( ) Formelsammlung. Kombinatorik. Permutation: ohne Wiederholung. n! = n (n - 1) (n - 2) n= alle Elemente. Permutation: mit Wiederholung

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1 Formelsammlug Kombiatori Permutatio: ohe Wiederholug! = ( - 1) ( - 2) = alle Elemete Permutatio: mit Wiederholug!! P, = = usw. = gleiche Elemete! 1! K 2! Stichprobe (SP) = geordete Auswahl Geordete SP: ohe Zurüclege v =! = Azahl Elemete oder SP ( )! v = Variatioe Geordete SP: mit Zurüclege v = ugeordete SP: ohe Zurüclege! v ( ) = =! ( )! ugeordete SP: mit Zurüclege ( r + 1 ) ( r + 1 ) ( r + 1)! r = Azahl versch. V = = = Elemete r - 1! (r 1)! = Umfag der SP

2 Wahrscheilicheitsrechug I Häufigeitsbegriff = Umfag der SP h (E) + h (E) = 1 h (E) = 1 h (E) = oder = ud A = icht A e i = Elemetarereigis (e i ) = absolute Häufigeit h (e i ) = relative Häufigeit La Place-Experimet: Gleichwahrscheilicheit jedes Ereigis gleiche Wahrscheilicheit p (e 1 ) = p (e 2 ) = p (e ) = e = Elemetarereigis p(e ) = Wahrscheilicheit vo e E g = Azahl Elemetarereigisse p (E) = = S m 1 Bedigte Wahrscheilicheit (B / A) = A B p (R/W) = bedigte Wahrscheilicheit R uter Hypothese vo W p(b / A) = P (A B) rel. Häufigeit p (A) Multipliatiossatz p (A B) = p (A) p (B / A) = p (B) p (A / B)

3 Wahrscheilicheitsrechug II Uabhägige Ereigisse (A / B) = A (A B) = A B p (A / B) = p (A) (A B) = A +B p (A B) = p (A) p (B) Totale Wahrscheilicheit (=vollstädige) P (B) = Σ p (A i ) p (B / A i ) = p(a 1 ) p (B / A 1 ) + p (A 2 ) Satz vo Bayes (Ereigis ist eigetrete. Wie gross ist der Ateil eier bzw. zweier Ursache?) p (A j / B) = p (A j ) p ( B / A j ) Σ p(a j ) p (B / A j ) p (A 1 /B) = p (A 1 ) p (B/ A 1 ) p (A 1 ) p (B / A 1 ) + p (A 2 ) p (B/ A 2 ) S = A 1 + A 2 Wahrscheilicheitsfutioe X : S R e : Elemtarereigis des Ereigisraumes S e x p (x ) : Azahl aller Elem.ereigisse vo S - Futioe, die auf s defiiert sid eie Zufallsvariable (X) Verteilugsfutio F(x ) = p (x 1 ) + p (x 2 ) p (x ) = Σ p (x ) Modus: p (x ) max. = x Erwartugswert (Mittelwert theoretisch): µ = Erwartugswert (Mü) µ = E (X) = Σ x i p (x i ) σ = Stadardabweichug (Sigma) σ 2 = Variaz µ (a X + b) = a µ (x) + b lieare Trasformatio µ (y) =

4 Variaz V (X) = Σ (x µ) 2 p (x i ) ürzer: V (X) = Σ x i 2 p (x i ) - µ 2 li. Tras.: V (a X +b) = a 2 V(x) Streuug / Stabdardabweichug σ (X) = V (X) Li. Trasformatio: σ (a X + b) = a σ (X) = +- a Wahrscheilicheitsfutio x x 1 x 2 x 3 p(x ) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x 3 ) Stadardisierte (lieare) Trasformatio: ormale Zufallsgrösse } z = X µ => µ = 0 σ σ = 1 Ugleichug vo Tschebyschew (ugeaue Schätzug) I [µ - a; µ + a] P( x - µ a) σ 2 µ 2 a = Abweichug 1 = Ausschuss 1 σ 2 = σ 2 = 1 a = σ a 2 = 2 σ 2 2

5 Gleichverteilte (disrete) Zufallsgrösse p(x i ) = 1 r i = 1, 2,..., r µ = r V = v σ = v Wahrscheilicheitsfutioe II Beroulli-Experimet (uabhägige Wiederholuge) P (E) = p P (E) = 1 - p = q Wahrscheilicheitsfutio: xi 1 0 p(x i ) p 1 - p Beroulli - Kette P = p = g ; p (E) = 1 - p = q = g g = güstige N = mögliche ( ) P (, p, ) = p q = 0, 1, 2,..., = Azahl Versuche K = Azahl Ereigisse x Verteilfutio: F (x) = P (X x) = Σ ( ) p q - = 0 Biomialverteilug [HP Solve E2] Abweichug vo σ: b (x) = ( ) p x (1 - p) x - 2σ µ 2σ { x verdächtig, aber i. O. Erwartugswert: µ = p - 3σ µ 3σ aum vorhade,. i. O. Variaz: σ 2 = p q σ pratisch = Streuug: σ = p q σ theoretisch

6 Faires Spiel: So viel wie ma im Durchschitt eisetzt, soll ma auch beomme. Poissoverteilug (Aäherug a Biomialverteilug) [HP Solve E4] p (X) = Π (x) = e -µ µ x 50 x! p 0.1 x = Erfolge σ 2 ( ) = p q = µ 1 - µ µ = σ 2 σ = µ theoretisch; µ = p theoretisch σ = ( x µ) pratisch N(x) = N Π (x) 1 N = total Azahl 1 = absoluter Ateil Vergleich: Π (x) - h(x) = H

7 Wahrscheilicheitsfutioe III Normalverteilug (arbeite mit Gauscher-Formel, asoste Tschebyschew) Stadardisierte Biomialverteilug (disrete Var.) (symetrisch) z = (µ) = x - µ = prat. σ µ 0 σ theor. Σ σ 1 Dichtefutio der stadardisierte Biomialverteilug Φ (x) = 1 -x 2 e 2 Φ = Phi µ = 0 2 Π σ = 1 Normalverteilte Zufallsgrösse (stetig ZG) F(x) = = 1 ( [ ]) exp x - µ σ 2 Π σ 2 Zweiseitige NV: P = ( 60 x 100) Stadard. P = ( z 4.08) Regel: 1 Φ (-z) = 1 Φ (z) 2 P ( x z) = 2 Φ (z) -1 P = Φ (Z 2 ) Φ (z 1 ) 3 P (x 20) = P (z 5) σ = 2; µ = 10 4 P ( x - µ c) = P ( x - µ c) = P ( z c) σ σ σ 5 P (x 750) = P (z 0.625) Stadardisierug Φ (a) = a = 1.96 zwische bedeutet (... x...)

8 Beurteilede Statisti I Schätzproblem a) Stichprobe (SP) (zufällig ud uabhägig) b) Stichprobemittel X = 1 Σ X i i = 1 µ (X) = µ (X) σ 2 (X) = σ 2 (X) σ (X) = σ (X) (=Stichprobefehler) (E) P (E) = p Soderfall: N, da folgede Formel: N = Azahl Stichprobe σ (X) = σ (X) 1 N = Azahl Elemete der Stichprobe Beurteilede Statisti II 2. Vertaueitervalle a) Vertrauesitervalle für ubeates µ = Azahl SP T = [x c; x + c] = Umfag der SP γ = Sicherheitswahrscheilicheit γ = P ( x µ c γ ) c = Abw. vo x P (z) z γ ) Bei ormalverteilter Zufallsgrüsse σ = µ =? = x = [ I = x - z γ σ ; x + z γ ] σ z γ = c γ ; c γ = z γ σ Vertrauesitervallberechug Σ

9 Regel: C γ = tatsächliche Abweichug vo µ, abh. Vo γ 1. Φ(z γ ) = 1 + γ z = Stadard µ 2 z γ = Stad. Wert i Abh. Vo Sicherheit γ Φ(z γ ) = 0, siehe gelbes Blatt z γ = 2. P ( z z γ ) = 2 Φ (z γ ) 1 3. Läge des Vertrauesitervall: L = 2 σ z γ ( ) 4. = 2 z γ σ L 2 γ = 2 Φ(z γ ) - 1 falls ( x µ x) γ = 1 (2 Φ (z γ ) - 1) falls ( x - µ x) x ist midestes 5 x 5 5, 6, 7,..., x ist mehr als 5 x > 5 6, 7, 8,..., x ist geau 5 x = 5 5 x ist höchstes 5 x 5 5, 4, 3, 2, 1, 0 x ist leier 5 x < 5 4, 3, 2, 1, 0 P( x - µ) > 20) = 1 - P ( x µ 20)