Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

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1 Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion φ k in dieser Reihenfolge konstruieren. Die Gerade AB geht durch den Mittelpunkt M von k. Satz impliziert, dass φ k die Gerade AB auf sich selbst abbildet. Das Bild der Strecke AB ist die Vereinigung der Halbgeraden AA und BB. Die Gerade BC geht nicht durch M. Wegen Satz ist ihr Bild unter φ k der Kreis m durch M (ohne M), B und C. Da die Strecke BC innerhalb von k liegt, ist ihr Bild unter φ k der Kreisbogen BC auf m ausserhalb von k. Der Kreis l geht durch M, A und C. Wegen Satz ist das Bild von l (ohne M) die Gerade AC. Da der Kreisbogen CA auf l ausserhalb von k liegt, ist sein Bild unter φ k die Strecke CA. Wir folgern, dass φ k (F ) derjenige Teil der Ebene ist, der (von oben nach unten) durch die Halbgerade AA, die Strecke CA, den Kreisbogen BC auf m ausserhalb von k, und schliesslich die Halbgerade BB begrenzt wird. HS13 1 / Oktober 2013

2 Aufgabe 2. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Vorbermerkungen: 1). Im Kleinschen Modell der hyperbolischen Geometrie sind die Geraden die Durchschnitte von euklidischen Geraden in der Ebene mit dem Inneren des Kreises k. Das Quadrat ABCD ist aber kein Quadrat im Sinne der hyperbolischen Geometrie! Wir berechnen die hyperbolische Längen der Seiten von ABCD mit Definition und finden l(ab) = 1.43, l(bc) = 1.25, l(cd) = 1.57, l(da) = Die Seiten von ABCD sind in der hyperbolischen Geometrie also nicht gleich lang. 2). Die Punkte von k (zum Beispiel E und F ) sind keine Punkte der hyperbolischen Ebene! Sie liegen im Unendlichen : Aus folgt, dass sie bezüglich des hyperbolischen Abstandes unendlich weit von jedem Punkt innerhalb von k entfernt sind. Sei s die hyperbolische Spiegelung an EF. Wir müssen A = s(a), B = s(b), C = s(c) und D = s(d) konstruieren. Wir folgen der Konstruktion in der Figur nach Definition (Seite 69). Zuerst konstruieren wir den Pol G von EF bezüglich k, indem wir die Tangenten an k durch E und F schneiden. Um zum Beispiel s(a) zu finden, konstruieren wir die Gerade EA und ihr Schnittpunkt Q A (ungleich E) mit k. Die Gerade GQ A schneidet k nun in Q A und einem zweiten Punkt Q A. Der Punkt A = s(a) ist nun der Schnittpunkt von EQ A und GA. HS13 2 / Oktober 2013

3 Wir machen das Gleiche für B, C und D und erhalten folgende Figur. Übrigens: Aus der Sicht der hyperbolischen Geometrie sind die Vierecke ABCD und A B C D kongruent, weil A B C D durch eine Isometrie aus ABCD entsteht. Aus der Sicht der euklidischen Geometrie aber ist A B C D, im Gegensatz zu ABCD, kein Quadrat mehr. Dies zeigt einen wichtigen Nachteil des Kleinschen Modells: Die euklidischen Winkel zwischen Geraden stimmen nicht überein mit den Winkeln in der hyperbolischen Geometrie. Man sagt, dass das Kleinsche Modell nicht konform ist. Man kann zeigen, dass die zwei Poincaréschen Modelle hingegen konform sind. Aufgabe 3. Es gibt zwei mögliche nicht-entartete Konfigurationen: 1) g und h schneiden sich nicht; 2) g and h schneiden sich. Es gibt auch Grenzfälle, in denen entweder g oder h ein Durchmesser von k ist; in diesen Fällen ist die Konstruktion einfacher. Die Konstruktion in den Fällen 1 und 2 ist ähnlich; wir beschreiben nur den 2. Fall. Wie in Aufgabe 2 konstruieren wir zuerst den Pol G von g bezüglich k, d.h. den Schnittpunkt der Tangenten an k in den Schnittpunkten U und V von k und g. HS13 3 / Oktober 2013

4 Sei s g die hyperbolische Spiegelung. Diese bildet hyperbolische Geraden auf hyperbolische Geraden ab; siehe Seite 70 des Skripts. Um s g (h) zu finden, müssen wir also nur das Bild von zwei Punkten bestimmen. Wie in Aufgabe 2 könnten wir die Punkte C und D und die Konstruktion auf Seite 69 benutzen. Es gibt aber eine einfachere Konstruktion, die auf der folgenden Beobachtung beruht. Jede Gerade im Kleinschen Modell schneidet den Kreis k in zwei Endpunkten. Wie in Aufgabe 2 erklärt wurde, ist es wichtig, zu beachten, dass diese Punkte nicht in der hyperbolischen Fläche, sondern im Unendlichen liegen. Die Spiegelung s g ist trotzdem auf diese Punkte fortsetzbar, und zwar wie folgt: s g vertauscht die Schnittpunkte von k mit einer beliebigen Geraden durch G. Ums s g (h) zu finden für eine Gerade h in der hyperbolischen Ebene ist mit Endpunkten Z, W k, konstruieren wir Z (bzw. W ) als den zweiten Schnittpunkt von GZ (bzw. GW ) mit k. Dann ist s g (h) = Z W. Aufgabe 4. a). Die Geraden im Poincaréschen Halbebenenmodell sind entweder vertikale euklidische Halbgeraden oder euklidische Halbkreise, deren Mittelpunkt auf der x-achse liegt. Wir wollen das hyperbolische Dreieck ABC konstruieren, d.h. die drei hyperbolischen Strecken AB, BC und AC. Weil B und C die gleiche x-koordinate haben, ist die hyperbolische Strecke BC gleich der vertikalen euklidischen Strecke BC. HS13 4 / Oktober 2013

5 Um die hyperbolische Strecke AB zu konstruieren, zeichnen wir die Mittelsenkrechte der Strecke AB und deren Schnittpunkt F mit der x-achse. Die hyperbolische Strecke AB ist nun derjenige Kreisbogen mit Mittelpunkt D, der durch A und B geht und in der oberen Halbebene enthalten ist. Die hyperbolische Strecke AC konstruieren wir auf die gleiche Weise wie AB. b). Ausgangslage: Der Mittelpunkt O des Kreises x 2 + y 2 = 36 liegt auf der x-achse; der obere Halbkreis ist daher eine hyperbolische Gerade g im Poincaréschen Halbebenenmodell. Weil g keine vertikale Halbgerade ist, zeigt die Übersicht auf Seite 71 des Skripts, dass die hyperbolische Spiegelung s g mit der euklidischen Inversion am Kreis identifiziert werden kann. Wir benutzen die bekannte Konstruktion der Inversion (siehe Übungsserie 6, Aufgaben 5 und 6), um die Bilder A = s g (A), B = s g (B) und C = s g (C) zu konstruieren. Die Spiegelung s g bildet hyperbolische Geraden auf hyperbolische Geraden ab. (Das steht nicht ausdrücklich im Skript, aber ist eine zu erwartende Eigenschaft; sonst wäre die Definition hyperbolischer Geraden oder der hyperbolischen Spiegelung nicht allzu sinvoll!) Diese Tatsache kann man beweisen, indem man die Eigenschaften der euklidischen Inversion (Satz ) in die Sprache der hyperbolischen Geometrie übersetzt. Wenn h zum Beispiel eine vertikale Halbgerade ist, die nicht durch O geht, so ist das Bild von h unter der Inversion laut Satz ein Kreisbogen auf einem Kreis ist, der nicht durch O geht; man verifiert einfach, dass dieser Kreisbogen ein Halbkreis in der oberen Halbebene ist. Wir folgern, dass s g das hyperbolische Dreieck ABC auf das hyperbolische Dreieck A B C abbildet. Um die Seiten dieses Dreiecks zu konstruieren, verwenden wir das gleiche Verfahren wie in a). HS13 5 / Oktober 2013

6 Aufgabe 5. Konstruktion der Ausgangslage: Konstruktionsbericht: 1. Kreis k = K(M, 5 cm) konstruieren. 2. Durchmesser AB von k zeichnen. 3. Kreis l = K(B, 6 cm) konstruieren. 4. Tangente t an k in B konstruieren. 5. Schnittpunkt G von t und l zeichnen. 6. Kreisbogen g um G mit Radius 6 cm im Inneren von k konstruieren. 7. D = AG l. 8. Figur F einzeichnen. Wie im Poincaréschen Halbebenenmodell ist die Spiegelung an einer hyperbolischen Gerade g im Poincaréschen Kreisscheibenmodell aus der euklidischen Perspektive entweder eine Kreis- HS13 6 / Oktober 2013

7 oder eine Geradenspiegelung. Weil unser g ein Kreisbogen ist, ist s g eine euklidische Inversion. Wie in den beiden anderen Modellen bildet jede hyperbolische Spiegelung hyperbolische Geraden auf hyperbolische Geraden ab. Das folgt aus den Eigenschaften der euklidischen Inversion (siehe Aufgabe 4). Die Inversion in g bildet k auf k ab, weil k senkrecht auf g steht und daher ein Fixkreis der euklidischen Inversion in g ist. Die Punkte B und D sind Fixpunkte, da sie auf g liegen. Das Bild von A liegt auf k (weil k Fixkreis ist) und auf GA (weil G der Mittelpunkt von g ist). Das heisst, dass A auf den anderen Schnittpunkt A von k und GA abgebildet wird. Das Bild der euklidischen Geraden AB ist der Kreis durch A, B und G; das Bild der euklidischen Strecke AB ist der Kreisbogen A B auf diesem Kreis. Das Bild der Strecke AD ist die Strecke A D. Der Kreisbogen g selber wird bei der Spiegelung festgehalten. Wir sehen also, dass die Figur F auf die Figur F in untenstehender Figur abgebildet wird. Bemerkung: Im Poincaréschen Kreisscheibenmodell sind sowohl die euklidische Strecke AB als auch der euklidische Kreisbogen A B hyperbolische Geraden. Die Strecke AA hingegen ist keine hyperbolische Gerade, weil sie nicht senkrecht auf k steht. HS13 7 / Oktober 2013

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