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2 Sortierte Folgen: he 1,...,e n i mit e 1 apple applee n kennzeichnende Funktion: M.locate(k):= addressof min{e 2 M : e k} Navigations Datenstruktur Annahme: Dummy-Element mit Schlüssel Achtung: In Abbildungen sieht wie 00 aus 251

3 Statisch: Sortiertes Feld mit binärer Suche // Find min{i 2 1..n + 1 : a[i] k} Function locate(a[1..n], k : Element) (`,r):= (0,n + 1) // Assume a[0]=, a[n + 1]= while ` + 1 < r do invariant 0 apple ` < r apple n + 1 and a[`] < k apple a[r] m:= b(r + `)/2c // ` < m < r if k apple a[m] then r:= m else `:= m return r Übung: Müssen die Sentinels / tatsächlich vorhanden sein? Übung: Variante von binärer Suche: bestimme `, r so dass a[`..r 1]=[k,...,k], a[` 1] < k und a[r] > k 252

4 Statisch: Sortiertes Feld mit binärer Suche // Find min{i 2 1..n + 1 : a[i] k} Function locate(a[1..n], k : Element) (`,r):= (0,n + 1) // Assume a[0]=, a[n + 1]= while ` + 1 < r do invariant 0 apple ` < r apple n + 1 and a[`] < k apple a[r] m:= b(r + `)/2c // ` < m < r if k apple a[m] then r:= m else `:= m return r Zeit: O(log n) Beweisidee: r ` halbiert sich in jedem Schritt 253

5 Binäre Suche Beispiel: k = 15 Function locate(a[1..n],k : Element) // min{i 2 1..n + 1 : a[i] k} (`,r):= (0,n + 1) // Assume a[0]=, a[n + 1]= while ` + 1 < r do invariant 0 apple ` < r apple n + 1 and a[`] < k apple a[r] m:= b(r + `)/2c // ` < m < r if k apple a[m] then r:= m else `:= m return r Indizes: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Einträge: [, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ] [, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ] [, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ] [, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ] 254

6 Dynamische Sortierte Folgen Grundoperationen insert, remove, update, locate O(log n) (M.locate(k):= min{e 2 M : e k}) 255

7 Mehr Operationen hmin,...,a,...,b,...,maxi min: Erstes Listenelement max: Letztes Listenelement Zeit O(1) Zeit O(1) rangesearch(a, b) result:= hi h:= locate(a) while h! e apple b do result.pushback(h! e) h:= h!next return result // O(log n + result ) Navigations Datenstruktur

8 Noch mehr Operationen I (re)build: Navigationsstruktur für sortierte Liste aufbauen O(n) I hw,..., xi.concat(hy,..., zi)=hw,..., x, y,..., zi O(log n) I hw,...,x,y,...,zi.split(y)=(hw,...,xi,hy,...,zi) O(log n) Zählen: rank, select, rangesize O(log n) Fingersuche: = Abstand zu Fingerinfo zusätzlicher Parameter für insert, remove, locate,... O(log n)! log Navigations Datenstruktur

9 Abgrenzung Hash-Tabelle: nur insert, remove, find. Kein locate, rangequery Sortiertes Feld: nur bulk-updates. Aber: Hybrid-Datenstruktur oder log n M statische Datenstrukturen geometrisch wachsende Prioritätsliste: nur insert, deletemin, (decreasekey, remove). Dafür: schnelles merge Sortierte Folgen allgemein: die eierlegende Wollmilchdatenstruktur. Etwas langsamer als speziellere Datenstrukturen 258

10 Sortierte Folgen Anwendungen I Best-First Heuristiken I Alg. Geometrie: Sweepline-Datenstrukturen I Datenbankindex I

11 Anwendungsbeispiel: Best Fit Bin Packing Procedure binpacking(s) B : SortedSequence // used bins sorted by free capacity foreach e 2 s by decreasing element size // sort if 9b 2 B : free(b) e then B.insert(new bin) locate b 2 B with smallest free(b) e insert e into bin b Zeit: O( s log s ) Qualität: gut. Details: nicht hier 260

12 Binäre Suchbäume Blätter: Elemente einer sortierten Folge. Innere Knoten v =(k,`,r), (Spalt-Schlüssel, linker Teilbaum, rechter Teilbaum). Invariante: über ` erreichbare Blätter haben Schlüssel apple k über r erreichbare Blätter haben Schlüssel > k

13 Varianten, Bemerkungen I Dummy-Element im Prinzip verzichtbar I Oft speichern auch innere Knoten Elemente I Suchbaum wird oft als Synomym für sortierte Folge verwendet. (Aber das vermischt (eine) Implementierung mit der Schnittstelle)

14 locate(k) Idee: Benutze Spaltschlüssel x als Wegweiser. Function locate(k, x) if x is a leaf then if k apple x then return x else return x!next if k apple x then return locate(k, x!left) else return locate(k, x!right) ? < > >

15 locate(k) anderesbeispiel Idee: Benutze Spaltschlüssel x als Wegweiser. Function locate(k, x) if x is a leaf then if k apple x then return x else return x!next if k apple x then return locate(k, x!left) else return locate(k, x!right) ? < > >

16 Invariante von locate(k) Function locate(k, x) if x is a leaf then if k apple x then return x else return x!next if k apple x then return locate(k, x!left) else return locate(k, x!right) <k <x x root >x >k Invariante: Sei X die Menge aller von x erreichbaren Listenelemente. Listenelemente links von X sind < k Listenelemente rechts von X sind > k 265

17 Ergebnisberechnung von locate(k) Function locate(k, x) if x is a leaf then if k apple x then return x else return x!next if k apple x then return locate(k, x!left) else return locate(k, x!right) <k x root >k Fall k = x: return x Fall k < x: return x Fall k > x: return x!next Bingo! links ist es auch nicht nächstes ist > k und k gibt es nicht 266

18 Laufzeit von locate(k) Function locate(k, x) if x is a leaf then if k apple x then return x else return x!next if k apple x then return locate(k, x!left) else return locate(k, x!right) ? < > 17 > Laufzeit: O(Höhe). Bester Fall: perfekt balanciert, d. h. Tiefe = blog nc Schlechtester Fall: Höhe n 267

19 Naives Einfügen Zunächst wie locate(e). Sei e 0 gefundenes Element, u der Elterknoten insert e u k v u insert e u u k v e T e e T T e T e e k=key(e) 268

20 Beispiel insert 17 insert 13 insert Problem: Der Baum wird beliebig unbalanciert. langsam 269

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