Anwendungen 1 - Lösungen

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1 Für alle Aufgaben gilt: 1. Winkel und Strecken sind auf eine, Winkelfunktionen auf 4 Nachkommastellen zu runden; nehmen Sie für Zwischenresultate mit denen Sie weiterrechnen eine Stelle mehr. Erstellen Sie immer eine Skizze von Hand es sei denn, es ist eine exakte Konstruktion verlangt Aufgabe 1: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 1 cm und b = 5 cm. (Konstruieren Sie das Dreieck ABC die Seite a ist bereits gezeichnet) a) die Ankathete des Winkels α ist: _b_ die Gegenkathete des Winkels α ist: _a_ die Gegenkathete des Winkels β ist: _b_ die Ankathete des Winkels β ist: _a_ b) Berechnen Sie die Hypothenuse c: c= a + b c= c= 13 c) Berechnen Sie die Winkelfunktionen sinα, cosα, und tanα G 1 sinα= = =,931 H 13 A 5 cosα= = =,3846 H 13 G 1 tanα= = =,4 A 5 d) Berechnen Sie die Winkel α und β : 1 1 α= arc sin = 67,38 oder α= arctan = 67, β= 9 67,38 =,6 A51- B. Willimann Seite 1 /

2 Aufgabe : Berechnen sie ohne TR die Werte sin(4 o ), cos(4 o ), tan(4 o ) und cot(4 o ) auf zwei Dezimalen genau durch Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks und Messung der Seiten auf eine Dezimale genau. Geben Sie zum Vergleich die exakten Werte aus dem TR an: G 9,1 sin 4 = = =,67 H 13,5 TR: A 1 cos 4 = = =,74 H 13,5 TR: G 9,1 tan 4 = = =,91 A 1 TR: sin 4 =,67 cos 4 =,74 tan 4 =,9 Aufgabe 3: Eine Strasse hat eine Steigung von % - welchem Neigungswinkel entspricht das? arc tan 11,3 1 = Aufgabe 4: Gegeben ist die lineare Funktion y = x + 3. Welchen Winkel bildet der Graf dieser Funktion mit a) der x-achse b) mit der y-achse? Mit der x-achse: m= = t anα α= arc tan = 63,4 Mit der y-achse: β= 9 63,4 = 6,6 Aufgabe 5: A51- B. Willimann Seite /

3 In einem rechtwinkligen Dreieck ist b = cm und α = 39 o. Berechnen Sie die anderen beiden Seiten und den Winkel β : β= 9 39 = 51 a tan b = α b a= b tanα Werte einsetzen a= tan39 a= 16, b cos c = α Kehrwert bilden c 1 = b cosα b b c= cosα c= cos39 Werte einsetzen c= 5,74 Aufgabe 6: In einem rechtwinkligen Dreieck ist b = cm und tanβ = 1,5. Berechnen Sie die anderen beiden Seiten und die Winkel α und β : β= arctan 1,5= 56,3 α= 9 56,3 = 33,7 tanβ= 1,5= a a= = 13,3 1,5 β= arctan 1,5= 56,3 Z.B.: c= a + b c= + 1,5 c= 4, A51- B. Willimann Seite 3 /

4 Aufgabe 7: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse dreimal so lang wie die Kathete a. Berechnen Sie die Winkel α und β : A a 1 cosβ= = = H 3a 3 1 β= arccos = 7,5 3 α= 9 β= 9 7,5 = 19,5 Aufgabe 8: a) Unter welchem Elevationswinkel α erscheint die Spitze eines 161 m hohen Doms von einer Stelle aus, die in horizontaler Richtung e = 15 m vom Fuss des Turmes entfernt ist? Die Augenhöhe a beträgt 1.5 m. 159,5 tanα= ,5 α= arctan = 46,8 15 b) Um wie viele Meter berechnen Sie die Turmhöhe zu niedrig wenn Sie den in a) gemessenen Winkel α auf das nächste Winkelgrad abrunden? Also: α = 46, e = 15, v=? v tanα= e v= e tanα v= 15 tan 46 v= 15 tan 46 = 155,3 Die Turmhöhe wird um 161 (155,3 + 1,5) = 4, m zu niedrig gemessen A51- B. Willimann Seite 4 /

5 Aufgabe 9: Welchen Flächeninhalt hat ein Parallelogramm (Rhomboid) wenn folgende Grössen gegeben sind: a) a = 8 cm, d = 1 cm, α = 6 o h a G sinα= = H d = d sinα ha Fläche Rhomboid = Grundseite mal Höhe: A = a h A ABCD ABCD a = a d sinα remember: sin 6 = 3 : = 1 = = 1 A ABCD 8 1 sin ,3 b) a = 1 m, b = 7,5 m, β = 15 o 1. α= 18 β= = 55. d= b 3. also: a, d, α bekannt wie in a): A ABCD = a d sinα A ABCD= 1 7,5 sin55 = 9 sin55 = 73,7 A51- B. Willimann Seite 5 /

6 Aufgabe 1: Berechnen Sie die Höhenabschnitte p und q sowie die Höhe h des rechtwinkligen Dreiecks wenn folgende Grössen gegeben sind: a) a = 6 c = 1 b= 1 6 = 8 Kathetensatz: Höhensatz: b h = pc b 64 p= = = 6,4 c 1 q= c p= 1 6,4= 3,6 = pq h= pq= 6,4 3,6= 4,8 b) b = 4,5 α = 43,5 o h sin b = α h= b sinα h= 4,5 sin 43,5 h= 3,1 p cos b = α p= b cosα p= 4,5 cos 43,5 p= 3,3 Höhensatz: h = pq ( b sinα) h b sin α q= = = =,9 p b cosα cosα c) a = 8 α = 8 o β = 6 o a tan b = α ; a b= = 15,46 tanα Pythagoras: c = a + b c h a b = (Dreieckesfläche) Kathetensatz: Kathetensatz: b a = pc = qc a tan α a b 8 15,5 h= = = 7,7 c 17, 4 c= a + b = a + = 17,4 b 15,46 p= = = 13,9 c 17,4 a 8 q= = = 3,76 c 17,4 A51- B. Willimann Seite 6 /

7 d) c = 14,5 m β = 48,5 o α = 41,5 o a cos c = β; a= c cosβ b cos c = α ; b= c cosα Kathetensatz: pc qc = b = a Höhensatz: h= pq b c cos α c c a c cos β = = = c c cos β= 6,37 p c cos = = = α= 8,13 h= c cos α c co β= c cosα cosβ= 7, s Ein Tipp: Da die Geometrie auf konstruktive Weise dieselben Ergebnisse liefert wie die, können Sie anstelle einer Skizze gleich die exakte Konstruktion nach den Kongruenzsätzen durchführen, das dauert nicht wesentlich länger; Sie bekommen dafür dann eine Kontrollmöglichkeit ob Ihre berechneten Längen und Winkel in etwa stimmen. Längen stimmen fast auf den Millimeter, Winkel etwa auf ein Grad genau. Messen Sie die Resultate von d) in der Konstruktion oben nach! A51- B. Willimann Seite 7 /

8 So dazwischen zum durchatmen: Beantworten Sie die Frage jeweils innerhalb von 3 Sekunden nach dem Lesen: a. Monikas Vater hat 5 Töchter. Sie heissen Lala, Lele, Lolo und Lulu wie heisst die fünfte Tochter? b. Sie nehmen an einem Hundertmeterlauf teil. Sie überholen den Zweiten auf welchem Platz sind Sie jetzt? c. Sie nehmen an einem Hundertmeterlauf teil. Sie überholen den Letzten auf welchem Platz sind Sie jetzt? A51- B. Willimann Seite 8 /

9 Aufgabe 11: Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge a: H G E F a) Berechnen Sie den Winkel α, den die eingezeichnete Körperdiagonale mit der vorderen, unteren Kante bildet b) Berechnen Sie den Winkel β den die eingezeichnete Körperdiagonale mit der linken Flächendiagonalen bildet D C A B Zuerst die Figur betrachten und nicht drauflos rechnen! Man stellt fest: ABGH ist ein Rechteck! (Begründen Sie!) Demzufolge ist β = 9 - α, die Aufgabe b) erübrigt sich also. Es reicht nun α zu berechnen. Wir wählen Winkel ist. Kopfgeometrie ohne das Dreieck in wahrer Grösse zu zeichnen: Ankathete von α : Strecke AB - Würfelseite s Gegenkathete von α : Strecke BG Flächendiagonale d= s Hypothenuse: Strecke AG Körperdiagonale k= s 3 ABG und stellen fest, dass ABG ein rechter Also wählen Sie eine Winkelfunktion aus die heute gerade zu Ihrer Stimmung passt und berechnen Sie mit der entsprechenden Arkusfunktion α : Beispiel Kosinus: A s 1 cosα= = = H s α= arc cos = 54,74 und damit 3 β= 35,6 A51- B. Willimann Seite 9 /

10 Aufgabe 1: Berechnen Sie von folgendem Drachenviereck die Fläche A: 3,7 cm 5,8 cm e 11 o m + n = f Sei e die vertikale Diagonale e und die horizontale f; diese sei durch die Diagonale e in den linken Teil m und den rechten Teil n aufgeteilt. Wir lenken alle unsere Aufmerksamkeit auf das obere linke Teildreieck (an der Prüfung machen Sie eine Skizze!) und nennen den Winkel links α. 1. α misst 56 o ; da ein Drachenviereck der Diagonalen, die von der anderen NICHT halbiert wird symmetrisch ist.. Mit der Gegenkathete e erhalten wir: e sin 3,7 = α ; e= 3,7 sin56 = 6,135 Mit der Ankathete m erhalten wir: m cos 3,7 = α ; m= 3,7 cos56 =,69 Wir lenken alle unsere Aufmerksamkeit auf das obere rechte Teildreieck (an der Prüfung machen Sie eine Skizze!) und nennen den Winkel rechts β. 3. e tan 5,8 = α ; 6,135,59 tan α= arctan,59 = 7,88 (ist aber nicht gefragt; 5,8 = = α ; ( ) man soll auch nicht zu viel rechnen an einer Prüfung also Punkt 3 vergessen) 4. Pythagoras: e = 6,135 n 5,8 n= 5,8 = 4,9 Somit ergibt sich für die Diagonale f: f= m+ n=,69+ 4,9= 6, Wir haben nun die Längen der Diagonalen berechnet: e = 6,135 und f = 6,991 Die Fläche des Drachens ergibt sich nun zu: e f 6,135 6,991 ADrachen= = = 1,44 cm A51- B. Willimann Seite 1 /

11 Aufgabe 13: Zürich liegt auf einer geografischen Breite von 47,3 o, der Erdradius R beträgt 637 km. a) Welchen Umfang hat der Breitenkreis mit Radius r, auf dem Zürich liegt? Aus der Zusatzskizze können wir entnehmen: r A cos 47,5 = = ; r= R cos 47,5 R H u= π r= π R cos 47,3 = π 637,678= 714,6 km b) Mit welcher Geschwindigkeit (km/h) dreht sich Zürich um die Erde? In 4h einmal rum, dideldum: Ein Dreisatz: 4h 714,6 km 1h 113,9 km Zürich dreht sich mit 1131 km/h um die Erde A51- B. Willimann Seite 11 /

12 Aufgabe 14: Jedes regelmässige Vieleck (reguläres n-eck oder Polygon) besitzt einen Inkreis und einen Umkreis. Gegeben ist ein reguläres Fünfeck mit einem Umkreisradius R = 1 cm. r a) Wie gross ist der Zentriwinkel α? 36 α= = 7 5 α R s b) Wie lang ist die Seite s des Fünfecks? Wir betrachten 'einen Zehntel' des Fünfecks: (Skizze nebenan) s s sin36 = = ; s= R sin 36 R R s= R sin36 = 1,1756R c) Wie lang ist der Inkreisradius r? r cos 36 = ; r= Rcos36 =,89R R d) Wie gross ist die Fünfecksfläche A 5? Aus der Skizze ist abzulesen: s R sin36 R sin36 r r Rcos36 1 Fläche des Dreiecks = 5= = = = R sin36 cos 36 A5 besteht aus 1 solchen Dreiecken: 1 A5= sin36 cos36 R =,5,5878,89=,378R A51- B. Willimann Seite 1 /

13 Aufgabe 15: Es soll die Breite b eines Flusses gemessen werden. Zu diesem Zweck wird dem Ufer entlang eine Standlinie AB= 3 mabgesteckt. Punkt A genau gegenüber (also senkrecht zur Standlinie) steht ein Baum C, der von B unter dem Winkel ( ) wird. ABC = 34 gesehen Sie können's schon bald auswendig: b G tan34 = = 3 A b= 3 tan34 =,4 m Aufgabe 16: Berechnen Sie den Umkreisradius eines regulären Achtecks mit Seitenlänge s = 5 cm. Wir betrachten wieder dasselbe Teildreieck wie in Aufgabe 14. Der Zentriwinkel einer Seite eines Achtecks ist 45 o, der Winkel in nebenstehendem Dreieck die Hälfte davon. Zu beachten: In Aufgabe 14 war der Umkreisradius gegeben, hier ist es die Seite. s G s sin,5 = = = H R R R sin,5 = s s R= = 1,37s sin,5 Nun ist Zeit, diese Formel zu verallgemeinern: Allgemein für ein n-eck gilt: 1 Rn= s n 36 sin n A51- B. Willimann Seite 13 /

14 Aufgabe 17: Berechnen Sie den Flächeninhalt eines regulären 9-Ecks mit Seitenlänge s = 5 cm. Aus nebenstehender Skizze entnehmen wir: s9 = tan und damit ergibt sich: r 9 (die Umformungen sind Ihnen nun geläufig) s9 r9= tan Damit ist die Dreiecksfläche: s9 s9 r9 s9 s9r9 tan s9 5 = 9 = = = = 14,6 cm 4 4 8tan 8,364 = Und damit ist die Neunecksfläche (18 mal die Dreiecksfläche): A = cm = 386,8 cm 9 Abschätzung: Man nehme die Kreisfläche mit r= r9 : s 9 5 Inkreis=π 9=π =π = A r 375,4 cm tan tan Diese ist etwas kleiner als die 9-Eck-Fläche Damit hätten wir den Maturastoff im Kasten! A51- B. Willimann Seite 14 /

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