Mathematischer Einführungskurs für die Physik

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1 Mathematischer Einführungskurs für die Physik Von Dr. rer. nat. Siegfried Großmann Professor an der Universität Marburg 6., durchgesehene und erweiterte Auflage Mit 121 Figuren, über 100 Beispielen und 209 Selbsttests mit Lösungen B. G. Teubner Stuttgart 1991

2 Prof. Dr. rer. nato Siegfried Großmann 1930 geb. in Quednau/Königsberg; Lehrerprüfung an der P.H. Berlin; 1956 Staatsexamen an der Freien Universität Berlin, anschließend Schuldienst; 1958 Studienassessor; 1959 bis 63 wissenschaftlicher Assistent in Theoretischer Physik; 1960 Promotion F.U. Berlin zum Dr. rer. nat.; 1962 Habilitation für Theoretische Physik an der F.U. Berlin; 1963 Konservator an der T.H. Miinchen; 1964 a.o. Professor an der Philipps-Universität Marburg; 1966 o. Professor für Theoretische Physik, Marburg. Arbeitsgebiete: Statistische Physik, Mathematische Physik. CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Grossmann, Siegfried: Mathematischer Einfiihrungskurs für die Physik I von Siegfried Grossmann. - 6., durchges. u. erw. Aufl. - Stuttgart : Teubner, 1991 (Teubner-Studienbücher : Physik) ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverf1lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen B. G. Teubner, Stuttgart 1991 Satz: Elsner & Dehrens GmbH, Oftersheim Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfmgen

3 Meiner Frau und unseren Kindern Vorwort Es ist ein altes und andauerndes Problem in der Anfangsausbildung in Physik: Man braucht ein gewisses Repertoire an mathematischen Kenntnissen und Fähigkeiten. Es handelt sich zunächst um ein charakteristisches, relativ beschränktes Repertoire, das man allerdings r e c h t z e i t i g zur Verfligung haben muß. Es zu vermitteln, und zwar wenn irgend möglich in Tutorien, kleinen Arbeitsgemeinschaften, im Selbststudium, aber auch als Vorlesungsbegleittext, stellt sich das vorliegende Studienbuch als Aufgabe. Das Buch soll vor allem Studienanflinger im ersten Studienjahr ansprechen und möglichst weit führen. Nur die letzten Kapitel gehen deutlich darüber hinaus. Daher ist die Darstellung am Anfang ausführlich und führt erst allmählich zu straffen, redundanzarmen Formulierungen. Die Motivation wird in physikalischen Fragestellungen gesucht. Die Auswahl der behandelten Themen ist an den Bedürfnissen der Physik orientiert, so wie sie in den experimentellen Vorlesungen und in den theoretischen Kursvorlesungen (Mechanik, Elektrodynamik, aber auch Hydrodynamik, Elastizitätstheorie,... ) auftreten. Einzelne Kapitel kann man überspringen, sofern man ihren Inhalt fr ü h gen u g in den Mathematikvorlesungen gelernt hat. Ein Studientext soll Methoden und Fakten mitteilen, möglichst präzise und verständlich. Ich habe aber auch versucht, den eigentümlichen Reiz mathematischer Begriffsbildungen und Aussagen herauszuarbeiten,gelegentlich auch ihren "Werkzeugcharakter" für den Physiker. Wo nötig, werden durch äquivalente oder redundante Formulierungen Lernhilfen gegeben. Diesem Zweck dienen insbesondere zahlreiche ausgearbeitete Beispiele. Sie sollen den Leser - falls es ihm als angenehm und hilfreich erscheinteng durch konkrete, z. T. rechnerische Aufgaben führen und dadurch "exemplarisches" Lernen erlauben. Dieses "Trainingsprogramm" zu absolvieren, seijedem Leser sehr nahegelegt. Könnerschaft ohne stetige Erprobung und übung wird nur sehr wenigen geschenkt sein! Der Selbstbestätigung und dem Anreiz, alleine Problemchen mit frisch erworbenen Fähigkeiten zu knacken, dienen die zahlreichen "übungen zum Selbsttest". Sie sind ganz überwiegend so eng mit dem jeweiligen Erkenntnisstand des Textes verknüpft, daß ihre Bewältigung eine lösbare Aufgabe ist. Ja, sie sind eigentlich kleine Abbilder dessen, was im weiteren Studium sowie im späteren Beruf immer wieder be-

4 4 Vorwort nötigt wird. Wenn man ehrlich ist und keine Vogel-Strauß-Mentalität bevorzugt: Solange die übungen zum Selbsttest nicht als einfach und leicht empfunden werden, ist das angestrebte Studienziel noch nicht erreicht. Man befrage Tutoren, Assistenten, Professoren und gebe nicht auf! Der schließlich erworbene,,mathematische Freischwimmer" wird die Grundlage für die kommenden Studienjahre sein. Der vorgelexte Text ist bewußt a u c h unter didaktischen Gesichtspunkten konzipiert worden. Daher sei schon hier eine erste Aufgabe zum Nachdenken gestellt: Der Leser mache sich Gedanken, ob und wie es b e s s ergeht. - Da es natürlich zu jedem vorgefundenen Konzept eine oder mehrere Alternativen gibt, verfalle man nicht dem zwar naheliegenden aber falschen Schluß, es geniige, den obigen Terminus "besser" als "a n der s "zu lesen. Für Verbesserungsvorschläge bin ich stets dankbar - sicher auch mancher zukünftige Leser, der davon profitiert. Inhalt und Umfang des Buches sind mehrfach erprobt worden. Durch Kontakte mit übu~gsleitern und Tutoren sowie durch eigene Erfahrungen in kleinen übungsgruppen habe ich versucht, den Bedürfnissen der Studienanfänger Rechnung zu tragen. Allen sei herzlich gedankt, die auf diese Weise zum Nutzen der Leser am Gelingen mitgewirkt haben. Besonders erfreut bin ich über die Hinweise aus Ingenieur-Kreisen, daß das Studienbuch auch für den Ingenieur ein nützliches Hilfsmittel darstellt, so daß der Benutzerkreis größer ist als der Kreis der angehenden Physiker, Mathematiker und weiteren Naturwissenschaftler. Die vorliegende 6. Auflage hat neben kleinen inhaltlichen Verbesserungen und der Beseitigung immer noch gefundener Druckfehler (u. a. im Lösungsteil) ein neues Kapitel erhalten. Es behandelt gewöhnliche Differentialgleichungen, ihre wichtigsten klassischen Lösungsverfahren, einige moderne geometrische Methoden, besonders aber eine kurze Einführung ins "Chaos". Die den (nur knapp behandelten) Existenzbeweisen zugrunde liegenden Iterationsverfahren werden als Basis numerischer Methoden erklärt. Im letzten Kapitel werden partielle Differentialgleichungen in Gestalt von Vektordifferentialgleichungen und Vektorrandwertaufgaben sowie Greensche Funktionen abgehandelt. Gezeigt wird, wann und wie man sie auf skalare und nicht miteinander gekoppelte partielle Differentialgleichungen zurückführen kann, was in dieser Allgemeinheit erst jüngst erkannt worden ist. Marburg, im November 1990 S. Großmann

5 Inhalt 1. Vektoren 1.1. Defmition von Vektoren Skalare Vektoren Vorläufiges Bezugssysteme Komponenten Koordinatentransformationen Vektordefinition Tensoren Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen Addieren und Subtrahieren Übungen zum Selbsttest: Vektoraddition Multiplikation von Vektoren mit Zahlen Komponentendarstellung der Vektoren Einheitsvektoren Komponenten Umrechnung zwischen Komponenten- und Pfeildarstellung Rechenregeln in Komponentendarstellung Addition und Subtraktion Multiplikation mit Zahlen Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Vektoralgebra Das Innere Produkt von Vektoren Defmition Eigenschaften des Inneren Produktes Beispiele zur übenden Erläuterung Algebraische Definition des Vektorraumes Übungen zum Selbsttest: Inneres Produkt Koordinatentransformationen Die Transformationsmatrix Beschreibung einer Koordinatendrehung Zuordnung von Drehungen und Matrizen Die Determinante der Drehmatrix Die Transformationsformeln für Vektoren Beispiele zu übenden Erläuterung Die Transformationsformeln für Tensoren Übungen zum Selbsttest: Koordinatentransformationen Matrizen Definitionen Multiplikation von Matrizen Inverse Matrizen Matrizen - Tensoren - Transformationen 56

6 6 Inhalt Beispiele zur übenden,erläuterung Übungen zum Selbsttest: Matrizen Determinanten Defmition Eigenschaften von Determinanten Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Determinanten Das Äußere Produkt von Vektoren Definition Eigenschaften des Äußeren Produktes Komponentendarstellung des Äußeren Produktes, Transformationsverhalten Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Äußeres Produkt Mehrfache Vektorprodukte Grundregeln Spatprodukt dreier Vektoren Entwicklungssatz für 3-fache Vektorprodukte n-fache Produkte Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Mehrfachprodukte Vektorfunktionen 2.1. Vektorwertige Funktionen Definition Parameterdarstellung von Raumkurven 2.2. Ableitung vektorwertiger Funktionen Definition der Ableitung Beispiele zur übenden Erläuterung Rechenregeln für die Vektordifrerentiation Übungen zum Selbsttest: Ableitung von Vektoren 2.3. Raumkurven Bogenmaß und Tangenten-Einheitsvektor Die Nonnale Die Binormale Frenetsche Formeln für das begleitende Dreibein Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Raumkurven Felder 3.1. Physikalische Felder

7 Inhalt Allgemeine Definition Skalare Felder Vektor-Felder übungen zum Selbsttest: Darstellung von Feldern Partielle Ableitungen Definition der partiellen Ableitung Beispiele - Rechenregeln - übungen Die Kettenregel übungen zum Selbsttest: Partielle Ableitungen Gradient Richtungsableitung Definition des Gradienten Interpretation und Rechenregeln Beispiele zur übenden Erläuterung Taylorentwicklung für Felder " übungen zum Selbsttest: Der Gradient Divergenz Definition der Divergenz von Vektorfeldern Beispiele und Rechenregeln Interpretation als lokale Quellstärke übungen zum Selbsttest: Die Divergenz Rotation Definition der Rotation von Vektorfeldern Interpretation als lokale Wirbelstärke Eigenschaften und Rechenregeln der Operation rot Beispiele zur übenden Erläuterung übungen zum Selbsttest: Die Rotation Der Vektor-Differentialoperator V (]'labia) Formale Zusammenfassung der Vektor-Differentialoperationen durch V Zusammenfassende übersicht der Eigenschaften von V übungen zum Selbsttest: Der Nabla-Operator Integration 4.1. Physikalische Motivation 4.2. Das Integral über Funktionen Definition des (bestimmten) Riemann-Integrals Eigenschaften des bestimmten Integrals übungen zum Selbsttest: Riemannsummen Das unbestimmte Integral Einfache Integraltabelle übungen zum Selbsttest: Integrale

8 8 Inhalt 4.3. Methoden zur Berechnung von Integralen Substitution Partielle Integration übungen zum Selbsttest: Substitution, partielle Integration Integral-Funktionen Numerische Bestimmung von Integralen Uneigentliche Integrale Defmition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen Beispiele zur übenden Erläuterung Singuläre Integranden Beispiele zur übenden Erläuterung übungen zum Selbsttest: Uneigentliche Integrale Parameterintegrale Differentiation eines Parameterintegrals Integration von Parameterintegralen Uneigentliche Parameterintegrale übungen zum Selbsttest: Parameterintegrale Die /i-funktion Heuristische Motivation Definition der /i-funktion Darstellung durch,,glatte" Funktionen Praktischer Umgang übungen zum Selbsttest: /i-funktion 167 s. Vektorintegration 5.1. (Gewöhnliches) Integral über Vektoren Definition Beispiele zur übenden Erläuterung übungen zum Selbsttest: Integral über Vektoren Kurvenintegrale Definition Verfahren zur Berechnung Beispiele zur übenden Erläuterung Kurvenintegrale über Gradientenfelder: Unabhängigkeit vom Weg Wirbelfreiheit als Kriterium Beispiel Kurvenintegrale mit anderem Vektorcharakter: Skalare Felder, Vektorprodukte übungen zum Selbsttest: Kurvenintegrale Das Vektorpotential Flächenintegrale Definition

9 Inhalt Beschreibung von Flächen im Raum Kartesische Parameter Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten übungen zum Selbsttest: Krummlinige Koordinaten Flächenelemente Doppelintegrale Definition Iterierte Integrale übungen zum Selbsttest: Doppelintegrale Wechsel der Variablen Parametertransformation Die Funktionaldeterminante Die Transformation von Flächenelementen übungen zum Selbsttest: Variablentransformation Berechnung von Flächenintegralen Zusammenfassung der Formeln Beispiele zur übenden Erläuterung Flächenintegrale in Parameterdarstellung Beispiele zur übenden Erläuterung übungen zum Selbsttest: Flächenintegrale Volumenintegrale Definition Dreifachintegrale Wechsel der Variablen Funktionaldeterminante Transformation von Volumenelementen Vektorielle Volumenintegrale Beispiele zur übenden Erläuterung übungen zum Selbsttest: Volumenintegrale Integralsätze 6.1. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächenintegralen Integraldarstellung von div Integraldarstellung von V allgemein Der Gaußsche Satz Herleitung und Formulierung Beispiele und Erläuterungen Allgemeine Form des Gaußschen Satzes Der Gaußsche Satz in D Dimensionen Partielle Integration mittels Gaußschem Satz Methode Beispiele Der Greensche Satz übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz 238

10 10 Inhalt 6.5. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den limes von Kurvenintegralen Kurvenintegral-Darstellung von!pt Kurvenintegral-Darstellung von 'V allgemein Der Stokessche Satz Herleitung und Formulierung Beispiele und Erläuterungen Allgemeine Form des Stokesschen Satzes Der Stokessche Satz in D Dimensionen übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen Krummlinige Koordinaten 7.1. Lokale Koordinatensysteme Das Linienelement in krummlinigen Koordinaten Krummlinig-orthogonale Koordinaten Zylinder- und Kugelkoordinaten als Beispiele übungen zum Selbsttest: Krumrnlinig-orthogonale Koordinatensysteme Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten grad, div, rot, A allgemein Die Formeln in Zylinderkoordinaten Die Formeln in Kugelkoordinaten übungen zum Selbsttest: Differentialoperationen in krummlinigen Koordinaten Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1. Physikalische Motivation Lösen von Differentialgleichungen Trennung der Variablen Verfahren Beispiele zur übenden Erläuterung Separable Differentialgleichungen Uneare Differentialgleichungen 1. Ordnung Uneare Differentialgleichungen 2. Ordnung Homogene Gleichungen Gekoppelte homogene Differentialgleichungen (N Variable) Inhomogene Differentialgleichungen Geometrische Methoden

11 Inhalt Chaos Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen) Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren Integralgleichungsverfahren Praxis iterativer Verfahren übungen zum Selbsttest; Differentialgleichungen Randwertprobleme 9.1. Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz 294 "9.2. Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Randwerten Feld einer Ladungsverteilung im unendlichen Raum Feld einer Ladungsverteilung bei endlichem Rand; Greensche Funktionen Wirbel- und quellenfreie Vektorfelder Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen Wirbeln Wirbelfeld im unendlichen Raum Wirbelfeld im endlichen Bereich Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis Vektordifferentialgleichungen Elektromagnetische Felder Statistische Felder Feldgetriebene Ströme in Leitern Elektromagnetische Wellen Elastische Körper Flüssigkeitsströmungen Reduktion der Vektorpotentialgleichung auf eine Amplitudengleichung Zusammenfassung in Darstellungssätzen. 323 Anhang Lösungen der übungen zum Selbsttest Kleine Uteraturauswahl Sachverzeichnis

12 Häufig verwendete Symbole a, I,... a, jal aj ~..:..O e, a ä'b axb (aij) (Dij),D 1 r,1'j,<{! p, <{!, z aep/axj, a i grad ep, aep/ijt ~ div A ~ rot A V J... c f defmitionsgemäß gleich identisch gleich entspricht Vektor a, Vektor r,... Beträge des Vektors a Vektorkomponenten Einheitsvektoren Inneres Produkt Äußeres Produkt _{I. i=j -Ofuri*j j 1 i, j, k zyklisch zu 1,2,3 = -01 falls i,j,k antizyklisch zu 1,2,3 sonst Matrix Drehmatrix Einheitsmatrix Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten partielle Ableitung nach Xi Gradient des skalaren Feldes ep ~ Divergenz des vektoriellen Feldes A Rotation (= cur!) Nabla-Operator Linien- bzw. Kurvenintegral geschlossenes Kurven- oder Flächenintegral