ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine"

Transkript

1 24 ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine gerade Linie. Die (:~). Kurve (verg I. Fig. 5) ist ein Parabel. Wenn nun d gröszer als a wird. wird die Kurve wieder steigen. Die Koordi~ nate des Inflexionspunktes ist a-do ist also d > a so liegt der Inflexions~ punkt bei negativem C~Gehalt, was bedeutet, dasz man keinen Inflexions~ punkt erhält. Die Gärungskurve ist jetzt gegeben durch denjenigen Teil der Kurve links vom Inflexionspunkt; der totale Anstieg bleibt daher beschränkt. Zusammenfassend möchten wir bemerken. dasz es möglich ist den Gärungsprozess durch -4 karakteristische Konstanten zu beschreiben, wodurch eine phenomenologische Theorie gegeben wird welche die Grund~ lage für das biologische Hefestudium bilden kann. Die Betrachtungen können angewendet werden auf alle Fälle wo ein Organismus eine Sub~ stanz bildet welche seine Aktivität hemmt. Mathematics. - LTeber gebundene Semi~invarianten binärer Formen Von R. WEITZENBÖCK. (Communicated at the meeting of December ) In der Theorie der Semi~invarianten binärer Formen hat man sich bisher auf freie Formen beschränkt; das sind Formen, deren Koeffizienten man als unbestimmte Grössen beschaut. Die mit derartigen Formen gebildeten freien Semi-invarianten bilden einen endlichen Integritätsbereich und lassen sich als projektive Invarianten freier Formen und der Linear~ form 1" = X2 auffassen. Gebundene Formen heissen Grundformen, deren Koeffizienten durch eine oder mehrere semi~invariante Gleichungen Si = 0 eingeschränkt werden. Die dazu gehörigen Semi~invarianten nennen wir init H. WEYL "gebundene" Semi~invarianten. Es ist leich zu zeigen. dass - in Analogie mit einem Satze von GRAM für projektive Invarianten - die Gleichungen Si = 0, durch das identische Verschwinden von Semi~Kovarianten zusam~ menfassbar sind. leh zeige hier in 1, dass sich darüberhinaus die Gleichungen SI = 0 durch ein System Jv = 0 ersetzen lassen, wo die Jv freie Semi~invarianten darstellen. In 2 beweise ich. dass freie und gebundene Semi~invarianten ei ne gemeinsame Rationalbasis besitzen. Es sei 1. (1)

2 25 eine binäre Form. G = G (ao. al.. Hp) ein Gradient. Letzteres be~ deutet: ist. von einem Zahlenkoeffizienten abgesehen eine Term von G. so gilt für alle Terme von G mo + mi + m mp = g = Grad von G in den avo mi + 2m pmp ---:- w = Gewicht von G. Die Zahl 'YJ = p g - 2 w heisst der Exces von G. Ein Gradient ist eine freie Semi.invariante / von {p. wenn _ a/ a/ a/ _ Q (J) - ao ~ + 2al ~ pap_1 ~ - 0 (2) ual ua2 ua p gilt. 'YJ ist dann stets ~ O. Bei einer Anti.Semi.invariante L haben wir al a L al O(L)=pal~+(p-l)a2~+... +ap-;:. -=0. (3) uao ual uap-i Bei projektiven Invarianten M gilt 'YJ = 0 und Q(M)=O O(M)=O. Ist K (ao. al... a p ) eine durch das Semi~invariante Gleichungssystem gebundene Semi~invariante von {p. so gilt S2=0... (4) ok ak ok Q (K) = ao ~ + 2al ~ pap_1 ;,-= I UI Sj (5) ual ua2 ua p identisch in allen avo wobei die U j Femers ist irgend welche Gradienten sind. oder=o. (6) letzteres. wenn SI selbst Semi.invariante ist. Wir setzen in Folgenden ao 1=- 0 voraus. d.h. die Gleichung ao = 0 sol1 nicht in (4) vorkommen. Es ist leicht zu zeigen. dass für semi~ invariante Gleichungssysteme der GRAM' sche Satz gilt: sie entstehen. wenn alle Koeffizienten in Semi~Kovarianten gleich Null gesetzt werden. Hier kann man darüber hinaus aber noch weiter zeigen. dass sich jedes System (4) dur'eh ersetzen lässt. wo die /v Semi~inlJarianten /1 =0. /2=0... (7) sind.

3 26 Beim Beweise dieses Satzes machen wir Gebrauch von der durch die "Protomorphen" gegebenen Rationalbasis aller freier Semi-invarianten: A 2 =ao a2 - a~ A3 = a~ a3-3ao 81 a2 + 2a~ A4 = a~ a.. - 4a~ al a3 + 6ao a~ a2-3a1 (8) A = a-i f. (-~ 1) pop +ao' Allgemein gilt für 2 c:=: m -= p: (9) oder. wenn man die Differentiation ausführt: (10) Nehmen wir jetzt AI' A 2 A p an Stelle von aj. a2' apo so lässt sich jeder Gradient G vom Gewichte w und Grpde g in der Form darstellen : G (aa. al'... ap) = aw~g G* (AI' A 2 A p ) (11) o wo G* ein Polynom ist. das ao nicht mehr enthält. Ist nämlich T - amo am, am amp p ein Glied von G. und setzt. man hierin nach (8):. (12) so kommt im Nenner a~ zu stehen mit À.= m2 + 2m (p-l) mp = w-(g-mo). (13)

4 27 also wird T ein Polynom von AI. A 2 Ap. geteilt durch ao- g. Ist überdies der Gradient G nicht durch ao teilbar. so gibt es ein Glied T mit mo = O. Aus (13) folgt dann: w-g::=- O. Aus Q (G) wird jetzt 1 ag* Q(G)=-.ao :>A a- g u o Ist G eine. '. ar freie Semi~invariante f. so glbt Q (J) = 0 Jetzt aai = O. woraus die bekannte Tatsache folgt. dass r frei von AI ist. Bei einer gebundenen Semi~invariante K hingegen haben wir statt (5) jetzt die Gleichung I (14) (15) Jedem Si von (4) entspricht bei der Transformation (12) ein Nach (6) ist dann und dasselbe '1 f" a 2 S7 a 3 S7 as; - S* d 0 aai er =. 91 t ur Schreiben wir jetzt aai aai _. AI Ai. A7 S. Si -SlO + -I' Si! + -2' S''2+'" + -, in... n. (16) (17) 50 sind a n - I (* a n S; _ S* - S aa~- zn- j A ~ *).. :>An- I Si - -, Sj = Si.n-I = SC U. s. f. u I n. wieder Gradienten aus dem System aller S: = 0 und S7 = 0 kan jetzt ersetzt werden durch Diese S;p enthalten ab er kein AI mehr. also sind sie freie Semiinvarianten.

5 28 2. Statt (15) können wir jetzt schreiben (18) wo die Ij freie Semi-invarianten vorstellen. (18) ist jetzt direkt zu integrieren ; ist Jo (A2 A3... A p ) eine freie Semi-invariante. 50 wird. (19) d.h. modd I: und daher auch modd Jv [ällt. jede gebundene Semiinvariante K* mit einer [reien Semi-invariante Jo zusammen. Hieraus folgt aber noch keineswegs. dass ein solches Zusammenfallen auch für die gebundenen Semi-invarianten K (oh ne Stern) stattfindet. Sei z.b. K = t (ao a3 - al a2) und I1 = A 2 = ao a2 - ai. Wir haben hier Q K = ao a2 - a~ = 11' d.h. Kist eine gebundene Semi-invariante. die zur Semi-invarianten Gleichung JI = A 2 = 0 gehört. Hier ist dann in Uebereinstimmung mit Gleichung (19) mit U = U* = 1 : K* =ta3 + A2f dal =ta3 +AI A 2 Es ist also wohl K* t A3 (modd /v). d.h. K* = ao. t. (ao a3 - al a2) - t A3 (mod A 2 ). aber t (ao a3 - al a2) ~ einer ganz-rationalen freien Semi-invariante. Die Frage nach einer endlichen Integritätsbasis (modd Jv) für gebundene Semi-invarianten ist also durch (19) keineswegs beantwortet. leh vermute. dass eine solche Integritätsbasis neben den freien Semi-invarianten /0 nur noch die Gradienten 0 Jv enthält. Es gilt nämlich allgemein (QO- OD) G=1] G (20) wo 1] der Exces des Gradienten Gist. Set zen wir hier G = Iv. so entsteht wegen Q Jv = 0: Q (0 Iv) = 1] Jv - 0 (modd Iv). (21) d.h. 0 Iv ist eine gebundene Semi-invariante.

6 29 3. Wir schliessen mit zwei Bemerkungen. Sind erstens neben {p noch weitere Grundformen {q = f3~ = bo xlq + ( i ) bi X'{-I X bq xi... gegeben und ist wieder b o ~ O. so bleiben die Beweise von (7) und (19) im Wesentlichen dieselben. An die Stelle von (5) tritt dann ak ak Q (K) = ao aal bo ab o = ~ Ui Si; (22) zu den Formen A" von (8) kommen dann die Protomorphen von {q: E 2 = ba b 2 -bi... und ausserdem die simultanen Semi-invarianten der Gestalt. (23) Nimmt man dann E'I statt bi als Veränderliche. so geht (22) wieder in die Gestalt (18) über. Zweitens führt a o = 0 auf eine Modifikation obiger Ueberlegungen. die sich durch eine Aenderung im System (8) der Protomorphen als notwendig erweist. Sei nämlich allgemein ah der erste nicht verschwinden de Koeffizient von {p. Dann ist ah selbst eine Semi~invariante und der zu der (zerfallenden) Form - h 'p-h ' p-h-i 'p-h -x2[ aox l + (P-h) 1 al XI x 2+ +ap-h x 2 '] gehörige Operator Q wird jetzt nach (2): a Q=(h+l)ah-a pap_i~= ah+1 uap a = a'o ;, a, + 2a'l -aa, (p - h) a'p-h-i -a?. ua I a 2 ap-h Die Protomorphen von {p sind dann analog zu (8): Es tritt hier also ah an die Stelle von ao und im Uebrigen verlaufen die Beweise von (7) und (19) so wie oben.

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR.

Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR. Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR. (Communicated by Prof. R. WEITZENBÖCK.) (Communicated at the meeting of December

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Die Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K

Die Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche Punkte mit inhomogenen K Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde.

Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde. 73 Beweis der Darstellbarkeit irgend eines ganzen invarianten Gebildes einer binären Form als ganze Function einer geschlossenen Anzahl solcher Gebilde. von F. Mertens. 1. Ich habe in dem hundertsten Bande

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Die projektive Ebene Was sind unendlich ferne Punkte?

Die projektive Ebene Was sind unendlich ferne Punkte? Die projektive Ebene Was sind unendlich ferne Punkte? Prof. Dr. Hans-Georg Rück Fachbereich Mathematik/Informatik Universität Kassel Heinrich-Plett-Str. 40 34132 Kassel Zusammenfassung: Wir konstruieren

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

194 Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Von P. E RDŐS in Budapest. Für den zuerst von T SCHEBYSCHEF bewiesenen Satz, laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

St.Anton am Arlberg London St. Pancras International

St.Anton am Arlberg London St. Pancras International Mein Fahrplanheft gültig vom 15.12.2014 bis 28.08.2015 St.Anton am Arlberg London St. Pancras International 2:10 Bus 4243 2:51 Landeck-Zams Bahnhof (Vorplatz) 2:51 Fußweg (1 Min.) nicht täglich a 2:52

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

~n - f =- (R' - r/)2,

~n - f =- (R' - r/)2, 44 7. By fitting the submatrices Y n m together we can now obtn a solution to the matrix equation Bs Y= YBT where Bs and BT are the rational canonical forms of the matrices S and T respectively. Suppose

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

8 Tangenten an Quadriken

8 Tangenten an Quadriken 8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 8 Projektive Invarianz und das kanonische Kamerapaar Kanonisches Kamerapaar aus gegebener Fundamentalmatrix Freiheitsgrade

Mehr

Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung.

Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner. 17. Oktober Technische Universität München. Die abc-formel. W. Kinzner. Problemstellung. Diplom Mathematiker Wolfgang Kinzner Technische Universität München 17. Oktober 2013 1 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 2 / 9 Inhaltsverzeichnis 1 2

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Rabatt und Skonto. Rechnung Computersystem. Bruttopreis Rabatt Nettopreis Skonto Zahlung. 2'950.00 Fr. 2'457.35 Fr.

Rabatt und Skonto. Rechnung Computersystem. Bruttopreis Rabatt Nettopreis Skonto Zahlung. 2'950.00 Fr. 2'457.35 Fr. Ratt und Skonto Rechnung Computersystem Computer P7 '650.00 Fr. Drucker XX 300.00 Fr. Total '950.00 Fr. 15% 44.50 Fr. '507.50 Fr. % 50.15 Fr. '457.35 Fr. Bruttopreis Ratt Nettopreis Skonto Zahlung Worterklärungen

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven

Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Polynome Teil V: Elementarsymmetrische Funktionen.

Polynome Teil V: Elementarsymmetrische Funktionen. Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil V: Elementarsymmetrische Funktionen. Es gibt Gleichungssysteme, die lassen sich mit schulischen Mitteln nicht bzw. nur sehr mühsam knacken. So musste etwa

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

Aufkleber der Gruppe:

Aufkleber der Gruppe: Praxis 9 Theorie Bewertung.doc Situation: Theorie A e m e F g e ng nom ne ol n: A nm e r k ung : D i e g e s t e l l t e n A u f g a be n w e r d e n n a c h d e n a k t u e l l g ü l t i g e n L e h r

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion

Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion 1. Lösen einer quadratischen Gleichung Quadratische Gleichungen heißen alle Gleichungen der Form a x x c = 0, woei a,, c als Parameter elieige reelle

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

3.4 Der Gaußsche Algorithmus

3.4 Der Gaußsche Algorithmus 94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Ungewöhnliche Gleichungssysteme bei der Mathematik- Olympiade

Ungewöhnliche Gleichungssysteme bei der Mathematik- Olympiade Eric Müller Ungewöhnliche Gleichungssysteme bei der Mathematik- Olympiade Unter den in den vier Runden der Mathematik-Olympiade (MO) gestellten Aufgaben finden sich immer wieder Systeme von Gleichungen

Mehr

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Christian Serpé Universität Münster 14. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) 14. September 2011 1 / 56 Gliederung 1 Motivation Beispiele Allgemeines Vorgehen 2 Der Vektorraum R n 3 Lineare

Mehr

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN

GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Mathematik-Olympiaden in Rheinland-Pfalz GLEICHUNGEN MIT PARAMETERN Fortgeschrittene Die Aufgaben auf diesem Arbeitsblatt haben alle eine elegante Lösungsidee. Bei vielen Gleichungen ist nach Anwenden

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns! Aufgaben und Lösungen. Runde 04 Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen n freuen wir uns!» KORREKTURKOMMISSION KARL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MATHEMATIK Kortrijker Straße, 577 Bonn Postfach 0 0 0, 5 Bonn

Mehr

Analysen und Ergebnisse der Qualifizierungsberater im IV. Quartal 2009

Analysen und Ergebnisse der Qualifizierungsberater im IV. Quartal 2009 Aalys Egbiss d Qalifizibat im IV. Qatal 9 IV. Qatal 9 Batg Aalys d Qalifizibat Im. Qatal ds Jahs 9 wd Btib bzw. Uthm bat. I Uthm wd i Qalifizibdaf fü 1.7 Mitabit* aalysit. Ei Fakäftbdaf xistit i 17 Uthm.

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Lineare Gleichungssysteme: Ein Beispiel aus der Elektrotechnik

Lineare Gleichungssysteme: Ein Beispiel aus der Elektrotechnik Lineare Gleichungssysteme: Ein Beispiel aus der Elektrotechnik Ekkehard Batzies www.hs-furtwangen.de/ batzies 28. März 2008 Unser Beispiel: mit 4 Knoten. R 0,1 := Widerstand zwischen Knoten 0 und Knoten

Mehr

Algebraische Kurven - Vorlesung 5. Homogene Komponenten

Algebraische Kurven - Vorlesung 5. Homogene Komponenten Algebraische Kurven - Vorlesung 5 Homogene Komponenten Definition 1. Sei S ein kommutativer Ring und R = S[X 1,...,X n ] der Polynomring über R in n Variablen. Dann heißt zu einem Monom G = X ν = X ν 1

Mehr

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

Rechnungsdaten als CSV-Datei

Rechnungsdaten als CSV-Datei Rail Abrechnung Rechnungsdaten als CSV-Datei CSV-Datei Rechnungsdaten Beschreibung Stand: August 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnungsdaten in CSV-Struktur 3 1.1 Allgemeines 3 1.2 Aufbau der CSV-Datei 3

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade

Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Clemens Heuberger 22. September 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Dezimaldarstellung 1 2 Teilbarkeit

Mehr

lsa = (S' A) (SA') (110)

lsa = (S' A) (SA') (110) Mathematics. - Ueber Trivektoren. V. Von R. WEITZENBÖCK. (Communicated at the meeting of February 26. 1938.) 13. Die Syzygien D:~ und E:~. Wir haben im 11 in der Gleichung (98) eine Syzygie dritter Art

Mehr

Anlage 3 Mindestanforderungen Datenumfang und Datenqualität

Anlage 3 Mindestanforderungen Datenumfang und Datenqualität Anlage 3 Mindestanforderungen Datenumfang und Datenqualität Legende MDLA: Messdienstleister alt MSBA: Messtellenbetreiber alt MDLN: Messdienstleister neu MSBN: Messtellenbetreiber neu VNB: MDL MSB Verteilnetzbetreiber

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

II. Klein Gordon-Gleichung

II. Klein Gordon-Gleichung II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In

Mehr

Atombau, Periodensystem der Elemente

Atombau, Periodensystem der Elemente Seminar zum Brückenkurs Chemie 2015 Atombau, Periodensystem der Elemente Dr. Jürgen Getzschmann Dresden, 21.09.2015 1. Aufbau des Atomkerns und radioaktiver Zerfall - Erläutern Sie den Aufbau der Atomkerne

Mehr

Aufbau und Bedienungsanleitung. Opticon OPL-9723

Aufbau und Bedienungsanleitung. Opticon OPL-9723 Aufbau und Bedienungsanleitung Opticon OPL-9723 Stand Dezember 2006 Inhaltsverzeichnis 1. Vorstellung des Opticon OPL-9723 2. Der Aufbau 2.1 Inhalt Seite 3 2.2 Aufbau Schritt für Schritt Seite 3 3. Installation

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Formelsammlung für Automatisierungstechnik 1 & 2

Formelsammlung für Automatisierungstechnik 1 & 2 Formelsammlung für Automatisierungstechnik & 2 Aus Gründen der Vereinheitlichung, der gleichen Chancen bw. um etwaigen Diskussionen vorubeugen, sind als Prüfungsunterlagen für die Vorlesungsklausuren aus

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SOHLEGEL IN HAGEN I/W.

EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SOHLEGEL IN HAGEN I/W. EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SOHLEGEL IN HAGEN I/W. Es soll im Folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden, mit wie grosser Leichtigkeit die einfachsten Hilfsmittel der G r äs s - mann'schen

Mehr

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z

3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

COAX Speisedruck Luftverbrauch Saugleistung (Nl/s) bei unterschiedlichen Vakuumniveaus (-kpa) Max. Cartridge

COAX Speisedruck Luftverbrauch Saugleistung (Nl/s) bei unterschiedlichen Vakuumniveaus (-kpa) Max. Cartridge P5010 Neu patentierte COAX push-in Technologie ermöglicht den Ein- und Ausbau der Cartridge ohne Werkzeuge. Erhältlich mit einer zwei- oder dreistufigen COAX Cartridge MIDI. Wählen Sie eine Si- Cartridge

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrimultiplikation A = (m

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Chemische Bindung. Wie halten Atome zusammen? Welche Atome können sich verbinden? Febr 02

Chemische Bindung. Wie halten Atome zusammen? Welche Atome können sich verbinden? Febr 02 Chemische Bindung locker bleiben Wie halten Atome zusammen? positiv Welche Atome können sich verbinden? power keep smiling Chemische Bindung Die chemischen Reaktionen spielen sich zwischen den Hüllen der

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

II.2 Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung

II.2 Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung II. Lösung der freien Klein Gordon-Gleichung II..1 Allgemeine Lösung Da die Klein Gordon-Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, kann man als Lösungsansatz eine ebene Welle φ(x) N e

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Differenzengleichungen. und Polynome

Differenzengleichungen. und Polynome Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Mit linearen Differenzengleichungen

Mehr

Advanced Encryption Standard. Copyright Stefan Dahler 20. Februar 2010 Version 2.0

Advanced Encryption Standard. Copyright Stefan Dahler 20. Februar 2010 Version 2.0 Advanced Encryption Standard Copyright Stefan Dahler 20. Februar 2010 Version 2.0 Vorwort Diese Präsentation erläutert den Algorithmus AES auf einfachste Art. Mit Hilfe des Wissenschaftlichen Rechners

Mehr

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,

Determinanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird, Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog

Mehr

Aufgabe 1: Malerarbeiten

Aufgabe 1: Malerarbeiten Aufgabe 1: Malerarbeiten Fritz braucht zwei Stunden, um ein Zimmer zu streichen. Susi braucht für das gleiche Zimmer drei Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen, um das Zimmer zu streichen? Lösung:

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Vortrag 11: Der Satz von Mordell-Weil

Vortrag 11: Der Satz von Mordell-Weil Vortrag 11: Der Satz von Mordell-Weil Max Daniel 30. Januar 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Höhenfunktionen auf elliptischen Kurven 2 2 Ausblick 7 Einleitung Sei E/K eine über einem Zahlkörper K definierte elliptische

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie

Mehr

Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren

Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren Kommentiertes Beispiel für das Gaußsche Eliminationsverfahren oder: Wie rechnet eigentlich der TI 84, wenn lineare Gleichungssysteme gelöst werden? Hier wird an einem Beispiel das Gaußsche Verfahren zum

Mehr

Thema: Chemische Bindungen Wasserstoffbrückenbindungen

Thema: Chemische Bindungen Wasserstoffbrückenbindungen Wiederholung der letzten Vorlesungsstunde: Thema: Chemische Bindungen Wasserstoffbrückenbindungen Wasserstoffbrückenbindungen, polare H-X-Bindungen, Wasser, Eigenschaften des Wassers, andere Vbg. mit H-Brücken

Mehr

Tropische Kurven zählen. Enumerative Geometrie. Alg. Geometrie. Beispiel Strategie. Geometrie. Kurven Multiplizität Correspondence Theorem Ergebnisse

Tropische Kurven zählen. Enumerative Geometrie. Alg. Geometrie. Beispiel Strategie. Geometrie. Kurven Multiplizität Correspondence Theorem Ergebnisse Alg. Ebene e Hannah Markwig Technische Universität Kaiserslautern 6. Juli 2006 Alg. Inhalt 1 () 2 3 Der Algorithmus zum Zählen ebener 4 Der Algorithmus Alg. Algebraische Geometrische Objekte sind Nullstellengebilde

Mehr