Merge-Sort und Binäres Suchen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Merge-Sort und Binäres Suchen"

Transkript

1 Merge-Sort ud Biäres Suche Ei Bericht vo Daiel Haeh Mediziische Iformatik, Prosemiar WS 05/06

2 Ihaltsverzeichis I. Eileitug 3 II. III. IV. i. Das Divide-ad-coquer -Verfahre Merge-Sort i. Eileitug ii. Fuktiosweise i der Theorie iii. Erläuterug am Beispiel iv. Aufwad vo Merge-Sort v. Implemetierug i Java vi. Implemetierug als Maplet i Maple Biäres Suche i. Eileitug ud Vorraussetzug ii. Fuktiosweise i der Theorie iii. Erläuterug am Beispiel iv. Aufwad vo Biäres Suche v. Implemetierug i Java vi. Implemetierug als Maplet i Maple Resultate ud Bewertug V. Literatur 16

3 I. Eileitug Dieser Bericht beschreibt die beide Algorithme Merge-Sort ud Biäres Suche i Theorie ud Praxis. Beide Algorithme bediee sich des Divide-ad-coquer -Verfahres, welches i der Iformatik eie wichtige Rolle spielt. Die Fuktiosweise vo Merge-Sort ud Biäres Suche wird vo mir erst theoretisch, da am Beispiel ud zu letzt als Implemetierug i Java sowie i Maple als Maplet demostriert. I.I Das Divide-ad-coquer -Verfahre Teile-ud-Herrsche (egl. Divide-ad-coquer ) ist eie Bezeichug für ei populäres algorithmisches Lösugsverfahre i der Iformatik. Ei bestimmtes Problem wird icht als Gazes bearbeitet, soder i zwei oder mehrere möglichst gleichgroße Teilprobleme geteilt. Diese werde da uabhägig voeiader gelöst ud schließlich zu eier Lösug des Gesamtproblems zusammegefügt. Ei vergleichbares Verfahre ist die Partialbruchzerlegug i der Mathematik. I der praktische Awedug wird meistes das Gesamtproblem so lage i eifachere Teilprobleme geteilt, bis sich diese umittelbar löse lasse. Rekursive Programmierug ist eie geeigete Methode zur Umsetzug des Divide-ad-coquer -Verfahres. Die Komplexität eier Lösug ach diesem Verfahre lässt sich meist sehr geau bereche. Zum Beispiel sei T( ) die Azahl der Schritte, die ei Algorithmus beötigt, der eie Folge der Läge i geau zwei gleichgroße Teile zerlegt. Uter der Voraussetzug, dass die beötigte Zwischeschritte bei jedem Teile ud Zusammefüge jeweils proportioal zu sid, ergibt sich folgede Gleichug für T mit eier Kostate c T ( ) = T + c ud T ( 1 ) = 0. Die Lösug der Gleichug T( ) lautet T( ) = c log Erfüllt ei Algorithmus diese Vorrausetzug besitzt er die optimale Laufzeit vo der Ordug ( ) Beweis: T 1 = T () 0 ( ) = T + c Ο ( log( ) ) 3

4 sei k, k 0 ud kε IN T ( ) = T + c = T + c + c 4 = 4 T + c + 4 k k T () c 1 = 1 + i= 0 log = () i 1 c 1 i= 0 log Ο log = ( ) ε ( ( )) c Ei Beispiel hierfür ist der Algorithmus Merge-Sort (siehe II). i II. Merge-Sort II.I Eileitug Der Sortieralgorithmus Merge-Sort erzeugt eie sortierte Folge durch Teile der Gesamtfolge ud aschließedem Zusammefüge sortierter Teilstücke. Dieses Verfahre bietet de Vorteil dass im Gegesatz zu adere Sortiertechike kei permaeter, direkter Zugriff auf alle Elemete der usortierte Folge gegebe sei muss. Somit köe Datemege sortiert werde, die als gesamte Folge icht i de Hauptspeicher passe würde. II.II Fuktiosweise i der Theorie Der Algorithmus hadelt ach dem Divide-ad-coquer -Prizip (siehe I.I). Eie Folge F = F1, F, F3,..., F soll sortiert werde. Die Idizes für F1 ud F müsse bekat sei ud begreze das Arbeitsfeld des Algorithmus. 1+ We F F 1 folgt die erste Teilug der Folge durch Mitte : =, wobei das Ergebis abgerudet wird. Es etstehe zwei Teilfolge der Folge F, welche als F = F,..., F ud F b = FMitte+1,..., F defiiert sid. Diese Teilug wird mit de Teilfolge Fa ud Fb wiederholt, bis die etstadee Teilfolge jeweils ur och ei Elemet ethalte ud trivial als sortiert gelte. Die kleiste beachbarte Teilfolge vergliche ud sortiert, so dass F x F, 1,,3... y1,,3... t1,,3... x1,,3... y1,,3... a 1 Mitte werde aschließed paarweise F = F + F uter der Vorraussetzug 4

5 F < F etstehe. Diese Prozedur des Zusammefüges (egl.: to merge) wird mit de x 1,,3... y1,,3... zusammegefügte Teilfolge F t F, 1,3,5... t,4,6... wiederholt, bis letztedlich ur och zwei, jeweils sortierte Teilfolge F, F a b existiere. Im letzte Schritt, werde diese beide Teilfolge da durch F = F a + F b zusammegefügt, wobei F a < Fb gilt. Die Folge F ist jetzt komplett sortiert. Abb. 1: Die ebestehede Grafik (Lag, 000) verdeutlicht das Prizip vo Merge-Sort i der Theorie. Die zu sortierede Folge wird i Teilfolge aufgeteilt (Divide), welche jeweils sortiert werde (Coquer). Die sortierte Teilfolge werde zu eier Gesamtfolge zusammegefügt, welche da komplett sortiert ist (Combie). II.III Erläuterug am Beispiel Abbildug zeigt das Vorgehe beim Merge-Sort - Algorithmus am direkte Beispiel. Die Folge [5,1,8,3,9,] soll sortiert werde. Als erstes wird diese Folge i der Mitte geteilt ud es bilde sich die beide Teilfolge [5,1,8] ud [3,9,]. Durch Rekursio werde die Teilfolge weiter geteilt, bis diese schließlich ur och ei Elemet ethalte. Nu werde die eielemetige Teilfolge acheiader, i sortierte Teilgruppe mit jeweils drei Elemete, zusammegefügt, bis letztedlich ur och die beide jeweils sortierte Teilfolge [1,5,8] ud [,3,9] existiere. Im letzte Schritt werde die zwei etstadee Teilgruppe zusammegefügt ud es etsteht die sortierte Folge [1,,3,5,8,9]. Abb. : Merge-Sort am Beispiel (Saake, Sattler, 004, p. 131) Die Implemetierug i Java (II.V) gibt bei diesem Beispiel folgede Iformatioe aus: Merge-Sort Usortierte Liste: Sortierte Liste: Maximaler Aufwad: ~7.0 Tatsaechlicher Aufwad: 5 Optimaler Aufwad:

6 Bei eier usortierte Folge mit sechs Elemete ka die Azahl der maximale Durchläufe vo Merge-Sort ~7,0 betrage. Bei diesem Beispiel lag der tatsächliche Aufwad bei 5 Durchläufe also sehr ah beim Optimum vo 4,67 Durchläufe. II.IV Aufwad vo Merge-Sort Bei diesem Sortierverfahre werde höchstes, sei Azahl der Elemete Schritte beötigt, ämlich Schritte zum Sortiere der eizele Teilgruppe ud Schritte zum Zusammefüge i die sortierte Folge. Die Komplexität des Merge-Sort -Verfahres beträgt also T ( ) + T ud Die Lösug der Gleichug T( ) T ergibt hier T ( 1 ) = 0. ( ) log( ) ε ( log( ) ) Ο. Die utere Schrake für das Sortierproblem vo ( log( ) ) Ο ( log( ) ) = Ω ( log( ) zusätzliche Speicherverbrauch vo ( ) Ω wird erreicht ud da ), ist dieser Algorithmus optimal. Jedoch beötigt er auch eie Θ für das Hilfsarray (siehe II.V ud II.VI). Bei der Implemetierug vo Merge-Sort gibt es verschiedee Variate. Die optimale Variate (siehe II.V ud II.VI) reduziert die Komplexität des Algorithmus auf 1.5 log( ) Durchläufe. Merge-Sort Komplexität Bubblesort Komplexität Quicksort Komplexität Heapsort Komplexität Bester Fall Ο ( log( ) ) Ο ( ) Ο ( log( ) ) ( log( ) ) Durchschitt Ο ( log( ) ) Ο ( ) Ο ( log( ) ) ( log( ) ) Schlechtester Ο ( log( ) ) Ο ( ) Ο ( ) ( log( ) ) Fall Selectiosort Komplexität Isertiosort Komplexität Ο Ο ( ) Ο ( ) Ο Ο ( ) Ο ( ) Ο Ο ( ) Ο ( ) Stabil? ja ja ei ei ja ja Abb. 3: Vergleich verschiedeer Sortieralgorithme a Had ihrer Komplexität Im Vergleich zu adere Sortieralgorithme liefert Merge-Sort bei eier iedrige durchschittliche Komplexität ei stabil sortiertes Ergebis. Stabil sortiert bedeutet, dass bei gleiche Sortierschlüssel die ursprügliche Reihefolge erhalte bleibt. II.V Implemetierug i Java Die folgede Implemetierug vo Merge-Sort i Java zeigt die optimale Variate (Saake, Sattler, 004, p. 13) mit der Zeitkomplexität 1.5 log( ). I meier Realisierug werde der maximale Aufwad, der tatsächliche Aufwad ud der optimale Aufwad agezeigt. 6

7 public class Sort { // die zu sortierede Liste private static it[] a = {5,1,8,3,9,; // der Zaehler fuer die Durchlaeufe private static it zahl = 0; /** * Dieser Methode sortiert die Folge a mit dem Algorithmus Merge-Sort. * liks - die like Greze der Liste rechts - die rechte Greze der Liste */ private static void mergesort(it liks, it rechts) { it i,j,k; it[] hilfsarray = ew it[a.legth]; if (rechts liks) { // zaehle aller Durchlaeufe zahl++; // teile der liste it mitte = (rechts + liks) / ; // ereuter aufruf dieser prozedur mit begrezug des arbeitsfeldes auf der liste mergesort(liks,mitte); mergesort(mitte+1,rechts); // hilfsarray fuelle for(k=liks; k <= mitte; k++) { hilfsarray[k] = a[k]; for(k=mitte; k < rechts; k++) { hilfsarray[rechts+mitte-k] = a[k+1]; // mische des arrays i die eigetliche liste i = liks; j = rechts; for(k=liks; k <= rechts; k++) { if(hilfsarray[i] < hilfsarray[j]) { else { a[k] = hilfsarray[i++]; a[k] = hilfsarray[j--]; 7

8 /** * Mai-Methode - hier wird eie "Merge-Sort"-Sortierug gestartet * args */ public static void mai(strig[] args) { double best_tries,max_tries; System.out.pritl("Merge-Sort"); System.out.pritl(" "); System.out.prit("Usortierte Liste: "); for (it i=0; i<a.legth;i++) { System.out.prit(a[i]); System.out.prit("\"); mergesort(0,a.legth-1); System.out.prit("Sortierte Liste: "); for (it i=0; i<a.legth;i++) { System.out.prit(a[i]); // maximale Aufwad bereche max_tries = (Math.roud(1.5*(a.legth*(Math.log(a.legth)/Math.log(10)))*100)); max_tries = max_tries / 100; // optimale Aufwad bereche best_tries = (Math.roud(a.legth*(Math.log(a.legth)/Math.log(10))*100)); best_tries = best_tries / 100; System.out.prit("\"); System.out.pritl("Maximaler Aufwad: ~" + max_tries); System.out.pritl("Tatsaechlicher Aufwad: " + zahl); System.out.pritl("Optimaler Aufwad: " + best_tries); II.VI Implemetierug als Maplet i Maple Die Realisierug als Maplet i Maple ist das Äquivalet zur Implemetierug i Java (siehe II.V) bietet jedoch eie graphische Oberfläche. 8

9 Abb. 4: Merge-Sort -Maplet i Maple mergesort := proc(liks,rechts) local i,j,k,hilfsarray,azahl_a,mitte; global a,zahl; azahl_a := ops(a); hilfsarray:=array(1..azahl_a); if (rechts liks) the # zaehle aller durchlaeufe zahl:=zahl+1; # teile der liste mitte:=(truc((rechts + liks)/)); # ereuter aufruf dieser prozedur mit begrezug des arbeitsfeldes auf der liste mergesort(liks, mitte); mergesort(mitte+1, rechts); # hilfsarray fuelle for k from liks to mitte do hilfsarray[k] := a[k]; ed do; for k from mitte to rechts-1 do hilfsarray[(rechts+mitte)-k] := a[k+1]; ed do; # mische des hilfsarrays i die eigetliche liste i := liks; j := rechts; for k from liks to rechts do if (hilfsarray[i] < hilfsarray[j]) the a[k] := hilfsarray[i]; i := i+1; else a[k] := hilfsarray[j]; j := j-1; fi; ed do; fi; ed proc: starte:=proc() local max_tries,sortiert,best_tries; global a,zahl; 9

10 zahl:=0; a:=maplets:-tools:-get('usortiertefolgetextfeld'::list); max_tries:=roud(evalf(1.5*(ops(a)*(log[10](ops(a))))*100)); max_tries:=max_tries*0.01; max_tries:=covert(max_tries,strig); max_tries:="maximaler Aufwad: ~" max_tries; best_tries:=roud(evalf(ops(a)*(log[10](ops(a))))*100); best_tries:=best_tries*0.01; best_tries:=covert(best_tries,strig); best_tries:="optimaler Aufwad: " best_tries; Maplets:-Tools:-Set('MaximalerAufwadLabel'('captio') = max_tries); Maplets:-Tools:-Set('OptimalerAufwadLabel'('captio') = best_tries); mergesort(1,ops(a)); zahl:=covert(zahl,strig); zahl:="tatsaechlicher Aufwad: " zahl; Maplets:-Tools:-Set('TatsaechlicherAufwadLabel'('captio') = zahl); sortiert:=covert(a,strig); Maplets:-Tools:-Set('UsortierteFolgeTextfeld' = sortiert); ed proc: III. Biäres Suche III.I Eileitug ud Vorraussetzug Der Algorithmus Biäres Suche ist eie Suchroutie, die ach dem Divide-ad-coquer - Verfahre (siehe I.I) arbeitet. Der Algorithmus sucht ei bestimmtes Elemet i eier vorgegebee Liste. Vorraussetzug ist jedoch, dass die Liste sortiert ist. Biäres Suche lässt sich gut a eier Suche i eiem Telefobuch verdeutliche. Niemad würde die Eiträge vo vor begied jeweils mit dem gesuchte Name vergleiche ma schlägt eher das Buch auf ud vergleicht, ob sich der gewüschte Gesprächsparter vor oder hiter der aktuelle Stelle befidet ud sucht da i dem eigegrezte Bereich weiter. Dies beschreibt das Verfahre dieses Algorithmus. III.II Fuktiosweise i der Theorie Seie F F F, F,..., eie sortierte Folge ud die Idizes F ud F bekat, da = 1, 3 F 1 1+ fuktioiert Biäres Suche so, dass zuerst i der abgerudete Mitte : = geprüft wird, ob der gesuchte Wert K ist ud somit i der Teilfolge F = F,..., F ethalte F Mitte b Mitte+1 10

11 oder ob der gesuchte Wert K < F Mitte ist ud sich somit i der Teilfolge F,..., a = F1 FMitte 1 befidet. Sollte K = sei, so wäre K direkt gefude ud die Suche beedet. F Mitte ( Mitte + 1) + We K F Mitte da wird die Mitte b : = utersucht, wobei das Ergebis ( 1) + Mitte 1 abgerudet wird. We K < F Mitte da wird die abgerudete Mitte a : = geprüft. We K F Mitteb da ist sicher, dass sich K i Fb = FMitte,..., F b b +1 befidet ud bei K < F Mitteb wird Fb = F +1,..., utersucht. b Mitte FMitteb 1 Dieses Verfahre wird fortgeführt bis K gefude wird, oder bis die Teilfolge ur och ei Elemet ethalte da ist ämlich K icht i F vorhade. III.III Erläuterug am Beispiel i m i m m i Abb. 5: Biäres Suche i eier sortierte Folge j j j Das Prizip vo Biäres Suche lässt sich leicht a Had dieses Beispiels durchschaue. I der sortierte Folge i Abbildug 4 soll das Elemet 8 gesucht werde. Die like Greze i ist am Afag 1, die rechte Greze j ist auf 10 gesetzt Daraus ergibt sich für die abgerudete eue Mitte m : = = 5. Da das gesuchte Elemet 8 größer als das Elemet a der Positio m ist, wird i der rechte Hälfte weitergesucht. Beim ächste Schritt ist somit die like Greze i : = m + 1. Das Elemet a der eue Mitte m : = = 8 ist 14 ud somit kleier als das gesuchte Elemet. Deshalb wird der Bereich durch die rechte Schrake weiter eigegrezt Die folgede Mitte m : = = 6 etspricht dem gesuchte Elemet 8 es wurde also a Positio 6 gefude. Die Implemetierug i Java (siehe III.V) gibt zu diesem Beispiel folgedes aus: Biaere Suche Maximaler Aufwad: ~3.3 Tatsaechlicher Aufwad: 3 Gefude a Stelle: 5 Die Abweichug i der Positio liegt dara, dass Java de erste Idex der Folge als 0 statt 1 bezeichet. Es fällt auf, dass der maximale Aufwad des Algorithmus sehr iedrig ist. 11

12 III.IV Aufwad vo Biäres Suche Der Aufwad dieses Algorithmus wird a Had der Schleifedurchläufe beurteilt, da i jedem Durchlauf eie kostate Azahl vo Operatioe durchgeführt wird. Im beste Fall befidet sich das gesuchte Elemet i der Mitte der sortierte Folge ud die Suche ka daher ach eiem Schritt beedet werde. Maximal müsse im i-te Durchlauf Elemete durchsucht werde. Demetspreched sid i log Schritte ötig. Somit liegt das Verfahre ach Ladau-Notatio i der Komplexitätsklasse Ο ( log). Im Vergleich zum Algorithmus Azahl Schritte Bester Fall 1 Sequezielle Suche ist die Effiziez vo Biäres Suche eorm. Jedoch Schlechtester Fall akzeptiert die Sequezielle Suche Durchschitt bei Erfolg auch usortierte Folge als Suchfeld. Durchschitt ohe Erfolg ~ log ~ log ~ log Sequezielle Suche ~5 ~50 ~500 ~5000 Biäres Suche ( log ) ~3.3 ~6.6 ~9.9 ~13.3 Abb. 6: Aufwad vo Biäres Suche III.V Implemetierug i Java I meier Realisierug der iterative Variate des Verfahres i Java werde der maximale Aufwad ud der tatsächliche Aufwad agezeigt. public class Suche { // aufwadszaehler private static it zahl = 0; /** * Diese Procedur fuehrt eie "Biaere Suche" ach dem Elemet s im Array a durch. * a - Array vom Typ It s - zu Suchede Zahl Typ It Die Positio vo s i a oder -1 falls icht gefude */ private static it suche(it[] a, it s) { it i = 0; it j = a.legth - 1; while (i <= j) { // durchlaeufe zaehle zahl++; // liste a teile it k = (i + j) / ; 1

13 if (a[k] == s) { else if (a[k] s) { else { // s i a a der stelle k gefude retur k; // rechte schrake ach ie verlager j = k - 1; // like schrake ach ie verlager i = k + 1; // s icht i a gefude retur -1; /** * Mai-Methode - hier wird eie "Biaere Suche" gestartet. * args */ public static void mai(strig[] args) { // zu suchedes Elemet it s = 8; // sortierte Liste it[] a = {1,3,4,5,7,8,10,14,16,0; System.out.pritl("Biaere Suche"); System.out.pritl(" "); it foud = suche(a,s); // maximale Aufwad bereche double max_tries = (Math.roud((Math.log(a.legth) / Math.log())*100)); max_tries = max_tries / 100; System.out.pritl("Maximaler Aufwad: ~" + max_tries); System.out.pritl("Tatsaechlicher Aufwad: " + zahl); System.out.pritl("Gefude a Stelle: " + foud); III.VI Implemetierug als Maplet i Maple Die Realisierug der iterative Variate vo Biäres Suche als Maplet i Maple ist das Äquivalet zur Versio i Java (siehe III.V) bietet jedoch eie graphische Oberfläche. 13

14 suche := proc(a::list,s::iteger) Abb. 7: Biäres Suche -Maplet i Maple local i,j,k; global zahl; i:=1; j:=ops(a); while(i <= j) do # durchlaeufe zaehle zahl:=zahl+1; # liste a teile k:=(truc((i+j)/)); if(a[k] = s) the # s i a a der stelle k gefude retur k; elif (a[k] s) the # rechte schrake ach ie verlager j:=k-1; else # like schrake ach ie verlager i:=k+1; fi; ed do; # s icht i a gefude retur -1; ed proc: starte := proc() local a,s,foud,max_tries; global zahl; zahl:=0; foud:=-1; a:=maplets:-tools:-get('folgetextfeld'::list); max_tries:=roud(evalf(log[](ops(a)))*100); max_tries:=max_tries*0.01; max_tries:=covert(max_tries,strig); max_tries:="maximaler Aufwad: ~" max_tries; s:=maplets:-tools:-get('suchetextfeld'::iteger); Maplets:-Tools:-Set('MaximalerAufwadLabel'('captio') = max_tries); 14

15 foud := suche(a,s); zahl:=covert(zahl,strig); zahl:="tatsaechlicher Aufwad: " zahl; Maplets:-Tools:-Set('TatsaechlicherAufwadLabel'('captio') = zahl); foud:=covert(foud,strig); foud:="gefude a der Stelle: " foud; Maplets:-Tools:-Set('GefudeLabel'('captio') = foud); ed proc: IV. Resultate ud Bewertug Die beide Algorithme Merge-Sort ud Biäres Suche demostriere die Effiziez ud Stärke des Divide-ad-coquer -Schemas. Im Vergleich zu lieare ud sequetielle Algorithme biete die i meiem Bericht behadelte Verfahre deutlich schellere Methode eie Datestruktur zu aalysiere ud zu verarbeite. Eie sortierte Datemege zum Beispiel durch Merge-Sort hat de wesetliche Vorteil, dass der weiterverarbeitede Zugriff viel effizieter gestaltet werde ka. Zwar setzt die Biäres Suche -Techik voraus, dass die verwedete Date sortiert sid, bietet aber dafür eie sehr viel schellere Möglichkeit des Verarbeites als adere Suchalgorithme. Eie Kombiatio eies effektive Sortieralgorithmus ud eies Suchalgorithmus, der da diese sortierte Datemege bearbeitet, ist faktisch meistes vorteilhafter. Da bei Merge-Sort zusätzlicher Speicher beötigt wird, fällt die Wahl des geeigete Sortieralgorithmus i der praktische Realisierug meist auf Quicksort. Quicksort bietet allerdigs kei stabiles Ergebis ud die Komplexität ka im schlechteste Fall die vo Merge-Sort übersteige. Die No-Free-Luch-Theoreme besage, dass we ma die Mege aller mathematisch mögliche Probleme eibezieht, alle Suchalgorithme im Durchschitt gleich effektiv sid (vgl. Wikipedia Mitwirkede, 005d). Ugeachtet macher Eischräkuge biete auf dem Divide-ad-coquer -Verfahre basierede Algorithme sehr gute Möglichkeite, bei gezielter Awedug ei Maximum a Wirkkraft zu erreiche. Isbesodere uter Berücksichtigug der i userer Zeit auftretede riesige Datemege, sid die richtig ausgewählte ud eigesetzte Algorithme eorm wichtig. Vorraussetzug für de erfolgreiche Eisatz eies Algorithmus ist die korrekte Aalyse der Komplexität. Für diese Zweck ist die Ladau-Notatio, basiered auf dem Master-Theorem, wie geschaffe. 15

16 V. Literatur Diese Liste ethält die verwedete Literatur zu meiem Bericht über die Algorithme Merge-Sort (Jauerig, 004; Lag, 000, 005; Saake, Sattler, 004, p. 19 ff.; Wikipedia Mitwirkede, 005a, 005c) ud Biäres Suche (Saake, Sattler, 004, p. 118 ff.; Wikipedia Mitwirkede, 005b, 005d), welche beide ach dem Divide-ad-coquer - Verfahre (Meyers Lexiko Mitwirkede, 1995; Hromkovic, 1998) arbeite. Die gekezeichete Olie-Dokumete befide sich zusätzlich als gespiegelte Versioe uter im WWW. Hromkovic, J. (1998): Algorithmics for Hard Problems. Spriger-Verlag Berli Heidelberg New York,. Aufl., ISBN Jauerig, M. (004): Mergesort [olie]. Liux-Related, URL: Stad: Lag, H.W. (000): Mergesort [olie]. FH Flesburg, URL: Stad: Lag, H.W. (005): Mergesort iterativ [olie]. FH Flesburg, URL: Stad: Meyers Lexiko Mitwirkede (1995): Divide-ad-coquer-Verfahre. aus: Meyers Lexiko Iformatik, Bibliographisches Istitut & F.A. Brockhaus AG, Maheim, ISBN Saake, G., K.-U. Sattler (004): Algorithme ud Datestrukture. dpukt.verlag, Heidelberg,. Aufl., ISBN Wikipedia Mitwirkede (005a): Mergesort [olie]. Wikipedia: Die freie Ezyklopädie, URL: Stad: Wikipedia Mitwirkede (005b): Biäre Suche [olie]. Wikipedia: Die freie Ezyklopädie, URL: Stad: Wikipedia Mitwirkede (005c): Sortierverfahre [olie]. Wikipedia: Die freie Ezyklopädie, URL: , Stad: Wikipedia Mitwirkede (005d): No-Free-Luch-Theoreme [olie]. Wikipedia: Die freie Ezyklopädie, URL: Theoreme&oldid=787713, Stad:

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs Das Digitale Archiv des Budesarchivs 2 3 Ihaltsverzeichis Das Digitale Archiv des Budesarchivs 4 Techische Ifrastruktur 5 Hilfsmittel zur Archivierug 5 Archivierugsformate 6 Abgabe vo elektroische Akte

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV LS Retail Die Brachelösug für de Eizelhadel auf Basis vo Microsoft Dyamics NAV akquiet Focus auf das Wesetliche User Focus liegt immer auf der Wirtschaftlichkeit: So weig wie möglich, soviel wie ötig.

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

DMS Dokumenten- Management-System

DMS Dokumenten- Management-System DMS Dokumete- Maagemet-System Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Scae, verschlagworte ud archiviere i eiem Arbeitsgag... 5 3.2 Dokumete

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern KASSENBUCH ONLINE Olie-Erfassug vo Kassebücher Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Ituitive Olie-Erfassug des Kassebuchs... 5 3.2 GoB-sicher

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

HONORAR Honorarabrechnung

HONORAR Honorarabrechnung HONORAR Hoorarabrechug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Freie Formulargestaltug... 5 3.2 Positiosvorschläge aus Leistuge bzw. Gegestadswerte...

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence cubus EV als Erweiterug für Oracle Busiess Itelligece... oder wie Oracle-BI-Aweder mit Essbase-Date vo cubus outperform EV Aalytics (cubus EV) profitiere INHALT 01 cubus EV als Erweiterug für die Oracle

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

9 Der bipolare Transistor

9 Der bipolare Transistor 9 Der bipolare Trasistor Der bipolare Trasistor ist ei Halbleiter-auelemet, bei dem mit eiem kleie Steuerstrom ei großer Hauptstrom gesteuert wird. 9.1 Aufbau ud Herstellugsverfahre Der bipolare Trasistor

Mehr

Digitales Belegbuchen

Digitales Belegbuchen Digitales Belegbuche Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Belege scae ud sede... 5 3.2 Belege buche... 6 3.3 Schelle Recherche... 7 3.4

Mehr

Remote Control Services. www.r-c-t.biz www.r-c-s.biz ON / OFF. Messen Kommunizieren Auswerten Agieren

Remote Control Services. www.r-c-t.biz www.r-c-s.biz ON / OFF. Messen Kommunizieren Auswerten Agieren Remote Cotrol www.r-c-t.biz www.r-c-s.biz C ON / OFF 0...5 V Messe Kommuiziere Auswerte Agiere Die RCS Web Applikatio Itelligete Ferberwachug via Iteret Alle Takihalte, Zählerstäde, Temperature, Gebäude

Mehr

Die Instrumente des Personalmanagements

Die Instrumente des Personalmanagements 15 2 Die Istrumete des Persoalmaagemets Zur Lerorietierug Sie solle i der Lage sei:! die Ziele, Asätze ud Grüde eier systematische Persoalplaug darzulege;! die Istrumete der Persoalplaug zu differeziere;!

Mehr

CRM Kunden- und Lieferantenmanagement

CRM Kunden- und Lieferantenmanagement CRM Kude- ud Lieferatemaagemet Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Schelle ud eifache Ersteirichtug... 5 3.2 Zetrales Kotakterfassugsfester...

Mehr

Robuste Asset Allocation in der Praxis

Robuste Asset Allocation in der Praxis Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr

Mehr

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält

Mehr

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index *

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index * Lefade zum Photovoltaik Global 30 Idex * Versio.0 * Photovoltaik Global 30 Idex ist ei Idex der ABN AMRO, der vo der Deutsche Börse berechet ud verteilt wird. Deutsche Börse AG Versio.0 Lefade zum Photovoltaik

Mehr

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Hadelsschule Abschlussprüfug Sommer Fach: MATHEMATIK Bearbeitugszeit: Erlaubte Hilfsmittel: Zeitstude Nicht-programmierbarer Tascherecher

Mehr

beck-shop.de 2. Online-Marketing

beck-shop.de 2. Online-Marketing beck-shop.de 2. Olie-Marketig aa) Dateschutzrechtliche Eiwilligug immer erforderlich Ohe Eiwilligug des Nutzers ist eie Erhebug persoebezogeer Date icht zulässig. Eie derartige Eiwilligug ka auch icht

Mehr

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur.

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur. PS - OPTIK P. Redulić 2007 LICHT STRAHLENOPTIK LICHT. Lichtquelle ud beleuchtete Körper Sichtbare Körper sede teilweise Licht aus, teilweise reflektiere sie aber auch das auf sie fallede Licht. Lichtquelle

Mehr

ASP Application-Service- Providing

ASP Application-Service- Providing ASP Applicatio-Service- Providig Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio Ageda ASP... 4 3 Highlights... 5 3.1 Der Termialserver... 5 3.2 Dateüberahme/Ibetriebahme... 5 3.3 Sicherheit...

Mehr

FIBU Kontoauszugs- Manager

FIBU Kontoauszugs- Manager FIBU Kotoauszugs- Maager Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Buchugsvorschläge i der Buchugserfassug... 4 2.2 Vergleichstexterstellug zur automatische Vorkotierug... 5 2.3

Mehr

DCP Manufaktur - Digital Cinema Mastering

DCP Manufaktur - Digital Cinema Mastering DCP Maufaktur Sebastia Böhm ud Alexis Michaltsis GbR PREISLISTE (Stad: 05.02.2014) Alle Preise sid Nettopreise i EURO, zzgl. 19% MwSt. Mit Erscheie eier eue Preisliste verliere die hier agegebee Preise

Mehr

egovweb egovweb für öffentliche Verwaltungen

egovweb egovweb für öffentliche Verwaltungen egovweb für öffetliche Verwaltuge E-Govermet begit bei de Prozesse Verwaltugsverfahre beihalte viele mehr oder weiger komplexe Etscheidugsprozesse. Etspreched hoch sid die Aforderuge a die Flexibilität

Mehr

Modellierung und Requirements Management Ein starkes Team

Modellierung und Requirements Management Ein starkes Team advertorial Rudolf Hauber Susae Mühlbauer (Rudolf.Hauber@HOOD-Group.com) betreut bei der HOOD Group als Seior Cosultat das Thema Aforderugsmodellierug ud ist dort für de Bereich Aerospace ud Defese zustädig.

Mehr

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien?

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien? Fiazmathematik Aufgabesammlug. Ei Kapital vo 5000 ist zu 6,5% ud ei Kapital vo 4500 zu 7% auf 2 Jahre agelegt. Wie groß ist der Uterschied der Edkapitalie? 2. Wa erreicht ei Kapital eie höhere Edwert,

Mehr

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5 Iteret- aus Sicht der Hädler: Ergebisse der Umfrage IZH5 Vorab-Kurzauswertug ausgewählter Aspekte Dezember 2009 1 Gegestad ud ausgewählte Ergebisse der Studie Mit der aktuelle füfte Umfragewelle zum Thema

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel: E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche

Mehr

Innovative Komplettlösungen vom Spezialisten! engineering in its entirety

Innovative Komplettlösungen vom Spezialisten! engineering in its entirety Iovative Komplettlösuge vom Spezialiste! egieerig i its etirety Ihre Effiziez user Atrieb Bracheuabhägige Etwicklugsdiestleistuge ud Produktlösuge etlag Ihrer Wertschöpfugskette, Projekte ud Produkte aus

Mehr

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche PrivatKredit Direkt as Ziel Ihrer Wüsche Erlebe Sie eue Freiräume. Leiste Sie sich, was Ihe wichtig ist. Sie träume scho seit lagem vo eier eue Aschaffug, wie z. B.: eiem eue Auto eue Möbel Oder es stehe

Mehr

Wenig Zeit für viel Arbeit? Reibungsloser Wechsel zu iskv_21c

Wenig Zeit für viel Arbeit? Reibungsloser Wechsel zu iskv_21c Click it Weig Zeit für viel Arbeit? Reibugsloser Wechsel zu iskv_21c Zeit zu wechsel Seit dem Jahr 2006 ist klar: Das ISKV-Basissystem wird i absehbarer Zeit ausgediet habe. Mit der Neuetwicklug iskv_21c

Mehr

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden.

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden. Sichtbar im Web! Websites für Hadwerksbetriebe. Damit Sie auch olie gefude werde. Professioelles Webdesig für: Hadwerksbetriebe Rudum-sorglos-Pakete Nur für Hadwerksbetriebe Webdesig zu Festpreise - ukompliziert

Mehr

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte.

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte. Statistik Vorlesug,. ärz, Statistische aßzahle Iformatio zu verdichte, Besoderheite hervorzuhebe ittelwerte Aufgabe: die Lage der Verteilug auf der Abszisse zu zeige. Der odus: derjeige Wert, der im Häufigste

Mehr

Potenzial-Evaluations-Programm

Potenzial-Evaluations-Programm T e l. + 4 1 3 1 3 1 2 0 8 8 0 i m d e @ i m d e. e t w w w. i m d e. e t Potezial-Evaluatios-Programm für Maagemet, Verkauf ud Sachbearbeitug vo Persoalexperte für Persoalexperte. Vorauswahl (MiiPEP)

Mehr

echurchweb echurchweb für Kirchgemeinden

echurchweb echurchweb für Kirchgemeinden echurchweb für Kirchgemeide echurchweb begit bei de Prozesse Verwaltugsverfahre beihalte viele mehr oder weiger komplexe Etscheidugsprozesse. Etspreched hoch sid die Aforderuge a die Flexibilität ud Modularität

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3. 2 Integration in das Agenda-System... 4

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3. 2 Integration in das Agenda-System... 4 USt Umsatzsteuer Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Kompakte Erfassugsmaske auf Basis der Steuerformulare... 5 3.2 Orgaschaft & Kosolidierug...

Mehr

Verlagsprogramm. Bestellung. Printausgaben. Onlineausgaben. Datum VN/BAG Bestellzeichen. zur Fortsetzung bis auf Widerruf zum einmaligen Bezug

Verlagsprogramm. Bestellung. Printausgaben. Onlineausgaben. Datum VN/BAG Bestellzeichen. zur Fortsetzung bis auf Widerruf zum einmaligen Bezug Bestellug Datum VN/BAG Bestellzeiche Pritausgabe zur Fortsetzug bis auf Widerruf zum eimalige Bezug Verlage Ausgabe 2015/2016 Zeitschrifte Ausgabe 2015 Verlagsvertretuge Ausgabe 2015/2016 Verlagsauslieferuge

Mehr

Monte Carlo-Simulation

Monte Carlo-Simulation Mote Carlo-Simulatio Mote Carlo-Methode Der Begriff Mote Carlo-Methode etstad i de 1940er Jahre, als ma im Zusammehag mit dem Bau der Atombombe die Simulatio vo Zufallsprozesse erstmals i größerem Stil

Mehr

Rainer Mohr Manfred Schubert. Funkuhrtechnik und Funkuhrentwicklung

Rainer Mohr Manfred Schubert. Funkuhrtechnik und Funkuhrentwicklung Raier Mohr Mafred Schubert Fukuhrtechik ud Fukuhretwicklug 76 I Deutschlad ist die Physikalisch Techische Budesastalt (PTB) i Brauschweig für die Verbreitug der gesetzliche Zeit veratwortlich (Zeitgesetz).

Mehr

Crossmediale Redaktionssysteme als Basis für mehrmediales Publizieren

Crossmediale Redaktionssysteme als Basis für mehrmediales Publizieren Crossmediale Redaktiossysteme als Basis für mehrmediales Publiziere Crossmediales Publiziere, Cotet-Maagemet-Systeme, Digital Asset Maagemet (DAM), E-Books Verlage wadel sich zu itegrierte Medieuterehme.

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Engineering von Entwicklungsprojekten mit unsicheren Aktivitätszusammenhängen in der verfahrenstechnischen Industrie

Engineering von Entwicklungsprojekten mit unsicheren Aktivitätszusammenhängen in der verfahrenstechnischen Industrie Egieerig vo Etwicklugsprojekte mit usichere Aktivitätszusammehäge i der verfahrestechische Idustrie Christopher M. Schlick Berhard Kausch Sve Tackeberg 5. Symposium Iformatiostechologie für Etwicklug ud

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

EU setzt auf grüne Ventilatoren

EU setzt auf grüne Ventilatoren ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore gettyimages/steve Che 9 ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore Vetilatore i GreeTech EC-Techologie übertreffe

Mehr

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ Das FSB Geldkoto Eifache Abwicklug ud attraktive Verzisug +++ Verzisug aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ zuverlässig servicestark bequem Kompeteter Parter für Ihr Wertpapiergeschäft Die FodsServiceBak zählt

Mehr

Die allgemeinen Daten zur Einrichtung von md cloud Sync auf Ihrem Smartphone lauten:

Die allgemeinen Daten zur Einrichtung von md cloud Sync auf Ihrem Smartphone lauten: md cloud Syc / FAQ Häufig gestellte Frage Allgemeie Date zur Eirichtug Die allgemeie Date zur Eirichtug vo md cloud Syc auf Ihrem Smartphoe laute: Kototyp: Microsoft Exchage / ActiveSyc Server/Domai: mailsyc.freeet.de

Mehr

Formularkonzept DRG. Druck. Ausgereifte Formularkonzepte. Die kompakte Dokumentation für Medizin und Pflege.

Formularkonzept DRG. Druck. Ausgereifte Formularkonzepte. Die kompakte Dokumentation für Medizin und Pflege. Formularkozept DRG Ausgereifte Formularkozepte Die kompakte Dokumetatio für Medizi ud Pflege. Auf der Grudlage jahrzehtelager Erfahrug etwickel wir mit Ihe Formularsysteme, die alle Aforderuge gerecht

Mehr

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX 1741 Switzerlad Idex Series 1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX Reglemet Versio vom 01.07.2015 1741 Switzerlad Equal Weighted Idex 2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Eileitug 3 2 Idex Spezifikatioe 4 3 Idex Uiversum

Mehr

Softwaregestütztes Projekt- und Skillmanagement Ergebnisse eines Forschungsprojektes

Softwaregestütztes Projekt- und Skillmanagement Ergebnisse eines Forschungsprojektes Pers 0 Schützeallee - 09 Haover Softwaregestütztes Projekt- ud Skillmaagemet Ergebisse eies Forschugsprojektes Autor: Prof. Dr.-Ig. Hartmut F. Bier. Eileitug Die Globalisierug fordert vo alle Uterehme,

Mehr

Umsatzprognose im Lebensmitteleinzelhandel mit Hilfe von Data Mining Methoden

Umsatzprognose im Lebensmitteleinzelhandel mit Hilfe von Data Mining Methoden Uiversität-Gesamthochschule Paderbor Fachbereich 17 Umsatzprogose im Lebesmitteleizelhadel mit Hilfe vo Data Miig Methode Diplomarbeit im Fachbereich Iformatik vorgelegt vo: Mischa Kuchike Wewelsburger

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkomme zur der Aufgabesammlug Um sich schell ierhalb der ca. 35. Mathematikaufgabe zu orietiere, beutze Sie ubedigt das Lesezeiche Ihres Acrobat Readers: Das Ico fide Sie i der liks stehede

Mehr

FIBU Offene-Posten- Buchführung

FIBU Offene-Posten- Buchführung FIBU Offee-Poste- Buchführug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Rechugsprüfug i der Buchugserfassug... 4 2.2 Sammelbuchug... 5 2.3 Zahlugslauf aus offee Poste eilese... 6

Mehr

Verkehrsmanagementsysteme

Verkehrsmanagementsysteme Efficiet. Techology. Efficiet. Techology. Worldwide. Worldwide. Verkehrsmaagemetsysteme Produktkatalog Fahrscheidrucker Bordrecher Mobile Verkaufssysteme eticketig EKS Automate Bedarfsverkehr Verkaufsapplikatioe

Mehr

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik Ihalt: Aufgabe -: Eifache achschüssige Zise Aufgabe : Eifache vorschüssige Zise Aufgabe 4-5: Ziseszise bei Zisasammlug Aufgabe 6-: Ziseszise bei Zisauszahlug

Mehr

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot Abschlussprüfug zum/zur Fiazplaer/i mit eidg. Fachausweis Formelsammlug Autor: Iwa Brot Diese Formelsammlug wird a de Olie- ud a de müdliche Prüfuge abgegebe soweit erforderlich. A der schriftliche Klausur

Mehr

PageRank: Wie Google funktioniert

PageRank: Wie Google funktioniert PageRa: Wie Google futioiert Außermathematische Aweuge im Mathematiuterricht WS 0/ Fraz Embacher, Uiversität Wie Das Erfolgsrezept er Suchmaschie vo Google lag zuächst i er überzeugee Reihug vo reffer.

Mehr

Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica

Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica Computerpraktikum im GP II Eiführug i Mathematica Daiel Brete Michael Karcher Jes Koeslig Tim Baldsiefe Was ist Mathematica Mathematica ist ei Computeralgebrasytem, d. h., dass Mathematica z.b. Itegrale

Mehr

Stefanie Grimm, Dr. Jörg Wenzel, Dr. Gerald Kroisandt, Prof. Dr. Ralf Korn, Dr. Johannes Leitner, Dr. Peter Ruckdeschel, Dr. Christina Erlwein-Sayer,

Stefanie Grimm, Dr. Jörg Wenzel, Dr. Gerald Kroisandt, Prof. Dr. Ralf Korn, Dr. Johannes Leitner, Dr. Peter Ruckdeschel, Dr. Christina Erlwein-Sayer, Stefaie Grimm, Dr. Jörg Wezel, Dr. Gerald Kroisadt, Prof. Dr. Ralf Kor, Dr. Johaes Leiter, Dr. Peter Ruckdeschel, Dr. Christia Erlwei-Sayer, Dr. Berhard Kübler, Dr. Sascha Desmettre, Dr. Roma Horsky, Dr.

Mehr

Nutzung der Ergebnisse von Ringvergleichen und Methodenvalidierungen zur Ermittlung der Messunsicherheit

Nutzung der Ergebnisse von Ringvergleichen und Methodenvalidierungen zur Ermittlung der Messunsicherheit Nutzug der Ergebie vo igvergleiche ud Methodevalidieruge zur Ermittlug der Meuicherheit Abtract Deutch Wolfgag ichter I der chemiche Aalytik werde ebe der Bottom-u -Methode ach GUM auch Todow -Verfahre

Mehr

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST)

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST) Leseprobe Bereichsleitug Fitess ud GroupFitess (IST) Studieheft Persoalmaagemet Autori Corelia Trikaus Corelia Trikaus ist Diplom-Ökoomi ud arbeitet als wisseschaftliche ud pädagogische Mitarbeiteri bei

Mehr

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re atheatik der Lebesersicherug r. Karste Kroll GeeralCologe Re atheatik der Lebesersicherug atheatische Grudasätze iskotiuierliche ethode: Sätliche Leistuge erfolge zu bestite Zeitpukte ie Zeititeralle dazwische

Mehr

Reengineering mit Sniffalyzer

Reengineering mit Sniffalyzer Reegieerig mit Siffalyzer Dr. Walter Bischofberger Wid River Ic. wbischofberger@acm.org http://www.widriver.com/siff 30.10.01 2001 Wid River Systems, Ic. 1 Das Siffgate Projekt Motivatio Schaffe eier Plattform

Mehr

B>O?BFQBO&K 0CEGLCÁ1RMNI? +?PISQÁJGE *?AGÁ&MFLCP Î0601,/Á$3BOPFLKÁ

B>O?BFQBO&K 0CEGLCÁ1RMNI? +?PISQÁJGE *?AGÁ&MFLCP Î0601,/Á$3BOPFLKÁ "?R?5?PCFMSQGLEKGR#2* 2MMJQ.MQGRGMLGCPSLE $SLIRGMLQ@CPCGAFC PAFGRCIRSPIMLXCNRC B>O?BFQBO&K 0CEGLCÁ1RMNI? +?PISQÁJGE *?AGÁ&MFLCP >PBIÉÁÁ!BWBJ?BOÁ Î0601,/Á$3BOPFLKÁ &KE>IQPSBOWBF@EKFP 'LF?JRQTCPXCGAFLGQ

Mehr

Lang & Schwarz Aktiengesellschaft. Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012. nach 16 Absatz 1 WpPG. zum

Lang & Schwarz Aktiengesellschaft. Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012. nach 16 Absatz 1 WpPG. zum Lag & Schwarz Aktiegesellschaft Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012 ach 16 Absatz 1 WpPG zum Basisprospekt der Lag & Schwarz Aktiegesellschaft vom 20. Jui 2013 über derivative Produkte Optiosscheie auf Aktie/aktievertretede

Mehr

CampusSourceEngine HISLSF

CampusSourceEngine HISLSF Kopplug Hochschuliformatiossysteme ud elearig CampusSourceEgie Dipl.-Iform. Christof Veltma Uiversität Dortmud leartec, Karlsruhe, 14.02.2006 - Hochschuliformatiossysteme allgemei: Iformatiossysteme ud

Mehr

Der Durchbruch in der Zusammenarbeit. Health Relations

Der Durchbruch in der Zusammenarbeit. Health Relations Der Durchbruch i der Zusammearbeit Health Relatios Warum isoft Health Relatios? Der demografische Wadel hat Folge für die Behadlugsbediguge: Es müsse immer mehr Patiete versorgt werde bei gleichzeitig

Mehr

Neuerungen im Zahlungsverkehr für Deutschland und Europa. Herausforderung und Chance

Neuerungen im Zahlungsverkehr für Deutschland und Europa. Herausforderung und Chance Neueruge im Zahlugsverkehr für Deutschlad ud Europa Herausforderug ud Chace Ageda Allgemeie Iformatioe & aktueller Stad Rechtliche Rahmebediguge SEPA-Überweisug SEPA-Lastschrifte SEPA-Basis-Lastschrifte

Mehr

Bestimmte Gegenstände können drei Jahre lang mit einem festen Wert angesetzt werden, wenn folgende Voraussetzungen

Bestimmte Gegenstände können drei Jahre lang mit einem festen Wert angesetzt werden, wenn folgende Voraussetzungen 2.1 Ivetur 2.1.4 Bewertug der Vermögesgegestäde 2.1.4.1 Eizelbewertug Grudsätzlich sid bei eier Ivetur die Vermögesgegestäde eizel zu erfasse ud etspreched zu bewerte.esgibtzweiausahme vomgrudsatz dereizelbewertug.

Mehr

ANLAG Anlagenbuchführung

ANLAG Anlagenbuchführung ANLAG Alagebuchführug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Alagegüter aus der Buchugserfassug überehme... 5 3.2 Zugag oder Vortrag... 7

Mehr

Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option

Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option Semiar Derivate Fiazprodukte aus mathematischer Sicht Up-ad-out Call Optio UIVERSITÄT TRIER Fachbereich IV Wirtschaftswisseschafte / Mathematik Witersemester 22/3 Leiter: Prof. Dr. H. Luschgy Eigereicht

Mehr

MCC - MyCallCenter for SwyxWare

MCC - MyCallCenter for SwyxWare MCC - MyCallCeter for SwyxWare ... is what you get: MCC - MyCallCeter MCC - MyCallCeter steht für professioelle Softwarelösuge, die bereits i der Kozeptiosphase die Praxis im Auge habe. Kosequet auf Zeit-

Mehr

Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 2013. Elektromagnetische Felder und Störungstheorie

Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 2013. Elektromagnetische Felder und Störungstheorie Elektromagetische Felder Feriekurs Quatemechaik Sommersemester 013 Seite 1 Daiel Roseblüh ud Floria Häse Fakultät für Physik Techische Uiversität Müche Elektromagetische Felder ud Störugstheorie Im Folgede

Mehr

betrieblichen Altersvorsorge

betrieblichen Altersvorsorge Reforme i der Alterssicherug 13 1. Basisiformatioe zur eue betriebliche Altersvorsorge 1.1 Reforme i der Alterssicherug Nach de große Reforme i der Alterssicherug der Jahre 2000/2001 u. a. mit dem Altersvermögesgesetz,

Mehr

Bau- und Wohncenter Stephansplatz

Bau- und Wohncenter Stephansplatz Viele gute Grüde, auf us zu baue Bau- ud Wohceter Stephasplatz Parter der Bak Austria Silvia Nahler Tel.: 050505 47287 Mobil: 0664 20 22 354 Silvia.ahler@cityfiace.at Fiazservice GmbH Ralph Decker Tel.:

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitslehre

1 Wahrscheinlichkeitslehre Wahrscheilichkeitslehre. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Wahrscheilichkeitslehre ist ei elemetarer Bestadteil der Statistik. Die mathematische Wahrscheilichkeitslehre umfasst ei kompliziertes

Mehr

Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3

Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3 Semiar i Salzburg, HLW Aahof srdp orietierte Fiazmathematik mit TI 82 stats Ihalt: I Display ud Screeshots 2 II Grudbegriffe 3 III Eifache Verzisug 3 IV Ziseszis 4 VI Äquivalezprizip 4 VII Uterjährige

Mehr

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen Attributame Beschreibug Name des Lerobjekts Autor/e Zielgruppe Vorwisse Lerziel Beschreibug Dauer der Bearbeitug Keywords Orgaisatorische Strukture ud Stammdate i ERP-Systeme FH Vorarlberg: Gasser Wirtschaftsiformatik

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Documents to Go : mobil, sicher, überall

Documents to Go : mobil, sicher, überall Mai 2009 Ausgabe #2-09 Deutschlad Euro 9,60 ISSN: 1864-8398 4 260122 090006 Die Zukuft des Dokumets Co-Creatio als Paradigma Wissesmaagemet im Web 2.0 Dokumete-Maagemet ud Usability Documets to Go : mobil,

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

2 Organisationseinheiten und -strukturen

2 Organisationseinheiten und -strukturen 2 Orgaisatioseiheite ud -strukture 2. Eiführug Verkaufsorgaisatio (SD) Vertriebsweg (SD) Sparte (LO) Verkaufsbüro (SD) Verkäufergruppe (SD) Madat Buchugskreis (FI) Kreditkotrollbereich (FI) Werk (LO) Versadstelle

Mehr

Feedback-Based Development: Wie kann Softwarequalität gesteigert werden?

Feedback-Based Development: Wie kann Softwarequalität gesteigert werden? Feedback-Based Developmet: Wie ka Softwarequalität gesteigert werde? Feedback-Based Developmet: Wie ka Softwarequalität gesteigert werde? Die Softwareetwicklug uterliegt i de letzte Jahre eiem starke Wadel

Mehr

LOHN KUG, ATZ, Pfändung, Darlehen und Bescheinigungswesen

LOHN KUG, ATZ, Pfändung, Darlehen und Bescheinigungswesen LOHN KUG, ATZ, Pfädug, Darlehe ud Bescheiigugswese Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Elektroischer AAG-Erstattugs-Atrag... 4 2.2 Elektroische EEL-Bescheiigug... 5 2.3 Kurzarbeitergeld...

Mehr

Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht

Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht Zur Mathematik derivativer Fiazistrumete: Areguge für de StochastikUterricht Dietmar Pfeifer, Uiversität Oldeburg Zusammefassug: Spätestes seit der Verleihug des Nobelpreises für Ökoomie im Jahr 1997 a

Mehr