Binäre Gleitkommazahlen

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1 Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72

2 Nebenbemerkung Betrachtedie recht harmlose Dezimalzahl 0,8. Fürdie folgende unendliche Reihe rechnet manleichtnach: nach: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... = 4/5 = 0.8 Folglich ist die Binärdarstellung von 0.8 unendlich lang, nämlich: 0, Annahme wir speichern nur die ersten 32 Bits. Rechnet man in den Dezimalwert e x zurück, uüc,dann ergibt egbtsc sich: x = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = / = 0, ,8 Oha, 0,8 ist scheinbar doch nicht so harmlos. Es gibt folglich Zahlen mitendlicher dezimaler Gleitkommadarstellung, die binär nicht mit endlicher Anzahl Bits darstellbar sind. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 73

3 N Bit Darstellung von Gleitkommazahlen Normalisierte, wissenschaftliche Darstellung zur Basis 2. Beispiel: Allgemein: Sign and Magnitude Darstellung für beispielsweise 32 Bits: (s=0 für + und s=1 für ) s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Tradeoff: Viele Fraction Bits: hohe Genauigkeit der Fraction Viele Exponent Bits: großer darstellbarer Zahlenbereich Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 74

4 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit Strings? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 75

5 Wertebereiche, Overflow und Underflow s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2, Größte darstellbare Zahl annähernd 2, Was, wenn die darzustellende Zahl außerhalb dieses Bereichs ist? Overflow: Zahl zu groß (Exponent istzu groß um imexponent Feld darstellbar zu sein) Underflow: Zahl zu klein (Negativer Exponent ist zu groß um im Exponent Feld darstellbar zu sein) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 76

6 Beispiel: Double Precision Double und Single Precision Insgesamt 32 Bits Single Precision s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Insgesamt64 Bits s exponent fraction 1 Bit 11 Bits 52 Bits Double Precision hat höhere Genauigkeit der Fraction und mit größerem Exponent auch einen größeren darstellbaren Zahlenbereich. Double Precision in diesem Beispiel: Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2, Größte darstellbare Zahl annähernd 2, Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 77

7 Der Zahlenformatstandard IEEE 754 Single Precision Double Precision Insgesamt32 Bits s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Insgesamt t64 Bits s exponent fraction 1 Bit 11 Bits 52 Bits Bit Aufteilungen in dieser Form sind in IEEE 754 spezifiziert. Betrachte die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung: [+ oder ] 1,xxxxxxxx 2 yyyy Beobachtung: die 1 vor dem Kommaistredundant redundant. Somit: Bei IEEE 754 wird die 1 implizit angenommen und in fraction nicht codiert. fraction speichert nur Nachkommastellen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 78

8 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Es sei die 1 vor dem Komma implizit angenommen. Fraction speichere damit nur die Nachkommastellen. Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit Strings? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79

9 Weitere Eigenschaften von IEEE 754 Unterscheidung von Fraction und 1+Fraction in der Darstellung ( 1) S (1 + Fraction) 2 Exponent 1+Fraction wird als Significant (deutsch: Mantisse) bezeichnet. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 80

10 Motivation für eine geeignete Exponent Darstellung Annahme: Exponent wäre mit Zweierkomplement dargestellt. Wie macht man einen Größer Kleiner Vergleich der folgenden beiden Zahlen? Zahl 1: Zahl 2: Vergleiche erst mal die Vorzeichenbits. Bei unterschiedlichen Vorzeichenbits itd ist der Vergleich hbeendet. 2. Vergleiche die Exponenten. Ist einer größer als der andere, ist der Vergleich beendet. (Signed Vergleich) 3. Vergleiche die Fractions. (Unsigned Vergleich) Kann man Schritt 2 und 3 in einem durchführen? Kleinster Exponent müsste und größter Exponent müsste sein, dann könnte manexponentundfraction füreinen Vergleich einfach konkatenieren. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 81

11 Darstellung des Exponenten in Biased Notation Ei Erinnerung: Biased Notation i (hier mit 8 Bit und Bias 127): = -127 (0-Bias = -127) = -126 (1-Bias = -126) = -1 (126-Bias = -1) = 0 (127-Bias = 0) = 1 (128-Bias = 1) = 127 (254-Bias = 127) = 128 (255-Bias = 128) Zusammengefasst: Der Wert x einer Zahl in IEEE 754 Darstellung ist (Single Precision (8 Bit Exponent) Bias=127, Double Precision (11 Bit Exponen) Bias=1023) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 82

12 IEEE 754 Encoding Wie stellt man im IEEE 754 Format eigentlich die 0 dar!? ( 1) S (1 + Fraction) 2 (Exponent Bias) Single Precision (Bias=127) Double Precision (Bias=1023) Dargestelltes Objekt Exponent Fraction Exponent Fraction Nicht Null 0 Nicht Null (+/ Denormalised Number) 1 bis 254 Beliebig 1 bis 2046 Beliebig +/ Gleitkommazahl / Unendlich 255 Nicht Null N 2047 Nicht Null N NN(N NaN (Not a Number) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 83

13 Quiz Betrachte IEEE 754 Single Precision, also Bias = 127. Was ist der Dezimalwert der folgenden Binärzahl? ( 1) S (1 + Fraction) 2 (Exponent Bias) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 84

14 Quiiiiz Bestimme S, Fraction und Exponent der IEEE 754 Single Precision Repräsentation (also Bias = 127) der Dezimalzahl ( 1) S (1 + Fraction) 2 (Exponent Bias) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 85

15 Gleitkommaarithmetik Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 86

16 Gleitkommaarithmetik Addition von binären n Bit Gleitkommazahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 87

17 Vorüberlegung Addition mit gleichem Exponent (Nachkomma mit 4 Bits kodiert): Addition mit unterschiedlichen Exponenten (Nachkomma 4 Bits): Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 88

18 Vorüberlegung Ergebnis muss unter Umständen wieder normalisiert werden: Bei Einschränkung auf n Bit (z.b. Nachkomma auf 4 Bit eingeschränkt) kann dies anschließendes Auf bzw. Abrunden erfordern. Beispiel: Runden nach der Schulmethode Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 89

19 Vorüberlegung Das Runden kann ggf. neues Normalisieren erforderlich machen: Normalisierungen können Overflows und Underflows hervorrufen. Beispiel: IEEE 754 Single Precision erlaubt Exponenten von 126 bis 127. Somit ist zum Beispiel: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 90

20 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (1) (2) Start Beispiel 1 Beispiel 2 1, , (1) Vergleiche Exponenten 1, , der beiden Zahlen. Shifte die kleinere Zahl nach rechts, so dass der Exponent mit dem Exponent der größeren Zahl übereinstimmt. (Mantissen Alignment) (2) Addiere die Mantissen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 91

21 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Additionsalgorithmus Beispiel 1 Beispiel 2 (3) Normalisiere die Summe, entweder durch Rechts Shift und hoch setzen oder durch (2) 0, , Links Shift und runter setzen (3) des Exponenten. Im Beispiel 8 Bit für den Exponenten. Overflow oder Underflow? ja nein Exception Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 92

22 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. zurück nach (3) Beispiel 1 Beispiel 2 (3) 1, , (4) (4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits. Immer noch normalisiert? i nein ja Fertig Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 93

23 Noch eine Bemerkung Betrachte die folgende binäre Floats mit 8 Bit Mantisse: x = 1, , y = 1, , z = 1, Was ist x + (y + z)? Was ist (x + y) + z? Somit itist x + (y + z) (x + y) + z, d.h. die Gleitkommaaddition ist nicht assoziativ! Quiz: Was ist die Konsequenz, wenn man x 1 + x x n parallel berechnen möchte? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 94

24 Gleitkommaarithmetik Multiplikation lik von binären n Bit Gleitkommazahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 95

25 Vorüberlegung Multiplikation von zwei beliebigen binären Floats in normalisierter Darstellung. Was ist der Exponent des Ergebnisses? Multiplikation der Mantissen. Wo kommt das Komma hin? Was ist das Vorzeichen v von x y? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 96

26 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. 1, , Start (1) (1) Addiere die Exponenten. (Subtrahiere Bias im Fll Falle von Biased Notation ) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 97

27 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (1) Der Exponent ist 3 Die Mantissen sind: 1, und 1, (2) (2) Multipliziere die Mantissen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 98

28 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (2) 10, (3) (3) Normalisiere das Produkt Falls notwendig. Normalisierung erfolgt durch Rechts Shift und erhöhen des Exponenten. Im Beispiel 8 Bit für den Exponenten. Overflow oder Underflow? ja nein Exception Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 99

29 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (4) Runde die Mantisse auf (Eingabe: 1, , ) dieverfügbare Anzahl Bits. zurück nach (3) (3) 1, Immer noch (4) normalisiert? nein (5) ja (5) SetzeVorzeichen auf + + wenn die Vorzeichen der Eingaben gleich waren. Sonst setze Vorzeichen auf. Fertig Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 100

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