Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

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1 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten Übung 1: Geodätische Koordinatensysteme und Erste Geodätische Hauptaufgabe Milo Hirsch Hendrik Hellmers Florian Schill Institut für Geodäsie Fachbereich 13

2 1 Aufgabenbeschreibung Die Erste und Zweite Geodätische Hauptaufgabe stellen die beiden Grundaufgaben im Bereich der Vermessungskunde dar. Bei kleinräumigen Vermessungsaufgaben erfolgt die Berechnung in einem ebenen, kartesischen Koordinatensystem. Am Beispiel des Gauß-Krüger- Koordinatensystems wird zunächst die Erste Geodätische Hauptaufgabe erläutert. 1.1 Geodätisches Koordinatensystem Im Gegensatz zu einem ebenen, rechtwinkligen Koordinatensystem in der Mathematik wurde der Drehsinn im geodätischen Koordinatensystem gemäß dem Uhrzeiger festgelegt, da Winkelinstrumente wie Theodolit, Kompass etc. die Winkel in dieser Drehrichtung messen. Als unmittelbare Folge dieser Festlegung mussten die X- und Y-Achse vertauscht werden, damit trigonometrische Winkelfunktionen wie Sinus, Kosinus, etc. in gewohnter Weise für trigonometrische Berechnungen benutzen werden können. Auch die Nummerierung der Quadranten erfolgt somit gemäß dem Uhrzeigersinn. Der Richtungswinkel t wird somit beginnend von der X-Achse im Uhrzeigersinn gezählt und dient zur richtungsmäßigen Orientierung einer Horizontalstrecke s. X P s t Y Abbildung 1: Geodätisches Koordinatensystem Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 1

3 1.2 Erste Geodätische Hauptaufgabe Aus den gegebenen zweidimensionalen kartesischen Koordinaten zweier Punkte P A, P E ist deren Horizontalentfernung s A,E und der Richtungswinkel t A,E zu bestimmen. Horizontalentfernung s und Richtungswinkel t werden zusammen als ebene Polarkoordinaten bezeichnet. Gegeben: Punkt P A (Y A, X A ) Gesucht: Richtungswinkel t A,E Punkt P E (Y E, X E ) Strecke s A,E X ΔY P E t A,E X E t E,A ΔX s A,E t A,E X A P A Y A Y E Y Abbildung 2: Erste Geodätische Hauptaufgabe Lösung: YE Y A t A,E = arctan = arctan X E X A YA,E X A,E (Quadrantenabfrage beachten!) t E,A = t A,E ± 200 gon (Gegenrichtungswinkel) s A,E = Y 2 A,E + X 2 A,E Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 2

4 Quadrantenabfrage für die ArcTan-Funktion Die Vorzeichen trigonometrischer Winkelfunktionen hängen davon ab, bis in welchen Quadranten sich dieser Winkel erstreckt. Für die eindeutige Berechnung des Richtungswinkels aus Koordinaten ist deshalb immer eine Quadrantenabfrage nach folgendem Schema notwendig: X IV (+ 400 gon) I (+ 0 gon) Quadrant Zähler Nenner Zuschlag I gon II gon III (+ 200 gon) II (+ 200 gon) Y III gon IV gon Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 3

5 Kontrollen 1. Koordinatenunterschiede Y A,E, X A,E X E + Y E XA + Y A = XA,E + Y A,E 2. Argument und Funktionswert der Winkelfunktion Um die Berechnung des Quotienten Y A,E (Argument) und des Funktionswertes der X A,E ArcTan-Funktion zu kontrollieren benutzt man die t+50 Probe. Der Winkel t+50 gon ergibt sich aus der Beziehung tan(t + 50 gon) = X A,E+ Y A,E X A,E Y A,E, die aus der Abbildung 3 zu entnehmen ist. X ΔY P E s 100 gon s ΔX ΔY ΔX t A,E ΔX-ΔY t A,E 50 gon P A Y Abbildung 3: Geometrische Beziehungen der Kontrollen t A,E + 50 gon = arctan XA,E + Y A,E X A,E Y A,E (Quadrantenabfrage beachten!) Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 4

6 3. Strecke s A,E Die Kontrolle erfolgt mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen (siehe Abbildung 3) s = X A,E cos t A,E oder s = Y A,E sin t A,E Für die Kontrolle wird der Quotient mit dem betragsmäßig größten Koordinatenunterschied gewählt. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 5

7 2 Übungsaufgaben Aufgabe G1.1 Berechnen Sie den Richtungswinkel t A,B und die Strecke s A,B zwischen den angegebenen Punkten (Es gilt: A = Standpunkt und B = Zielpunkt) und interpretieren Sie die Lage der Punkte im Gauß-Krüger-System. Führen Sie bei der Berechnung die zuvor angegebenen Kontrollen durch und veranschaulichen Sie sich Ihre Ergebnisse anhand einer Skizze. Punkt Y [m] X [m] B , , 593 A , , 234 (a) Punkt Y [m] X [m] B , , 444 A , , 123 (b) Aufgabe G1.2 Gegeben sind die Richtungswinkel t A,B und t C,B. Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Richtungswinkel den Brechungswinkel β. A A B β β B C C (a) (b) t A,B = 266, 9707 gon t C,B = 322, 7546 gon t A,B = 233, 8475 gon t C,B = 61, 6648 gon Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 6

8 Aufgabe G1.3 Gegeben ist jeweils der Richtungswinkel t A,B und der Brechungswinkel β. Gesucht ist der Richtungswinkel t B,C. A A C β B C B β (a) (b) t A,B = 181, 9502 gon β = 89, 1791 gon t A,B = 228, 4785 gon β = 209, 5837 gon Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 7