EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II. 0, x < , 1 x < , 3 x < 4

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1 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II RAIMUND KOVACEVIC 1. Probability Eample 1.1. Consider the c.d.f. 0, < 1 0.1, 1 < F X = 0.4, < 3 0.9, 3 < 4 1, 4. (1) Draw the function () Calculate the probabilities P {X = 0},P {X = }, P {X < 3}, P {X >= } (3) Draw the related p.d.f. Eample 1.. The c.d.f F Y () = { 0, < 0 1 e, 0 models the time (in h) to deliver a pizza. Write the appropriate probability statements (e.g. P {X > 1/}), then calculate the probabilities. (1) The pizza-company promises delivery within 40 minutes, otherwise the pizza is free. What is the probability that it will have to give a pizza away for free. () The probability that delivery takes longer than one hour. (3) The probability that delivery takes between 0 min and 40 min (4) The probability that delivery takes less than 5 min Eample 1.3. A random variable X has the following c.d.f.: 0, < 0 F X () = δ 0 δ 1 > δ. (1) What is the density function of X. () What is the maimum possible value that X can take? (3) What is the epected value of X? (4) Is this really a c.d.f.? Eample 1.4. A random variable X has the following p.d.f.: 0, < 0 f X () = β 0 β 1 > β. 1

2 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II (1) What is the c.d.f. of X. () What is the maimum possible value that X can take? (3) What is the epected value of X? (4) Is this really a p.d.f? Eample 1.5. Calculate the following conditional probabilities from the distribution discussed in eample 1.1: (1) P {X = 3 X } () P {X = 3 X > } (3) P {X 3 X > } Eample 1.6. Calculate the following conditional probabilities from the c.d.f discussed in eample 1.: (1) The pizza-company promises delivery within 40 minutes, otherwise the pizza is free. What is the probability that we get a free pizza if we have already waited 30 minutes? () The probability that delivery takes less than 10 minutes given that it takes less than 40 minutes. Eample 1.7. A machine produces components that are either acceptable or defective. From the observation of 100 pairs of components produced in sequence, the following data were collected: second component acceptable defective rst component acceptable 75 5 defective Let X 1 represent the rst component and X represent the second component, where a value of 0 corresponds to an acceptable component and a value of 1 corresponds to a defective component. (1) Estimate a joint distribution for these two components. () Estimate the marginal distribution for each of the components. (3) What is the probability that the second component will be defective if the rst component is not defective? (4) Are X 1, X dependent? (5) If we make a prot of $100 for each acceptable component but lose 0$ for each defective component produced, what is the epected prot for the net component we observe a defective component?. Simple Inventory Models Eample.1. A retailer faces an annual demand for,400,000 shirts. It costs Euro 450 to place a single order and the costs for keeping a single shirt in stock for an entire year are 60c. (1) How many units should the retailer order each time an order is placed and what are the associated total costs? () Given the previous result: How many orders should be placed and what is the time between two consecutive orders (given a 360 day year)? What is the reorder point if the lead time were 0 days?

3 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II 3 (3) Assume now that shortages are allowed. It has been estimated that the associated loss of goodwill equals costs of 80c per shirt and year. Compute the order quantity, the maimum shortage, and the associated costs. Eample.. A retailer faces an annual demand for 4,000,000 pairs of sneakers. It costs Euro 100 to place a single order and the costs for keeping a single sneaker in stock for an entire year are 50c. (1) 1. How many units should the retailer order each time an order is placed and what are the associated total costs? (). Given the previous result: How many orders should be placed and what is the time between two consecutive orders (given a 360 day year)? What is the reorder point if the lead time were 0 days? (3) 3. Assume now that shortages are allowed. It has been estimated that the associated loss of goodwill equals costs of 80c per shirt and year. Compute the order quantity, the maimum shortage, and the associated costs. (4) Compare the results with and without shortage. (5) What happens if the shortage costs were to decrease by a small amount, say say 0.05 Euro? (6) Is there an eplanation for the eects observed in 4. and 5.? Eample.3. Die jährliche Nachfrage nach einem Produkt beträgt Die Stückkosten betragen 5 Euro. Die Lagerhaltungskosten werden mit 10% der Stückkosten (und Jahr) geschätzt und die Fikosten für eine Bestellung betragen 1000 Euro. (1) Berechnen Sie die optimale Bestellmenge (EOQ) und die damit verbundenen Kosten. () Der Hersteller bietet nun einen reduzierten Preis von 4.80 Euro, falls in mindestens 8000 Stück pro bestellung angefordert werden. Sollte das Angebot angenommen werden? Was sind die damit verbundenen Kosten? (3) Der Hersteller erweitert sein Angebot um eine weitere Rabattstufe: Falls mindestens Stück pro Lieferung bestellt werden, beträgt der Preis nur 4.75 Euro. Sollte dieses Angebot angenommen werden? 3. Uncertain Objective Functions Eample 3.1. Eine Nutzenfunktion sei gegeben als u() = b e c, mit c > 0 and b > 0. Überprüfen Sie: (1) u ist konkav. () u hat konstante lokale Risikoaversion. Eample 3.. Sei u wie in 3.1 und X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert E[X] = λ. (1) Berechnen Sie den erwarteten Nutzen und das Sicherheitsäquivalent. () Berechnen Sie die Risikoaversion RA und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Approimation (unter Verwendung der lokalen Risikoaversion. Eample 3.3. Eample 3.1. Eine Nutzenfunktion sei gegeben als u() = c /, mit c > 0 und Denitionsbereich (, 1). Überprüfen Sie: (1) u ist konkav. () u hat konstante lokale Risikoaversion.

4 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II 4 Eample 3.4. Sei u wie in 3.3 und X eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [0, 1]. (1) Berechnen Sie den erwarteten Nutzen und das Sicherheitsäquivalent. () Berechnen Sie die Risikoaversion RA und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Approimation (unter Verwendung der lokalen Risikoaversion. Eample 3.5. Welche Nutzenfunktionen besitzen konstante lokale Risikoaversion? Eample 3.6. Eine potentielle Versicherungskundin besitzt ein Vermögen von Euro Mit Wahrscheinlichkeit 0.05 geht das Vermögen komplett verloren, mit Wahrscheinlichkeit 0.95 tritt kein Schadensfall ein. Die Nutzenfunktion ist durch u() = gegeben. Berechnen Sie die lokale Risikoaversion, das Sicherheitsäquivalent und die Risikoaversion. Eample 3.7. Das Vermögen aus 3.6 wird nun durch eine Versicherung abgesichert: Die Versicherung verlangt den erwarteten Schaden (Vorsicht: Unterscheiden Sie die Verteilung des Schadens von der Verteilung des Vermögens) plus 3% Kosten als Prämie. Welchen Anteil des Vermögens soll die potentielle Versicherungsnehmerin versichern? Eample 3.8. Ein Investor kann in zwei Assets investieren: Die erwarteten Returns sind durch den Vektor µ A = (0.03, 0.0) gegeben, die Kovarianzmatri der returns ist ( ) Σ = Im Folgenden soll als einzige Nebenbedingung eine Budgetnebenbedingung für die Portfoliogewichte benutzt werden. (1) Formulieren und lösen Sie das Mean-Variance-Problem mit Risikoaversion R =. () Formulieren und lösen Sie das Mean-Variance-Problem mit Risikoaversion R = 0.5. Eample 3.9. Das Vermögen aus 3.6 wird wiederum durch eine Versicherung abgesichert: Die Versicherung verlangt den erwarteten Schaden (Vorsicht: Unterscheiden Sie die Verteilung des Schadens von der Verteilung des Vermögens) plus 15% Kosten als Prämie. Welchen Anteil des Vermögens soll die potentielle Versicherungsnehmerin nun versichern? Eample Ein Investor kann in zwei Assets investieren: Die erwarteten Returns sind durch den Vektor µ A = (0.04, 0.05) gegeben, die Kovarianzmatri der returns ist ( ) Σ = Im Folgenden soll als einzige Nebenbedingung eine Budgetnebenbedingung für die Portfoliogewichte benutzt werden. (1) Formulieren und lösen Sie das Mean-Variance-Problem mit Risikoaversion R =. () Formulieren und lösen Sie das Mean-Variance-Problem mit Risikoaversion R = 4.

5 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II 5 4. Rekursmodelle Eample 4.1. In einem Optimierungsmodell min s.t. c D bezeichne c>0 die Kosten pro Einheit und D eine Zufallsvariable (z.b. die Nachfrage). (1) Formulieren Sie ein einfaches Rekursprogramm (Kosten für zu kleines ) () Identizieren Sie T,h und die Rekursstruktur (y, W, q). (3) Formulieren Sie das dazugehörige zweistuge stochastische Optimierungsprogramm. (4) Schreiben Sie das dazugehörige LP unter der Annahme nieder, dass D eine diskrete Verteilung mit D {d 1,..., d N } mit dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten p i besitzt. Eample 4.. Formen Sie in gleicher Weise (siehe die Schritte in Bsp. 4.1) das folgende Transportproblem mit zufälligen demands D j zu einem zweistugen Optimierungsprogramm um. min s.t. ij c ij ij i ij D j j ij L i ij 0 Die Vorräte L i werden als bekannt (deterministisch) vorausgesetzt. 5. Markov-Ketten Eample 5.1. Ein Teilchen bewegt sich auf einem Kreis durch Punkte 0,1,,3,4 (Anordnung der Punkte im Uhrzeigersinn). Das Teilchen startet im Punkt 0. In jedem Schritt bewegt es sich mit Wahrscheinlichkeit 0.5 im Uhrzeigersinn und mit Wahrscheinlichkeit 0.5 gegen den Uhrzeigersinn um einen Punkt weiter. Bezeichne X n die Position (den Punkt) des Teilchens nach n Schritten. (1) Ist der Prozess {X t } eine Markov-Kette? () Konstruieren Sie die Übergangsmatri (ein Schritt) P (3) Stellen Sie die Markov-Kette graphisch dar. (4) Berechnen Sie die Übergangsmatrizen P (), P (3), P (1000). Eample 5.. Auf einem Markt konkurrieren drei Anbieter (Marken) A, B, C. Der folgenden Tabelle entnimmt man, dass von jenen Abnehmern, die heute ein Produkt der Marke A besitzen, innerhalb einer bestimmten Zeitspanne 30% erneut A kaufen werden, 40% werden zur Marke B wechseln, 30% zur Marke C. Entsprechendes gilt für B und C. Zu A B C Von A B C Die aktuellen Marktanteile für A, B und C sind 0.4, 0.5 und 0.1.

6 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II 6 (1) Stellen Sie die Markov-Kette graphisch dar. () Berechnen Sie die Matri P () und die Marktanteile nach einem und zwei Zeitschritten. (3) Haben Sie eine Vermutung wie sich die Marktanteile langfristig entwickeln werden? Eample 5.3. Analog zu Bsp 5.: Verfolgen Sie die Entwicklung der Marktanteile, wobei die Übergänge wieder durch eine Übergangsmatri deniert sind, durch drei Zeitperioden. Gehen Sie dabei a) 70%, 10%, 10%, 10% b) 10%, 10%, 10%, 70% Marktanteilen für A, B, C bzw. D ausgehen! Stellen Sie die Markov-Kette graphisch dar und versuchen Sie zudem, eine vom Ausgangszustand unabhängige Prognose für den Gleichgewichtszustand zu ermitteln. Was erkennt man daraus? Zu A B C D Von A B C D Eample 5.4. Aus welchen Klassen (von kommunizierenden Zuständen) besteht die Markov-Kette aus Beispiel 5.1. Ist die Kette irreduzibel? Klassizieren Sie die Zustände (rekurrent, transient,periodisch etc.) Gibt es ergodische Zustände, bzw ist die Kette ergodisch? Was können Sie über die Grenzverteilung (stationäre Verteilung) sagen? Berechnen Sie die stationäre Verteilung, falls diese sinnvoll interpretierbar ist. Eample 5.5. Aus welchen Klassen (von kommunizierenden Zuständen) besteht die Markov-Kette aus Beispiel 5.. Ist die Kette irreduzibel? Klassizieren Sie die Zustände (rekurrent, transient,periodisch etc.) Gibt es ergodische Zustände, bzw ist die Kette ergodisch? Was können Sie über die Grenzverteilung (stationäre Verteilung) sagen? Berechnen Sie die stationäre Verteilung, falls diese sinnvoll interpretierbar ist. Eample 5.6. Aus welchen Klassen (von kommunizierenden Zuständen) besteht die Markov-Kette aus Beispiel 5.3. Ist die Kette irreduzibel? Klassizieren Sie die Zustände (rekurrent, transient,periodisch etc.) Gibt es ergodische Zustände, bzw ist die Kette ergodisch? Was können Sie über die Grenzverteilung (stationäre Verteilung) sagen? Berechnen Sie die stationäre Verteilung, falls diese sinnvoll interpretierbar ist. Eample 5.7. Gegeben sei die Markov-Kette aus Beispiel 5.1. Mit jedem Aufenthalt in Zustand j sind Kosten C j wie folgt verbunden: C 0 = 0, C 1 = 1, C =, C 3 = 4, C 4 = 0. Schätzen Sie die erwarteten mittleren Kosten über einen (sehr) langen Zeitraum ab. Macht eine solche Abschätzung auch für die Ketten in 5. und 5.3 Sinn? Eample 5.8. Gegeben sei die Markov-Kette aus Beispiel 5.. Mit jedem Aufenthalt in Zustand j sind Kosten C j wie folgt verbunden: C A = 0, C B = 1, C C =.

7 EXAMPLES: OPERATIONS RESEARCH II 7 Schätzen Sie die erwarteten mittleren Kosten über einen (sehr) langen Zeitraum ab. Eample 5.9. Gegeben sei die Markov-Kette aus Beispiel 5.. Berechnen Sie (1) Alle Wahrscheinlichkeiten f () () ia, inklusive f. AA () Alle Wahrscheinlichkeiten f (3) (3) ia, inklusive f. AA (3) Falls die f (n) ia Verteilungen sind: Berechnen Sie die erwarteten Durchgangszeiten (rst passage times) aus allen Zuständen in den Zustand A. (4) Berechnen Sie die erwarteten Rekurrenzzeiten µ AA, µ BB, µ CC aus der stationären Verteilung. Eample Gegeben sei die Markov-Kette aus Beispiel 5.1. Berechnen Sie (1) Alle Wahrscheinlichkeiten f () () i0, inklusive f 00. () Alle Wahrscheinlichkeiten f (3) (3) i0, inklusive f 00. (3) Falls die f (n) i0 Verteilungen sind: Berschnen Sie die erwarteten Durchgangszeiten (rst passage times) aus allen Zuständen in den Zustand 0. (4) Berechnen Sie die erwarteten Rekurrenzzeiten µ 00, µ 11, µ, µ 33, µ 44 aus der stationären Verteilung. Eample Gegeben sei die Markov-Kette aus Beispiel 5.3. Was sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, von den Zuständen A,C ausgehend im Zustand D absorbiert zu werden? Eample 5.1. Gegeben ist eine Markovkette mit folgender Übergangsmatri: A B C A B C (1) Klassizieren Sie die Zustände der Markovkette, bzw. die Kette insgesamt. () Ist die Kette ergodisch? (3) Berechnen Sie die stationäre Verteilung. (4) Schätzen Sie die erwarteten Durchschnittskosten ab, wenn beim Durchgang durch einen Zustand Kosten C A = 0,C B = 1, C B = entstehen. Eample Gegeben ist eine Markovkette mit folgender Übergangsmatri: A B C A B C (1) Klassizieren Sie die Zustände der Markovkette, bzw. die Kette insgesamt. () Ist die Kette ergodisch? (3) Berechnen Sie f () 10,f (3) 10 (4) Mach es Sinn µ 10,m 0 zu berechnen?

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