Zufallsstreubereiche und Vertrauensbereiche

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1 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 1 vo 1 Wilfried Rohm, HTL Saalfelde wilfried.rohm@schule.at Zufallsstreubereiche ud Vertrauesbereiche Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Zufallstreubereiche, Vertrauesbereiche = Kofidezitervalle, Biomialverteilug, Normalverteilug, Chiquadratverteilug, t-verteilug. Kurzzusammefassug Es erfolgt Berechug ud Darstellug der Zufallsstreubereiche für fehlerhafte Eiheite (Biomialverteilug) als Beispiel eier diskrete Verteilug sowie ormalverteilter Größe (Messwerte: Mittelwert ud Stichprobe-Streuug). Ausserdem erfolge Berechug ud Darstellug der Vertrauesbereiche für de Ateil fehlerhafter Eiheite (Biomialverteilug) sowie für de Erwartugswert µ ud die Stadardabweichug bzw. Variaz bei Vorliege eier ormalverteilte Grudgesamtheit. Diese Datei eiget sich vorallem zu Demostratioszwecke. Didaktische Überleguge / Zeitaufwad: Erfahrugsgemäß habe Schüler immer wieder Schwierigkeite bei der Uterscheidug der Begriffe "Vertrauesbereich" ud "Zufallsstreubereich", was zum Teil auch a der eher kochrezeptartige Ermittlug dieser Größe für die eizele Verteiluge liegt.die Verwedug eies Computeralgebrasystems wie Mathcad erlaubt speziell bei diskrete Verteiluge eie sehr aschauliche ummersiche Ermittlug dieser Werte sowie eie etsprechede Veraschaulichug, was wesetlich dazu beitrage ka, diese wichtige Begriffe besser zu verstehe! Zur Verwedug als Demostratiosfile blede ma die Regioe für die Berechuge aus ud variiere die farblich hervorgegehobee Eigabebereiche für Stichprobeumfag (), Irrtumswahrscheilichkeit bzw. de adere, spezifische Parameter. Lehrplabezug (bzw. Gegestad / Abteilug / Jahrgag): Agewadte Mathematik, 5.Jahrgag, alle Abteiluge Mathcad-Versio: erstellt i der Versio 11. INHALT (gewüschte Bereich aklicke!): Begriffsdefiitioe Zufallstreubereich eier diskrete Verteilug - Beispiel Biomialverteilug Vertrauesbereich eier diskrete Verteilug - Beispiel Biomialverteilug Normalverteilug : Zufallsstreubereich für Eizelwerte x Normalverteilug: Zufallsstreubereich für Mittelwert (bei gegebeem ) Normalverteilug: Vertrauesbereich für µ (bei gegebeem ) Normalverteilug: Vertrauesbereich für µ (bei gegebeem s - Vergleich) Normalverteilug: Zufallsstreubereich für s (bei gegebeem ) Normalverteilug: Vertrauesbereich für Wilfried Rohm 4/5

2 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite vo 1 Begriffsdefiitioe Zufallsstreubereiche : Schluß vo der Grudgesamtheit auf mögliche Stichprobeergebisse. d.h.: Ma geht vo (gegebee) Parameter eier bestimmte Verteilug aus ud bestimmt daraus ei- oder zweiseitige Bereiche, i dee die iteressierede Stichprobewerte mit vorgegebeer Wahrscheilichkeit liege. Üblicherweise werde i der Praxis dazu statistische Sicherheite vo 9%, 95%, 99% ud/oder 99,9% verwedet. I de folgede Beispiele wird ur mit zweiseitige Zufallsstreubereiche gearbeitet! Aweduge: Shewart-Regelkarte, d.h. Regelkarte, die überprüfe solle, ob sich eie Verteilug (bezüglich Lage, Streuug,...) im Laufe der Zeit verädert! Hiweise zur Bezeichugsweise: Biomialverteilug: Parameter der Grudgesamtheit: p = fester (gleichbleibeder) Prozetsatz für de Ateil fehlerhafter Eiheite. Stichprobewerte: = Stichprobeumfag x = Azahl der gefude fehlerhafte Eiheite i der Stichprobe. Normalverteilug: Parameter der Grudgesamtheit µ = Parameter, der die LAGE der Verteilug beschreibt = STANDARDABWEICHUNG als Maß für die Streuug Stichprobegröße: x... Eizelwerte (Messwerte) x... Mittelwert aus Eizelwerte (Messwerte) s... Stichprobestadardabweichug aus Eizelwerte (Messwerte) Vertrauesbereiche / Kofidezitervalle: Schluß vo Stichprobewerte auf die Parameter der Grudgesamtheit. d.h.: Ausgehed vo eiem Stichprobeergebis soll bestimmt werde, i welchem eioder zweiseitige Bereich der jeweilige Parameter der Grudgesamtheit mit vorgegebeer Wahrscheilichkeit liegt. Üblicherweise werde i der Praxis dazu statistische Sicherheite vo 9%, 95%, 99% ud/oder 99,9% verwedet. I de folgede Beispiele wird ur mit zweiseitige Vertrauesbereiche gearbeitet! Aweduge: Auswertug vo Messserie, Iterpretatio vo Meiugsumfrage,... Wilfried Rohm 4/5

3 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 3 vo 1 Zufallsstreubereich eier Diskrete Verteilug - Beispiel Biomialverteilug :=. Berechug := 1 p :=.5 x u ( ) := qbiom,, p x ob ( ) := qbiom 1,, p x u (.5) = 1 x ob (.5) = 1 x u (.1) = x ob (.1) = 11 x u (.) = x ob (.) = 8 Zur Erläuterug: Zur Berechug des Zufallsstreubereiches bei eier diskrete Verteilug muss die Festlegug berücksichtigt werde, dass sowohl a der obere Greze wie auch a der utere Greze der größtmögliche Bereich kleier oder gleich / abgeschitte wird. Daher ist der (1 )-Zufalsstreubereich eier diskrete Verteilug im allgemeie größer als (1-). Diese Festlegug berücksichtigt der Befehl der iverse Biomialverteilug zur Berechug des jeweilige Quatils der Biomialverteilug (qbiom) automatisch, da die Fuktio qbiom(g,,p) die kleiste gaze Zahl k zurückliefert, für die pbiom( k,, p) Ggilt. Berechug x u ( ) = x ob ( ) = 8 x:=... x u ( ) x ob ( ) dbiom( x,, p) x 1 1 pbiom( x,, p) x Iterpretatio: Bei eier Stichprobe des Umfags aus eiem Los mit (gleichbleibedem!) Schlechtateil p ist die Wahrscheilichkeit zumidest 1-, dass die Azahl der "schlechte" Stücke i der Stichprobe zwische x u ( ) ud x ob ( ) liegt! Wilfried Rohm 4/5

4 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 4 vo 1 Vertrauesbereich eier Diskrete Verteilug - Beispiel Biomialverteilug Beispiel: Bei eier Wahlumfrage werde =5 gefragt, "welche Partei sie am ächste Sotag wähle würde". 5 der gerfagte Persoe etschiede sich für die "GRAUE PARTEI". Wie groß ist demach (mit eier Irrtumswahrscheilichkeit <= 5%) der Ateil der GRAU-Wähler i der gesamte Bevölkerug? Lösug über de Vertrauesbereich der Biomialverteilug := 5 x:= 5 := 1% Schätzwert aus der Stichprobe x =.14 Berechug p :=.1 x geg := x Vorgabe p ute := p :=.5 pbiom( x,, p) = 1 Suche( p) p ute =.841 Vorgabe p obe := pbiom( x,, p) = Suche( p) p obe =.193 Zur Erläuterug: Die Berechug des Vertrauesbereiches der Biomialverteilug führt auf eie recht komplizierte Formel, aufbaued auf der F-Verteilug. Mit Hilfe eies Computeralgebrasystemes ka die Berechug umerisch erfolge ud wird dadurch wesetlich verstädlicher! Wir löse eifach obige Gleichuge. Damit wird p ute so bestimmt, dass der Wert x der Stichprobe gerade am OBEREN RAND des Zufallstreubereiches der Verteilug für p ute zu liege kommt. Daher ist die Gleichug G bi (p ute ) = 1 - a/ ach p ute aufzulöse. Ud p obe wird so bestimmt, dass der Wert x der Stichprobe gerade am UNTEREN RAND des Zufallstreubereiches der Verteilug für p obe zu liege kommt. Daher ist die Gleichug G bi (p obe ) = a/ ach p obe aufzulöse. µ := x x:=.. 4 µ Berechug p ute =.841 p obe =.193 Wilfried Rohm 4/5

5 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 5 vo dbiom( x,, p ute ) dbiom x,, p obe ( ).4. x geg x Iterpretatio : Derr Ateil der "Grau-Wähler" i der Grudgesamtheit bzw. der "wahre Parameter" p liegt - ausgehed vo userem Stichprobeergebis - mit eier Wahrscheilichkeit vo (zumidest) 1- im Bereich p ute p p obe Die Grezverteiluge für p ute bzw. für p obe sid i der Zeichug rot bzw. blau eigezeichet! Normalverteilug - Zufallsstreubereich für Eizelwerte x :=.1 Berechug µ := 1 :=.1 x u := µ qorm 1,, 1 x ob := µ + qorm 1,, 1 x := µ 6, µ µ x u = x ob = xu := µ 6, µ x u 1 xob := x ob, x ob +.. µ Berechug 4 x u x ob dorm( x, µ, ) dorm( xu, µ, ) dorm( xob, µ, ) x, xu, xob Wilfried Rohm 4/5

6 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 6 vo 1 Iterpretatio : Mit eier Wahrscheilichkeit vo (1-) liegt ei Merkmalswert aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit mit de Parameter µ ud im Bereich x u x x ob Normalverteilug: Zufallsstreubereich für x (bei gegebeem ) := 1 :=.5 µ := 1 :=.1 Berechug xq u := µ qorm 1,, 1 xq ob := µ + qorm 1,, 1 x q µ 6 µ 6 :=, +.. µ xq u = xq ob = xu := µ 6, µ xq u 1 xob := xq ob, xq ob +.. µ Berechug 15 dorm x q, µ, dorm xu, µ, 1 xq u xq ob dorm xob, µ, 5 ( ) dorm x q, µ, x q, xu, xob, x q Iterpretatio : Mit eier Wahrscheilichkeit vo 1- liegt der Mittelwert x vo Messwerte (Merkmalswerte) aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit (µ,) im folgede Bereich: xq u x q xq ob Der Vergleich mit der grü eigezeichete Verteilug für die Eizelwerte zeigt, dass die Mittelwerte mit der Stadardabweichug xq = etspreched weiger streue als die Eizelwerte! Die Fläche uter beide Kurve muss 1 ergebe! Wilfried Rohm 4/5

7 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 7 vo 1 Normalverteilug: Vertrauesbereich für µ (bei gegebeem ) := 1 := 5% Berechug µ u := x quer qorm 1,, 1 µ ob := x quer + qorm 1,, 1 µ ob = x q x quer 6 x quer 6 :=, +.. x quer µ u = x quer := 1 :=.1 Berechug 15 µ u µ ob Iterpretatio : Bei eier Messug eier Merkmalsgrösse durch Mittelug vo Eizelwerte stellt sich die Frage, wie geau diese Schätzug für de Parameter µ eier ormalverteilte Grudgesamtheit ist. Der Vertrauesbereich (bzw. das Kofidezitervall) sagt u aus, dass das "wahre µ" der Grudgesamtheit mit eier Wahrscheilichkeit 1- im folgede Bereich liegt: µ u µ µ ob Im Diagramm sid die Grezverteiluge rot bzw. blau eigezeichet, der Schätzwert gemäß der Stichprobe ist der mittlere Schwarze Strich! Normalverteilug: Vertrauesbereich für µ bei gegebeem x ud s (Vergleich mit gegebe: grüe Liie) := 1 Berechug := 5% x quer := 1 s :=.1 txf (, ) := qt( x, f) Wilfried Rohm 4/5

8 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 8 vo 1 s µ u := x quer t 1, 1 µ u = s µ ob := x quer + t 1, 1 µ ob = µ u ( ) := x quer qorm 1,, 1 µ u ( ) = µ ob ( ) := x quer + qorm 1,, 1 µ ob ( ) = x q x quer 6 s x quer 6 s s :=, +.. x quer + 6 s 1 t u ( x q ) x q µ u := t o ( x q ) := s x q µ ob s Berechug 3 5 µ u µ ob Iterpretatio : Bei eier Messug eier Merkmalsgrösse durch Mittelug vo Eizelwerte stellt sich die Frage, wie geau diese Schätzug für de Parameter µ eier ormalverteilte Grudgesamtheit ist. Der Vertrauesbereich (bzw. das Kofidezitervall) sagt u aus, dass das "wahre µ" der Grudgesamtheit mit eier Wahrscheilichkeit 1- im folgede Bereich liegt: µ u µ µ ob Im Diagramm sid die Grezverteiluge rot bzw. blau eigezeichet, der Schätzwert gemäß der Stichprobe ist der mittlere Schwarze Strich! Es ist aber ei Uterschied i der Geauigkeit der Schätzug, ob die Streuug der Grudgesamtheit als bekat vorausgesetzt werde ka (dies ergibt die grü eigezeichete Greze für µ u bzw. µ ob ) oder ob diese Stadardabweichug aus de Stichprobewerte mit der Stichprobestadardabweichug s erst abgeschätzt werde muss. Da muss mit der t-verteilug gerechet werde, was zu eiem etspreched größere Vertrauesbereich für µ führt (gestrichelte rote Liie = größere Usicherheit!). Der Uterschied wird allerdigs immer kleier, je größer wird, weil die t-verteilug für gege Uedlich i die Normalverteilug übergeht! Wilfried Rohm 4/5

9 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 9 vo 1 Zufallsstreubereich für s :=.1 := :=.1 χ Gf, = ( 1) s Berechug chi( G, f) := qchisq( G, f) ZSB - Formel s u ( ) := chi, 1 1 s ob ( ) := chi 1, 1 1 s u (.5) =.6847 s ob (.5) = s :=,.. 1 su :=,.. s u ( ) 1 so := s ob ( ), s ob ( ) Berechug dchisq ( 1) s, 1 1 dchisq ( 1) su 1, 1 dchisq ( 1) so 1, s u ( ) s ob ( ) s, su, so Iterpretatio : Mit eier Wahrscheilichkeit vo 1- liegt die Stichprobe-Stadardabweichug vo Messwerte (Merkmalswerte) aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit (µ,) im folgede Bereich: s u s s ob Da die Verteilug der Stichprobevariaze eier Chiquadratverteilug mit (-1) Freiheitsgrade folgt, ist dieser Bereich NICHT symmetrisch um s gelege! Allerdigs wird dieser Bereich bzw. die Chiquadratverteilug für größer werdedes immer symmetrischer, weil die Chiquadratverteilug für gege Uedlich i die Normalverteilug übergeht! Wilfried Rohm 4/5

10 HTL Saalfelde Zufallsstreu- ud Vertrauesbereiche Seite 1 vo 1 Vertrauesbereich für :=.1 := 1 Berechug s geg := u := s geg ob := chi 1, 1 chi, 1 u =.793 ob =.1645 s geg s geg s :=,.. s geg 1 Berechug dchisq s 1 ( 1), 1 u u 15 u ob dchisq s 1 ( 1), 1 ob ob s, s, s geg Iterpretatio : Bei der Schätzug der Stadardabweichug aus eier Stichprobe vo Eizelwerte durch Ermittlug der Größe s stellt sich die Frage, wie geau diese Schätzug ist. Der Vertrauesbereich (bzw. das Kofidezitervall) sagt u aus, dass das "wahre " der Grudgesamtheit mit eier Wahrscheilichkeit 1- im folgede Bereich liegt: u ob Im Diagramm sid die Grezverteiluge rot bzw. blau eigezeichet, der Schätzwert s gemäß der Stichprobe ist der mittlere Schwarze Strich! Wilfried Rohm 4/5