DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK II. Standardfehler Konfidenzintervalle Signifikanztests. Standardfehler

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1 DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK II INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN Standardfehler Konfidenzintervalle Signifikanztests Standardfehler der Standardfehler Interpretation Verwendung 1

2 ZUR WIEDERHOLUNG... Ausgangspunkt: wir haben aufgrund von Daten aus einer Studie einen Parameter für die Population geschätzt und eine Stichprobenverteilung für diesen Parameter erstellt (zumindest theoretisch) Ziel: eine Angabe darüber machen, wie gut die Parameterschätzung ist 3 Möglichkeiten: Standardfehler, Konfidenzintervalle, Signifikanztests wie gut ist die Parameterschätzung? ist das S:chprobenergebnis durch Zufall entstanden oder nicht? DER STANDARDFEHLER der Standardfehler ist die Standardabweichung der Stichprobenverteilung er gibt daher die Güte/Verlässlichkeit der Schätzung an er zeigt an, welchen durchschnittlichen Fehler man macht, wenn man den gefundenen Kennwert als Parameterschätzung verwendet Beispiel: wir haben für das Mögen von Klassik einen Mittelwert von 3 und einen Standardfehler von 0,6 bestimmt: à ca. 68% aller möglichen S:chprobenergebnisse würden also hier zwischen den Werten 2,4 und 3,6 liegen 2

3 DER STANDARDFEHLER INTERPRETATION Wie kann man den Standardfehler interpretieren? lässt sich pauschal nicht beantworten, denn: je kleiner, desto besser günstig: schauen wie groß er im Verhältnis zur verwendeten Merkmals- Skala ist Beispiel: die Skala für das Mögen von Klassik ging von 1 bis 5 à der SE von 0,6 nimmt davon nur 12% ein, ist also recht klein à der SE von 0,6 liefert uns eine Angabe darüber, wie weit wir mit unserer Schätzung prinzipiell daneben liegen könnten à ob der SE zufriedenstellend klein ist, soll/muss der Forscher beurteilen DER STANDARDFEHLER VERWENDUNG Wo wird der Standardfehler hauptsächlich verwendet? er wird als Rechenergebnis im Text sehr selten angegeben dafür aber sehr häufig in Abbildungen, nämlich in Form von Fehlerbalken (anstelle der Standardabweichung) Beispiele: SD SE SE 3

4 DER STANDARDFEHLER VERWENDUNG wenn man Abbildungen so gestaltet, dass die Y-Achse den gesamten Wertebereich zeigt, kann man auch an solchen Abbildungen sehen, ob der SE eher groß oder eher klein ist Konfidenzintervalle Konfidenzintervalle Vertrauenswahrscheinlichkeit Einfluss der Stichprobengröße Verwendung 4

5 KONFIDENZINTERVALLE neben dem Standardfehler lässt sich ein weiteres Maß für die Güte einer Populationsschätzung für einen Parameter angeben: das Konfidenzintervall (KI, englisch: CI für confidence interval) Konfidenzintervalle sind etwas informativer, da sie einen Wertebereich (Vertrauens- oder Konfidenzbereich) beschreiben Definition: Ein Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, der den wahren Parameter in der Population mit der Wahrscheinlichkeit X beinhaltet. (Achtung: die Wahrscheinlichkeitsaussage bezieht sich immer auf das Intervall, nicht auf den Parameter! Man darf also nicht sagen: der Parameter liegt mit der Wahrscheinlichkeit X im Intervall!) KONFIDENZINTERVALLE entscheidend sind zwei Dinge: die Höhe der Konfidenz (also der Wahrscheinlichkeit X) à die lege ich selbst fest die beiden Grenzen des Intervalls (ausgedrückt in den Werten der verwendeten Skala) à die will ich berechnen die Logik dahinter: eine Parameterschätzung ist umso zuverlässiger, je enger die Grenzen des Intervalls beieinander liegen als Grundlage dient die Stichprobenverteilung des berechneten Parameters 5

6 KONFIDENZINTERVALLE Beispiel für ein Konfidenzintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 90% um einen Erwartungswert von 105: à je näher die untere und die obere Grenze am Wert 105 liegen, desto eher kann ich dem Erwartungswert von 105 vertrauen (d.h., desto höher ist die Güte der Schätzung) VERTRAUENSWAHRSCHEINLICHKEIT Was bedeutet die Vertrauenswahrscheinlichkeit X? à Wenn ich 100 Studien machen und jedes Mal ein KI konstruieren würde, dann würde dieses in X Fällen den wahren Wert beinhalten. à das Intervall schneidet die mittleren X% der Stichprobenverteilung ab (symmetrisch um den Parameter) Wie hoch sollte die Vertrauenswahrscheinlichkeit sein? prinzipiell: natürlich möglichst hoch aber: je höher sie ist, desto breiter (und damit weniger informativ) wird das Intervall (im Extrem: wenn die Wahrscheinlichkeit 100 betrüge, würde das Intervall den gesamten Wertebereich überdecken) à üblicherweise liegt sie daher bei 90, 95, seltener bei 99% 6

7 EINFLUSS DER STICHPROBENGRÖßE der Einfluss der Stichprobengröße auf das KI größere Stichproben sollten zu verlässlicheren Schätzungen führen das äußert sich darin, dass die Stichprobenverteilung schmaler wird und damit die Grenzen enger zusammenrücken kleinere S:chprobe: größere S:chprobe: KONFIDENZINTERVALLE VERWENDUNG Wo werden KI hauptsächlich verwendet? in der Regel als inferenzstatistische Angaben im Text: es werden die Höhe der Konfidenz und die Lage der unteren und oberen Grenze angegeben (z.b. in der Form 95% KI, untere Grenze:..., obere Grenze:... oder 95% confidence interval, CI - :..., CI + :...) sehr häufig auch in Abbildungen: ebenfalls in Form von Fehlerbalken 7

8 Signifikanztests Signifikanztests Ansatz nach Fisher die Nullhypothese der p-wert die Irrtumswahrscheinlichkeit die Logik einseitiges und zweiseitiges Testen Einfluss der Stichprobengröße Ansatz nach Neyman & Pearson die Alternativhypothese Fehler erster und zweiter Art Einflussgrößen auf die Signifikanz SIGNIFIKANZTESTS Signifikanztests beurteilen nicht die Güte einer Parameterschätzung, sondern, ob ein Ergebnis zufällig zustande kam oder ob es generalisiert werden kann sie liefern damit eine ja/nein-entscheidung der Begriff Signifikanz ist irreführend, weil ein Signifikanztest- Ergebnis zunächst nichts über die Bedeutsamkeit aussagt! sie beruhen nicht mehr auf der Stichprobenverteilung, die aus den Daten resultiert, sondern auf der abstrakten Idee der Nullhypothese ihr einziges Ergebnis ist der berühmte p-wert, der dann zur Entscheidung (signifikant oder nicht) führt 8

9 ANSATZ NACH FISHER nach dem Ansatz von Fisher (dem z.b. auch SPSS folgt): der Signifikanztest unterstellt immer, dass es in der Population keinen Effekt gibt (der Mittelwert ist 0, es gibt keinen Mittelwertsunterschied, es gibt keinen Zusammenhang, usw.) diese Unterstellung wird durch die Nullhypothese ausgedrückt Ziel ist es nun zu zeigen, dass das Stichproben-Ergebnis unter der Annahme der Nullhypothese so unwahrscheinlich ist, dass man die Nullhypothese verwerfen kann DIE NULLHYPOTHESE für die Nullhypothese H0 wird auch eine Stichprobenverteilung erstellt diese ist nicht um den gefundenen Kennwert konstruiert, sondern um die 0 herum: à die Verteilung sagt, dass auch dann, wenn es in der Population keinen Effekt gibt (0), Ergebnisse zustande kommen können, die zufällig von 0 abweichen (wobei größere Abweichungen immer unwahrscheinlicher werden) 9

10 DER P-WERT die Verteilung der H0 beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, mit der man bestimmte Werte ziehen kann, wenn die H0 stimmt diese Aussage steckt im p-wert (p für probability) Definition: Der p-wert ist die Wahrscheinlichkeit für das gefundene (oder ein noch extremeres) Ergebnis unter der Annahme, dass in der Population die H0 gilt. DIE IRRTUMSWAHRSCHEINLICHKEIT für die Entscheidung (signifikant oder nicht) wird nun eine Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha (α) festgelegt Alpha wird auch Fehler erster Art, Signifikanzschwelle, Signifikanzniveau oder Signifikanzkriterium genannt Logik: wenn p < α dann ist das Ergebnis so unwahrscheinlich, dass die Nullhypothese wohl nicht stimmt und daher verworfen werden kann à man spricht dann von einem signifikanten Ergebnis Alpha wird üblicherweise auf 10, 5 oder 1% festgelegt (5% sind die Regel) aber: diese Festlegung ist absolut willkürlich, tatsächlich sollte der Forscher festlegen, wie groß Alpha sinnvollerweise sein soll/darf 10

11 SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK die Gretchen-Frage: p < α? SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK 11

12 SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK Warum Fehler erster Art? auch bei einem als signifikant eingestuften Ergebnis kann die H0 natürlich stimmen genauer: man wird statistisch gesehen in α Prozent der Fälle die H0 ablehnen, obwohl sie stimmt à man begeht also einen Fehler (nämlich eine falsch positive Entscheidung) Achtung: Alpha sagt nichts über die Wahrscheinlichkeit der H0 aus, sondern nur etwas über die Wahrscheinlichkeit, mit der man sich irrt, wenn man die H0 anlehnt. SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK Woher kommt der p-wert? genauer müsste man fragen: woher kommt die H0-Verteilung, aus der der p-wert abgelesen wird? sie wird genauso konstruiert wie die Stichprobenverteilung für den Parameter, mit dem Unterschied, dass als Parameterschätzung der Wert der Nullhypothese (meist 0) verwendet wird der p-wert beschreibt die Lage des empirischen Wertes (also des Ergebnisses) in dieser Verteilung um nicht für jede Studie bzw. jeden Test diese Verteilung konstruieren zu müssen, gibt es bereits standardisierte Verteilungen für die Nullhypothese à Prüfverteilungen (z.b., z, t, F...) Prüfverteilungen sind in allen Lehrbüchern abgedruckt bzw. in Statistik- Software hinterlegt 12

13 SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK zum Warmwerden: z-test der z-test ist ein Signifikanztest, der prüft, ob sich ein Wert signifikant von einem vorgegebenen Mittelwert unterscheidet die Nullhypothese wäre hier durch diesen Mittelwert repräsentiert Prüfverteilung ist die z-verteilung (Standardnormalverteilung) Beispiel: in einer Klausur ist von 50 Studierenden ein Mittelwert von M = 34 Punkten erreicht worden (SD = 3,7) ist Paul mit 41 Punkten signifikant besser als der Durchschnitt (Alpha = 5%)? H0 Paul = 41 à wo liegt die 41 in dieser Verteilung? à z- Standardisierung: M = 34 SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK! z" 0" 0,01" 0,02" 0,03" 0,04" 0,05" 0,06" 0,07" 0,08" 0,09" 0" 0,5$ 0,504$ 0,508$ 0,512$ 0,516$ 0,5199$ 0,5239$ 0,5279$ 0,5319$ 0,5359$ 0,1" 0,5398$ 0,5438$ 0,5478$ 0,5517$ 0,5557$ 0,5596$ 0,5636$ 0,5675$ 0,5714$ 0,5753$ 0,2" 0,5793$ 0,5832$ 0,5871$ 0,591$ 0,5948$ 0,5987$ 0,6026$ 0,6064$ 0,6103$ 0,6141$ 0,3" 0,6179$ 0,6217$ 0,6255$ 0,6293$ 0,6331$ 0,6368$ 0,6406$ 0,6443$ 0,648$ 0,6517$ 0,4" 0,6554$ 0,6591$ 0,6628$ 0,6664$ 0,67$ 0,6736$ 0,6772$ 0,6808$ 0,6844$ 0,6879$ 0,5" 0,6915$ 0,695$ 0,6985$ 0,7019$ 0,7054$ 0,7088$ 0,7123$ 0,7157$ 0,719$ 0,7224$ 0,6" 0,7257$ 0,7291$ 0,7324$ 0,7357$ 0,7389$ 0,7422$ 0,7454$ 0,7486$ 0,7517$ 0,7549$ 0,7" 0,758$ 0,7611$ 0,7642$ 0,7673$ 0,7704$ 0,7734$ 0,7764$ 0,7794$ 0,7823$ 0,7852$ 0,8" 0,7881$ 0,791$ 0,7939$ 0,7967$ 0,7995$ 0,8023$ 0,8051$ 0,8079$ 0,8106$ 0,8133$ 0,9" 0,8158$ 0,8186$ 0,8212$ 0,8238$ 0,8264$ 0,8289$ 0,8315$ 0,834$ 0,8365$ 0,8398$ 1" 0,8413$ 0,8438$ 0,8461$ 0,8485$ 0,8508$ 0,8531$ 0,8554$ 0,8577$ 0,8599$ 0,8621$ 1,1" 0,8643$ 0,8665$ 0,8686$ 0,8708$ 0,8729$ 0,8749$ 0,877$ 0,879$ 0,881$ 0,883$ 1,2" 0,8849$ 0,8869$ 0,8888$ 0,8907$ 0,8925$ 0,8944$ 0,8962$ 0,898$ 0,8997$ 0,9015$ 1,3" 0,9032$ 0,9049$ 0,9066$ 0,9082$ 0,9099$ 0,9115$ 0,9131$ 0,9147$ 0,9162$ 0,9177$ 1,4" 0,9192$ 0,9207$ 0,9222$ 0,9236$ 0,9251$ 0,9265$ 0,9279$ 0,9292$ 0,9306$ 0,9319$ 1,5" 0,9332$ 0,9345$ 0,9357$ 0,937$ 0,9382$ 0,9304$ 0,9406$ 0,9418$ 0,9429$ 0,9441$ 1,6" 0,9452$ 0,9463$ 0,9474$ 0,9484$ 0,9495$ 0,9505$ 0,9515$ 0,9525$ 0,9535$ 0,9545$ 1,7" 0,9554$ 0,9564$ 0,9573$ 0,9582$ 0,9591$ 0,9599$ 0,9608$ 0,9616$ 0,9625$ 0,9633$ 1,8" 0,9641$ 0,9649$ 0,9656$ 0,9664$ 0,9671$ 0,9678$ 0,9686$ 0,9693$ 0,9699$ 0,9706$ p- Wert: 1,9" 0,9713$ 0,9719$ 0,9726$ 0,9723$ 0,9738$ 0,9744$ 0,975$ 0,9756$ 0,9761$ 0,9767$ 2" 0,9772$ 0,9778$ 0,9783$ 0,9788$ 0,9793$ 0,9798$ 0,9803$ 0,9808$ 0,9812$ 0,9817$ 1 0,97 = 3% 2,1" 0,9821$ 0,9826$ 0,983$ 0,9834$ 0,9838$ 0,9842$ 0,9846$ 0,985$ 0,9854$ 0,9857$ 2,2" 0,9861$ 0,9864$ 0,9868$ 0,9871$ 0,9875$ 0,9878$ 0,9881$ 0,9884$ 0,9887$ 0,989$ 2,3" 0,9893$ 0,9896$ 0,9898$ 0,9901$ 0,9904$ 0,9906$ 0,9909$ 0,9911$ 0,9913$ 0,9916$ 2,4" 0,9918$ 0,992$ 0,9922$ 0,9925$ 0,9927$ 0,9929$ 0,9931$ 0,9932$ 0,9934$ 0,9936$ 2,5" 0,9938$ 0,994$ 0,9941$ 0,9943$ 0,9945$ 0,9946$ 0,9948$ 0,9949$ 0,9951$ 0,9952$ 2,6" 0,9953$ 0,9955$ 0,9956$ 0,9957$ 0,9959$ 0,996$ 0,9961$ 0,9962$ 0,9963$ 0,9964$ 2,7" 0,9965$ 0,9966$ 0,9967$ 0,9968$ 0,9969$ 0,997$ 0,9971$ 0,9972$ 0,9973$ 0,9974$ 2,8" 0,9974$ 0,9975$ 0,9976$ 0,9977$ 0,9977$ 0,9978$ 0,9979$ 0,9979$ 0,998$ 0,9981$ 2,9" 0,9981$ 0,9982$ 0,9982$ 0,9983$ 0,9984$ 0,9984$ 0,9985$ 0,9985$ 0,9986$ 0,9986$ 3" 0,9987$ 0,9987$ 0,9987$ 0,9988$ 0,9988$ 0,9989$ 0,9989$ 0,9989$ 0,999$ 0,999$ 13

14 SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK H0 p = 3% M = 34 α = 5% à p < α à Paul ist mit 41 Punkten signifikant besser als der Durchschnitt SIGNIFIKANZTESTS DIE LOGIK Hinweis: der gesuchte Effekt/Parameter kann auch auf der linken Seite der Verteilung liegen Beispiel: Ist Paul mit 27 Punkten signifikant schlechter als der Durchschnitt? p = 3% H0 à signifikant schlechter α = 5% M = 34 Achtung: bei Mittelwertsunterschieden ist es uns überlassen, ob wir Gruppe A von Gruppe B abziehen oder umgekehrt entsprechend kann der gesuchte Effekt links oder rechts liegen 14

15 EINSEITIGES UND ZWEISEITIGES TESTEN bei ungerichteten Hypothesen (exploratives Forschen) verteilt sich die Irrtumswahrscheinlichkeit auf beide Seiten der H0-Verteilung H0 H0 à es wird entsprechend schwieriger ein signifikantes Ergebnis zu bekommen à daher sind gerichtete Hypothesen besser EINSEITIGES UND ZWEISEITIGES TESTEN Beispiel: Mittelwertsunterschied Gruppe A Gruppe B: H0 hier verteilen sich alle möglichen Ergebnisse, bei denen der Mi\elwertsunterschied nega:v ist (also Gruppe B besser ist) hier verteilen sich alle möglichen Ergebnisse, bei denen der Mi\elwertsunterschied posi:v ist (also Gruppe A besser ist) 15

16 EINSEITIGES UND ZWEISEITIGES TESTEN der Vorteil gerichteter Hypothesen am selben Beispiel: Unterscheidet sich Paul signifikant vom Durchschnitt (Alpha = 5%)? ß ungerichtete Hypothese H0 p = 3% à p > α à kein signifikanter Unterschied α = 2,5% M = 34 α = 2,5% DER EINFLUSS DER STICHPROBENGRÖßE altbekanntes Prinzip: bei steigender Stichprobengröße wird die Stichprobenverteilung schmaler à es ist dann leichter, ein signifikantes Ergebnis zu bekommen H0 p = 3% Ausgangs- Beispiel: α = 2,5% M = 34 α = 2,5% Beispiel mit größerer S:chprobe: à das gleiche Testergebnis führt zu einem kleineren p- Wert H0 p = 0,00...% α = 2,5% M = 34 α = 2,5% 16

17 ANSATZ NACH FISHER ZUSAMMENFASSUNG Prinzipieller Ablauf: 1. formuliere eine Nullhypothese und konstruiere die entsprechende Stichprobenverteilung (macht i.d.r. eine Software für uns, z.b. SPSS) 2. prüfe, ob der p-wert kleiner oder größer als Alpha ist 3. ist p < α, verwerfe die Nullhypothese und argumentiere, dass es einen Effekt gibt; ist p > α,...? (Fisher macht dazu keine Aussage) à die H0 sollte annehmbar gemacht werden à neuer Ansatz nach Neyman und Pearson ANSATZ NACH NEYMAN & PEARSON oft ist die Nullhypothese allein eine wenig sinnvolle Annahme in der Regel geht man ja von einem Effekt aus der erhoffte Effekt wird durch die Alternativhypothese H1 ausgedrückt die H1 ist auch eine Stichprobenverteilung, deren Mittelwert um den erhofften Effekt von der H0 verschoben ist der erhoffte Effekt ist nicht das Studienergebnis, sondern tatsächlich eine Schätzung des erwarteten Effektes, den man vor der Studie festlegt! 17

18 DIE ALTERNATIVHYPOTHESE der erhoffte Effekt kann aus vorhergehenden Studien resultieren (was wurde bisher gefunden?) oder die Hoffnung des Forschers repräsentieren (welchen Effekt ist von Interesse?) H0 und H1 stehen im Widerstreit der Signifikanztest soll helfen, sich für eine der beiden Hypothesen zu entscheiden entscheidend dabei ist der Überschneidungsbereich beider Hypothesen dort liegen Daten drin, die zu beiden Hypothesen gehören können das kann zu verschiedenen Fehlern führen FEHLER ERSTER UND ZWEITER ART Alpha bekommt nun eine weitere wichtige Bedeutung: wenn p < α, lehne ich die H0 ab das kann richtig sein à alles perfekt falsch sein à Fehler erster Art (Alpha-Fehler) wenn p > α, nehme ich die H0 an das kann ebenfalls richtig sein à alles perfekt falsch sein à Fehler zweiter Art (Beta-Fehler) 18

19 FEHLER ERSTER UND ZWEITER ART im Ansatz von Neyman und Pearson geht es darum, eine sinnvolle Abwägung der beiden Fehlerarten zu machen daran sollte sich dann die Festlegung des Signifikanzniveaus orientieren NEYMAN & PEARSON ZUSAMMENFASSUNG Prinzipieller Ablauf: 1. formuliere eine Nullhypothese und konstruiere die entsprechende Stichprobenverteilung (mit Hilfe einer Software) 2. formuliere eine Alternativhypothese und konstruiere die entsprechende Stichprobenverteilung (mit Hilfe einer Software) 3. mache eine Abwägung der Wichtigkeit der Fehler erster und zweiter Art 4. prüfe, ob der p-wert kleiner oder größer als Alpha ist 5. ist p < α, verhalte dich so, als ob die Alternativhypothese stimmt; ist p > α, verhalte dich so, als ob die Nullhypothese stimmt à dieser Ansatz zwingt uns über die Bedeutsamkeit von Effekten nachzudenken und diese in den Signifikanztest einzubeziehen 19

20 EINFLUSSGRÖßEN AUF DIE SIGNIFIKANZ Drei Größen beeinflussen die Wahrscheinlichkeit, ein signifikantes Ergebnis zu finden: Populationseffekt, Stichprobengröße, Alpha größere Stichproben größerer/ Populationseffekt! KRITIK ZUM SIGNIFIKANZTEST die Ergebnisse führen oft zu Missverständnissen Signifikanz hat nichts mit Bedeutsamkeit es gibt keine Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, sondern stets nur von Daten! häufiger Vorwurf: mit genügend großen Stichproben wird jeder Effekt signifikant Abhilfe: auf besser interpretierbare Angaben zurückgreifen vor allem Effektgrößen und Konfidenzintervalle 20

21 INFERENZSTATISTIK STECKBRIEF drei inferenzstatistische Maße: Standardfehler, Konfidenzintervalle, Signifikanztests Standardfehler: gibt die Verlässlichkeit der Parameterschätzung als einen Wert an Konfidenzintervalle: geben die Verlässlichkeit der Parameterschätzung als Intervall an beide Maße basieren auf der Stichprobenverteilung um den gefundenen Wert Signifikanztests prüfen, ob ein Ergebnis zufällig zustande kam oder nicht sie basieren auf Stichprobenverteilungen, die um Null- oder Alternativhypothese konstruiert sind sie sollen eine Entscheidungshilfe sein, wenn es um das Abwägen von Hypothesen geht sie sagen aber nichts über die Größe von Effekten oder die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen aus! 21

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