A Tabelle binärer BCH-Codes

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1 A Tabelle binärer BCH-Codes In der folgenden Tabelle sind binäre BCH-Codes bis zum Grad N = 27 tabelliert. N n d(c) Exponenten von G( z) o o o o o o o o

2 229 N n d(c) Exponenten von G( z) o o o o o o o o o o o o o o o

3 B Die komplementäre Fehlerfunktion Die komplementäre Fehlerfunktion erfc(z) ist definiert als 2 / 2 erfc(z) = I - erf(z) = F e- Ill dz III 00 Z erfc(z) z erfc(z) z erfc(z) Für z > 6 gilt die folgende Näherung mit einem relativen Fehler< 2%: erfc(z) ~ F 2 'lrz. e-"

4 C Lösungen der Übungsaufgaben C. Informationstheorie: Aufgabe.: a) JA = 0.322; JB = 3.322; Je = 3.644; JD = b) H(X) = Bit/Zeichen, H(X) = 2 Bit/Zeichen c) Zeichen Code A 0 B 00 C 0 D 0 d) L =.64 Bit/Zeichen Aufgabe.2: Zeichen Code A 00 B 0 C D 00 E 0 R = 0.02 bit/zeichen Zeichenpaare: RPaar :::; 0.04 bitipaar = 0.02 bit/zeichen Aufgabe.3: a) H(X) =.44 bit/zeichen

5 232 C Lösungen der Übungsaufgaben b) Zeichen Code A=OO 0 B = 0 C=lO 00 D=l 0 L =.56 bit/zeichen R = 0.2 bit/zeichen Aufgabe.4: a) C = 53 Bit/s b) H(X) = 0.88 Bit/Symbol c) R".= = C/H(X) = 603 Symbole/s d) S(Pmin) 2': 0.5 => Pmin 2': (numerische Lösung) Aufgabe.5: C = Id(3) - S(p) C.2 Blockeodes Aufgabe 2.: a)

6 C.2 Blockeodes 233 b) 0 0 [G]' = o o c) d(c) = 4 :::} Je = 3, A = d) ::4 =:: +:: = :: + ::3 + ::4 ::5 = :: + ::2 + :: = :: + ::2 + ::3 + ::5 :l:(i =:: +:: = :: + ::2 + ::6 ::7=::2+:: =::2 +::3 +::7 e) Die Syndrome aller korrigierbaren Fehlermuster sind paarweise verschieden. Aufgabe 2.2: a) b) [HJ ~ (l ~)

7 234 C Lösungen der Übungsaufgaben c) Cl = (OO0)T c2 = (000Y c"3 = (l000y Aufgabe 2.3: a) PI = b) Pn.e. = c) RNutz =.0 kbitjs Aufgabe 2.4: d( C) = J,. + Je + Aufgabe 2.5: a) AJ(z) = z8 + z7 + ii + Z4 + i + Z + A2(z) = z7 + z6 + z4 + i + ~ + b) BJ(z)=ii+l l3z(z) = ; + z4 + i + ~ + c) CJ(z) = C2(z) = ~ + z + Aufgabe 2.6: a) z4 + ~ + z + = (z3 + ~ + ). (z + ) b) irreduzibel Aufgabe 2.7: a) N = l' = 7

8 C.2 Blockeodes 235 b) k = 4,n = 3 c) nichtseparierbar separierbar Cl = (lloiooi)t cl = (OlllOlOl Cl = (loloolll cl = (OIOOlll)T d) SI (z) = 0 => gültiges Codewort ~(z) = i2-0 => kein gültiges Codewort Aufgabe 2.8: a) Polynommultiplikation: (:I: ; + ::2 i2 + ::3 Z + ::4) (z3 + z2 + ) b) G(z) = ; + z2 + c) C(z) = z6 + z4 + z3 + z2 d) [G]= 0 [GY = [H] ~ [i ~l 0 0 e) C(z) = f' + ~ + i2 + h) S(z) = z +

9 236 C Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe 2.9: Projekt realisierbar: Code (27, 06, 7) verkürzt auf N = 7, n = 50 Restfehlerwahrscheinlichkeit: Pr ~ Syndromspeicher: Worte Aufgabe 2.0: Mit Hilfe der Generatormatrix [G] kann gezeigt werden, daß die Manipulation nur eine andere Zuordnung der Codewörter zu den Nachrichtenwörtem bewirkt. Aufgabe 2.: G(z) (Z4 + z + I). (z4 + z3 +,; + z + ). (z2 + z + ) zlo + z8 + ; + z4 +,; + z + Aufgabe 2.2: a) (3, 6,7) : Pr = b) (3,2,5): Pr = c) (3,6,7): P, =.9 kw Aufgabe 2.3: a) Pr ~ Pr,zu! = b) Minimale Restfehlerwahrscheinlichkeit für Code (70,56,5): Pr = > Pr,zu! c) Code (62,44,7): Pr = > Pr,zu! d) Pi,zu! = => /J. ~ 2 und Je ~ 5 e) d(c) = Je + /J. + = 8 f) G(z) = zl9 + zl5 + zlo + z9 + ~ + z6 + z4 +

10 C.3 Digitale Trägermodulationsverfahren 237 C.3 Digitale Trägermodulationsverfahren Aufgabe 3.: a) I\Yjl:z:') :/Ji: Yj : I\Yj l:z:i) :/Ji: Yj : b) T(X, Y) = bit/zeichen c) BIN =.04 d) Pl/O = Al/I = 0.55 T(X, Y) = bit/zeichen e) T"ont = 0.54 bit/zeichen f) u=o.72mv Aufgabe 3.2: a) S = p.w b) p, = c) C = 206 bit/s d) C oo = 837 bit/s e) Pr =0.075

11 238 C Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe 3.3: a) N = 2 b) PI> = c) T(X, Y) = 0.8 bit/zeichen Aufgabe 3.4: Schwelle bei u, = fu In ~ Aufgabe 3.5: a) B = khz, PI> = b) QPSK : B = 500 Hz, PI> = PSK : B = 333 Hz, PI> ~ c) B = 250 Hz, PI> ~ Aufgabe 3.6: / STi I / I / / )..--{ / ~Ti I I ---~ " / -----( I I / I I I f--- - Aufgabe 3.7: a) Zu zeigen ist: jt o {I fu i=j 8i(t). 8k(t) dt = 0 für i =I j

12 C.4 Faltungscodes 239 b) P. = c) Alle Zuordnungen führen auf dieselbe Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Aufgabe 3.8: a) M = 2: R = 43 MBitJs M = 4: R = 9.6 MBitJs M = 8: R = 2.6 MBitJs b) M = 2: F4 = Ws M = 4: F4 = Ws M = 8: E b = Ws ::::} minimale Energie pro Bit bei M = 2. Aufgabe 3.9: C.4 Faltungscodes Aufgabe 4.: a) o e j =0 --_.. e j =l b) d.nin = 3

13 240 C Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe 4.2: Der Code ist ungeeignet, da eine endliche Anzahl von Empfangsfehlem eine unendliche Anzahl falsch decodierter Symbole bewirken kann. Aufgabe 4.3: a) d(c) = 3 b) N = 2n + 2 = 8, R = 4/9 c) N = 8,n = 8 : [Gl = o o o o d) nein e) p,.,blocjccode = f) Es können Situationen mit mehr als einem Fehler korrigiert werden, wenn die Bitfehler nicht direkt hintereinander liegen. Aufgabe 4.4: a) siehe Seite 53 b) Trellisdiagramm:

14 C.4 Faltungscodes e i =0 ---~ ei = c) d) d.nin ::;: 2 + V2

15 Literaturverzeichnis [] Hamming, RW.: Information und Codierung. VCH, Weinheim 987 [2] Bauer, F.L.; Goos, G.: Informatik, Springer, 97 [3] Hartley, RV.L.: Transmission of Information. Bell Syst. Techn.. 7 (928) S [4] Shannon, c.; Weaver, w.: Mathematische Grundlagen der Informationstheorie. Oldenbourg Verlag, München, Wien 976 [5] Elsner, R: Nachrichtentheorie +2., Teubner 974 [6] Hilberg, w.: Der bekannte Grenzwert der redundanzfreien Information in Texten - eine Fehlinterpretation der Shannonschen Experimente?, Frequenz 44 (990), Heft 9-0, S [7] Huffman, D.A.: Method for the Construction of Minimum Redundancy Codes. Proc. IRE 40 (952) S. 098 [8] Furrer, FJ.: FehlerkorrigierendeBlock-Codes für die Datenübertragung. Birkhäuser Verlag 98 [9] Tzschach, H.; Haßlinger, G.: Codes für den störungs sicheren Datentransfer. Oldenbourg, München, Wien 993 [0] Peterson, w.w.; Weidon, EJ.: Error Correcting Codes. 2.Auflage, MIT Press, Cambridge 972 [] Clark, G.c.; Cain,.B.: Error Correction Coding for Digital Communications. Plenum Press, New York 988 [2] Ammon, U.v.; Tröndle, K.: Mathematische Grundlagen der Codierung. Oldenbourg 974 [3] Bossert, M.: Kanalcodierung. Teubner Verlag, Stuttgart 992

16 Literaturverzeichnis 243 [4] Chun, 0.; Wolf, lk.: Special Hardware forcomputing the Probability of Undetected Error for Certain Binary CRC Codes and Test Results. IEEE Transactions on Communications 42 (994) S [5] Viterbi, A.J.: Convolutional Codes and their Performance in Communication. IEEE Transactions om Communications 9 (97) S [6] Larsen, KJ.: Short Convolutional Codes with Maximal Free Distance for Rates /2, /3, and /4. IEEE Transactions on Information Theory 9 (973) S [7] Daut, D.G.; Modestino, lw.;wismer, L.D.: New Short Constraint Length Convoultional Code Construction for Selected Rational Rates. IEEE Transactions on Information Theory 28 (982) S [8] Huber, J.: Trelliscodierung. Springer Verlag 993 [9] Höher, P.: Kohärenter Empfang trelliscodierter PSK-Signale auf frequenzselektiven Mobilfunkkanälen - Entzerrung, Decodierung und Kanalparameterschätzung. VDI-Verlag, Düsseldorf 990 [20] Proakis, J.G.: Digital Communications. 2. Auflage, McGraw HilI, 989 [2] Benedetto, S.; Biglieri, E.; Castellani, V.: Digital Transmission Theory. Prentice Hall, New Jersey 987 [22] Lüke, H.D.: Signalübertragung. 4. Auflage, Springer 987 [23] Kroschel, K.: Statistische Nachrichtentheorie, Erster Teil, 2. Auflage, Springer 986 [24] Papoulis, A.: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. 2. Auflage, Mc Graw HilI 984 [25] Lorenz, R.w.: Vergleich der digitalen Mobilfunksysteme in Europa (GSM) und Japan (JDC) unter besonderer Berücksichtigung der Wirtschaftlichkeitsaspekte. Der Fenmeldeingenieur 47 (993) Heft /2.

17 Sachverzeichnis Äquivalentes Tiefpaßsignal, 46 Äquivokation, 43 ASK,50 AWGN-Kanal, 6 Bandbreiteeffizienz, 83 Bandpaßsignal, 46 BCH-Code, 26 Binärkörper, 60 Binomialverteilung, 67 BPSK,52 Codebaum, 99 Coderate, 97 Codespreizung, siehe Interleaving Codeverkettung, 33 Codierungsgewinn, 89 Codierungsgewinn asymptotischer, 90 Constraint Length, 98 Datenkanal, 57 dichtgepackter Code, 77 DPCM,35 DPCM-Schleife, 35 Entropie, 0 Entropie amplitudenkontinuierliche Quelle, 79 bedingte, 29 der Äquivokation, 43 der Irrelevanz, 43 Entscheidungsfluß, 8 Entscheidungsgehalt, 8 Entscheidungsräume, 70 Faltungscodes, 96 Fehlerfunktion, 64 Fire-Code, 2 FSK,55 Galois-Feld, 60, 6 Generatormatrix, 82, 85 Generatorpolynom, 98 Generatorvektoren, 8 Gewicht, 77 Gewicht eines Codes, 82 Gibbs'sche Ungleichung, 5 Gray-Code, 75 Gruppencode, 80 Hamming-Abstand, 72 Hamming-Code, 6 Hamming-Code erweiterter, 66 zyklischer, 20 Hamming-Distanz, 73 Hamming-Grenze, 79 Hard-Decision Decodierung, 205 Huffman-Codierung, 2 Informationsgehalt, 0 Interleaving, 34 Irrelevanz, 5, 43 Kanalkapazität, 47 kommafreier Code, 3 komplexe Einhüllende, 46

18 Sachverzeichnis Kontrollmatrix, 87 Korrelative Codierung, 35 Korrigierkugel, 76 Kovarianzmatrix, 40 Likelihoodfunktion, 206 linearer Code, siehe Gruppencode MAP-Kriterium, 204 Matched Filter, 65 Matched Filter-Empfänger, 66 Maximum Likelihood Kriterium, 76, 205 Mehrheitsdecodierung, 90 minimale Distanz, 23 Minimalpolynom, 9 Minimum Shift Keying, 55 mittlere Codewortlänge, 3 Modularpolynom, 5 Modulation, 44 MSK,55 Offset-QPSK,54 Ortsdiagramm, 48 Paritätskontrolle, 60 perfekter Code, 77 Periode, 05 Polynom irreduzibles, 08 primitives, 08 Polynomrestklasse, 0 Prädiktion, 37 Präfixeigenschaft, 3 Prüfmatrix, siehe Kontrollmatrix Punktierung, 33 QAM,57 QPSK,52 Quadraturdemodulator, 47 Quadraturmodulator, Rauschen, 6 Rauschleistungsdichte, 6 Redundanz, 6 Redundanz der Quelle, 2 Reed-Muller-Code,89 Reed-Solomon-Codes, 32 Rekurrenter Code, siehe Faltungscode Restfehlerwahrscheinlichkeit, 57 Restklasse, 60, 5 Schieberegisterschaltungen, 0 separierbarer Code, 85 Shannon'sches Codierungstheorem, 6 Shannon-Codierung, 7 Shannon-Funktion, Shannon-Grenze, 87, 88 Signa-zu-Rauschverhältnis, 65 Soft-Decision Decodierung, 206 stochastisches Bandpaßsignal, 59 Syndrom, 63, 88 Syndromtabelle, 63 Toepitzmatrix,40 Transinformationsgehalt, 44 Trelliscodierte Modulation, 29 Trellisdiagramm, 20 Verbundentropie, 26 verkürzter Code, 33 verkürzter zyklischer Code, 07 Verkürzung, siehe verkürzter Code Viterbi-Agorithmus, 208 Wurzel eines Polynoms, 8 Zustandsdiagramm, 99 zyklischer Code, 96

19 Bossert Kanalcodierung "an,lkooinung Die Kanalcodierung zur Fehlererkennung und Fehlervorwärtskorrektur ist ein wesentlicher Bestandteil in modernen digitalen Kommunikationssystemen. Terrestrische Mobilfunksysteme, Satellitenübertragung und Modems zur Datenübertragung im Telefonnetz sind heute ohne Kanalcodierung nicht mehr denkbar. Das vorliegende Buch gibt zunächst eine Einführung in die klassischen Gebiete der Codierungstheorie. Dabei werden sowohl Blockcodes als auch Faltungscodes behandelt und die gängigen Verfahren und Methoden dazu beschrieben. Die übersichtliche und geschlossene Darstellung dieses Teils eignet sich gut zum vorlesungsbegleitenden Studium (mit Übungsaufgaben). In einem weiteren Teil wird mit der verallgemeinerten Codeverkettung ein neues Gebiet der Codierungstheorie grundlegend behandelt, das bisher noch wenig Eingang in Lehrbücher gefunden hat. Aktuelle Probleme, wie z. B. die Idee der codierten Modulation werden auf das Prinzip der verallgemeinerten Codeverkettung zurückgeführt. Aus dem Inhalt Galois-Felder - diskrete Fouriertransformation - Decodierprinzipien - Restfehlerwahrscheinlichkeiten - Parity Check-, Hamming-, BCH-, Reed-Mul- Von Dr.-Ing. Martin Bossert AEG Mobile Communication GmbH, Ulm Seiten mit 64 Bildern. 6,2 x 22,9 cm. Geb. DM 62,- ÖS 484,- / SFr 62, ISBN Fliege, Informationstechnik ler-, Reed-Solomon-, Quadratische-Reste-Codes - Faltungscodes und deren Beschreibungsformen - verallgemeinerte Codeverkettung - Codes mit mehrstufigem Fehlerschutz - codierte Modulation -»set partitioning«- algebraische Decodierung mit Berlekamp Massey- und euklidischem Algorithmus - Schwellwert-, Permutations-, Mehrheitsdecodierung - Fano-, Stack-, Viterbi-Decodieralgorithmus - Blokh-Zyablov-Decodieralgorithmus - Decodierung mit Zuverlässiqkeitsinformation - Decodierung von codierter Modulation B. G. Teubner Stuttgart

20 Kammeyer Nachrichtenübertragung _- Neuentwicklungen auf dem Gebiet der Kummunikationstechnik richten sich fast ausnahmslos auf die Einführung digitaler Übertragungsverfahren. Dabei darf jedoch nicht übersehen werden, daß nach wie vor in weiten Bereichen der Nachrichtentechnnik analoge Modulationssysteme vorhanden sind. Im vorliegenden Lehrbuch werden beide Möglichkeiten der Nachrichtenübertragung in einer kompakten systemtheoretischen Beschreibung vereint. Dabei wird besonderer Wert auf die konsequente Anwendung einer komplexen Formulierung von Modulationssignalen in der äquivalenten Basisbandebene gelegt. Zu den verschiedenen Modulationsprinzipien werden typische Systembeispiele ausgiebig diskutiert. Das Buch gliedert sich in vier Teile: Teil I: Komplexe Sign.?le und Systeme - Eigenschaften von Ubertragungskanälen - Mobilfunkkanäle; Teil : Analoge Basisbandübertragung - Diskretisierung analoger Quellensignale - PCM/DPCM - Nyquist-Bedingungen - Partial-response Codierung - adaptive Entzerrung - Zeitmultiplex; Teil : Analoge Modulationsformen - Spektraleigenschaften - Demodulation - Einflüsse linearer Verzerrungen - Von Prof. Dr.-Ing. Karl Dirk Kammeyer Technische Universität Hamburg-Harburg 992. XVI, 678 Seiten mit 363 Bildern und 8 Tabellen. 6,2 x 22,9 cm. Geb. DM 84,- ÖS 655,- I SFr 84, ISBN Fliege, Informationstechnik Rauscheinfluß - informationstheoretischer Vergleich; Teil IV: Digitale Modulationsformen - Spektraleigenschaften - Maximum Likelihood Schätzung unter Rauscheinfluß - Lineare Verzerrungen - Viterbi-Entzerrung - Multiträger-Systeme B. G. Teubner Stuttgart

21 Teubner Studienbücher zur Elektrotechnik Böhme: Stochastische Signale Börner/MüllerlSchiekITrommer: Elemente der integrierten Optik Büttgenbach: Mikromechanik Eckhardt: Grundzüge der elektrischen Maschinen Fettweis: Elemente nachrichtentechnischer Systeme GoetzbergerlWittwer: Sonnenenergie Heiniein: Grundlagen der faseroptischen Übertragungstechnik Hein0th: Energie Hess: Digitale Filter Hess/HeuteNary: Digitale Sprachsignalverarbeitung Heumann: Grundlagen der Leistungselektronik Hügel: Strahlwerkzeug Laser Jondral: Funksignalanalyse Kamke/Krämer: Physikalische Grundlagen der Maßeinheiten Kammeyer/Kroschel: Digitale Signalverarbeitung Klein/Dulienkopf/Glasmachers: Elektronische Meßtechnik Kneubühl: Repetitorium der Physik Kneubühl/Sigrist: Laser Lautz: Elektromagnetische Felder Leonhard: Digitale Signalverarbeitung in der Meß- und Regelungstechnik Leonhard: Regelung in der elektrischen Energieversorgung Leonhard: Statistische Analyse linearer Regelsysteme Michel: Zweitor-Analye mit Leistungswellen Pfeiffer/Reithmeier: Roboterdynamik Profos: Einführung in die Systemdynamik Profos: Meßfehler Rohe/Kamke: Digitalelektronik Rohling: Einführung in die Informations- und Codierungstherorie SchaufelbergerlSprecherlWegmann: Echtzeit-Programmierung bei Automatisierungssystemen Schlachetzki: Halbleiter-Elektronik Stölting/Beisse: Elektrische Kleinmaschinen Walcher: Praktikum der Physik Wamecke: Einführung in die Fertigungstechnik B. G. Teubner Stuttgart