Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 ( ) Seiten 1 5, ISSN , Verlag Klaus Seeberger, Neuss

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1 Einser-Flächen HEINZ KLAUS STRICK Online-Ergänzung MNU 66/7 ( ) Seiten 1 5, ISSN , Verlg Klus Seeberger, Neuss 1

2 HEINZ KLAUS STRICK Einser-Flächen Die bgebildeten Figuren hben eines gemeinsm: Die gru unterlegten Flächen hben jeweils ds Flächenmß 1 FE. Ddurch ist die restliche Figur bestimmt.? S I, S II oder S I + S II??? 1. Welche Länge hben die in den Figuren uftretenden Seiten? Welches Flächenmß hben die übrigen Flächenstücke? gc MNU 66/7 ( ), ISSN , Verlg Klus Seeberger, Neuss

3 Einser-Flächen - Lösungshinweise Die gru unterlegten Flächen hben jeweils ds Flächenmß 1 FE. Ddurch ist die restliche Figur bestimmt. Ds innen liegende Qudrt ht die Fläche 1 FE; dher hben die Seitenlängen lle die Länge 1 LE. Ds äußere Qudrt ht die Fläche 5 FE; dher hben die zugehörigen Seitenlängen die Länge 5 LE. Die Digonle des äußeren Qudrts ht die Länge 10 LE (gemäß dem Stz von PYTHAGORAS); die Länge der Digonle des inneren Qudrts beträgt LE. Folglich hben die schrägen Seiten der vier Trpeze eine Seitenlänge von ½ ( 10 ) 0,87 LE. ² Wenn ds gleichseitige Dreieck den Flächeninhlt 1 FE = ht, dnn ist die Seitenlänge des Dreiecks gleich = = 1, 50. D die Rechtecke ebenflls den Flächeninhlt 1 FE hben, ist die Seitenlänge der kürzeren Rechteckseite gleich b = 0, 658. Von den weißen gleichschenkligen Dreiecken kennen wir lso eine Seite (b) und können die Winkel berechnen: = = 10 ; für die Bsiswinkel gilt demnch = 0. Die weißen Dreiecke bestehen lso us zwei Teildreiecken, die zusmmen ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge b bilden. Die Höhe dieses gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge b ist dnn gleich b 7 = = 0,570, die doppelte Höhe ergibt dnn die fehlende Rndseite der Figur: c 1,10 LE. Jedes dieser gleichseitigen Dreiecke ht dher den Flächeninhlt b² = = = 0,1875 FE D ds gru gefärbte Qudrt den Flächeninhlt = 1 FE ht, beträgt die Seitenlänge = 1 LE. Die vier gleichseitigen Dreiecke hben ² dher den Flächeninhlt 0, FE. Von den ußen liegenden gleichschenkligen Dreiecken kennen wir demnch die Seitenlänge der Schenkel und können den Winkel gegenüber der Bsis c berechnen: = = 150 ; die beiden Bsiswinkel sind dher gleich = 15. Ds hlbe gleichschenklige Dreieck ist rechtwinklig; mithilfe c / von cos( ) = = c /, lso ergibt sich c = cos( ) 1,9 LE. Die Höhe h der gleichschenkligen Dreiecke ergibt sich us h sin( ) = = h. Der Flächeninhlt der ußen liegenden Dreiecke ist dnn gleich c h = cos( ) sin( ) = sin( ) = sin(0 ) = 0,5 FE. MNU 66/7 ( ), ISSN , Verlg Klus Seeberger, Neuss

4 Die vier gleichschenkligen Dreiecke sind zusmmen dher genuso groß wie ds gru gefärbte Qudrt! Zur Kontrolle knn mn uch so rechnen: Die äußere Figur ist ein Qudrt der Seitenlänge c. Subtrhiert mn vom Flächeninhlt c² den Flächeninhlt 1 FE des innen liegenden Qudrts sowie den Flächeninhlt FE für die vier gleichseitigen Dreiecke, so erhält mn den Gesmtflächeninhlt der vier weißen Dreiecke. Die innen liegende weiße Figur setzt sich zusmmen us einem Qudrt einer unbeknnten Seitenlänge und vier ufgesetzten hlben Qudrten. Die gru gefärbten Flächenstücke sind Prllelogrmme, deren Seitenlängen und (= Länge der Digonle im Qudrt) sind; zerlegt mn sie längs der kürzeren Digonle, so sieht mn, dss sich die beiden Hälften zu einem Qudrt der Seitenlänge ergänzen. D der Flächeninhlt eines jeden Prllelogrmms nch Vorussetzung 1 FE ist, ergibt sich = 1 LE und dher für den Flächeninhlt der weißen Figur 1 + ½ FE = FE. D die gleichseitigen Dreiecke mit den Seiten und der Höhe h = ² den Flächeninhlt 1 FE = hben, beträgt die Seitenlänge = = 1, 50 LE, die Höhe h = 1 = 1, 16 LE. Die Gesmtfigur ist ein Qudrt der Seitenlänge h + ½,076 setzt sich zusmmen us den beiden gleichseitigen Dreiecken mit Flächeninhlt 1 FE, zwei hlben gleichseitigen Dreiecken (zusmmen 1 FE), einem Qudrt der Seitenlänge ½ 0,760 LE sowie einem chsensysmmetrischen Viereck, ds keilförmig zwischen den beiden gru gefärbten gleichseitigen Dreiecken liegt. Die längeren Seiten dieses Vierecks hben die Länge 1,50 LE, die kürzeren die Länge (h + ½ ) = h ½ 0,556 LE. Der Flächeninhlt des Vierecks ergibt sich us der Differenz (h + ½ )² 1 (½ )² = h² + h = + = 1 0,7 FE. D die gleichseitigen Dreiecke mit den Seiten und der Höhe h = ² den Flächeninhlt 1 FE = hben, beträgt die Seitenlänge = = 1, 50 LE, die Höhe h = 1 = 1, 16 LE. Die gesmte Figur ist ein regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge. Ds regelmäßige Achteck setzt sich us cht gleichschenkligen Dreiecken mit Bsis zusmmen; der (Zentri-) Winkel gegenüber der Bsis ist 60 /8 = 5. Die Berechnung des Flächeninhlts A eines gleichschenkligen Dreiecks mit Bsis und Höhe h knn mithilfe des Tngens des / hlben Zentriwinkels erfolgen: tn(,5 ) =, lso h MNU 66/7 ( ), ISSN , Verlg Klus Seeberger, Neuss

5 h = und dher h ² A = = 1, 9 FE. tn(,5 ) tn(,5 ) Die Gesmtfläche des regelmäßigen Achtecks beträgt lso c. 11,15 FE, die der sternförmigen Figur dher c. 11,15 FE 8 FE =,15 FE. Mn knn die Berechnung uch ohne Anwendung der Tngensfunktion vornehmen: Um ds regelmäßige Achteck knn mn ein Qudrt einzeichnen, bei dem Ecken bgeschnitten werden müssen. Die bgeschnittenen Ecken sind gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke mit einer Hypotenuse der Länge und Ktheten der Länge / (nch dem Stz des PYTHAGORAS). D die Seiten des Achtecks die Seitenlänge hben, beträgt demnch die Seitenlänge des Qudrts / + + / = (1 + ). Zieht mn die Flächeninhlte der vier Ecken b dies sind vier hlbe Qudrte der Seitenlänge /, lso zusmmen genuso groß wie ein Qudrt der Seitenlänge dnn ergibt sich ls Flächeninhlt des regelmäßigen Achtecks: ² (1 + )² ² = ² ( + ) 11,15 FE. MNU 66/7 ( ), ISSN , Verlg Klus Seeberger, Neuss 5

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