)c 1 = nm)o k, αβ α β D O k = N K/k M)c 1, αβ α β nm) D EO k). Die O k -Bsis α, β) von M heißt positiv orientiert, flls αβ α β = nm) D. Jedes M M D ht eine solche Bsis α, β), und für sie wird definiert f M,α,β x, y) := N K/kαx + βy) nm) = αα nm) x2 + αβ + α β xy + nm) ββ nm) y2. Wegen der positiven Orientiertheit der Bsis ht diese qudrtische Form die Diskriminnte D. Mn bezeichne ihre Koeffizienten mit, b, c. Ist ) β Irr α, k = X 2 + r t X + s t, r, s, t O k, so folgt us Lemm 2.5, 10) und 8) O = OM) = O k β α, = ggt ro k, so k ) 1 kgv ggt ro k, so k ), to k ), DO k = N K/k O) 2 d K/k = d K/k O) = 2 αβ α β) 2 αα ) 2 d.h. = O k. Dmit ergibt sich O k + bo k + co k = O k + r t O k + s ) t O k = 2 nm)2 D αα ) 2, = t ggt to k, ggt ro k, so k )) = O k. f M,α,β ist lso primitive qudrtische Form über O k mit Diskriminnte D. 2) Seien M i M D, i = 1, 2, im engeren Sinn äquivlent mit positiv orientierten Bsen α i, β i ). Ist λ K, N K/k λ) U, M 1 = λm 2, so existiert p q v w) GL2 O k ) mit ) ) ) α1 p q λ α2 =. v w λ β 2 β 1 Es folgt nm 1 )c = N K/k λ)nm 2 )c, d.h. nm 1 ) = N K/k λ)nm 2 ). Dmit ist f M1,α 1,β 1 x, y) = f M2,α 2,β 2 px + vy, qx + wy) und wegen der positiven Orientiertheit nm 1 ) D = pw qv)nm 1 ) D, d.h. pw qv = 1. Also sind f Mi,α i,β i, i = 1, 2, äquivlent.

11 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 53 Ist A D die Menge ller primitiven qudrtischen Formen über O k mit Diskriminnte D, so ist lso die Abbildung Φ : M D / eng A D /, [M 1 ] eng [f M1,α 1,β 1 ], wohldefiniert. 3) Die Äquivlenzklsse jedes Elements von A D := {x 2 + bxy + cy 2 O k + bo k + co k = O k, b 2 4c = D, N K/k K ) U} ist stets gnz in A D enthlten 0, d D kein Qudrt ist), und es gilt Bild Φ = A D/. Dbei ist die Inklusion trivil. Umgekehrt, sei f = x 2 + bxy + cy 2 A D, M := O k O k β, β := b D K \ k. 2 Aus Lemm 2.5 folgt OM) = O k βo k. Wegen β O K = O k bω ist β = x + yω, x O k, y b. Aus 7) und 8) folgt DO k = β β) 2 O k = Dy 2 b 2 c 2, d.h. yo k = bc. Drus folgt OM) = O, d.h. M M D. Seien λ K, z U, mit =N K/k λ)z 1. Mn definiere α 1 :=λ, β 1 :=λβ. Mit 16) folgt, dß α 1, β 1 ) positiv orientierte O k -Bsis von M 1 :=λm M D ist mit z =nm 1 ). Ferner ist f M1,α 1,β 1 =f, d.h. [f]=φ[m 1 ] eng ). Φ ist injektiv. Dzu sei f A D und M 1 wie oben. Ht M M D die positiv orientierte Bsis α, β) und ist f M, α, β = f, so ist β = β α und M = αo k βo k ) = α ) α λ M 1 mit N K/k = n M) U, λ z d.h. M eng M 1. Ist nun M M D mit positiv orientierter Bsis α, β) und Φ[ M] eng ) = [f], so existiert p q v w) SL2 O k ) mit f = f + qy, vx + M, α, βpx wy) = f ; dbei ist M, α, β ) ) ) α p v α := β q w β positiv orientierte Bsis von M, d.h. nch dem eben Bewiesenen M eng M 1. Insgesmt ist 17) M D / eng = A D/. 4) Durch f 1 = 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 f 2 = 2 x 2 + b 2 xy + c 2 y 2 : 1 / 2 N K/k K )U ist uf A D eine Äquivlenzreltion erklärt mit f 1 f 2 f 1 f 2.

12 54 M. Peter Sei L A D / und f = e 1 zx L, e EO k ), z U. Dnn ist die Abbildung L A De 2, g eg, bijektiv und mit der -Äquivlenz qudrtischer Formen verträglich. Wegen M De 2 = M D ist lso nch 17) 18) L/ = A De 2/ = M D/ eng, Die Abbildung d.h. A D / = A D / M D / eng. A D / k /N K/k K )U, f = x mod N K/k K ) U, ist bijektiv, d ex 2 + uxy + u2 D 4e y 2, e EO k ), u 2 D 4), uf e mod N K/k K )U bgebildet wird. Aus 18) folgt 19) hd) = A D / = M D / eng [k : N K/k K )U]. 5) Für den Gruppenhomomorphismus N K/k : EO K ) EO k ) gilt wegen der endlichen Erzeugtheit von EO k ) EO k ) 2 Bild N K/k EO k ), 20) m := [EO k ) : Bild N K/k ] [EO k ) : EO k ) 2 ] <, EO k ) k /U Bild N K/k, mod U Bild N K/k, ist surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Bild N K/k ls Kern ht. Sei v := [N K/k K )U : Bild N K/k U]. Dnn ist lso 21) [k : UN K/k K )] = [EO k ) : Bild N K/k ] : [UN K/k K ) : U Bild N K/k ] = m/v <. Ist N K/k α i ), α i K, i = 1,..., v, vollständiges Repräsentntensystem von N K/k K )U/Bild N K/k U, K GO K ) Äquivlenzklsse im weiteren Sinn, A K, so ist α i A, i = 1,..., v, vollständiges Repräsentntensystem von K/ eng, d.h. K/ eng = v. Ist h K die Idelklssenzhl von K im weiteren Sinn, so gilt lso 22) GO K )/ eng = vh K. Aus 19), 21), 22), Lemm 2.10 und Lemm 2.11 folgt schließlich hd) = M D / eng m v = GO) m h k v = m h K γd). νd) h k B e w e i s v o n P r o p o s i t i o n 2.4. Die Numerierung der Körperhomomorphismen sei wie folgt: σ 1 D) > 0,..., σ r1 D) > 0, σ r1 +1D) < 0,..., σ r D) < 0, 0 r 1 r.

13 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 55 Die Vorzeichen der Wurzeln seien so gewählt, dß gilt σi D) = σ i+s D), r + 1 i r + s. Für α = x + y D K, x, y k, sei σ i α) := σ i x) + σ i y) σ i D), σ i α) := σ i x) σ i y) σ i D), 1 i r + 2s. Dnn sind σ i, σ i für 1 i r 1 die reellen und für r i r + 2s die komplexen Q-Einbettungen von K in C. Sei r := 2r 1, 2s := 2n 2r 1. Es gilt σ i = σ i für r i r, 23) σ i = σ i+s für r + 1 i r + s, σ i = σ i+s für r + 1 i r + s, Sei σ i α) = σ i α ) für 1 i r + 2s, α K. Kern N K/k ) := {α EO K ) α m Kern N K/k für ein m 1}. Die Torsionsfreiheit von EO K )/Kern N K/k ) und T Kern N K/k ) ) = T EO)) liefert mit dem Huptstz über endlich erzeugte belsche Gruppen 24) EO K ) = Kern N K/k ) ε 1... ε l, Kern N K/k ) = T EO K )) η 1... η p, EO K ) = T EO K )) η 1... η p ε 1... ε l. Der Dirichletsche Einheitenstz ergibt mit EO K )/Kern N K/k = Bild NK/k und 20) l = rng EO K )/Kern N K/k = rng EO k ) = r + s 1, p + l = r + s 1, Für 1 j p und eine Q-Einbettung σ : K C ist 25) ση j )ση j) = 1. Mit 23) ergibt sich drus 26) σ i η j ) = 1 für r i r, 1 j p, d.h. p = r 1 + s. 27) log σ i N K/k ε q )) = log σ i ε q ) 2 für r i r, 1 q l. Nch 23) besteht die Regultormtrix von K us zwei Splten, wobei in der ersten die Mtrizen A 1 = log σ i η j ) ) 1 i r1 1 j p, A 2 = log σ i η j ) 2 ) r1 +1 i r, 1 j p A 3 = log σ i η j ) 2 ) r+1 i r+s, 1 j p

14 56 M. Peter A 4 = log σ i η j) ) 1 i r1, A 5 = log σ i η j) 2 ) r+1 i r+s 1 1 j p 1 j p und in der zweiten die entsprechenden Mtrizen mit ε q, 1 q l, sttt η j, 1 j p, vorkommen. Wegen 25), 26) und 27) ist d.h. A 2 = 0, A 1 + A 4 = 0, erste s 1 Zeilen von A 3 ) + A 5 = 0, 28) R K = R 1 R 2 mit R 1 = bs det t log σ i η j ) ) 1 i r1 1 j p, log σ i η j ) 2 ) r+1 i r+s ), 1 j p R 2 = detlog σ i N K/k ε q )) ) 1 i,q r+s 1 2 s 1. Aus 24) folgt Bild N K/k = T Bild N K/k ) N K/k ε 1 )... N K/k ε l ), d.h. R 2 ist der Regultor von Bild N K/k. D der Regultor von EO k ) uch der Regultor R k von k ist, folgt 29) [EO k ) : Bild N K/k ] = [T EO k )) : T Bild N K/k )] R 2 R k. D Kern N K/k ) /Kern N K/k eine endlich erzeugte Torsionsgruppe ist, folgt mit Lemm 2.10 p = rngkern N K/k ) = rng U D und die Existenz einer direkten Zerlegung Mit U D = T U D ) β 1... β p. 30) RD) := bs det t log σ i β j ) ) 1 i r1 1 j p und d R 1 Regultor von Kern N K/k ) ist, gilt, log σ i β j ) 2 ) r+1 i r+s ) 1 j p [Kern N K/k ) : U D ] = [T EO K )) : T U D )] RD) R 1. Einschränkung von N K/k uf Kern N K/k ) liefert und dmit Kern N K/k ) /Kern N K/k = T Bild NK/k ) T U D ) [Kern N K/k : U D ] T Bild N K/k ) 31) RD) = R 1. T EO K ))

15 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 57 Mit der Klssenzhlformel für Zhlkörper [2], S. 336, Stz 2) folgt us Lemm 2.12, 28), 29), 31), Lemm 2.2, 8), Lemm 2.9, und Lemm 2.1 hd) = [EO k) : Bild N K/k ] γd) Res s=1 ζ K s) T EO K )) d K/Q 1/2 [Kern N K/k : U D ] 2 r +s π s R K 2 r+s π s R k Res s=1 ζ k s) T EO k )) d k/q 1/2 = T U D) d k/q 1/2 N K/k D) 1/2 RD)2 p π n p L1, χ D ). D χ D und χ D Idelklssenchrktere im engeren Sinn sind und keine Huptchrktere, sind Ls, χ D ) und Ls, χ D) Heckesche L-Reihen und dmit gnze Funktionen Lndu, [11], Stz LXIII). 3. Der Spezilfll p = 1. Erfüllt k die in Abschnitt 1 gennnten schärferen Vorussetzungen, so ist für D D 32) Ferner ist r = n, r 1 = 1, s = 0, p = 1, k, K R, σ 1 = id K, T K ) = {±1}. 33) U D = {±1} ε D, RD) = log ε D, mit eindeutig bestimmtem ε D > 1. Für α = u + v D)/2 U D gilt 34) 1 < α x 2 < u x + x 1, v D > 0. Für D, u, v O k, u 2 Dv 2 = 4, u > 2, 2 i n gilt: v 0, D > 0 und 35) σ i D) < 0 σ i u) < 2 D kein Qudrt in O k. Für die Hlbgruppe V := U O k gilt 36) O k \ {0} = EO k ) V. Für D 1 D, K := k D 1 ), x 2, definiere mn 37) S K := {D, u, v) D O k Diskriminnte, k D) = K, u O k, v V, u 2 Dv 2 = 4, 2 < σ 1 u) x, σ i u) < 2, i = 2,..., n}. Dnn ist für x := x + x 2 4)/2 S K = α Kern N K/k : 1<α x oder 1<α 1 x { D, u, v) S K 1 2 u + v D) = α }. Ist α fest, D 1, u 1, v 1 ) S K, u 1 + v 1 D)/2 = α, so ist der Summnd wegen 36) 1 τ 2 u 2 1 4)O k ) N k/q u 2 1 4)O k ) ε x 2ε. D,v) O k V: u 2 1 4=Dv2

16 58 M. Peter Nch Lemm 2.10 ist [Kern N K/k : U D1 ] <, d.h. Kern N K/k = {±1} ε, ε = y + z D 1 )/2 > 1. Dbei ist y = ε + ε O k, y 2 D 1 z 2 = 4εε = 4, d.h. z D 1 > 0, y > 2, σ i y) < 2, i = 2,..., n, und dmit ε y/2. Ds Bild von O k unter der Abbildung 38) φ : k R n, t σ 1 ),..., σ n )), ist ein Gitter in R n. Dher ist ε µk) > 1 und 39) S K x 2ε 2ε log x 1 x log µk) x3ε. α Kern N K/k : 1<α x Ferner ist ε D1 = ε l für ein l N und dmit 40) ε D1 µk) > 1 für lle D 1 D. Für ein Idel q 0 in O k definiere mn T q := {K Es gibt D D mit K = k D), d K/k = q}. Für K, K 1 T q existieren D K, D K1 D mit K = k D K ), K 1 = k D K1 ), und nch 8) gnze Idele c K, c K1 mit D K O k = qc 2 K, D K 1 O k = qc 2 K 1. D h k ungerde ist, existiert l K k mit D K D 1 K 1 O k = c k c 1 K 1 ) 2 = lk 2 O k, d.h. es gibt e K EO k ) mit D K = e K lk 2 D K 1. Für festes K 1 ist die Abbildung injektiv. Dmit gilt T q EO k )/EO k ) 2, K e K mod EO k ) 2, 41) T q [EO k ) : EO k ) 2 ] Beweis von Stz 1.1. Für x > 1 gilt mit 34) einerseits 42) S m x) : = hd) log ε D ) m = D D, α U D : 1<α x D D, u,v O k : u 2 Dv 2 =4, 2<u x+x 1, v D>0 hd) log ε D ) m und mit 33) ndererseits 43) Sm x) = hd) log ε D ) m = Θ m x 1/l ). D D, l N: ε l D x l 1 Die Summe S m x) := D O k Diskr., u O k, v V: u2 Dv 2 =4, Nv) 2 n 1 x 2<σ 1 u) x, σ i u) <2, i=2,...,n hd) log ε D ) m ist wegen 35) wohldefiniert; wegen 36) und d φo k ) R n Gitter ist siehe 38)), ist S m x) endlich.

17 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 59 Seien D j, u j, v j ), 1 j N, die Tripel, über die in S m x + x 1 ) summiert wird. Wegen 35) ist D j D und es gibt genu ein e j EO k ) mit e 2 j D j D, e 1 j v j e 2 j D j > 0. Dnn sind e 2 j D j, u j, e 1 j v j ), 1 j N, genu die verschiedenen Tripel, über die in 42) summiert wird, d.h. es gilt N 44) S m x) = he 2 jd j ) log ε e 2 j D j ) m = j=1 N hd j ) log ε Dj ) m = S m x + x 1 ). j=1 Seien D j mod 4O k, 1 j L, die Qudrte in O k /4O k. Für 1 j L, 0 v O k, seien m ij v) mod 4v 2, 1 i s j v), die Lösungen von x D j v 2 4v 2 ). Mit dem Chinesischen Reststz und x 2)O k + x + 2)O k 4O k folgt s j v) N k/q 4O k ) {x mod v 2 x 2 4 v 2 )} p v {x mod p 2 ord p v x ±2 p 2 mx{ord p v ord p 2, 0} )} p v 2N k/q p) 2 ord p v 2 mx{ord p v ord p 2, 0} 2 ωvo k) N k/q 4O k ), wobei ω) := p 1 ist. Mit τ l) := 1... l = 1 gilt wie im rtionlen Fll 45) 2 ω) τ 2 ) N) ε, s j v) Nv) ε. Sei f v,i,j t) := 16v 2 t 2 + 8m ij t + m 2 ij 4)/v2 O k [t]. Dnn gilt für 0 v O k, 1 j L, u O k, 46) u 2 Dv 2 = 4 lösbr mit einem D D j 4) Es gibt 1 i s j v) mit u m ij 4v 2 ). Lemm 4.1. Für jedes Primidel p 2 zerfällt f v,i,j mod p im lgebrischen Abschluß von O k /p in ein oder zwei verschiedene Linerfktoren; insbesondere ist es nicht ds Nullpolynom mod p. B e w e i s. Wegen p m ij O k + vo k ht f v,i,j mod p keine oder eine Nullstelle, die nicht Nullstelle von f v,i,j mod p ist. Für ein gnzes Idel 0 von O k sei M) vollständiges Repräsentntensystem von O k /4O k. Für 0 v O k, 1 j L, sei 47) c j v, ) := s j v) i=1 M) ) fv,i,j )

18 60 M. Peter 4) ist für beliebiges D O k sinnvoll). Wegen f v,i,j ) m 2 ij 4)/v2 D j 4) ist f v,i,j ) immer Diskriminnte. Die Definition ist unbhängig von der speziellen Whl von M), d ds Gewicht 4-periodisch ist. Lemm 4.2. Für ein Primidel p 2 und einen Chrkter φ von O k /p, +) gilt ) fv,i,j ) φ) p 2N k/qp) 1/2. mod p B e w e i s. p) ist Chrkter von Ok /p), ) Hecke [5], S. 196) und nicht der Huptchrkter. Aus den Weilschen Chrktersummenbschätzungen Schmidt [19], Lemm 2C, S.11 und Theorem 2C und 2G, S. 43 und 45) zusmmen mit Lemm 4.1 folgt die Behuptung. Für ein gnzes Idel 0 definiere mn K) := p : ord p ungerde p. Lemm 4.3. Sei 0 v O k, 0 Idel von O k, 1 j L, 1 i s j v), R vollständiges Repräsentntensystem von O k /4, φ Chrkter von O k /4, +). Dnn ist ) fv,i,j ) φ) N k/q )N k/q K)) 1/2 2 ω). R B e w e i s. Seien 4 = p p t t, = p c pc t t Primidelzerlegungen. Nch dem Chinesischen Reststz existieren die Isomorphismen der folgenden Gruppe und ihrer Dulgruppe: O k /4 = O k /p O k/p t t, Ok /4) = O k /p 1 1 )... O k /p t t ). Die bzuschätzende Summe S ist unbhängig von R und dmit t ) cl fv,i,j b l ) 48) S = φ l b l ) = b r mod p r r t l=1 b l mod p l l, r=1,...,t l=1 p l ) cl fv,i,j b l ) φ l b l ) =: p l wobei φ l der durch φ uf O k /p l l induzierte dditive Chrkter ist. Trivilerweise ist 49) S l 1 = N k/q p l l ). b l mod p l l Ist p l 2, c l ungerde, so ist l = c l und S l = ) fv,i,j d + c) φ l d + c) d mod p l c p l /p c l l p l t l=1 S l

19 Klssenzhlen binärer qudrtischer Formen 61 = d mod p l fv,i,j d) p l ) φ l d) c p l /p c l l φ l c). Ist φ l uf der Untergruppe p l /p c l l O k /p c l l nicht der Huptchrkter, so verschwindet die zweite Summe und es ist S l = 0. Im nderen Fll knn φ l ls Chrkter von O k /p l ufgefßt werden, und mit Lemm 4.2 folgt S l N k/q p c l 1 l ) 2N k/q p l ) 1/2. Aus 48) und 49) folgt dmit S N k/q p l ) l 2N k/q p l ) l 1/2 l: p l 2 oder c l gerde N k/q )N k/q K)) 1/2 2 ω). Sei α 1,..., α n eine feste Z-Bsis von O k. l: p l 2, c l ungerde Lemm 4.4. Sei 0 v O k, 0 gnzes Idel, 1 j L, 1 i s j v). Dnn existiert eine Z-Bsis β 1,..., β n von 4 mit β l = l1 α ll α l, lq Z, l = 1,..., n. Für 0 u l v l ll 1, l = 1,..., n, e EO k ), gilt u l t l v l, l=1,...,n fv,i,j e n l=1 α ) lt l ) N)NK)) 1/2 2 ω) log n N4). B e w e i s. Die Existenz der Bsis β 1,..., β n folgt us Theorem 35 von Hecke [5]. Nch Theorem 36 in [5] ist N4) = nn und { n } 50) R := e α l x l xl Z, 0 x l < ll, l = 1,..., n l=1 vollständiges Repräsentntensystem von O k /4. Seien α1,..., αn und β1,......, βn die dulen Bsen zu α 1,..., α n und β 1,..., β n. Dnn sind Ok = α1z... αnz und 4) = β1z... βnz die dulen Moduln zu O k und 4 Lng [12], S. 57, Proposition 1). Ist βl = n m=1 b lmαm, b lm Q, so gilt n n n δ lt = Sp k/q βl β t ) = b lm tu Sp k/q αmα u ) = b lm tm, m=1 u=1 m=1 1 l, t n. D lm ) untere Dreiecksmtrix ist, ist lso b lm ) obere Dreiecksmtrix, d.h. 51) b lm = 0 für l > m, b ll = 1 ll für lle l. Für x 1,..., x n Z bzw. λ 1,..., λ n Z sei fv,i,j e n F x 1,..., x n ) := l=1 α lx l ) ),

20 62 M. Peter F λ 1,..., λ n ) := = 0 x l < ll, l=1,...,n 0 x l < ll, l=1,...,n γ = γλ 1,..., λ n ; ) := e 1 n F x 1,..., x n )e m,r=1 F x 1,..., x n )e Sp k/q γ n m=1 β mλ m 4). b mr λ m x r ) n eα l x l )), Dbei ist ex) := e 2πix. φα) := esp k/q γα)) ist Chrkter von O k /4, +). Mit 50) folgt us Lemm 4.3 für lle λ 1,..., λ n Z 52) F λ1,..., λ n ) = ) fv,i,j α) φα) N)NK)) 1/2 2 ω). α R Aus 51) und der Orthogonlitätsreltion folgt durch Auswerten der Summen von innen nch ußen 0 λ 1 < λ n < nn n e m,r=1 ) b mr λ m x r t r ) l=1 { = nn für x 1,..., x n ) = t 1,..., t n ), 0 sonst für 0 t l, x l < ll, t l, x l Z, l = 1,..., n. Dmit gilt für 0 t l < ll, t l Z, l = 1,..., n, 53) F t 1,..., t n ) = nn 1 0 λ l < ll, l=1,...,n F λ 1,..., λ n )e n m,r=1 b mr λ m t r ). Seien u l, v l wie in der Vorussetzung, λ 1,..., λ n Z. Mit 51) und x := min l Z x l gilt 54) Gλ 1,..., λ n ) := = u l t l v l, l=1,...,n n r=1 u r t r v r e e n { min rr, 1 2 r=1 n m,r=1 b mr λ m t r ) n ) b mr λ m )t r m=1 r } 1 b mr λ m. m=1 Summtion über λ n liefert für λ 1,..., λ n 1 Z

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Mathematik Brückenkurs

Mathematik Brückenkurs Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Übungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3

Übungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3 Übungen zur Vorlesung Physiklische Chemie I Lösungsvorschlg zu Bltt 3 Prof. Dr. Norbert Hmpp 1. Aufgbe ) Die gegebene Verteilung besteht nur us diskreten Werten! Die durchgezogene Linie würde nur bei einer

Mehr

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) = Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für

Mehr

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse

Elemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen

Mehr

Analysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name

Analysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum

Mehr

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge. Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer

Analysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich! Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben

Mehr

Grundwissen Abitur Analysis

Grundwissen Abitur Analysis GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität

Mehr

Funktionen und Mächtigkeiten

Funktionen und Mächtigkeiten Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015 LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

Analysis I im SS 2011 Kurzskript

Analysis I im SS 2011 Kurzskript Anlysis I im SS 2011 Kurzskript Prof. Dr. C. Löh Sommersemester 2011 Inhltsverzeichnis -2 Literturhinweise 2-1 Einführung 4 0 Grundlgen: Logik und Mengenlehre 5 1 Zählen, Zhlen, ngeordnete Körper 14 2

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)

Mehr

Definition Suffixbaum

Definition Suffixbaum Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition

Mehr

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember

Mehr

Vorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure

Vorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure Vorlesungsskript Mthemtik I für Wirtschftsingenieure Verfsserin: HSD Dr. Sybille Hndrock TU Chemnitz Fkultät für Mthemtik e-mil: hndrock@mthemtik.tu-chemnitz.de Wintersemester 2005/06 Litertur [] Dllmnn,

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014

Analysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014 Anlysis 2 Vorlesungsskript Sommersemester 214 Bernd Schmidt Version vom 15. Oktober 214 Institut für Mthemtik, Universität Augsburg, Universitätsstr. 14, 86135 Augsburg, bschmidt@mth.uni-ugsburg.de 1 Inhltsverzeichnis

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Lineare Algebra 1. Semester (WS 1999) Prof. Pahlings - Zusammenfassung

Lineare Algebra 1. Semester (WS 1999) Prof. Pahlings - Zusammenfassung Linere Algebr WS 99/00 Stnd:.0.00 7:3 Seite Linere Algebr. Semester (WS 999) Prof. Phlings - Zusmmenfssung Diese Zusmmenfssung von Klus Ridder ht weder Anspruch uf Vollständigkeit noch uf Richtigkeit.

Mehr

Einleitung. Mathematik für Volkswirte. Literatur. Über die mathematische Methode. Weitere Übungsbeispiele. Statische (Gleichgewichts-) Analyse

Einleitung. Mathematik für Volkswirte. Literatur. Über die mathematische Methode. Weitere Übungsbeispiele. Statische (Gleichgewichts-) Analyse Mthemtik für Volkswirte Mthemticl Methods for Economists Josef Leydold Institute for Sttistics nd Mthemtics WU Wien Wintersemester 05/6 009 05 Josef Leydold This work is licensed under the Cretive Commons

Mehr

hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt:

hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt: 1 Determinnten Die Determinnte einer qudrtischen Mtrix ist eine reelle Zhl. Sie ermöglicht insbesondere eine Aussge über die Existenz der inversen Mtrix bzw. über die Lösbrkeit von lineren leichungssystemen.

Mehr

4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst

4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst 15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene. Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die

Mehr

Brückenkurs MATHEMATIK

Brückenkurs MATHEMATIK Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber

Mehr

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11 Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort

Mehr

9 Das Riemannsche Integral

9 Das Riemannsche Integral 1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Analysis I/II - Vorlesungs-Script

Analysis I/II - Vorlesungs-Script Anlysis I/II - Vorlesungs-Script Prof. Michel Struwe 05/06 Mitschrift: Eveline Hrdmeier Grphics: Prisc Greminger Mthis Weylnd Corrections: Prisc Greminger $Id: nlysis.tex 1237/1502 2006-10-19 21:13:30

Mehr

Streuungsmaße. Grundbegriffe

Streuungsmaße. Grundbegriffe Grundbegriffe Untersuchungseinheiten U,...,U n Merkml X Urliste x,...,x n geordnete Urliste x (),...,x (n) Es gilt i.llg.: xi x() i, i, Κ, n In einer westdeutschen Großstdt gibt es insgesmt drei Träger

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle 4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich

Mehr

Reguläre Sprachen und endliche Automaten

Reguläre Sprachen und endliche Automaten 2 Reguläre Sprchen und endliche Automten Sei Σ = {, b,...} ein endliches Alphbet. Ein endliches Wort über Σ ist eine Folge w = 0... n 1, wobei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreiben w für die Länge von w,

Mehr

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume

13 Rekonfigurierende binäre Suchbäume 13 Rekonfigurierende inäre Suchäume U.-P. Schroeder, Uni Pderorn inäräume, die zufällig erzeugt wurden, weisen für die wesentlichen Opertionen Suchen, Einfügen und Löschen einen logrithmischen ufwnd uf.

Mehr

Mathematik. Name, Vorname:

Mathematik. Name, Vorname: Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

3. Ganzrationale Funktionen

3. Ganzrationale Funktionen 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)

Mehr

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral

8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral 8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006

Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006 1 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung,

Mehr

TE- und TM-Moden im Wellenleiter. Bachelorarbeit

TE- und TM-Moden im Wellenleiter. Bachelorarbeit TE- und TM-Moden im Wellenleiter Sebstin Rubitzek 30. September 2014 in Grz Bchelorrbeit betreut von Ao.Univ.-Prof. Mg. Dr.rer.nt. Ulrich Hohenester 1 Inhltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Ws ist ein Wellenleiter?......................

Mehr

Mathematik: Vorwissen und Selbststudium

Mathematik: Vorwissen und Selbststudium Mthemtik: Vorwissen und Selbststudium Prof. Thoms Apel Studienjhr 00/ Lerning nything chnges people; lerning mth mkes big chnge it opens minds nd opens doors. [Hirsh Cohen, SIAM president 983-984] Vorwort

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8 Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik

Beispiel-Abiturprüfung. Fach Mathematik Beispiel-Abiturprüfung in den Bildungsgängen des Berufskollegs. Leistungskurs Fch Mthemtik Fchbereich Technik mthe_lk_tech_beispielufg09_0085.doc Seite von 9 Konstruktionsmerkmle der Aufgbe rten Aufgbe

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02 M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite

Mehr

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer!

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer! hben Freunde Deine Zähne sind wie deine sportmnnschft und du bist der Triner! Und jeder Triner weiß, wie wichtig jeder einzelne Spieler ist eine wichtige und schöne Aufgbe! Drum sei nett zu deinen Zähnen

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und

Mehr

( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade

( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3

Mehr

Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation

Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von

Mehr

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr