Formeln zur Statistik Statistik - Neff

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1 Formel zur Statst Statst - Neff (.) Mttelwert, Varaz be Ezelwerte (.) Frehetsgrade (.3) Abwechugsquadrate (.4) Leare Efach-Regresso (.5) Multple leare Regresso, DW-Tabelle (.6) A'-Regresso (.7) V T Regresso (.) Learer Tred ud Sasoschwauge (.) Logstscher Tred (.3) Gletede Mttelwerte (.4) Wachstumsfatore (.5) Expoetelles Glätte (3.) Kozetratosmaße (3.3) Häufgetsvertelug (4.) Wahrschelchet (4.) Ch -Uabhäggetstest (4.3) Dsrete Zufallsvarable (4.4) Stchprobemttel (4.5) Stetge Zufallsvarable (5.) Bomalvertelug (5.) Hypergeometrsche Vertelug (5.3) POISSON-Vertelug (5.4) Normalvertelug (5.5) Stadard-Normalvertelug (5.6) Approxmatosbedguge (5.7) Apassug ud Korreturfatore (5.8) Ch - Apassugstest (6.) Kofdeztervall (6.) Hypothesetest (6.3) σ ubeat (6.4) Stchprobe ohe Zurüclege Tabelle (7.) Bomalvertelug (7.) POISSON-Vertelug (7.3) Tabelle FISHER-Prüfmaß xf (7.4) Tabelle Ch -Prüfmaß χ (7.5a) Tabelle STUDENT-Prüfmaß F(t) (7.5b)Tabelle STUDENT-Prüfmaß D(t) (7.6) Stadardormalvertelug F SN

2 Formel zur Statst Statst - Neff (.) Maßzahle be Ezelwerte Mttelwert be N bzw. Ezelwerte x I der Grudgesamthet N N µ x der Stchprobe: x x Abwechugsquadrate A ( ) ( ) x x x x x 0 Varaz be N bzw. Ezelwerte x N der Grudgesamthet: ( ) N σ x µ x µ σ N N der Stchprobe: ( ) Stadardabwechug der Grudgesamthet: s x x x x σ σ σ der Stchprobe: s s (.) Frehetsgrade ν "ü" Frehetsgrade ν (df, degrees of freedom) st de Azahl der fre wählbare, uabhägge Ezelwerte, de de statstsche Berechuge ebezoge werde öe. a) be der Stchprobevaraz - b) bem FISHER-Prüfmaß ν -p- p Azahl der Eflussgröße c) bem STUDENT-t-Prüfmaß der multple Regresso: ν -p- m Hypothesetest: ν - d) bem Ch -Prüfmaß χ m Uabhäggetstest ν ( - ) (l - ) m Apassugstest ν p (.3) Abwechugsquadrate be Regressosaalyse SS "Sum of Squares", Summe der Abwechugsquadrate A MS Mttlere Summe der Abwechugsquadrate, Varaz σ, Mea Sum of Squares p Azahl der Eflussfatore Error ( ˆ ) SS Resdue A y y e MS A y y SS MS Res Resdue ( y yˆ ) SS - p - p ( y y ) SSGesamt Gesamt ( ) Gesamt Gesamt σ SS Regresso ( yˆ y ) ˆ erlärt ( ) Regresso erlärt p p A y y SS MS Bestmmthetsmaß Adjustertes Bestmmthetsmaß MS FISHER-Prüfgröße xf empr MS r ( yˆ ) ( ) ( ˆ y y y y y ) s erlärt : s gesamt ( y y ) r MS Resdue adjust MSGesamt erlärt Resdue

3 Formel zur Statst Statst - Neff (.4) Leare Efach-Regresso ŷ m x + b Summe der Abwechugsquadrate Regressosoeffzete Korrelatosoeffzet Bestmmthetsmaß r Error ( ˆ ) A y y e x ( ) x x y x y m r ± FISHER-Prüfgröße xf empr ( ) m b y x x y x y ( x ( x ) ) y ( y ) r MS r MS erlärt Resdue ( ) De Nullhypothese wrd verworfe, we xf emprsch > xf c, α ν (.5) Multple leare Regresso p Eflussfatore, ν -p- Frehetsgrade De Nullhypothese wrd verworfe, we xf emprsch > xf c, α p ν Sgfater Betrag des Eflussfators x, we t emprsch > t c, α ν Tabelle 7.5a Sgfate Iterorrelato zwsche de Eflussfatore x j, x, we r j > 0,5. Sgfate Autoorrelato, we für de DURBIN-WATSON-Prüfgröße glt: DW [DW ute ; DW obe ] DW DW + ( e e ) e ( e e ) e (.6) A'-Regresso ŷ a ϕ(x) + b Asatzfutoe Summe der Abwechugsquadrate Normalglechuge ϕ(x) ( ) ϕ ( ) + A ( y a ϕ( x) b) a ϕ ( x ) + b ϕ ( x ) y ϕ( x ) a x b y Regressosoeffzete ϕ ϕ ( ϕ( x )) ( ( )) ϕ x y ( x ) y ( x ) a a b y ϕ( x )

4 Formel zur Statst Statst - Neff (.7) V T Regresso Leare Regressosmodelle ŷ(x) a 0 + a ϕ (x) + a ϕ (x) + + a ϕ (x) mt de Asatzfutoe ϕ (x) VANDERMONDE-Matrx V ϕ0( x0) ϕ( x0) ϕ ( x0) ϕ ( x ) ϕ ( x ) ϕ ( x ) ϕ0( xm) ϕ0( xm ) ϕ ( xm ) 0 VANDERMONDE-Glechug V a y V T V a V T y Iterpolatoswert für x z ŷ(z) a 0 + a ϕ (z) + a ϕ (z) + + a ϕ (z) (.) Learer Tred ud Sasoschwauge Kompoetemodell Sasoschwauge Irreguläre Restwerte Progosewerte y ŷ + s + r s y ŷ r s s j y ŷ î s j ˆp ŷ(x +z ) + s j s j s j (.) Logstscher Tred Asatzfuto Regressosoeffzete S * S yˆ y mx b + e + trasformert l y * * x y x y * m m b y x x x ( ) (.3) Gletede Mttelwerte vorausgehede ud achfolgede Zetrehewerte Ugerade bzw. gerade Ordug des gletede Mttelwerts ( ) y y y ɶ ɶ y y y m+ m+ - m - + m m- m-( -) (.4) Wachstumsfatore Idzes I0, Wachstumsfatore Mttlerer Wachstumsfator x B (Berchtsperode, Bassperode 0) B0 y Zuwachsrate r x y y GM ( x ) Mttlere Zuwachsrate y 0 (Es lege + y-werte y 0, y,, y vor) y y - 0

5 Formel zur Statst Statst - Neff (.5) Expoetelles Glätte Beobachtugswerte, Glättugsostate α Progosewerte, dret + α α - α α yˆ ( ) y ( ) y Geglättete Werte, reursv yˆ ˆ + α y + + ( α ) y Progose für THEIL'scher Uglechhetsoeffzet U ( y yˆ ) ( y ) y De Progose st sgfat besser als de ave Progose, we U < (3.) Kozetratosmaße Mermalsträger mt de Mege M ud de Atele a der Mermalsumme m. Atele a de Mermalsträger f. De atelsschwächste Mermalsträger. LORENZ-Kurve aus ( ) x y h m G-Koeffzet K G A ute mt ( ) (3.) spezell für h LORENZ-Kurve aus ( ) x y m GINI-Koeffzet K G A ute mt HERFINDAHL-Koeffzet K Herfdal m A y + y h A ute ute y (3.3) Häufgetsverteluge Stchprobeumfag, Azahl der Klasse, ersatzwese Klassemtte x * statt x. Relatve Häufgete h h Häufgetsdchte f x Emprsche Vertelugsfuto F F( x ) h h( X x ) Zetralwert (Meda) x z x mt F 0,5 Mttelwert x x x h Varaz s x x für 00. s Varatosoeffzet v x Stadardabwechug s + s für > 00. s x h x

6 Formel zur Statst Statst - Neff (4.) Wahrschelchet Statstsche Kovergez W ( h p ) lm lm( ) 0 (Treffer-Wahrschl. p) Allgemeer Addtossatz W(A B) W(A) + W(B) W(A B) Allgemeer Multplatossatz W(A B) W(A) W(B A) Uabhägge Eregsse W(A B) W(A) W(B) Vertelugsfuto F W(a < X b) F(b) F(a) (4.) Ch -Uabhäggetstest Zele (Azahl der Kategore vo X), l Spalte (Azahl der Kategore vo Y). Häufgete j für de -te Wert des Mermals X ud de j-te Wert des Mermals Y. Radhäufgete,, j. Berechete Häufgete u j Voraussetzug für Test u j 5 Normerte Abwechugsquadrate q j j ( ) j uj j j ( ) Ch l j u l j -Prüfmaß chemprsch χ emprsch q j j uj j j Frehetsgrade für χ crt ν α ν ( - ) (l - ) Uabhäggetshypothese wrd verworfe, we u j χ emprsch > χ crt.. (4.3) Dsrete Zufallsvarable Erwartugswert µ x f Erwartete Varaz Erwartete Stadardabwechug x f σ µ σ + σ (4.4) Stchprobemttel X + X X X ommt der Normalvertelug mt zuehmedem mmer äher. De X müsse cht selbst ormalvertelt se. De X müsse cht völlg voeader uabhägg se. Erwartugswerte µ ( X ) µ ( X ) Erwartete Varaze σ ( X ) σ ( X ) σ X σ

7 Formel zur Statst Statst - Neff (4.5) Stetge Zufallsvarable Dchtefuto f mt f(x) 0 ud f ( x) dx 00% Vertelugsfuto F x + F( x ) f ( x) dx W ( X x ) x lm F( x ) 00% Wahrschelchet W ( a X b) f ( x) dx F( b) F( a) [ F( x )] Erwartugswert µ x f ( x) dx Erwartete Varaz ( ) Erwartete Stadardabwechug b a σ x f ( x) dx µ x µ f ( x) dx σ + σ b a (5.) Bomalvertelug Treffer-Wahrschelchet p, q p, Azahl der Treffer x. Bomaloeffzete ( ) ( )... ( x + )! x x! x!( x)! Wahrschelchetsfuto W(X x) f,p (x) p q p ( p) x x Vertelugsfuto x x FB p ( ) f, p ( x) p q x 0 x 0 x Erwartugswert µ p Erwartete Varaz σ p q Erwartete Stadardabwechug σ + σ x x x x Tabelle 7. (5.) Hypergeometrsche Vertelug N Azahl der Elemete der Grudgesamthet, Stchprobeumfag M Azahl der Treffer der Grudgesamthet M N p Treffer-Wahrschelchet M M p. q p N N M N M x x Wahrschelchetsfuto W ( X x) fhyp, N, M ( x) N Erwartugswert µ p. Erwartete Varaz σ N p q N. Erwartete Stadardabwechug σ N Hyp σ N p q B N N

8 Formel zur Statst Statst - Neff (5.3) POISSON-Vertelug Erwartugswert µ p p µ ud q p Wahrschelchetsfuto x x ( ) µ µ µ fpo µ x e µ x! x! e Vertelugsfuto x µ µ FPo µ ( ) e x 0 x! Tabelle 7. Erwartete Varaz σ µ (5.4) Normalvertelug Dchtefuto fnorm µ,σ ( x) e σ π x µ σ x x µ σ Vertelugsfuto W ( X x) FNorm µ,σ ( x) e dx σ π (5.5) Stadard-Normalvertelug Dchtefuto f SN (z) e π z z 0, 4e z z Vertelugsfuto W ( Z z) FSN ( z) e π d z Tabelle 7.6 Erwartugswert µ 0 Stadardabwechug σ Stadard-Normalvarable x µ z σ bzw. x µ + z σ Stadardormalvarable z mt Stetgetsorretur x + 0,5 µ z σ (5.6) Approxmatosbedguge Übergag vo der Hypergeometrsche V. zur Bomal-V., we /N 0,05 Bomal-V. zur POISSON-V., we /p 500 Hypergeometrsche V. zur POISSON-V., we /N 0,05 ud /p 500 Bomal-V zur Normalvertelug, we σ p q > 9 Hypergeometrsche V. zur Normalvertelug, we /N 0,05 ud σ p q > 9 POISSON-V. zur Normalvertelug, we µ σ > 9 STUDENT-t-V. zur Normalvertelug, we > 30, be ormalvertelter Grudgesamthet we > 50, be ubeater Vertelug der Grudgesamthet

9 Formel zur Statst Statst - Neff (5.7) Apassug ud Korreturfatore µ, σ aus Grudgesamthet, x, s aus Stchprobe Dsrete Zufallsvarable X Stchprobemttel X x + 0,5 µ z (Stetgetsorretur) σ σ x µ σx z σ N /N > 0,05: σ orrgert σ N x µ x µ σ ubeat, < 30 bzw. < 50 t bzw. t s s (5.8) Ch - Apassugstest Klasse [x ute ; x obe ],,,,. Sgfazveau α. p st de Azahl der Parameter ( x, s), de aus der Stchprobe ermttelt werde. obe x x Stadardormalvarable z s Wahrschelchete W( < X x obe ) F SN (z ) Wahrschelchete w F SN (z ) F SN (z ) mt F SN (z 0 ) 0 Theoretsche Häufgete u w. Testgröße χ emprsch ( u ) Prüfmaß χ crt α ν Tabelle 7.5 Frehetsgrade ν p Etschedug Vertelugshypothese bestätgt, we χ χ u emprsch crt. (6.) Kofdeztervall Itervall σ σ µ x z c ; x + zc Itervall-Läge σ µ obe µ ute ε z c Abwechug ε x µ Stchprobeumfag Krtscher Wert Sgfazveau z c σ x µ x µ zc σ D(z c ) α

10 Formel zur Statst Statst - Neff (6.) Hypothesetest Itervall x [ µ z σ, µ + z σ X X ] Nullhypothese H 0 Emprscher Wert Sgfazveau H 0 wrd verworfe, we z emprsch > z rtsch x µ zemprsch σ D(z c ) α (6.3) σ ubeat, < 30 bzw. < 50 Krtscher Wert x µ temprsch s Sgfazveau D ν (t c ) α mt ν. (6.4) Stchprobe ohe Zurüclege, /N > 0,05 Stadardwechug des Stchprobemttels σ x σ N N N Notwedger Stchprobeumfag ε + ( N ) zc σ