Rainer Diaz-Bone/Harald Künemund. Einführung in die binäre logistische Regression

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1 Free Unverstät Berln Fachberech Poltk u. Sozalwssenschaften Insttut für Sozologe Abtelung Methodenlehre und Statstk Garystr Berln Raner Daz-Bone/Harald Künemund Enführung n de bnäre logstsche Regresson Mttelungen aus dem Schwerpunktberech Methodenlehre, Heft Nr. 56 ISSN Berln, Ma 2003

2 Inhalt 0 EINLEITUNG PROBLEMSTELLUNG AUSGANGSPUNKT: DAS EINFACHE LINEARE REGRESSIONSMODELL LOGIT-MODELL UND LOGISTISCHE REGRESSION ENTWICKLUNG DER LOGISTISCHEN REGRESSIONSGLEICHUNG CHARAKTERISTIK DER LOGISTISCHEN REGRESSIONSKURVE DER EFFEKT-KOEFFIZIENT E B STANDARDISIERUNG DES LOGIT-KOEFFIZIENTEN B UND DES EFFEKT-KOEFFIZIENTEN E B MULTIVARIATER FALL GÜTEKRITERIEN UND STATISTISCHE TESTS EIN EINFACHES ANWENDUNGBEISPIEL LITERATUR...25

3 1 Daz-Bone/Künemund 0 Enletung De Verwendung von multvaraten statstschen Verfahren, de abhängge Varablen mt Nomnalskalenqualtät darstellen können, st gerade für sozalwssenschaftlche Forschung bedeutsam. Denn her fnden sch vele Sachverhalte klassfkatorscher und qualtatver Art (z.b. Famlenstand oder Erwerbsstatus). Metrsche Varablen (z.b. Enkommen n oder Alter n Jahren) snd demgegenüber deutlch seltener. Selbst wo ene metrsche Varable m Prnzp denkbar wäre, stehen aus erhebungsökonomschen oder forschungspraktschen Gründen oft nur Varablen mt Nomnalskalennveau zur Verfügung (z.b. statt Wochenarbetszet nur Voll- oder Telzeterwerbstätg). Auch kann sch das Forschungsnteresse explzt auf de qualtatve Informaton rchten, auch wenn detallertere Informatonen m Prnzp verfügbar snd (z.b. ene Analyse, ob Wohnegentum vorhanden st oder ncht, auch wenn metrsche Informaton über den Wert des Immoblenbestzes vorlegen). In all desen Fällen snd Standardverfahren we de multvarate lneare Regresson ncht ohne Weteres ensetzbar. Alternatven kommen u.a. aus dem Berech der sogenannten log-lnearen Statstk. Spezelle Modelle der log-lnearen Statstk snd de Logt-Analyse und de logstsche Regresson. Spätestens set den 80er Jahren fndet de logstsche Regresson zunehmend Verwendung n der Epdemologe und Ökonome, n den 90ern nun auch n der Sozologe. De gänggen Statstk- Softwarepakete we SAS, SPSS oder STATA beten nzwschen alle entsprechende Prozeduren an, zunehmend auch Spezalsoftware we etwa SUDAAN für de Analyse z.b. von mehrfach geschchtete Stchproben, we se n der Survey-Forschung häufg snd. Deser Text st ene sehr enfach gehaltene Enführung n de bnäre logstsche Regresson mt Hnwesen auf weterführende Lteratur und Verfahren. Dabe geht es vorrangg um ene qualtatve Darstellung, das heßt, es soll so weng we möglch an formaler Darstellungen verwendet werden. 1 Das enfache lneare Regressonsmodell bldet den Bezug für de Enführung der bnären logstschen Regresson, da bede Modelle ene Rehe von Parallelen aufwesen. Anhand enes sozologschen Bespels wrd de praktsche Anwendung der logstschen Regresson besprochen. Für de Interpretaton wrd en SPSS-Output zugrunde gelegt. 1 Für formalere und vollständgere Darstellungen sehe de Lteraturhnwese, nsbesondere das Standardwerk von Hosmer und Lemeshow (2000).

4 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 2 1 Problemstellung Ausgangsproblem der bnären logstschen Regresson st de statstsche Beurtelung des Zusammenhangs zwschen ener nomnalskalerten, dchotomen abhänggen Varablen und mndestens ener unabhänggen Varablen (Dependenzmodell). De abhängge Varable wrd mt enem großen Y bezechnet, ene Ausprägung von Y an enem Objekt wrd ndzert mt (z. B. de -te Person n ener Stchprobe) und dann bezechnet mt y. Typsche Anwendungen für de logstsche Regresson snd Fragestellungen, de untersuchen, wovon das Entreten enes Eregnsses oder enes Zustandes be Untersuchungsobjekten (we Personen) abhängt bzw. wodurch das Entreten beenflusst wrd. Das Eregns oder der Zustand wrd dann mt 1 kodert. Das Gegentel (also das Nchtentreten des Eregnsses oder des Zustandes) wrd mt 0 kodert. Solche Varablen haben also nur zwe möglche, sch ausschleßende Ausprägungen, we z.b. "Eregns trtt en " (Y = 1) und "das Eregns trtt ncht en" (Y = 0). Durch dese (gerngstmöglche) Anforderung an das Skalenveau der abhänggen Varablen erhält de bnäre logstsche Regresson en bretes Anwendungsspektrum. 2 Rchtet man de Aufmerksamket auf de Ausprägung 1, so kann man genauer fragen, n welcher Wese (we stark und n welcher Rchtung) de Entrttswahrschenlchket für Y = 1 durch bedngende Merkmale (de unabhänggen Varablen) beenflusst wrd. Weter könnte de konkrete Wahrschenlchket für das Entreten des Eregnsses P(Y = 1) be enem bestmmten Untersuchungsobjekt nteresseren, wenn man dessen Ausprägungen be den unabhänggen Varablen kennt. Man kann sch be solchen Wahrschenlchketsaussagen ener dchotomen Varablen auf de ene Ausprägung Y = 1 konzentreren. Denn de Wahrschenlchket für de andere Ausprägung Y = 0, also P(Y = 0), st dann mmer de Dfferenz zu 1. P(Y = 0) = 1- P(Y = 1) Weter nteressert zumest auch de Frage, we gut en abhängges Merkmal nsgesamt durch ene oder mehrere unabhängge Merkmale erklärbar st. Und betrachtet man Stchprobendaten, wll man oft wssen, ob en n der Stchprobe vorhandener Enfluss ener Varablen auch n der 2 Als Anwendungsvoraussetzung wrd n der Lteratur ene Fall zahl von etwa n = 100 angegeben (vgl. z.b. Backhaus u.a. 2000: 107). Weterhn setzt de logstsche Regresson de Unkorrelerthet der unabhänggen Varablen voraus. Für de Analyse kategoraler abhängger Varablen mt mehreren Ausprägungen sowe ordnaler abhängger Varablen exsteren mehrere Varanten deses Modells.

5 3 Daz-Bone/Künemund Grundgesamthet vorhanden st. Derle Betrachtungsmöglchketen telt de logstsche Regresson mt der klassschen lnearen Regresson. Um de logstsche Regresson enzuführen, wollen wr deshalb an de klasssche Regressonsrechnung anknüpfen. 2 Ausgangspunkt: Das enfache lneare Regressonsmodell Das enfache Regressonsmodell unterstellt enen lnearen Zusammenhang zwschen abhängger Varablen (Y) und unabhängger Varablen (X). Es glt m Zwe-Varablen-Fall de Regressonsglechung y = a + b x + u bzw. ohne den stochastschen Antel u de Regressonsgerade 3 y = a + b x De Koeffzenten a und b werden unter Verwendung der Methode der klensten Quadrate geschätzt. De Regressonskoeffzenten können enfach nterpretert werden. Der Regressonskoeffzent a st graphsch betrachtet der Schnttpunkt, an dem de Regressonsgerade de Y- Achse schnedet, d.h. en konstanter Faktor, zu dem sch de Effekte der unabhänggen Varablen adderen. Der Regressonskoeffzent b gbt de Änderung von Y an, wenn de unabhängge Varable um ene Enhet erhöht wrd (unabhängg von der konkreten Ausprägung von X). Abbldung 1: Zwe enfache Regressonsgeraden y = f(x) = x und y = g(x) = 10 + x. 3 Wr vernachlässgen m Folgenden sowohl den stochastschen Antel als auch de statstschen Formulerungen für ene Grundgesamthet. Es wrd also m engeren Snne mmer der Erwartungswert von p bzw. y thematsert.

6 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 4 Zur Verdeutlchung snd n Abbldung 1 zwe enfache Regressonsgeraden graphsch dargestellt. Aufgetragen wrd her jewels de abhängge Varable Y gegen de unabhängge Varable X. Der Koeffzent a wrd her ablesbar als Achsenabschntt: bede Graden schneden den Punkt (0; 10). Der Koeffzent b wrd her als Maß für de Stegung schtbar. Für de lneare Regresson glt, dass de Güte der Anpassung des geschätzten Modells an de n der Stchprobe vorlegenden Daten durch den Determnatonskoeffzenten r 2 ausgedrückt werden kann. Deser setzt de erklärte Varanz ns Verhältns zur Gesamtvaranz. Um so höher der Antel der erklärten Varanz, um so besser st de Erklärungslestung des Modells, d. h. dessen Anpassung an de Daten der Stchprobe. Weter glt, dass m multvaraten Fall (mehrere unabhängge Varablen wrken auf Y en) auch der Enfluss jeder enzelnen Varablen statstsch geprüft werden kann durch de Verwendung des t-tests. Das Problem aber st, dass m lnearen Regressonsmodell de abhängge Varable Y metrsch skalert sen muss und theoretsch alle Ausprägungen von - bs + realseren kann, ncht nur de Werte 0 und 1. Man könnte nun auf de Idee kommen, enfach P(Y=1) also de Wahrschenlchket, dass das Eregns entrtt, als abhängge Varable n ener enfachen Regresson zu verwenden, ene metrsche Größe. Des schetert aber zunächst daran, dass dese Wahrschenlchket, geschätzt als lneare Funkton von anderen Varablen, dann Werte > 1 und < 0 annehmen könnte. 3 Logt-Modell und logstsche Regresson 3.1 Entwcklung der logstschen Regressonsglechung De Unangemessenhet des enfachen lnearen Regressonsmodells für das oben beschrebene Ausgangsproblem be 0-1-koderten Varablen lässt sch durch de Verwendung der logstschen Regresson umgehen. 4 Wr können dese mt engen enfachen Überlegungen herleten. Das Zel soll zunächst sen, ene solche Glechung zu entwckeln, de auf der rechten Sete den Regressonsausdruck a + b x benhaltet. Er st enfach zu nterpreteren und kann von - bs + vareren. Auf der lnken Sete der Glechung muss nun aber en solcher Ausdruck stehen, der ebenso n desem Berech varert und der es ermöglcht, ene dchotome Varable enzubnden. In dre Schrtten können wr dese Enbndung lesten. 1. Schrtt Wr betrachten nur noch de Wahrschenlchket dafür, das en bestmmtes Untersuchungsobjekt de Ausprägung y = 1 aufwest. Wr kürzen dese Wahrschenlchket mt p ab. Allerdngs kann 4 Ene alternatv denkbare Modfkaton des Verfahrens der lnearen Regresson durch Gewchtung (WLS-Schätzung) dskuteren z.b. Aldrch/Nelson (1984: 14ff.).

7 5 Daz-Bone/Künemund p m Berech von 0 bs 1 vareren. Wr müssen noch zwe Transformatonen durchführen, damt en der Varatonsberech mt dem des rechtssetgen Ausdrucks überenstmmt. 2. Schrtt Wr betrachten das Verhältns der beden Wahrschenlchketen p und 1-p zuenander. Deses Verhältns nennt man Odds (auch lkelhood rato, Wahrschenlchketsverhältns): De Wahrschenlchket des Entretens dvdert durch de Wahrschenlchket des Ncht-Entretens des Eregnsses Y = 1. 5 p 1- p = Odds Deser Ausdruck varert von 0 bs +. Es st also noch en weterer Schrtt notwendg. 3. Schrtt Wenn wr nun dese Odds logarthmeren, erhalten wr enen Ausdruck, der m Berech von - bs + varert. Deser neue Ausdruck heßt Logt (wr verwenden den natürlchen Logarthmus, abgekürzt ln ). 6 p P(Y = 1) P(Y = 1) ln = ln = ln = Logt (p) 1- p 1- P(Y = 1) P(Y = 0) Wr können nun also enfach für den Zwe-Varablen-Fall schreben: p ln = a + bx 1- p Man nennt den Logt (lnke Sete) de Lnk-Funkton, da dese Konstrukton de dchotome Varable an den bekannten Regressonsausdruck (rechte Sete) vermttelt. Wenn der Ausdruck auf 5 6 Als Bespel denke man ene Münze, de geworfen wrd. Im Idealfall sollten bede Seten der Münze de gleche Wahrschenlchket haben, oben oder untern zu legen, also snd de Chancen gewssermaßen Fünfzg zu Fünfzg. De Odds snd daher 1, bede Eregnsse haben de gleche Wahrschenlchket. En anderes Bespel wäre, be enem Würfelwurf ene 6 zu würfeln. Her snd de Odds 1 (de 6) zu 5 (ene der anderen fünf Zahlen) = 0,2. Der Logarthmus st ene mathematsche Funkton. Dese sucht für en Resultat und be gegebener Bass den Exponenten, mt dem man de Bass potenzeren muss, um deses Resultat zu erhalten. Bespel der Logarthmus von 9 zur Bass 3 st 2, denn 3²=9. De ln- Funkton sucht de Exponenten, mt denen man de Eulersche Zahl e = 2, potenzeren muss.

8 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 6 der lnken Sete zunächst auch noch etwas weng anschaulch st, so wssen wr, dass er mt der Zunahme von X um ene Enhet um b größer wrd. Außerdem wssen wr, dass er für den Fall X = 0 so groß st we a. Wr haben her also den Vortel der klaren und enfachen Interpreterbarket der Koeffzenten. Damt st das erste Zel errecht. Dese Glechung nennt man Logt- Modell. Löst man de Glechung nach p I auf, so erhält man daraus de logstsche Regressonsglechung für den Zwe-Varablen-Fall. De Glechung kann man schnell herleten. 7 Wr führen se her enfach an: 1 = 1+ e p -(a + b x ) De Regressonskoeffzenten a und b der logstschen Regressonsglechung (und des Logt- Modells) werden auch als Logt-Koeffzenten bezechnet (oft werden se aber weterhn enfach als Regressonskoeffzenten bezechnet). Unter Verwendung der Stchprobendaten werden dese Koeffzenten mt dem Maxmum-Lkelhood-Verfahren geschätzt (vgl. z.b. Elason 1993). Dabe werden de Regressonskoeffzenten so bestmmt, dass de Wahrschenlchket des Auftretens der vorhandenen Stchprobendaten maxmal st. 3.2 Charakterstk der logstschen Regressonskurve Warum verwendet man aber gerade dese Funkton? Warum hat man de gerade gezegte Entwcklung so und ncht anders durchgeführt? 7 De Umformung lautet: p ln = a + bx 1- p p 1- p p p = e + e = e p (1+ e a+ bx a+ bx p a+ bx e p = a+ 1+ e 1 p = -(a 1+ e a+ bx (1- p ) = e a+ bx bx = e ) = e + bx ) (Logt - Modell) a+ bx a+ bx a+ bx - e (nun durch e a+ bx a+ bx p kürzen) (logstsche Regressonsglechung)

9 7 Daz-Bone/Künemund De so erhaltene logstsche Regresson brngt enen ncht-lnearen Zusammenhang zwschen der dchotomen, abhänggen Varablen und mndestens ener unabhänggen Varablen als Modellprämsse en. Des seht man, wenn man de logstschen Regressonskurve zechnet. Für den Zwe-Varablen-Fall kann der Zusammenhang als zwedmensonale Graphk dargestellt werden. Bespele: zwe logstsche Regressonsglechungen lauten: 1 1+ e p = f(x) = ( x) und p = g(x) = ( x) 1 + e 1 Abbldung 2: Zwe enfache logstsche Funktonen p = f(x) mt den Logt-Koeffzenten a = 0, b = 1 und p = g(x) mt den Logt-Koeffzenten a = -20, b = 5. Abgetragen st her jewels de Wahrschenlchket des Entretens der Ausprägung y = 1 der abhänggen Varable Y (also p ) gegen de ene unabhängge Varable X. De logstsche Funktonskurve hat ene geschwungene, S-förmge Gestalt und verläuft punktsymmetrsch, wobe de Symmetre auf den jewelgen Wendepunkt der Kurve bezogen st. Deser Wendepunkt legt mmer be p = 0.5. In den mttleren Regonen von X hat dese logstsche Regressonskurve Ähnlchketen mt der klassschen lnearen Regressonsgerade. In den äußeren Regonen von X nähern sch de Werte für p den Werten 0 und 1 asymptotsch Werten an, überschreten se aber ncht. Ausgedrückt wrd damt ene Art "Sättgungs"-Effekt, der darn besteht, dass Änderungen der unabhänggen Varablen n den Extremberechen noch ncht bzw. ncht mehr zu wesentlchen Änderungen der Entrttswahrschenlchket führen. Her wrkt sch de Ncht-Lneartät aus: ene Zunahme bzw. Abnahme von X wrkt sch n verschedenen

10 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 8 Regonen unterschedlch aus. Be sehr großen oder sehr klenen X-Werten ändert ene Zunahme von X de Wahrschenlchket p ncht mehr so stark bzw. noch kaum. We hängen nun de Werte der Logt-Koeffzenten mt der Form der logstschen Regressonskurve zusammen? Der Logt-Koeffzent a hat kenen Enfluss auf de Gestalt der logstschen Regressonskurve. Unterschedlche Ausprägungen führen zu verschedenen Lagen der Kurve n der Horzontalen, ohne hre Stegung zu verändern. Deutlch wrd durch de Abbldung 2, dass en hoher Betrag von b j für de Stelhet der logstschen Regressonskurve verantwortlch st (be klener werdendem Betrag für b j nähert sch de logstsche Regressonskurve dem Verlauf ener Geraden). En negatver Wert für b j bedeutet, dass de Kurve von lnks nach rechts abfällt. We berets erwähnt, wrkt sch de exogene Varable ncht glechförmg auf de Entrttswahrschenlchket der abhänggen Varablen aus. Gleche Veränderungen von X n unterschedlchen Berechen von X wrken sch verscheden auf p aus, so dass der Logt-Koeffzent b ncht als globales Maß für den Enfluss von X auf p angesehen werden kann, we des m Fall der lnearen Regresson glt. De Wrkung von X auf de Entrttswahrschenlchket von Y st also ncht pauschal für X angebbar und verlangt de Kenntns der Ausprägung von X. Ene praktkablere Interpretaton betet aber der sog. Effekt-Koeffzent, der Exponent der Regressonskoeffzenten exp(b) bzw. e b. 3.3 Der Effekt-Koeffzent e b Für ene anschaulchere Interpretaton des Enflusses der exogenen Varablen egnet sch der Effekt-Koeffzent e bj. Er gbt den Faktor für de Vervelfachung des Wahrschenlchketsverhältnsses (des Odds) an, wenn de Ausprägung der zugehörgen exogenen Varablen um ene Enhet erhöht wrd und wrd oft als odds-rato bezechnet. De folgende Glechung verdeutlcht desen Enfluss auf den Odds be Erhöhung der exogenen Varablen um ene Enhet (Zwe- Varablen-Fall): e a + b (x +1) = e a e b x + b = e a e b x e b p = 1- p e b. De Erhöhung der exogenen Varablen um ene Enhet bewrkt also ene Veränderung des Odds um den Faktor e b. Man schrebt auch für e bj den Ausdruck exp(b j ). Der Effektkoeffzent kann nur Werte m Berech von größer 0 bs + realseren. Des wrd veranschaulcht, wenn man sch den Verlauf der Exponentalfunkton f(b) = e b vor Augen führt.

11 9 Daz-Bone/Künemund Abbldung 3: Exponentalfunkton f(b) = e b Welche Auswrkung hat nun de Erhöhung der unabhänggen Varablen um ene Enhet auf de Entrttswahrschenlchket p? Wenn man sch das obge Logt-Modell (S. 5) anseht, erkennt man, dass ene Erhöhung von X j um ene Enhet ene addtve Auswrkung auf den Logt um b j, aber keneswegs deselbe addtve Auswrkung auf de Wahrschenlchket selbst hat, da dese Auswrkung über de Lnk- Funkton vermttelt wrd. Wenn man sch de letzte Glechung anseht, wrd noch deutlcher, dass de entretende Veränderung um das e b -fache lnear das Wahrschenlchketsverhältns beenflusst, sch aber n ncht-lnearer Wese auf de Wahrschenlchket p selber auswrkt. 8 Man kann de Auswrkung der Erhöhung von e b danach unterscheden, ob se das Wahrschenlchketsverhältns zugunsten oder zuungunsten von p verändert. Der Effekt-Koeffzent kann nur Werte von größer 0 bs + realseren. Werte zwschen 0 und klener 1 verrngern das Wahrschenlchketsverhältns, Werte für e b größer als 1 vergrößern das Wahrschenlchketsverhältns. Urban 8 "Es se darauf hngewesen, dass ene Änderung des Odds auf das exp(b)-fache des Ausgangswertes mt unterschedlchen Änderungen für p verbunden st. Erhöht sch bespelswese en Odds auf das Doppelte, so bedeutet des z. B. für den Ausgangswert 1 (mt p = 0.5), dass der Odds auf 2 stegt. Dann stegt p von 0.5 auf Be enem Ausgangswert z. B. von 0.1 (mt p = ) stegt der Odds auf 0.2 und p von auf Mt anderen Worten: Der Effekt, den de Erhöhung des Wertes der exogenen Varablen um ene Enhet hat, st zwar für den Odds konstant, jedoch varabel für p. En Effekt- Koeffzent von Ens brngt zum Ausdruck, dass ene Erhöhung des Wertes der exogenen Varablen den Odds ncht ändert (b st Null), so dass de Wahrschenlchket der Zugehörgket zu ener Klasse von Y als unabhängg von der exogenen Varablen bewertet werden kann." (Tede 1995: 16).

12 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 10 veranschaulcht de Entelung des Werteberechs des Effekt-Koeffzenten we folgt (Urban 1993: 42; her lecht abgeändert). 9 Abbldung 4: Auswrkung ener Erhöhung der exogenen Varablen auf p Erhöhung der exogenen Varablen hat kenen Enfluß auf de Entrttswahrschenlchket p. Das Verhältns der Wahrschenlchketen (der Odds) blebt konstant e b Erhöhung der exogenen Varablen vermndert Entrttswahrschenlchket für Y = 1 gegenüber Y = 0. Erhöhung der exogenen Varablen stegert Entrttswahrschenlchket für Y = 1 gegenüber Y = 0. En postver Wert für e b erhöht also p, wobe de konkrete Wrkung unter der Bedngung der Konstanthaltung der anderen Varablen von der Spezfkaton von X j abhängt. Gesagt werden kann aber: um so größer e b, desto stärker wrkt sch ene Erhöhung von X j auf p tendenzell aus (für Beträge von e b klener 1 glt de entsprechend umgekehrte Interpretaton). 3.4 Standardserung des Logt-Koeffzenten b und des Effekt-Koeffzenten e b Der Logt-Koeffzent b j bestzt de rezproke Dmenson der Varablen X j, so dass der Enfluss von e bj von der Dmenson (Skalerung) von X j abhängg st. Um dese Skalerung n hrem Enfluss auszuschalten und so de unterschedlchen Effekte der Varablen unterenander verglechbar zu machen, st von Tede (1996) ene Normerung (Standardserung) des Logt- Koeffzenten vorgeschlagen worden. Der normerte Logt-Koeffzent b berechnet sch mt b = b var (x) 9 Dese beden Bereche snd unterschedlch skalert, da dem Abschntt von 0 bs klener 1 der Abschntt von größer 1 bs + gegenüber steht. Urban schlägt zur Herstellung der Verglechbarket der beden Abschntte ene Modfzerung des Effekt-Koeffzenten vor (vgl. Urban 1993:42f).

13 11 Daz-Bone/Künemund wobe b der Logt-Koeffzent n der Stchprobe und var (x) de Standardabwechung der Werte der unabhänggen (exogenen) Varablen st. "Der normerte Logt-Koeffzent gbt de Änderung des Logt-Wertes an, falls der Wert der exogenen Varablen um var (x) erhöht wrd" (Tede 1995: 13). Entsprechend wurde en standardserter Effekt-Koeffzent s-e bj vorgeschlagen, wobe b b j var (x) j s-e = e st (Urban 1993: 44). 3.5 Multvarater Fall Das Logt-Modell für ene logstsche Regresson mt J unabhänggen Varablen lautet 10 p ln 1- p = a + b1 x1 + b2 x2 + K + b j xj + K + bj xj = a + b j xj j Für logstsche Regressonsmodell mt J verschedenen unabhänggen Varablen X j (ndzert mt j = 1, J) bedeutet des, dass de Wrkung der konkreten Ausprägung x j von X j auf de Entrttswahrschenlchket p nur unter der Bedngung der Konstanthaltung der anderen Varablen angegeben werden kann. 4 Gütekrteren und statstsche Tests We kann man de Qualtät enes logstschen Regressonsmodell beurtelen? 10 Im multvaraten (her m multplen) Modell legen J unabhängge Varablen X j (mt J > 1 und j = 1,...J) vor. Für jede Varable X j m Modell wrd en Koeffzent b j geschätzt.

14 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 12 Zunächst gbt es enfache Strategen, we se durch de gänggen Statstk-Software-Pekete angeboten werden. Man kann mt SPSS für de logstsche Regresson optonal en Hstogramm erwarteter Entrttswahrschenlchketen erstellen, das de beobachteten Fälle mt ener Auftrttswahrschenlchket auswest. Her kann ene erste Beurtelung der Güte des Modells durch Inaugenschennahme erfolgen. Zel der Analyse st es, en solches Modell zu entwckeln, das für statstsche Enheten (bespelswese Personen) mt der Ausprägung Y = 1 ene hohe Entrttswahrschenlchket möglchst nur knapp unter p = 1 vorhersagt. Entsprechend soll für solche Enheten, de emprsch de Ausprägung Y = 0 aufwesen, ene Entrttswahrschenlchket n der Nähe von p = 0 durch das Modell berechnet werden. Insofern das Modell dese Anforderung erfüllt, dskrmnert es angemessen. Als zwete Stratege kann man sch ene Klassfzerungstabelle erstellen lassen. Herbe handelt es sch um ene Verfelder-Tabelle, de de vorhergesagten Ausprägungen von Y gegen de tatsächlch vorlegenden Ausprägungen von Y aufträgt. Auch her sollte sch zegen, dass de logstsche Regressonsfunkton überwegend de zutreffenden Ausprägungen vorhersagt, also angemessen unterschedet. Dann gbt es Maße, de de Qualtät des logstschen Regressonsmodell drekter erfassen sollen. Analog zum Determnatonskoeffzenten r 2 kann de Güte des logstschen Regressonsmodells mt enem Koeffzenten bewertet werden, der n Anlehnung an den Determnatonskoeffzenten McFaddens Pseudo-r 2 genannt wrd. Deses McFaddens Pseudo-r 2 st zunächst en globales Gütemaß, das aus den logarthmerten Maxmum-Lkelhood-Schätzungen -2lnL 0 für das Ausgangsmodell (nur mt der Konstanten a) und -2lnL 1 für das Modell unter Enschluss der unabhänggen Varablen berechnet wrd mt: ln L1 ln L1 McFadden' s - rpseudo =1- =1- = - 2 ln L ln L 0 0 ln L0 - ln L ln L 0 1 Der rechte Tel der Glechung egnet sch für de Berechnung von McFaddens Pseudo-r 2 unter Verwendung des SPSS-Outputs für de logstsche Regresson. McFaddens Pseudo-r 2 st en auf ene Alternatve bezogenes Maß, d. h. en relatves Gütemaß. Es gbt also de relatve Verbesserung des Modells gegenüber dem Ausgangsmodell an und kann nur als en relatves Maß 11 De Größe -2lnL st approxmatv χ² -vertelt mt n - J Frehetsgraden, wobe n der Stchprobenumfang und J de Anzahl der exogenen Varablen darstellt (Menard 1995: 19; Tede 1995: 22). Für ene alternatve Konstrukton von Pseudo-r² sehe Aldrch / Nelson (1984: 57).

15 13 Daz-Bone/Künemund der Anpassungsverbesserung nterpretert werden. Es gbt kene Auskunft über de absolute Anpassung des Modells an de Daten (es st nach Urban ncht "modell-transzendent"). Der Werteberech möglcher Realsatonen für McFaddens Pseudo-r² legt zwschen 0 und 1. Klene Werte drücken ene schlechte Verbesserung des erweterten Modells gegenüber dem Ausgangsmodell aus. Große Werte deuten auf ene deutlche Verbesserung hn (Urban 1993: 52; Tede 1995: 20f.). Erfahrungsgemäß snd de Werterealsatonen für McFaddens Pseudo-r² klener als dejengen des Determnatonskoeffzenten verglechbarer Modelle n der lnearen Regresson (vgl. z.b. DeMars 1992: 54). Urban zufolge drücken Realsatonen zwschen 0,2 und 0,4 berets enen starken Zusammenhang zwschen unabhängger bzw. unabhänggen und abhängger Varablen aus (Urban 1993: 62). Entsprechend dem Determnatonskoeffzent r 2 n der lnearen Regresson kann McFaddens Pseudo-r² als en PRE-Maß, also als Maß für de Vorhersageverbesserung nterpretert werden. Es kann aber auch für de Beurtelung enzelner unabhängger Varablen herangezogen werden, ndem man das bs auf de zu beurtelende exogene Varable vollständge Modell mt dem nun auch dese Varable enthaltenden Modell verglecht. De Pseudo-r²-Dfferenz deser beden Modelle wrd dann als durch de zu beurtelende exogene Varable "nduzert" angesehen (Urban 1993: 58f.). Ene Varante des Pseudo-r²-Maßes von McFadden haben Cox und Snell vorgeschlagen mt Cox und Snells - r 2 pseudo L =1- L I wobe I de Zahl der Beobachtung st (Backhaus u.a. 2000: 133). Deses Maß realsert höhere Werte, kann aber ncht den Maxmalwert von 1 errechen. Ene wetere Varante st das Pseudor² - Maß von Nagelkerke. Nagelkerkes - r 2 pseudo Cox und Snells - r = 1 2 [ L0 ]I 2 pseudo Deses Maß soll den Maxmalwert 1 errechen können und zudem ene Interpretaton we de des Determnatonskoeffzenten n der lnearen Regresson zulassen (Backhaus u. a. 2000: 133). De enzelnen Varablen X j können auf de Hypothese getestet werden, dass se n der Grundgesamthet kenen Enfluss auf de abhängge Varable ausüben und dass dementsprechend de

16 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 14 Ausprägung des Effekt-Koeffzenten e bj n der Stchprobe nur zufällg von 1, bzw. de Ausprägung von b j nur zufällg von 0 abwecht. De entsprechenden Teststatstken snd der t-test oder der n der SPSS-Prozedur verwendete WALD-Test: B t = mt n - 1 Frehetsgraden (wobe n de Stchprobengröße st) var (B) 2 2 B W = t = de approxmatv ener χ 2 -Vertelung mt enem Frehetsgrad folgt. var (B) De WALD-Statstk sollte ncht be großen Ausprägungen von b verwendet werden. De Zahl der Frehetsgrade für nomnal skalerte Varablen beträgt df = Anzahl der Kategoren - 1 (vgl. Norušs / SPSS Inc. 1993: 5). 5 En enfaches Anwendungbespel En enfaches Anwendungsbespel der multvaraten logstschen Regresson soll Interpretatons- und Anwendungsmöglchketen verdeutlchen. Dabe geht es uns ncht vorrangg um de detallerte Darstellung und Dskusson der Koeffzenten, Modellparameter usw., sondern eher um de Demonstraton enes Anwendungsfalles, der de Möglchketen der Methode verständlch macht. Vor der Dskusson deses Modell soll en kurzer Überblck zu Fragestellung und deskrptven Befunden verdeutlchen, warum en multvarates Modell her überhaupt nötg st bzw. we der Prozess der Modellerung der Erklärung ener abhänggen Varablen ablaufen könnte. Aus der Lteratur zur poltschen Partzpaton st bekannt, dass das poltsche Interesse n den höheren Altersgruppen gernger st. Dese Befund wurde wederholt zu verschedenen Zetpunkten gestellt, so dass angenommen werden könnte, mt zunehmendem Lebensalter nehme das poltsche Interesse ab bzw. stege das poltsche Desnteresse. Enen typschen Befund vsualsert de folgende Abbldung anhand des Alters-Survey 1996 (vgl. Kohl/Künemund 2000): Der Antel der poltsch stark und sehr stark nteresserten Personen schwankt über de her betrachteten Altersgruppen hnweg, der Antel der Desnteresserten aber nmmt über dese Altersgruppen hnweg betrachtet klar zu.

17 15 Daz-Bone/Künemund Abbldung 5: Poltsches Interesse nach Altersgruppen Prozent Altersgruppen Sehr stark Stark Mttel Weng Überhaupt ncht Quelle: Alters-Survey 1996, n=3.989, gewchtet. Es könnte aber sen, dass ad-hoc Erklärungen, de auf generelle Alterseffekte abheben, dennoch falsch snd. Es leße sch z.b. darauf hnzuwesen, dass sch m Alter de Geschlechterproporton verschebt. Im Falle der Bundesrepublk legt des ncht nur an der höheren durchschnttlchen Lebenserwartung der Frauen, sondern zusätzlch an den Kregen, de enen erheblchen Frauenüberschuss be den Älteren hnterlassen haben. Und bsherge Studen zum poltschen Interesse haben mmer weder gezegt, dass das poltsche Interesse der Frauen deutlch unter jenem der Männer legt. Es könnte also sen, dass es gar kene nennenswerte Abnahme des poltschen Interesses m Alter gb, sondern deser Endruck nur aufgrund der Verschebung der Geschlechterproportonen entsteht. Betrachten wr allen de Männer, so lässt sch tatsächlch ken dramatscher Rückgang des poltschen Interesses ausmachen:

18 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 16 Abbldung 6: Poltsches Interesse nach Altersgruppen Männer Prozent Altersgruppen Sehr stark Stark Mttel Weng Überhaupt ncht Quelle: Alters-Survey 1996, n=2.046, gewchtet. Im Gegentel schent das poltsche Interesse n den mttleren Altersgruppen am gerngsten zu sen, während des n den höheren Altersgruppen weder stärker st. Insgesamt bekunden 20 Prozent der Männer en nur sehr gernges oder gar ken Interesse an Poltk. Der am Aggregat ablesbare Befund enes Rückgangs des poltschen Interesses st her jedoch kaum auszumachen. Be den Frauen legt deser Antel der poltsch weng oder überhaupt ncht nteresserten hngegen be 34 Prozent. Somt kann en Tel der Zunahme wahrschenlch wrklch auf de Verschebungen der Geschlechterproportonen zurückgeführt werden. Be hnen zegen sch aber auch zusätzlch deutlche Zusammenhänge mt dem Alter: Be den 80- bs 85jährgen Frauen legt der genannte Antel nämlch sogar über 50 Prozent:

19 17 Daz-Bone/Künemund Abbldung 7: Poltsches Interesse nach Altersgruppen Frauen Prozent Altersgruppen Sehr stark Stark Mttel Weng Überhaupt ncht Quelle: Alters-Survey 1996, n=1.943, gewchtet. Der Rückgang des poltschen Interesses m Alter legt also ncht nur an der veränderten Geschlechterproporton, sondern zusätzlch am gerngeren poltschen Interesse der älteren Frauen. Bedes blebt nun wederum erklärungsbedürftg. Analog etwa zur Frage ener egenständgen weblchen Moral könnte etwa spekulert werden, Frauen hätten möglcherwese en anderes Verständns von Poltk, und des verändere sch zudem über de Altersgruppen hnweg. Wr wollen des an deser Stelle ncht m Detal klären. Wr können aber auch vermuten, dass der Untersched zwschen den Geschlechtern m poltschen Interesse zumndest n den her betrachteten Altersgruppen zum Tel banalere Gründe hat. Enen großen Enfluss auf das poltsche Interesse und de poltsche Partzpaton nsgesamt hat auch des st aus der Lteratur bestens bekannt z.b. de Bldung. Und ebenfalls bekannt st, dass gerade den älteren Frauen überwegend kene höhere formale Bldung zutel wurde (de ältesten her betrachteten Personen wurden 1911 geboren). Es könnte daher sen, dass erstens de Altersunterschede be den Frauen gernger ausfallen, sobald wr für de Bldung kontrolleren, und zwetens, dass auch der generelle Nveauuntersched zwschen den Geschlechtern n den her untersuchten Altersgruppen gernger ausfällt, sobald für Bldung kontrollert wrd. Wollte man auch dese Zusammenhänge jewels bvarat graphsch exploreren, also z.b. Abbldungen für Männer und Frauen getrennt für verscheden Bldungsnveaus erstellen und des dann womöglch noch z.b. getrennt für Ost- und Westdeutschland erhält man ncht nur ene kaum noch überschaubare Velzahl von Abbldungen oder Tabellen, sondern man stößt auch schnell an de Grenzen der Fallzahl je mehr Merkmale bzw. Merkmalsausprägungen Berückschtgung fnden, desto gernger und wenger verlässlch wrd de Bass der Prozentuerung.

20 Enführung n de bnäre logstsche Regresson 18 Mt enem multvaraten Modell lässt sch des oftmals ökonomscher und effektver angehen. Im folgenden werden de Ergebnsse ener logstschen Regresson auf das poltsche Desnteresse m Detal dargestellt, wobe wr zunächst den Standard- Output von SPSS verwenden und erläutern. Zu desem Zweck wurden de Ausprägungen sehr stark, stark und mttel zusammengefasst und fungeren dabe als Referenzgruppe, de Ausprägungen weng und überhaupt ncht wurden mt 1 codert. Das Alter wurde n neun Indkatorvarablen umkodert, de jüngste (40-45 Jahre) fungert als Referenzgruppe; d.h. de Koeffzenten der anderen Ausprägungen snd als relatve Dfferenz zu deser Altersgruppe zu nterpreteren. 12 Begnnen wr mt dem enfachsten Fall n enem schrttwesen Modell, n dem zunächst nur Alter als unabhängge Varable aufgenommen wrd, und zwar n jenen Kategoren, de berets Abbldung 5 verwendet wurden; de ermttelten Koeffzenten lassen sch daher drekt mt den dort abgebldeten Antelen verglechen. Der Befehl seht n unserem Falle we folgt aus: LOGISTIC REGRESSION VAR=d2_11 /METHOD=ENTER agegrp9 /METHOD=ENTER sex /METHOD=ENTER bld /METHOD=ENTER exddr /CONTRAST (agegrp9)=indcator(1) /CONTRAST (sex)=indcator(1) /CONTRAST (bld)=indcator(1) /CONTRAST (exddr)=indcator(1) /CRITERIA PIN(.05) POUT(.10) ITERATE(20) CUT(.5). Nach der Nennung der abhänggen Varablen fordert de Anwesung METHOD=ENTER den Enschluss nur ener Varablen nach der anderen erst Altersgruppen ( agegrp9 ), dann Geschlecht ( sex ), Bldung ( bld ) und Befragungsort Ost-/Westdeutschland ( exddr ). De Anwesungen /CONTRAST (varable)=indcator(1) legen den Umgang mt kategoralen unabhänggen Varablen fest; wr wählen her de sog. Indkator-Kontraste. Dadurch werden für jede Ausprägung der unabhänggen Varablen automatsch Indkatorvarablen gebldet, wovon ene (her: de jewels erste) konstant mt 0, de anderen jewels mt 1 für de zutreffenden Fälle codert werden (s.u.). 12 Natürlch könnte man Alter n Jahren auch als metrsche Varable n das Modell aufnehmen, man hätte dann nur enen Koeffzenten für enen lnearen Alterseffekt (der Koeffzent gbt de Veränderung des Wahrschenlchketsverhältnsses an, wenn das Alter um en Jahr stegt, unabhängg vom konkreten Alter). Wr haben des her aber ncht getan, wel es sch we schon de Abbldungen klar gezegt haben ncht um enen lnearen Zusammenhang handelt. Zwar könnte man n desem Fall auch z.b. mt enem quadrerten Alter versuchen, sch an de emprsch beobachteten Zusammenhänge mt enem möglchst sparsamen statstschen Modell anzuschmegen, aber de Interpretaton der Modellparameter sollte mt den Altersgruppen enfacher gelngen (nsbesondere durch de drektere Verglechsmöglchket mt den deskrptven Befunden). Für de Fragestellung selbst snd des weteren natürlch auch andere Verfahren denkbar, z.b. ene ordnale logstsche Regresson.