Angewandte Mathematik heute: Vom mathematischen Modell zum Computerprogramm

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1 Angewandte Mathematik heute: Vom mathematischen Modell zum Computerprogramm Hubert Schwetlick Institut für Numerische Mathematik Technische Universität Dresden Zusammenfassung Der Computer hat die heutige Welt in nicht erwarteter Weise beeinflußt und verändert. Insbesondere hat er zu einer explosionsartigen Ausbreitung der Angewandten Mathematik in fast allen Bereichen der Gesellschaft geführt und die Angewandte Mathematik selbst in ihrer Entwicklung erheblich vorangetrieben. Im Vortrag soll erläutert werden, was Angewandte Mathematik heute ist, was sie leistet und wie sie in Verbindung mit dem Computer wirksam wird. Leider hat die Öffentlichkeit diese Entwicklung kaum zur Kenntnis genommen, und auch die schulische wie die unversitäre Mathematikausbildung widmen ihr nicht genügend Aufmerksamkeit. Dies kann die Zukunft der Mathematik und der Mathematiker gefährden Professoren an Universitäten und Lehrer an den Schulen sollten die Gefahr erkennen und ihr entgegentreten. 1 Reine und Angewandte Mathematik zwei zerstrittene Schwestern? Mathematik gibt es seit Tausenden von Jahren, und man kann davon ausgehen, daß solch prosaische Ziele wie das Abzählen von Gegenständen oder das Vermessen von Landstücken zu ihrem Entstehen beigetragen haben und keinesfalls der Wunsch, intelligent mit abstrakten Objekten umzugehen. In meinem kürzlich gekauften Brockhaus in drei Bänden [2] von 1995 werden 15 Zeilen für das Stichwort Mathematik spendiert; es heißt dort: Mathematik [griech.], eine der ältesten Wiss., hervorgegangen aus den prakt. Aufgaben des Zählens, Rechnens und Messens, die sich zu einer Wissenschaft von den formalen Systemen (D. Hilbert) entwickelte. Die M. sieht ihre Aufgabe v.a. in der Untersuchung sog. Strukturen, die durch die in einer vorgegebenen Menge beliebiger Objekte definierten Relationen und Verknüpfungen definiert sind. Nach traditioneller Einteilung gliedert sich die M. in die Arithmetik, die Geometrie, die Algebra und die Analysis. Wichtige Teilgebiete der M. sind Ausgleichs- und Fehlerrechnung, Funktionalanalysis, Kombinatorik, Mengenlehre, Topologie, Vektor-, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlentheorie, Statistik und Informatik. So hätte man Mathematik auch vor 70 Jahren erklären können daß heute ohne Mathematik kein Computer laufen und kein Flugzeug fliegen würde, ist dem jedenfalls nicht zu entnehmen. Mein aus vor-wende-zeiten stammendes Meyers Universal Lexikon [6] von 1980 in vergleichbarem Umfang Brockhaus 16.5 cm, Meyer 17.5 cm Regallänge sagt auf immerhin 38 Zeilen: in: Vorträge des 4. Dresdner Kolloquiums zur Mathematik und ihrer Didaktik am 23. Februar 1999, Techn. Univ. Dresden, Fachrichtung Mathematik, Professur für Didaktik der Mathematik, pp , 1999

2 13 02 Mathematik [lat. gr.]: Wiss. von den quantitativen und qualitativen Eigenschaften der real vorhandenen und der möglichen Strukturen unserer Umwelt. Die Mathematik ist gekennzeichnet durch ihre Begriffsgenauigkeit, die Strenge ihrer Beweise u. ihren weitgehend deduktiven Charakter. Die M. steht in enger Wechselwirkung mit den Naturwiss.en wie Physik u. Astronomie, die Messungen u. messende Experimente ausführen;... Für viele Wiss.en ist die Anwendung mathemat. Methoden unerläßlich. Neben vielfältigen quantitativen Problemen beschäftigt sich die M. auch mit qualitativen Untersuchungen an verschiedenartigsten Strukturen.... Gegenwärtig bereichern auch Technik, Kybernetik u. Computerentwicklung in starkem Maße die zu bearbeitenden mathemat. Probleme. Anwendungen der M. in den Gesellschaftswiss. bahnen sich an. Entsprechend der Vielfalt der Anwendungsgebiete ist eine große Anzahl mathemat. Disziplinen entstanden, deren wechselseitige Zusammenhänge u. Gemeinsamkeiten in der M. auf immer höherem Abstraktionsniveau untersucht werden, wobei Abstraktion im positivem Sinne als Absehen von Unwesentlichem verstanden wird.... Wichtige Teilgebeite der M. sind z.b.: Analysis (Differential- u. Integralrechnung, Differentialgleichung u.a.), Algebra (Gleichung, Gruppe, Körper), Geometrie (darstellende Geometrie, analyt. Geometrie, Differentialgeometrie, nichteuklid. Geometrie u.a.), Topologie, Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Statistik, Kombinatorik, Zahlentheorie Danach werden noch 1 1/4 Seiten für die Stichworte Geschichtliches, mathematische Erwartung, mathematische Geräte, Mathematische Gesellschaft der Deutschen Demokratischen Republik, mathematische Linguistik, mathematische Logik, mathematische Optimierung, mathematische Statistik, mathematische Tafeln und mathematische Zeichen bereitgestellt. Der Vergleich dieser beiden Zitate könnte Gegenstand mehrerer Magisterarbeiten in kultur-, politik- und wissenschaftshistorischen Disziplinen sein; ich will darauf nicht weiter eingehen. Die oben herausgestrichene Abstraktion 1 hat sich im Laufe der Entwicklung der Mathematik notwendigerweise ergeben; der russische Mathematiker A. Alexandrov [1] schrieb dazu 1971: Die Besonderheit der Mathematik (gegenüber anderen Wissenschaften, d.a.) besteht jedoch darin, daß sie ihre Abstraktionen absolutiert... ; deren Vergleich mit der Wirklichkeit ist jedoch nicht eine Aufgabe der Mathematik selbst, sondern ihrer Anwendungszweige. Als Gegenstand der Mathematik dienen die idealisierten Objekte selbst.... Dementsprechend wird die Mathematik als Wissenschaft von den quantitativen Beziehungen und räumlichen Formen definiert, die in idealisierter, vom Inhalt abstrahierter Form verwendet werden.... Ihre rein deduktive Methode ist eine unausweichliche Folge einer solchen Fixierung ihres Gegenstandes, da die idealisierten Objekte auf triviale Weise nicht Objekte der Erfahrung sein können. An dieser Stelle kommen die Begriffe Reine Mathematik und Angewandte Mathematik ins Spiel: Gemeinhin versteht man unter Angewandter Mathematik diejenigen Gebiete der Mathematik, die sich mit der Anwendung von Mathematik außerhalb ihrer selbst, also in Natur-, Ingenieur- und anderen Wissenschaften, auf reale Erscheinungen und Prozesse befassen. In gewissen mathematischen Disziplinen läßt sich das (fast) nicht vermeiden, dazu gehören insonderheit die Gebiete Angewandte Analysis Optimierung und optimale Steuerung 1 deren Charakterisierung als positiv in Meyers Lexikon aus DDR-Zeiten ist der negativen Besetztheit des Begriffes abstrakt in der sozialistischen Ideologie geschuldet 2

3 13 03 Statistik Computergeometrie und Visualisierung sowie als Querschnittsdisziplin die Numerische Mathematikt. Das Komplement der Angewandten Mathematik ist die Reine Mathematik; natürlich verlaufen die Grenzen fließend. Vertreter der Reinen Mathematik äußerten und äußern häufig (gelegentlich auch militant) die Ansicht, daß nur sie die Mathematik repräsentieren und Anwendungen der Mathematik von den Nutzern, also Naturwissenschaftlern, Ingenieuren usw. betrieben werden mögen. Es wird berichtet, daß Anwendungen der Mathematik in der Technik von Kummer als schmutzige Mathematik, von Landau sogar als Schmieröl- Mathematik bezeichnet wurden, siehe [3]. Seitdem tobt der Kampf zwischen diesen ungleichen Schwestern: Es geht um wissenschaftliche und gesellschaftliche Anerkennung, die Anziehung der besten Studenten, Einfluß auf Studienpläne, Stellen und Geld. Daneben gibt aber auch zahlreiche Mathematiker, für die es nur eine Mathematik gibt. Das unerreichte Vorbild der zu dieser Kategorie gehörenden Mathematiker, die sowohl in der Reinen als auch in der Angewandten Mathematik zu Hause sind, ist Carl Friedrich Gauß. Er hat in den nachfolgenden Generationen viele Nachfolger gefunden wie etwa Kolmogorov und Pontrjagin in Rußland, von Neumann und der aus Deutschland emigrierte Courant in den USA um nur einige zu nennen. Zum Beispiel ließ auch der Angewandte Mathematiker Lothar Collatz bei seinen Vorträgen u.a. in Dresden keine Gelegenheit ungenutzt, die Bedeutung der Anwendungen, aber auch die Einheit der Mathematik zu betonen. Man kann jedoch die Unterschiede zwischen Reiner und Angewandter Mathematik oder besser zwischen Reinen und Angewandten Mathematikern nicht leugnen: Sie alle betreiben die Mathematik zwar nach denselben, durch das Gebiet selbst geprägten Regeln und Methoden, und insofern gehören alle zur selben, einheitlichen Mathematik, aber sie unterscheiden sich ganz wesentlich in der Motivierung und der Zielstellung ihrer Arbeit. Peter Henrici, ein Vertreter der konstruktiven komplexen Analysis, hat das einmal wie folgt beschrieben [5]: Die Mathematik verdankt einen Großteil ihrer Vitalität verschiedenen Paaren entgegengesetzter Kräfte oder Polaritäten, die sich in der Vergangenheit alle als fruchtbar erwiesen haben. Es genügt, die Polaritäten zwischen rein und angewandt, abstrakt und konkret, theorieorientiert und problemorientiert zu erwähnen. Die Polarität, die ich vor Augen habe, ist die zwischen dialektischer und algorithmischer Mathematik: Dialektische Mathematik ist eine streng logische Wissenschaft, in der Aussagen entweder wahr oder falsch sind und in der Objekte mit spezifischen Eigenschaften entweder existieren oder nicht existieren. ist ein intellektuelles Spiel, das nach Regeln gespielt wird, über die ein hohes Maß an Konsens besteht. Algorithmische Mathematik ist ein Werkzeug zum Lösen von Problemen. Hier interessiert nicht nur die Existenz eines mathematischen Objektes, sondern auch die Auswirkungen dieser Existenz. ist ein Spiel, dessen Regeln von der Dringlichkeit des zu lösenden Problems abhängen. ruft Kontemplation hervor. ruft Aktion hervor. erzeugt Einsicht. erzeugt Ergebnisse. 3

4 13 04 Auf dem Hamburger International Congress on Industrial and Apllied Mathematics ICIAM 96 hat V. I. Arnol d dies in seinem Hauptvortrag kurz und prägnant wie folgt ausgedrückt: Der Unterschied zwischen Reiner und Angewandter Mathematik ist kein wissenschaftlicher, sondern ein sozialer: Reine Mathematiker werden bezahlt, um Mathematik zu betreiben. Angewandte Mathematiker werden bezahlt, um spezifische Probleme zu lösen. 2 Wie wird Mathematik heute angewendet? A. Alexandrov schrieb in seinem bereits zitierten Aufsatz: Die Mathematik ist ein mächtiges und universelles Instrument der Erkenntnis und der Lösung von Aufgaben überall dort, wo sich genügend klar definierte Strukturen abzeichnen. Dies ist sicher der Fall in den klassischen Anwendungsgebieten Physik und Ingenieurwissenschaften, mit einem zeitlichen Verzug gefolgt von Chemie und Biotechnologie. In den letzten Jahrzehnten haben jedoch auch andere Wissenschaften einen Stand erreicht, bei dem solche klar definierten Strukturen erkennbar werden und damit eine Mathematisierung erfolgen kann. Ich denke an Wirtschaftswissenschaften, Biologie, Medizin und Sozialwissenschaften, aber auch Geisteswissenschaften wir etwa Linguistik o.ä. In jedem Fall beginnt die Anwendung der Mathematik auf einen interessierenden realen Prozess mit der mathematischen Modellierung, d.h., mit der Beschreibung des Prozesses in der Sprache der Mathematik. Dazu muß der Modellierer zunächst die Prozeßvariablen festlegen, die zur Beschreibung des Prozesses erforderlich sind. Diese Prozeßvariablen bilden in der Regel ein Tripel (x, u, p), das sich aus den Zustandsgrößen x, den Steuer- oder Kontrollgrößen u sowie den Parametern p zusammensetzt. Die Zustandsgrößen x beschreiben den sich auf Grund der unterliegenden Gesetzmäßigkeiten einstellenden Zustand des Prozesses, z.b. die Temperatur in einem erwärmten Metallstab, die Kräfte in einem Stabwerk oder die Konzentrationen chemischer Stoffe bei einer Reaktion. Die Kontrollgrößen u bezeichnen von außen einstellbare Größen, die in einer Menge U zulässiger Steuerungen variieren können und mit denen der Prozeß beeinflußt (gesteuert) werden kann, etwa die vorgegebene Temperatur an einem Ende des Metallstabes, die Klemmenspannung bei einem elektrischen Schaltkreis oder die Anfangskonzentrationen oder Stoffzuführungen bei einer chemischen Reaktion. Die Parameter p bezeichnen problem- bzw. materialspezifische Größen, die in die Zustandsgleichungen eingehen, etwa die Wärmeleitfähigkeit des Metalls, aus dem der erwärmte Stab gefertigt ist, die Biegefestigkeiten der Stäbe des Stabwerkes oder die Geschwindigkeitskonstanten der einzelnen chemischen Reaktionen. Dann muß der funktionale Zusammenhang zwischen den Prozeßvariablen x, u und p gefunden werden. Dieser hat in aller Regel die Form einer Modellgleichung F (x, u, p) = 0, (1) die eine Gleichgewichtsbedingung also einen Erhaltungssatz ausdrückt. Beim erwärmten Stab ist ist das die Wärmebilanz, im elektrischen Netzwerk sind das die Kirchhoffschen Gesetze für Knoten und Maschen, bei der chemischen Reaktion ist das der Massenerhaltungssatz. 4

5 13 05 Die Prozeßvariablen x, u und p sind im einfachsten Fall Vektoren x = (x 1,..., x n ) T, u = (u 1,..., u m ) T und p = (p 1,..., p l ) T. Dann ist (1) ein (lineares oder nichtlineares) Gleichungssystem aus n Gleichungen F (x, u, p) = (F i (x, u, p)) = 0, in denen neben den unbekannten Zuständen x i die einstellbaren Steuergrößen u j und die für einen konkreten Prozeß als fest anzusehenden Prozeßparameter p k auftreten. Generisch bilden die durch die zulässigen Steuerungen u U erreichbaren Zustände S p = { (x, u) : u U und F (x, u, p) = 0 }, p fest (2) eine Mannigfaltigkeit der Dimension m. Diese hat i.a. einen Rand, da die Zulässigkeitsbedingung u U meist Nebenbedingungen des Typs h µ (x, u) 0 enthält, im einfachsten Fall 0 u µ ū µ mit einer oberen Schranke ū µ für die Steuergröße u µ. Die Prozeßvariablen können aber auch wie beim Metallstab oder der chemischen Reaktion Funktionen der Zeit und/oder des Ortes sein. Dann ist (1) eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung, die dann durch Anfangs- und/oder Randbedingungen geeignet komplettiert werden muß. Bei diskreten Prozessen ist die Zeit häufig auch die Zustands- und Steuergrößen diskret, etwa bei M-stufigen Entscheidungsprozessen. Statt Differentialgleichungen hat man dann Differenzengleichungen. Der Modellierung schließt sich als zweite Phase die mathematische Analyse der Modellgleichung (1) an. Dies ist im Gegensatz zur Modellierung eine Domäne der Mathematiker. Typische Fragen sind dabei Existenz: Für welche Werte von u und p existieren Lösungen x? Ist die Lösung x eindeutig, oder können zu einem u mehrere Lösungen existieren? Stabilität: Sind die Lösungen stabil oder instabil bez. der Steuergrößen u, d.h., bewirken kleine Änderungen von u auch kleine Änderungen von x, oder können sie große, u.u. sogar beliebig große Änderungen des Zustandes x bewirken? Beispiele für Instabilitäten sind das Durchschlagen eines Tragwerkes bei Überschreiten einer kritischen äußeren Last oder die Explosion eines Reaktors bei gewissen kritischen Steuerungen. Die Kenntnis dieser kritischen Werte u crit ist offensichtlich von hoher praktischer Bedeutung. Wegen der Komplexität der mathematischen Modelle sind hier erschöpfende Antworten nicht immer zu erwarten. Trotzdem wird der Anewandte Mathematiker auch dann zum nächsten Schritt der Nutzung des Modells übergehen, wenn z.b. noch nicht bewiesen werden kann, daß die gesuchten Größen überhaupt existieren und welche Eigenschaften sie haben. Dies ist durchaus zulässig, denn im Gegensatz zur Reinen Mathematik existiert hier ja ein unterliegender realer Prozeß, über den der Anwender, also der Physiker, Ingenieur usw., eine Menge weiß und den er auch beobachten kann, so daß die Praxis als Kriterium der Wahrheit, wie ein heute nicht mehr so geschätzter Philosoph gesagt hat, als letzte Bewertungsinstanz bleibt. Hätten die Ingenieure immer solange gewartet, bis die Mathematik ihre Modellgleichungen erschöpfend analysiert hat, könnte heute niemand Auto fahren, fernsehen oder einen Computer nutzen. Allerdings meinte der erwähnte Philosoph auch: Nichts ist praktischer als eine gute Theorie. Man beachte die Einschränkung gut natürlich lassen sich aus einem unvollständigen oder inadäquaten Modell keine vernünftigen Schlüsse ziehen! Als dritte und eigentlich gewünschte Phase schließt sich das Arbeiten mit der Modellgleichung (1) an. Im einfachsten Fall werden für einzelne interessierende Steuerungen u i und die für den Prozeß als bekannt vorausgesetzten Parameter p die zugehörigen Lösungen x = x(u i, p) = x i, d.h. die zugehörigen Zustände x i des Prozesses, berechnet: Löse F (x, u i, p) = 0 für gegebene u i und gegebenes p bezüglich x = x i (3) 5

6 13 06 Dies ist die Prozeßsimulation: Statt reale Experimente mit den Steuerungen u i durchzuführen und die Zustände x i zu beobachten, werden diese auf dem Computer aus der Modellgleichung berechnet. Man spricht daher auch von Computerexperimenten. Diese sind fast immer deutlich billiger als reale Experimente und in vielen Fällen speziell z.b. in der Entwicklungsphase von komplexen Systemen wie integrierten Schaltkreisen, Großraumflugzeugen, chemischen Reaktoren u.ä. die einzige Möglichkeit, unterschiedliche Steuergrößen u bez. ihres Einflusses auf x zu untersuchen im Sinne eines Variantenvergleichs. Insbesondere kann damit auch das Verhalten des Prozesses in der Umgebung kritischer Zustände beschrieben werden, was durch Experimente nur in beschränkter Anzahl möglich ist bzw. tunlichst unterlassen werden sollte denken Sie an Tschernobyl! Der nächste Schritt ist dann die zielgerichtete Prozeßoptimierung. Die Steuergrößen u sind aus einer vorgegebenen Menge U zulässiger Steuerungen so zu wählen, daß ein Zielfunktional Φ(x, u, p) minimal (oder maximal) wird unter den Nebenbedingungen u U und F (x, u, p) = 0. Man hat also das Optimierungs- bzw. Steuerproblem min {Φ(x, u, p) : u U und F (x, u, p) = 0 } (4) zu lösen. Schließlich kann es vorkommen, daß die Parameter p des konkreten Prozesses nicht bekannt sind und aus M i.a. fehlerbehafteten Beobachtungen x i = x i + ε i (i = 1,..., M) der Zustandsgrößen, die zu eingestellten Steuerungen u i gehören und aus realen Experimenten stammen, bestimmt werden müssen. Dies führt z.b. auf das Problem { Mi } min x i x i 2 : p und x i so, daß F (x i, u i, p) = 0 (i = 1,..., M) (5) Man spricht dann von Parameterschätzung oder Prozeßidentifikation. Hier handelt es sich um ein inverses Problem: Aus Beobachtungen der Zustandsgrößen ist auf die Parameter zu schließen. Dagegen ist die Prozeßsimulation ein direktes Problem: Bei gegebener Steuerung u und gegebenen Parametern p ist der Zustand x zu bestimmen. In allen drei Problemklassen Prozeßsimulation (3), Prozeßoptimierung (4) und Parameterschätzung (5) benötigt man Algorithmen, welche die Berechnung der gesuchten Größen aus den Prozeßdaten unter Verwendung der Modellgleichung (1) erlauben. Dies ist die Domäne der Numerischen Mathematik als einer Schlüsseldisziplin der Angewandten Mathematik. Ihr Gegenstand sind Entwicklung, theoretische Analyse, praktische Erprobung und Implementierung von Algorithmen. Diese Algorithmen und die auf ihnen beruhende Software liefern dann bei der Realisierung auf dem Computer die gewünschten Größen. Eine wesentliche Rolle kommt dabei der sachgemäße Visualisierung zu: Wird etwa die Spannungsverteilung in einer Kurbelwelle berechnet, ergeben sich Millionen von diskreten Daten, die das Spannungsfeld beschreiben, und diese sind in ihrer Primärform durch den Menschen nicht erfaßbar. In einem Postprocessing müssen die Lösungsdaten durch Visualisierung aufbereitet werden, damit sich die Bearbeiter ein Bild machen können. Wir bemerken abschließend, daß der skizzierte Zyklus in der Regel nicht nur einmal durchlaufen wird. Fast immer entsprechen die ersten berechneten Ergebnisse nicht den Erwartungen, besonders bei den schwierigeren nichtlinearen Modellgleichungen und inversen Aufgaben. Dann muß iteriert, d.h. zu zurückliegenden Phasen wie Modellierung, Algorithmierung usw. zurückgegangen werden. Gegebenfalls sind zur besseren Prozeßidentifikation auch neue (i.a. teure) reale Experimente erforderlich bis hoffentlich irgendwann der gewünschte, durch Mathematik erzielbare Nutzen erreicht wird. Diesen hat der französische Angewandte Mathematiker J. L. Lions auf einem Industriemathematik-Kongreß 1994 in Neapel wie folgt 2 charakterisiert: 2 zitiert nach [7] 6

7 13 07 Der Nutzen der Mathematik ist es, dabei zu helfen, Dinge besser, schneller, billiger und sicherer zu machen, und zwar durch Simulation komplizierter Phänomene, Visualisierung und Reduktion der Datenfluten. Der oben skizzierte Zyklus von der Modellierung eines realen Prozesses bis hin zur Lösung der abgeleiteten mathematischen Aufgaben mittels des Computers ist Gegenstand des jungen interdisziplinären Gebietes Wissenschaftliches Rechnen (englisch: Scientific Computing). Um diesen Zyklus umzusetzen, braucht man Modellierung: Natur-, Ingenieur- und andere betroffene Wissenschaften, Angewandte Mathematik Theoretische Analyse der Modellgleichungen: Analysis, Stochastik, Geometrie,... Algorithmen: Numerische Mathematik, Optimierung, optimale Steuerung,... Software: Numerische Mathematik, Informatik, Ingenieurwissenschaften,... Computer: PCs, Workstations,..., Supercomputer Datennetze: Austausch von Informationen, Software und Rechnerleistung 3 Ein Beispiel: Diffusion in einem dünnen Kanal Im folgenden möchte ich das beschriebene Vorgehen an einem einfachen Beispiel 3 demonstrieren: Wir betrachten einen mit Flüssigkeit gefüllten dünnen Kanal der Länge 1, in dem ein Stoff stellen Sie sich der Einfachheit halber blaue Tinte vor mit einer vom Ort x abhängigen Anfangskonzentration eingebracht wird. Zum Beispiel kann die Konzentration durch Einbringen von Schiebern stückweise konstant vorgegeben werden, also auch unstetig bez. x sein. Zur Modellierung führen wir die Größen u(x, t) M(x, t) ein, vgl. nachfolgendes Bild. Konzentration am Ort x zur Zeit t Stoffmenge, die am Ort x zur Zeit t im Zeitraum t nach rechts diffundiert 0 x x + x 1 M(x, t) M(x + x, t) Der Zusammenhang zwischen u und M wird nun durch das Ficksche Gesetz beschrieben: { } u(x + x, t) u(x, t) M(x, t) = D F t (6) x Dabei ist F der Querschnitt des Kanals und D die vom Stoff und der Flüssigkeit abhängende sog. Diffusionskonstante, also ein Parameter im Sinne von Abschnitt 2. Das Ficksche Gesetz besagt: Die diffundierende Stoffmenge M(x, t) ist proportional zur Querschnittsfläche F, zum Konzentrationsgefälle u(x + x, t) u(x, t) zwischen x + x und x sowie zur Zeitspanne t, und der Proportionalitätsfaktor ist die Diffusionskonstante D. 3 Die im Vortrag dazu gezeigten Computervorführungen lassen sich naturgemäß nicht in dieser Ausarbeitung reproduzieren 7

8 13 08 Beziehungen wie (6) zwischen abhängigen Zustandsgrößen bezeichnet man als phänomenologische Gleichungen. Sie werden durch Erfahrung gewonnen oder aus einer höheren, z.b. mikroskopischen Theorie abgeleitet. Ein bekanntes anderes Beispiel dafür ist das Ohmsche Gesetz U = RI, das unter gewissen Voraussetzungen den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an einem Widerstand angibt. Auch in unserem Fall müßten die Voraussetzungen, unter denen (6) gilt, untersucht werden; wir gehen darauf nicht weiter ein. Die Stoffbilanz für die Elementarzelle zwischen x + x und x im Zeitraum t als unterliegender Erhaltungssatz liefert dann [ M(x + x, t) M(x, t)] = [u(x, t + t) u(x, t)] } {{ } } {{ } Stoffänderung Konzentr. Änderung [F x] } {{ } Elem.V ol. Einsetzen von M aus (6), Umordnen und Grenzübergang x 0, t 0 liefert dann nach elementarer Rechnung die Diffusionsgleichung u t = D 2 u x 2 (7) als partielle lineare parabolische Differentialgleichung für die gesuchte Funktion u(x, t). Zur Zeit t = 0 sind die Anfangsbedingungen u(x, 0) = u 0 (x) für alle 0 x 1 (8) mit der bekannten Anfangskonzentrationsverteilung u 0 (x) zu erfüllen. An den beiden Rändern x = 0 und x = 1 sind außerdem Randbedingungen vorzugeben: Wenn der Kanal dort abgeschlossen ist, kann sich die Konzentration an diesen Stellen bez. der Ortskoordinate x nicht ändern, so daß wir die beiden Randbedingungen u(0, t) x = 0, u(1, t) x = 0 für alle 0 t T (9) erhalten. Diese einfache Anfangs-Randwertaufgabe (7,8,9) kann übrigens durch einen Separationsansatz gelöst werden; sie ist insofern nicht typisch für ein realistisches Praxisproblem. Modellverfeinerungen wie etwa Abhängigkeit der Diffusionskonstanten von der Konzentration, also D = D(u), führen jedoch sofort auf eine nichtlineare, nicht formelmäßig lösbare Aufgabe. Zur numerischen Lösung betrachten wir die Funktion u nur an den Gitterpunkten (x i, t j ) eines durch x i = i x (i = 0,..., N, x = 1/N), t j = j t (j = 0, 1,..., J), festgelegten Rechteckgitters über dem Bereich {(x, t) : 0 x 1, 0 t T = J t} mit den Diskretisierungsschrittweiten x = x i+1 x i > 0 und t = t j+1 tj > 0. Unser Ziel ist, Approximationen U j i u(x i, t j ) für die Funktionswerte an den Gitterpunkten zu bestimmen. Dazu schreiben wir die Diffusionsgleichung an den Gitterpunkten hin und ersetzen die partiellen Ableitungen durch die nachfolgend angegebenen Differenzenquotienten: u(x i, t j ) t u(x i, t j+1 ) u(x i, t j ) t (10) 2 u(x i, t j ) x 2 u(x i 1, t j ) 2 u(x i, t j ) + u(x i+1, t j ) x 2 (11) 8

9 13 09 Einsetzen in die Diffusionsgleichung liefert dann die Differenzengleichungen bzw. U j+1 i U j+1 i U j i t U j i = D t x 2 } {{ } =:κ = D U j i 1 2U j i + U j i 1 x 2 [ ] U j i 1 2U j i + U j i 1 In diesen Gleichungen kommen die U-Werte an den folgenden Gitterpunkten vor: (12) t j+1 t j x i 1 x i x i+1 Auflösen nach U j+1 i führt auf das explizite Differenzenverfahren U j+1 i = κ U j i 1 + (1 2κ) U j i + κ U j i 1, (13) mit dem die U j i von der Zeitschicht t j zur nächsten Schicht t j+1 nacheinander mit der Anfangsverteilung für t 0 = 0 beginnend berechnet werden können. Ein Computerlauf mit der naheliegenden Festlegung t = x führt allerdings zu katastrophalen Ergebnissen: Die Approximationen oszillieren extrem und nehmen auch sehr stark negative Werte an, was aus physikalischen Gründen Unsinn ist. Die Ursache für dieses Verhalten liegt im Koeffizienten α := 1 2κ der Differenzengleichung (13), der im Fall t = x den Wert α = 1 2D/ t hat, also für t < 2D negativ ist. Dies tritt im Fall κ 1/2, also t 1 2 nicht ein. Man kann zeigen, daß das explizite Differenzenverfahren für solche Schrittweiten stabil und konvergent ist. Die obige Stabilitätsbedingung erzwingt allerdings eine sehr feine Zeitdiskretisierung, die viele Zeitschritte erfordert und die Einfachheit des Verfahrens wieder zunichte macht. Als Alternative nehmen wir nun Rückwärtsdifferenzen x 2 D u(x i, t j ) t u(x i, t j ) u(x i, t j 1 ) t zur Approximation der Zeitableitungen. Dies führt auf die Differenzengleichungen (14) U j i U j 1 i t Die hier beteiligten Gitterpunkte sind durch = D U j i 1 2U j i + U j i 1 x 2. t j+1 t j x i 1 x i x i+1 9

10 13 10 gegeben. Umordnen nach dem Zeitindex j führt auf κ U j+1 i 1 + (1 2κ) U j+1 i + κ U j+1 i 1 = U j i. (15) Dies ist ein implizites Differenzenverfahren, weil in (15) statt einem drei neue Werte U j+1 i 1, U j+1 i und U j+1 i 1 auf der Zeitschicht t j+1 auftreten, also pro Schritt t j t j+1 ein tridiagonales lineares Gleichungssystem zu lösen ist. Dies ist teurer als die Berechnung der U j+1 i nach (13). Dafür ist dieses Verfahren stabil für alle κ 0, d.h., für beliebige Schrittweiten x und t. Die Computerrealisierung zeigt, daß damit auch mit größeren Zeitschrittweiten t gute Approximationen und zwar insgesamt billiger gefunden werden können. Wir sehen: Nicht nur schlechte Modellierung, sondern auch instabile Algorithmen können zu unbrauchbaren Ergebnissen führen. Bei realistischen Problemen etwa der Schadstoffausbreitung in der Athmosphäre treten statt einer mehrere Substanzen auf, und statt einer hat man drei Ortskoordinaten. Die Stoffe reagieren chemisch miteinander, so daß die einzelnen Gleichungen über nichtlineare Reaktionsterme gekoppelt werden, und außer Diffusion trägt auch Konvektion zur Ausbreitung bei. Allein durch diese offensichtlichen Erweiterungen kommt man zu 3D- Systemen von gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, deren Lösung schon eine Herausforderung darstellt. 4 High Tech = Math Tech Das in den vorangegangenen Abschnitten skizzierte Vorgehen bei der Anwendung von Mathematik ist keineswegs neu, auch z.b. die Brüder Bernoulli haben das im 17./18. Jahrhundert im Prinzip so gemacht. Was die heutige Angewandte Mathematik auszeichnet, ist der inzwischen enorm gewachsene Bestand an numerischen Techniken mir fallen etwa Splines und Wavelets zur Approximation, Finite Elemente und Mehrgittermethoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen, Kurvenverfolgungsalgorithmen zur Berechnung von Lösungsmengen nichtlinearer Gleichungssysteme und eingebettete Mehrzielmethoden für Probleme der optimalen Steuerung ein sowie die ungeheuer gestiegene Leistungsfähigkeit der Computer, deren Entwicklungstempo keine historischen Vergleiche kennt. Diese Kombination, die sich in wechselseitigem Ansporn vervollkommnet hat, führte dazu, daß heute sehr viele Bereiche der Gesellschaft mathematisiert und computerisiert sind man beachte, daß die Mathematisierung Voraussetzung für die Computerisierung ist! Als Beispiele seien erwähnt Simulation, Design, Optimierung und Steuerung chemischer, biotechnologischer und nuklearer Reaktoren Modellierung der inneren Elektronik von Halbleitern (Feldberechnungen über nichtlineare partielle Differentialgleichungen) Modellierung des Zeitverhaltens höchstintegrierter elektronischer Schaltkreise (Systeme nichtlinearer Algebro-Differentialgleichungen extrem hoher Dimension) Layout solcher Chips (optimale Anordnungen auf der Silizium- oder Galliumarsenid- Scheibe, diskrete Optimierungsprobleme mit wieder hunderttausenden Variablen und Nebenbedingungen) Steuerung und Optimierung von Raumflugkörpern (optimale Steuerung mit Systemen stark nichtlienarer gewöhnlicher Differentialgleichungen als Nebenbedingungen) 10

11 13 11 Entwurf, Simulation und Optimierung von Flugzeugen, Hochgeschwindigkeitszügen, Kraftfahrzeugen,... (Entwurf mittels Computer Aided Geometric Design (CAGD), Kräfteberechnungen mittels Finiter Elemente, Analyse des dynamischen Verhaltens über Finite Elemente bzw. zugeordnete Mehrkörpersysteme und daraus folgende Algebro-Differentialgleichungen) Berechnung von Bauwerken (Brücken, Hochhäuser, Fernsehtürme, Kuppel der Frauenkirche,... ) Ausbreitung von Grundwasser, Schadstoffen,... (Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichungen) Erkundung von Erdöl- und Erdgaslagerstätten (inverse Probleme bei partiellen Differentialgleichungen) Computer- und Kernspintomographie (inverse Probleme bei der Radon-Transformation) Signalverarbeitung, insbesondere digitale Ton- und Bildverarbeitung (schnelle Tranformationen) Entwurf von zuverlässigen Kommunikationssystemen (Diskrete Optimierung mit vielen Unbekannten) Produktionsplanung und -steuerung (Diskrete Optimierungs- und Entscheidungsprozesse, meist sehr komplex und np hard) Langzeitverhalten komplexer Systeme wie Klima, Volkswirtschaften, Populationen u.ä.) Ausbreitung von Krankheiten wie Grippe, Hepatitis, HIV u.a. (dynamische Systeme) Modellierung der Funktion des Nervensystems (z.b. mittels neuronaler Netze) Diese Aufzählung könnte weiter fortgesetzt werden, aber wir sehen bereits jetzt, daß fast alles, was unter High Tech verstanden wird, direkt und unmittelbar auf moderner Angewandter Mathematik und Computern beruht. Insofern ist die erstmals im sog. David-Report [4] aufgestellte Behauptung High Tech = Math Tech durchaus richtig. Bedauerlich ist, daß die Öffentlichkeit und die heute so einflußreichen Medien das kaum zur Kenntnis genommen haben und einen ursächlichen Zusammenhang zwischen High Tech und Mathematik überhaupt nicht erkennen. Daran haben auch die Mathematiker, die sich dort engagieren, eine gewisse Schuld, weil die meisten den Weg in die Öffentlichkeit auf Grund einer offenbar unausrottbaren Konservativität in dieser Hinsicht nicht zu gehen bereit sind. Hier sind dringend Aktivitäten gefragt. 5 Folgerungen für die Mathematikausbildung Gefährlich ist, daß die oben beschriebenen Entwicklungen in der schulischen, aber auch der universitären Mathematikausbildung in der Regel nur ungenügend berücksichtigt werden. Positiv ist hier die Installation von anwendungsorientierten mathematischen Studiengängen wie Techno- und Wirtschaftsmathematik zu nennen. Die Ausbildung in Angewandter Mathematik ist jedoch mit dem klassischen und unter Mathematikprofessoren und -lehrern beliebten Frontalunterricht, bei dem der Professor vorträgt und die Studenten zuhören und mehr oder weniger akademische Übungsaufgaben rechnen, nicht zu 11

12 13 12 schaffen. Hier braucht man selbständigere, aktive und motivierende Studienformen wie Modellierungsseminare, Projektarbeiten, Computerpraktika u.ä. Solche Lehrveranstaltungen sind wesentlich aufwendiger als die klassischen nicht nur für die Studierenden und Schüler, sondern auch für Professoren und Lehrer. In einer Zeit der Stellenstreichungen und Etatkürzungen bestehen dafür keine guten Voraussetzungen. Es kommt auch darauf an, aus der in den letzten Jahren in erschreckender Weise gefallenen, jetzt glücklicherweise wieder ansteigenden Zahl von Abiturienten mit ausgeprägten mathematischen, natur- und ingenieurwissenschaftlichen Interessen einen angemessenen Anteil für die Mathematik zu gewinnen für den Einsatz in Universitäten, in allgemeinbildenden Schulen und in den immer attraktiver werdenden Anwendungsgebieten, die die erstgenannten klassischen Einsatzgebiete inzwischen hinsichtlich Arbeitsbedingungen und Gehalt deutlich übertreffen. Eine gründliche Analyse der Situation der Industiemathematik in den USA und Folgerungen für die universitäre Ausbildung enthält der SIAM-Report Mathematics in Industry [8]. Auch L. A. Steen [9] hat sich mit solchen Ausbildungfragen beschäftigt. Aus Zeitgründen muß ich auf die zitierte Literatur verweisen und möchte lediglich zwei Forderungen Steens zitieren: The most important task for post-secondary mathematics is to make it attraktive as a subject of study for students with a wide variety of interests. Display the power of mathematics not only through its logic but also through the enormeous variety of its applications. Das gilt genauso für die Schulen. Bei diesen gibt es allerdings zwei ernstzunehmende Probleme: Viele Lehrer haben die beschriebene Entwicklung auch nicht zur Kenntnis genommen und/oder verfügen nicht über ausreichende Kenntnisse in den dazu benötigten Gebieten der Mathematik. Daß sich dies auch nicht bald ändern wird, können Sie z.b. voraussagen, wenn sie sich die Liste der den Lehrerstudenten in Dresden empfohlenen Lehrveranstaltungen unten im C-Flügel ansehen. An anderen Orten ist das nach meiner Erfahrung auch nicht viel anders. Ein wesentlicher Gegenstand der modernen Angewandten Mathematik sind evolutionäre, d.h. zeitabhängige Prozesse mit stetiger Zeit, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Diese werden aber selbst in Leistungskurven der Gymnasien in der Regel nicht behandelt, so daß die Grundlagen für entprechende Aktivitäten fehlen. Die zuständigen Stellen sollten überlegen, ob diesem unbefriedigenden Zustand schließlich gehen manche Stochastik-Leistungskurse bis zum Testen von Hypothesen nicht durch Aufnahme von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizeinten und Anwendungen abgeholfen werden könnte. In 30 Minuten ließe sich auch das Eulersche Polygonzugverfahren zur genäherten Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung erklären, wodurch in Verbindung mit den bei den Gymnasiasten vorhandenen graphikfähigen programmierbaren Taschenrechnern die Tür zu interessanten und motivierenden Anwendungen geöffnet würde. Ich möchte meinen Vortrag mit zwei klassischen Zitaten abschließen. Das erste ist dem bereits erwähnten Vortrag [7] von Helmut Neunzert dem Pionier der Technomathematik entlehnt und geht auf den österreichischen Physiker Christian Doppler ( ) zurück: 12

13 13 13 Die lohnendsten Forschungen sind diejenigen, welche, indem sie den Denker erfreun, zugleich der Menschheit nützen. Mit dem zweiten schließt der Vortrag [5] von Peter Henrici, es stammt vom englischen Biologen Thomas H. Huxley 4 ( ), einem Anhänger Darwins: Literatur The great end of life is not knowledge, but action. [1] A. Alexandrov, Mathematik und Dialektik, Ideen des exakten Wissens 4 (1971), [2] Der Brockhaus in drei Bänden. 2., neu bearb. Aufl., F. A. Brockhaus, Leipzig Mannheim, [3] R. Bulirsch, Mathematik in der Hochtechnologie, TUM. Mitteilungen der Technischen Universität München für Studierende, Mitarbeiter, Freunde 3 (1988/89), 4 9. [4] E. E. David et al., Renewing U.S. Mathematics: Critical Resources for the Future, National Academy Press, Washington, D.C., [5] P. Henrici, Computational Complex Analysis, Lecture at the Conference on the Influence of Computing on Mathematical Research and Education, Missoula (Montana, USA), [6] Meyers Universal-Lexikon (in vier Bänden). Durchges. Nachdruck der 2. Aufl. 1979, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, [7] H. Neunzert, Vom Nutzen der Mathematik, Vortrag auf der DMV-Tagung, Duisburg, [8] The SIAM Report on Mathematics in Industry, SIAM Philadelphia, 1995 (abrufbar via Internet von [9] L. A. Steen, Mathematics for a New Century, Notices of the AMS 36 (1989), no. 2, nicht zu verwechseln mit dem Schriftsteller heute würde man auch Zukunftsforscher sagen Aldous Huxley 13

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