Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...)

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1 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) 27. November 204 In diesem Kapitel führen wir eine Klasse von Modellen für binäre Auswahlprobleme ein, deren wichtigste Vertreter das Logit- und das Probit-Modell sind. Außerhalb der Ökonometrie wird fast immer das Logit-Modell verwendet. In der Ökonometrie spielt auch das Probit-Modell eine wichtige Rolle. Die binären Auswahlmodelle (Modelle mit einer dichotomen Struktur der erklärten Variable) besitzen Verallgemeinerungen auf die Situation, dass die erklärte Variable eine kategoriale Variable mit endlich vielen (statt zwei) Ausprägungen ist, z.b. schlecht, mittel, gut. Dabei kann man unterscheiden zwischen ungeordneten und geordneten Kategorien. Auf die Verallgemeinerung der binären zu multinomialen Auswahlmodellen (voraussichtlich nur auf das ordered Logit-Modell) gehen wir im nächsten Kapitel ein. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 2 Warum keine lineare Regression? Rein technisch ließe sich das Problem durch eine lineare Regression, d.h. eine OLS- Schätzung von y i = β 0 + β x i, +...β K x } {{ i,k + ε } i schreibe im Folgenden: β x i behandeln. Dabei wird schlichtweg ignoriert, dass die erklärte Variable y eine binärevariableist. Dagegen sprechen mindestens zwei Gründe:. Beim lin. Regr.Modell hätte β x die Interpretation einer Wkt., die zwischen 0 und liegen sollte. Beachte dazu: Für eine binäre Variable y gilt P (y = x) = E[y x]; unter der Annahme E[y x] =β x (Exogenitätsannahme!) wird das zu P (y = x) =β x. Klar: Das Lin. Regr.mod. führt zu unsinnigen Prognosen der Wkt, dass y =bzw. 0 ist 2. Heteroskedastie-Problematik: Verteilung des Störterms ε gegeben x ist ebenfalls binär: P (ε = β x x) = P (y =0 x) = β } { x E[ε x] =0 P (ε = β x x) =P (y = x) = β x Var[ε x] =( β x) β x Zwar ist E[ε x] =0,aberdieVarianz von ε hängt von x ab (Heteroskedastie). Konsequenzen v. Heterosked. bei OLS: (a) fehlerhafte Inferenzen; (b) Effizienzverlust. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie Binäre Auswahlprobleme Wie bei der linearen Regression soll in diesem Kapitel das Problem betrachtet werden, eine Variable y durch K Variablen x,...,x K zu erklären mit der Einschränkung: Die erklärte Variable y ist binär (dichotom, durch Dummy-Variable zu beschreiben). Wir nehmen an, dass y 0/-kodiert ist. Die Bezeichnung Binäres Auswahlproblem ergibt sich daraus, dass y häufig eine Auswahl aus (Entscheidung zwischen) zwei Alternativen repräsentiert. Einige Beispiele aus der Mikroökonometrie: Verheiratete (Frauen): berufstätig (y =) oder nicht (y =0); Arbeitnehmer: arbeitslos (y =) oder nicht (y =0); Wähler (bei einer Volksabstimmung): Dafür (y =) oderdagegen(y =0); Krankenversicherte: Gesetzlich (y =0) oder privat versichert (y =); Unternehmen (in der EU): Credit Rating (von S&P, Moody s...) vorhanden oder nicht. AuchhieroftvonInteresse: Effekteerklärender Variablen x,...,x K auf die Wahl y =0oder y = und die Schätzung der Effektstärke auf Basis einer Stichprobe (y i, x i ) i=,...,n. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 3 Einschränkung bei erklärter Variable versus Einschränkung bei erklärender Variable Es macht einen Unterschied, ob die erklärte Variable (y) oder eine erklärende Variable (x) einer Einschränkung unterliegt (wie die, dass sie eine binäre Variable ist). Generell: Bei Regressionsanalysen spielt die Verteilung der erklärenden Variablen eine geringe Rolle (es ist lediglich günstiger, wenn die x-variablen möglichst breit streuen man kann auch sagen: möglichst weit von einer kollinearen Situation bzw. singulären Varianzmatrix entfernt sind). Dagegen: Einschränkungen an die Verteilung der erklärten Variable, wie im Fall einer binären Variable, sind problematischer, da sie Restriktionen an die Störterm-Verteilung implizieren, die man (sowohl aus Inferenzals auch aus Effizienzgründen) in der Modellbildung berücksichtigen sollte. Analoge Anmerkungen gelten allgemein für den Fall kategorialer Variablen: Solche Einschränkungen an die erklärte Variable sollte man modellieren, nicht ignorieren

2 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 4 Eine Klasse binärer Auswahlmodelle Die Wkt., dass ein Individuum mit den im Vektor x zusammengefassten Merkmalen die Wahl y =statt y =0trifft, sei beschrieben durch Dabei sei/ist: P (y = x) =F (β x) F (s) eine gegebene Funktion, die das Argument s (, + ) monoton wachsend in das Intervall [0, ] abbildet (F wird auch als Responsefunktion bezeichnet, ihre Umkehrfkt. F als Linkfunktion; konkrete Beispiele für F siehe unten; die Modelle unterscheiden sich hinsichtlich der Wahl von F ) s = β x = β 0 + β x β K x K eine Art Index, der auf einer Skala von bis + misst, wie sehr das Individuum zur Entscheidung y =neigt; (s wird auch als linearer Prädiktor bezeichnet. Durch die Responsefkt. F wird der lineare Prädiktor in eine Wkt. p = F (s) [0, ] transformiert.) β dervektorderregressionskoeffizienten. (Dieser ist auf Basis der vorliegenden Daten (y, x ),...,(y N, x N ) zu schätzen.) Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 6 Eigenschaften der am häufigsten verwendeten Modelle Modell F (s) =P (y = x) Link-Fkt. F (p) = Erw.Wert Varianz Logit Λ(s) =e s /( + e s ) Λ (p) =ln ( ) p p 0 π 2 /3 Probit Φ(s) = s ϕ(t)dt F (p) =Φ (p) 0 Linear F (s) =s (+0.5) F (p) =p ( 0.5) n.a. n.a. Extremwert C(s) = exp ( exp(s) ) log ( log( p) ) π 2 /6 Graphen der Responsefktnen (links) u. der zugehörigen Dichten (rechts, Formeln nä. Folie): FLogit FLinear FProbit FCLogLog x flogit flinear fprobit fcloglog x Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 5 Logit und Probit als wichtigste Repräsentanten Die Modelle unterscheiden sich hinsichtlich der Wahl der Funktion F. Die am häufigsten verwendeten Modelle sind: das Logit-Modell, wo F (s) =Λ(s) die kumulative Vtlgsfunktion (c.d.f.) der logistischen Verteilung ist: Logit: F (s) = es =: Λ(s) +es und das Probit-Modell, bei dem F (s) =Φ(s) die kumulative Vtlgsfkt. der Standardnormalverteilung ist: Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 7 Zusammenhang zwischen β j und marginalem Effekt von x j Die Regressionskoeffizienten β j eines binären Auswahlmodells sind zwar qualitativ (z.b. in Bezug auf ihr Vorzeichen) leicht zu verstehen, ihre quantitative Interpretation ist allerdings nicht ganz einfach. Denn anders als bei der linearen Regression gibt das β j eines binären Auswahlmodells nicht unmittelbar den Effekt einer marginalen Erhöhung von x j auf P (y =)wieder: Als Proportionalitätsfaktor zwischen den beiden tritt der Wert der Dichte f(s) =F (s) im jeweiligen s = β x auf: Marginaler Effekt von x j auf P (y = x) : = P(y = x) x j = f(s) β j, f(s) =F (s), s = β x Modell F (s) =P (y = x) Dichte f(s) =F (s) Marginaler Effekt p x j Probit: F (s) = s e 2 t2 dt =: Φ(s) 2π Logit Λ(s) =e s /( + e s ) λ(s) =Λ(s) ( Λ(s) ) Λ(s) ( Λ(s) ) β j Probit Φ(s) = s ϕ(t)dt ϕ(s) = 2π e 2 s2 ϕ(s) β j Gelegentlich werden auch andere Funktionen F (s) verwendet, wie die komplementäre log-log-verteilungsfunktion, die in Verbindung mit einer Extremwertverteilung steht. (Anders als die beiden zuvor genannten ist diese nicht symmetrisch um s =0.) Linear F (s) =s (+0.5) f(s) = β j Extremwert C(s) = exp ( exp(s) ) c(s) = ( C(s) ) exp(s) ( C(s) ) exp(s) β j Auf den folgenden Folien: Alternative Interpretationen der β j speziell für das Logit-Modell

3 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 8 Logit: β j gibt den marginalen Effekt von x j auf die log-odds an Allgemein lässt sich die definierende Beziehung P (y = x) =F (β x) umformen zu: F (p) = β x für p = P (y = x) Speziell beim Logit-Modell (F (s) = Dabei stellt der Quotient es +e s, F (p) =log ( p p) )wirddaszu: log ( p p) = β x für p = P (y = x) ( ) p p = P (y= x) P (y=0 x) die odds (Chancen) für die Auswahl y = indersubpopulationmitdenkovariatenx dar. Die odds eines Ereignisses geben an, in welchem Verhältnis die Wkt. p für den Eintritt des Ereignisses zur Wkt. p für den Nichteintritt des Ereignisses steht. Sie stellen die Chancen für den Eintritt des Ereignisses auf einer Skala 0 bis dar (statt auf der Skala von 0 bis, wie sie für Wkten. p benutzt wird). Die Beziehung (*) zeigt nun: Das Logit-Modell kann man als lineares Regressionsmodell für den natürl. Logarithmus der odds für die Wahl y = auf die Variablen in x lesen. Beispiel: β j =0.05: EineErhöhung von x j um eine Einheit bewirkt eine Vergrößerung der odds für y = um 5%(näherungsweise c.p.). Liegen die odds einer Subpopulation bei 3, besteht dort eine dreimal so hohe Wkt. für y =wie für y =0(entspricht P (y = x) = 3 4 ). Bei β j =0.05 bewirkt eine Erhöhung von x j um eine Einheit in dieser Subpopul. eine Zunahme der odds auf.05*3 = 3.5. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 0 Latente-Variablen-Interpretation binärer Auswahlmodelle Binäre Auswahlmodelle lassen sich als lineare Regressionsmodelle für eine latente (d.h. die Entscheidung diskriminierende, aber unbeobachtete) Variable interpretieren: Es wird genau dann die Entscheidung y = statt y =0 getroffen werden, wenn der Nutzen aus der Wahl y =denjenigen aus der Wahl y =0überschreitet. Schreiben wir y für die Nutzendifferenz, so ist also y = { falls y > 0 0 falls y 0 Da die Nutzendifferenz y, anders als die aus ihr resultierende Entscheidung y, unbeobachtet ist, spricht man von y als einer latenten Variable. Wir nehmen nun an, dass die latente Variable y durch ein lineares Regressionsmodell beschrieben werden kann: y = β x + ε wobei die Verteilung des (negativen) Fehlerterms ε durch die kumulierte Verteilungsfkt. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 9 Logit: Interpretation von e β j als odds-ratio Wir bleiben beim Logit-Modell und betrachten noch einmal die Formel (*): log ( P (y= P (y=0 x)) = β x Bildet man exp auf beiden Seiten, schreibt sich die Formel als P (y= x) P (y=0 x) = eβ x Für zwei Subpopulationen mit den Kovariaten x und x folgt für das Verhältnis ihrer odds: / P (y= x) P (y= x) P (y=0 x) P (y=0 x) = eβ (x x) Wenn x sich nur in x j von x unterscheidet, und zwar um, entsteht rechts e β j. Links steht dann der Quotient der odds, der sich bei einer c.p.-erhöhung von x j um eine Einheit ergibt. Diese Größe wird als odds-ratio (infolge einer marginalen Änderung von x j ) bezeichnet: Im Logit-Modell: e β j = odds-ratio, die sich bei Erhöhung von x j um eine Einheit ergibt Zusammengefasst: Beim Logit-Modell gibt β j also den marginalen Effekt von x j auf die log-odds wieder und e β j stellt eine odds-ratio dar. Beides gilt allerdings nur beim Logit-Modell (und z.b. nicht bei Probit). Die gute Interpretierbarkeit der Regr.Koeffizienten ist einer der Gründe für die Popularität des Logit-Modells. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie (c.d.f.) F beschrieben sei, d.h. P ( ε <s)=f (s). Dannist und wir erhalten: P (y =)=P (y > 0) = P (β x + ε>0) = P ( ε <β x)=f (β x) Dasjenige Regressionsmodell für die latente Variable y, dessen (negativer) Fehlerterm gemäß der c.d.f. F verteilt ist, entspricht demjenigen binären Auswahlmodell für y, das die Funktion F als Response-Funktion verwendet. [Responsefkt.:Transform. der Werte s = β x in Wkten p = F (s). c.d.f.vonx:f (s) =P (X <s)] Wenn umgekehrt im binären Auswahlmodell die Response-Funktion F eine c.d.f. ist, dann lässt sich das binäre Auswahlmodell als lineares Regressionsmodell für eine latente Variable y interpretieren, dessen negativer Fehlerterm gemäß der c.d.f. F verteilt ist. Die latente Variable lässt sich dabei als Nutzendifferenz interpretieren, deren Vorzeichen sich in der Entscheidung y =0 bzw. y = manifestiert. Das Probit-Modell lässt sich mithin als ein lineares Regressionsmodell für eine latente Variable y mit normalverteiltem Fehlertermen ε interpretieren. Beim Logit-Modell hat man anstatt der Normalverteilung die logistische Verteilung.

4 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 2 Schätzung binärer Auswahlmodelle (mit Max. Likelihood) Abgesehen vom linearen Modell werden binäre Auswahlmodelle fast immer mit Maximum Likelihood geschätzt. Für eine Maximum-Likelihood-Schätzung benötigt man: beobachtete Daten (in Form einer Stichprobe) Hier: (x,y ),...,(x N,y N ) Parameter, deren Wert man schätzen möchte; Hier: Die Regressionskoeffizienten β ein Modell, das die Parameter und die beobachteten Daten in Beziehung setzt; Hier: Das binäre Auswahlmodell P (y i = x i )=F (β x i ). Anmerkung: Das Modell selbst wird bei der ML-Schätzung nicht in Frage gestellt; das Ziel ist die Schätzung der Parameter, unter der Annahme, dass das Modell korrekt spezifiziert ist. Bei der Maximum-Likelihood-Methode schätzt man die Parameter β des Modells so, dass die Wkt, gerade die beobachteten Daten (x,y ),...,(x N,y N ) zu erhalten, maximal wird. Dazu ist die Likelihood-Funktion L (x,y ),...,(x N,y N )(β) zu ermitteln. Die Likelihood-Fkt. muss die Wkt., die beobachteten Daten (x,y ),...(x N,y N ) zu erhalten, in Abhängigkeit vom Parametervektor β wiedergeben. Anstatt der Likelihood-Fkt. wird fast durchgängig deren Logarithmus, die sog. log-likelihood logl(β), betrachtet. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 4 Herleitung der Formel für die Likelihood. Aufstellen der individuellen Likelihood (als Funktion der Parameter β mit den Daten (x i,y i ) der i-ten Beobachtung als Parametern). Hier: { { P (yi = x i ; β) f. y i = F (β x i ) f. y i = L i (β) = = P (y i =0 x i ; β) f. y i =0 F (β x i ) f. y i =0 2. Aufstellen der Gesamt-Likelihood, hier: = [ F (β x i ) ] yi [ F (β x i ) ] y i L(β) = N L i(β) = N [ F (β x i ) ] yi [ F (β x i ) ] y i i= i= 3. und Übergang zur Log-Likelikhood, hier (mit Anwendung der Logarithmus-Gesetze): logl(β) = log ( L(β) ) = N ( [F log (β x i ) ] yi [ F (β x i ) ] ) y i i= = N y i log ( F (β x i ) ) + N ( ) ( yi log F (β x i ) ) i= i= Da y i nur den Wert 0 oder annehmen kann, entsteht die logl hier, indem man die logarithmierten F -Werte derjenigen Individuen i, die y i = gewählt haben, summiert und dazu die Summe der logarithmierten komplementären F -Werte derjenigen Individuen i mit y i =0addiert. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 3 Log-Likelihood Funktion des binären Auswahlmodells Auch wenn dies für die software-gestützte Anwendung nicht relevant ist, soll die log-likelihood des binären Auswahlmodells mit der Responsefunktion F hier angegeben werden. Sie ergibt sich als: Anmerkungen: logl(β) = N y i log ( F (β x i ) ) + N i= i= ( yi ) log ( F (β x i ) ) Da y i nur die Werte 0 oder annehmen kann, läuft die erste Summe über diejenigen Individuen i, diey i =wählen, die zweite Summe über diejenigen i, diey i =0wählen. Ein großer Wert der logl wird dann erreicht, wenn die Individuen i mit y i =im Schnitt auch hohe Wkten. F (β x i )=P (y i = β, x i ) für die Wahl y i =aufweisen und die Individuen i mit y i = 0 im Schnitt auch hohe Wahrscheinlichkeiten F (β x i )=P (y i =0 β, x i ) für ihre Wahl y i =0. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 5 Globale Konkavität der log-likelihood (Konvergenz des Newton-Verfahrens gegen globales Maximum) Man kann zeigen, dass die log-likelihood eines Logit- oder Probit-Modells eine global konkave Funktion in β darstellt (d.h. in allen β eine negativ-definite Hesse-Matrix aufweist). Konsequenzen:. Sofern überhaupt ein Extremum existiert: Die logl-fkt. hat eine globale Maximalstelle ˆβ, für die die Bed.. Ordn. ( logl/ β j =0) sowohl notwendig als auch hinreichend ist. Ohne globale Konkavität ist die Bed. erster Ordnung i.d.r. nur eine notwendige Bedingung, d.h. man erhält damit lediglich Kandidaten für eine Extremstelle, die auch Minimalstellen, Sattelpunkte oder nur lokale Extremstellen sein können. 2. Eine softwaregestützte Durchführung der ML-Schätzung wird i.d.r. versuchen, die Bedingung erster Ordnung numerisch zu lösen. Da die Bedingung erster Ordn. ein i.d.r. nicht-lineares Gleichungssystem von K Gleichungen in den K Unbekannten β,...β K darstellt, kommen dazu iterative Verfahren, wie das Newton-Verfahren, zum Einsatz. Ohne globale Konkavität oder Konvexität ist der automatisierte Einsatz iterativer Verfahren oft recht problematisch, da nicht sichergestellt ist, dass das iterative Verfahren überhaupt konvergiert und, sofern ja, ob es gegen das (globale) Maximum konvergiert (siehe Punkt.). Mit globaler Konkavität ist beispielsweise für das Newton-Verfahren sichergestellt, dasses für jeden Startvektor gegen das globale Maximum konvergiert.

5 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 6 Binäre Regressionen in Stata Der Befehl zur ML-Schätzung eines Logit- bzw. Probit- bzw kompl.-log-log-modells lautet logit bzw. probit bzw. cloglog. Befehl logistic statt logit gibt odd-ratios e ˆβ statt ˆβ aus. Die Syntax ist ansonsten analog zum regress-befehl, z.b. wird durch logit y x x2 eine logistische Regression von y auf x, x2 (und Konstante) durchgeführt Führt man in Stata eine binäre Regression mit einer nicht-binären erklärten Variable y durch, so werden nicht-positive Werte von y als 0, positive Werte als interpretiert. In der Ausgabe wird zunächst der Fortschritt des numerischen Iterationsverfahrens bei der Maximierung der Log-Likelihood gelistet. Grundsätzlich sollte man den Ergebnissen eines iterativen numerischen Verfahrens kritisch gegenüberstehen (Konvergiert die Iteration überhaupt? Wenn ja, ist ein globales Extremum der Likelihood gefunden worden? Ist es ein Max.?) Wie oben erläutert, ist das bei binären Auswahlmodellen nicht sehr problematisch, da theoretisch das iterative Verfahren nur dann versagt, wenn gar kein (endliches) Max. der Likelihood existiert. Dann wird das Ergebnis des (asymptotischen) LR-Tests auf Exkludierbarkeit aller Variablen außer der Konstanten (H 0 : β =0,...,β K =0) ausgegeben sowie ein Pseudo-R 2 (s.u.). Schließlich folgt ein Tableau mit den geschätzten Regr.Koeffizienten ˆβ j, ihren (asymptotischen) Std.Fehlern ŝe( ˆβ j ),dert-statistik ˆβ j /ŝe( ˆβ j ) und den p-werten. Die t-statistik wird hier als z-statistik bezeichnet, da die kritischen Werte bzw. die p-werte aus einer Normalvtlg. (und nicht: einer t-vtlg.) genommen werden. Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 8 RATING.DTA: Summary statistics. sum booklev marklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales rating invgrade Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max booklev marklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales rating invgrade Also für ein durchschnittliches Unternehmen: Fremdkapitalquote (Buch): 30% Fremdkapitalquote (Markt): 25% Gewinn pro Jahr ist knapp 0% des (buchmäßigen) Unternehmenswerts Ein Euro buchmäßiges Betriebskapital erwirtschaftet jedes Jahr 0 Cent Gewinn (Rendite, Dividende,...) 4% des Unternehmenswerts (= Wert des Kapitals im UN) stecken im Umlaufvermögen 47% der Unternehmen des Samples haben ein Investment Grade Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 7 Beispiel RATING.DTA: Datenbeschreibung Datei RATING.DTA enthält Daten von 92 US-amerik. Unternehmen im Jahr 2005, rating: alle UN des Samples haben ein Credit Rating (von S & P) Variable enthält das Rating von S&P auf einer Skala von 0 ˆ= D(efault) bis 7 ˆ= AAA. Daraus wurde mit gen invgrade = rating > 3 die 0/-Variable invgrade generiert. Klasse Nr. 3 entspricht BB, alle UN mit BBB, A, AA oder AAA-rating gelten als Investment Grade, solche darunter, d.h. BB, B, C, D als Speculative Grade Außerdem sind in der Datei Buch(d.h. Bilanz)- und Marktdaten der UNen enthalten, wie booklev = book leverage = buchmäßige Fremdkapitalquote (Anteil an Bilanzsumme) = Verschuldungsgrad = Fremdkapital/Bilanzsumme (debt/total assets), marklev = dasselbe mit Werten für UN u. FK vom Kapitalmarkt statt aus der Bilanz ebit ta = Earnings before income and tax / total assets (Gewinn/Bilanzsumme) re ta = Retained earnings / total assets (Gewinnausschüttung(?)/Bilanzsumme) wk ta = Working capital / total assets (Umlaufvermögen / Bilanzsumme) logsales = Log. der Umsätze (misst UN-Größe Bilanzsumme nicht verfügbar) Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 9 RATING.DTA: Logit. logit invgrade $xlist Iteration 0: log likelihood = Iteration : log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Logistic regression Number of obs = 92 LR chi2(5) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales _cons

6 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 20 RATING.DTA mit Logit: ˆβ über log-odds interpretieren Ergebnis der Logit-Schätzung war: booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales _cons Aufgabe: Sämtliche ˆβ über log-odds interpretieren. Beispiel: Formel war: log ( odds f. y = { }} { P (y= x) ) P (y=0 x) = β x ˆβ booklev = 4.4: Wenn der Verschuldungsgrad um (seine Einheit, also) 00% steigt, sinken die Odds für die Klassifikation investment grade (statt speculative grade ) um 440% (um 4.4 Einheit odds, das sind 00%). Mit jedem Prozent Verschuldungsgrad mehr also 4.4% weniger Chancen (im Sinne von odds), ein InvestmentGrade-Rating zu erhalten (oder: 4.4% mehr Risiko, gemessen in odds, für ein speculative Grade -Rating. Z.B.: Bei UNen mit odds von 0.5 halb so große P(InvGrade) wie P(SpecGrade) führt ein Prozent mehr Leverage zu odds von ( )*0.5 = 0.478, bei odds von 2 zu (-0.044)*2 =.92) Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 22 RATING.DTA: Zum Vgl: Linear (OLS). regress invgrade $xlist Source SS df MS Number of obs = F( 5, 95) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE =.3757 invgrade Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales _cons Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 2 RATING.DTA: Probit. probit invgrade $xlist Iteration 0: log likelihood = Iteration : log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Probit regression Number of obs = 92 LR chi2(5) = Prob > chi2 = Log likelihood = Pseudo R2 = booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales _cons Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 23 RATING.DTA: CLogLog. cloglog invgrade $xlist Iteration 0: log likelihood = Iteration : log likelihood = Iteration 2: log likelihood = Iteration 3: log likelihood = Iteration 4: log likelihood = Complementary log-log regression Number of obs = 92 Zero outcomes = 486 Nonzero outcomes = 435 LR chi2(5) = Log likelihood = Prob > chi2 = booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales _cons

7 Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 24 Stata Do-File zum Vgl. der Ergebnisse use rating.dta, clear global xlist booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales * lineare Regression regress invgrade $xlist estimates store RLinear * Logit logit invgrade $xlist estimates store RLogit * Probit probit invgrade $xlist estimates store RProbit * kompl. Log-Log cloglog invgrade $xlist estimates store RCloglog estimates table RLinear RLogit RProbit RCloglog, b(%8.3f) se stats(n r2 r2_p ll) eq() Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 26 Annähernd feste Relationen in den Schätzungen der versch. Modelle Laut Amemiya: ˆβ Logit 4 ˆβ OLS ˆβ P robit 2.5 ˆβ OLS ˆβ Logit.6 ˆβ P robit Relationen zum lin. Modell hier nicht sehr gut erfüllt, eher ˆβ Logit 0 ˆβ OLS ˆβ P robit 7 ˆβ OLS ˆβ Logit.6 ˆβ P robit Anmerkung KHS: Die Relationen müssten denen der Standardabweichungen der zugrundeliegenden Verteilung entsprechen (siehe Tabelle vorne). D.h. es müsste gelten: ˆβ Logit π ˆβP 3 robit =.8 ˆβ P robit ˆβ cloglog π 6 ˆβP robit =.28 ˆβ P robit ˆβ cloglog 2 ˆβLogit =0.7 ˆβ Logit Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 25 Vgl. der Ergebnisse Variable RLinear RLogit RProbit RCloglog booklev ebit_ta re_ta wk_ta logsales _cons N r2/r2_p ll legend: b/se Binäre Auswahlmodelle (Logit, Probit,...) Folie 27 Goodness-of-Fit (Pseudo-R 2 ) Ziel: Man möchte auf einer Skala von 0 bis angeben, wie gut die ˆβ x i die y i approximieren. In linearen Regr.modellen hat man dazu das R 2, das angibt wieviel der Varianz in y durch den Modell-Fit ŷ erklärt wird. Da bei binären Auswahlmodellen die Varianzzerlegung nicht gilt, existiert dort kein direktes Analogon dazu. Man spricht bei den folgenden Größen von einem Pseudo- oder Quasi-R 2 : Rpseudo 2 = +2(logL logl 0 )/N RMcF 2 adden = logl logl 0 Da LogL 0 < LogL < 0, gilt 0 < R2 < Pseudo R2 McFadden R2 LogL 0 0 LogL Dabei ist jeweils logl die Log-Likelihood des vollständigen Modells (in der ML-Schätzung ˆβ) und logl 0 die Log-Likelihood des Modells nur mit Konstante (so dass logl 0 logl 0). Letztere lässt sich theoretisch (auch ohne Durchführung der numerischen Maximierung) wie folgt ermitteln: Es ist klar (bzw. man kann leicht zeigen), dass die ML-Schätzung des Modells nur mit Konstante die Wkt. p = P (y = x) =P (y =)auf den Anteil der Individuen, die y =wählen, schätzt: ˆp = N /N. D.h. der (einzige) unbekannte Koeffizient β 0 wird so geschätzt, dass F ( ˆβ 0 )=F (ŝ) = P (y =)=ˆp = N /N. Mit der allgemeinen Formel für die Log-Likelihood ergibt sich (unabh. von F ): logl 0 = N log(n /N )+N 0 log(n 0 /N ), N 0 = N N R2 0

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