Algebra II. 1 Löse die Gleichung und mache die Probe.

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1 D Algebra II 5. Gleichungen Lösungen Löse die Gleichung und mache die Probe. a) (3 5) = (5 + 5) jede reelle Zahl ist Lösung b) 8(a 3) + 3 a = (3a + 8)a keine Lösung c) ( )(3 4) = 3( ) = ; Probe: 0 d) ( 5)( 5) = 4 + ( + 3)( 3) =,5; Probe: 4 Löse die Gleichung nach auf. a) 6 a = 8a + b) 5b = 7 + 5b c) 4 = 8a (3a + ) = a = 4b = a 3 Löse die Gleichung. a) Von drei Zahlen ist die zweite doppelt so groß wie die erste und die dritte so groß wie die erste und zweite zusammen. Berechne die drei Zahlen, wenn die Summe 0 beträgt. Die Zahlen lauten 7, 34 und 5 b) Die Summe aus der Hälfte, dem Drittel und dem Viertel einer Zahl ist um 3 größer als die Zahl. Berechne die Zahl. 36 c) Die Zahl 84 ist so in drei Summanden zu zerlegen, dass jeder der folgenden Summanden um größer als der Vorgänger ist. Die drei Summanden sind 7, 8 und 9. d) Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 3 größer als die Einerziffer. Vertauscht man die beiden Ziffern, so entsteht eine Zahl, die um 0 größer als die Hälfte der ursprünglichen Zahl ist e) In einer dreistelligen Zahl ist die Hunderter- und die Zehnerziffer gleich groß. Die Einerziffer ist 7. Wie heißt die Zahl, wenn die Ziffernsumme 3 ist? Löse die Gleichung und führe eine Probe durch. (a 5)(a 5) (a + 3)(a 3) = 8 4a a = ; Probe: 4 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

2 D Algebra II 5. Gleichungen Lösungen Löse die Gleichung und mache die Probe. a) (3 5) = (5 + 5) jede reelle Zahl ist Lösung b) 8(a 3) + 3 a = (3a + 8)a keine Lösung c) ( )(3 4) = 3( ) = ; Probe: 0 d) ( 5)( 5) = 4 + ( + 3)( 3) =,5; Probe: 4 Löse die Gleichung nach auf. a) 6 a = 8a + b) 5b = 7 + 5b c) 4 = 8a (3a + ) = a = 4b = a 3 Löse die Gleichung. a) Von drei Zahlen ist die zweite doppelt so groß wie die erste und die dritte so groß wie die erste und zweite zusammen. Berechne die drei Zahlen, wenn die Summe 0 beträgt. Die Zahlen lauten 7, 34 und 5 b) Die Summe aus der Hälfte, dem Drittel und dem Viertel einer Zahl ist um 3 größer als die Zahl. Berechne die Zahl. 36 c) Die Zahl 84 ist so in drei Summanden zu zerlegen, dass jeder der folgenden Summanden um größer als der Vorgänger ist. Die drei Summanden sind 7, 8 und 9. d) Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 3 größer als die Einerziffer. Vertauscht man die beiden Ziffern, so entsteht eine Zahl, die um 0 größer als die Hälfte der ursprünglichen Zahl ist e) In einer dreistelligen Zahl ist die Hunderter- und die Zehnerziffer gleich groß. Die Einerziffer ist 7. Wie heißt die Zahl, wenn die Ziffernsumme 3 ist? Löse die Gleichung und führe eine Probe durch. (a 5)(a 5) (a + 3)(a 3) = 8 4a a = ; Probe: 4 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

3 D Algebra II 6. Umformen von Formeln Lösungen Forme die folgende Formel nach der gesuchten Größe um. s + 5t a) r = t =? 4r 8 t 4 5 b) p = [ a + 4b c ] 3 b =? [3(p + c) a] 4 Schreibe als Gleichung und löse diese. a) Verkürzt man die Seiten eines Quadrats um je 7 cm, so vermindert sich sein Flächeninhalt um 3 cm. a = 3 cm bzw. 0 cm b) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 48 cm, die Länge ist dreimal so lang wie die Breite. a = 6 cm, b = 8 cm c) In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel 3 4 des Winkels an der Spitze. Berechne die Winkel des Dreiecks. Gamma: 7 ; Basiswinkel: 54 d) In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 : 5. Der Flächeninhalt beträgt 60 cm. Wie lang sind die Seiten? a = 36 cm, b = 45 cm Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

4 D Algebra II 6. Umformen von Formeln Lösungen Forme die folgende Formel nach der gesuchten Größe um. s + 5t a) r = t =? 4r s 4 5 b) p = [ a + 4b c ] 3 b =? [3(p + c) a] 4 Schreibe als Gleichung und löse diese. a) Verkürzt man die Seiten eines Quadrats um je 7 cm, so vermindert sich sein Flächeninhalt um 3 cm. a = 3 cm bzw. 0 cm b) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 48 cm, die Länge ist dreimal so lang wie die Breite. a = 6 cm, b = 8 cm c) In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel 3 4 des Winkels an der Spitze. Berechne die Winkel des Dreiecks. Gamma: 7 ; Basiswinkel: 54 d) In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 : 5. Der Flächeninhalt beträgt 60 cm. Wie lang sind die Seiten? a = 36 cm, b = 45 cm Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

5 E Die Satzgruppe des Pthagoras 8. Der pthagoräische Lehrsatz Lösungen Zeichne die Koordinaten der Punkte auf Millimeterpapier. Berechne die Entfernung der Punkte. Überprüfe deine Rechnung durch Messen. 0 = cm a) P ( 7), Q (7 ) b) T ( 0), U (6 4) c) R ( 3 ), S (0 6) 7,8 cm 8, cm 5 cm Berechne die Seitenlängen des Dreiecks und ermittle den Umfang. 0 = cm a) A( 3), B( ), C (6 9) a = 0 cm; b = 7,8 cm; c =, cm; u = 9 cm b) A ( 8 ), B (5 4), C (7 0) a = 6,3 cm; b = 7,5 cm; c = 3,3 cm; u = 37, cm 3 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt und die Länge einer Kathete gegeben. Berechne die Länge der anderen Kathete, die Länge der Hpotenuse und den Umkreisradius. a) A = 480 m, a = 0 m b = 48 m, c = 5 m, r = 6 m b) A = 38 cm, b = 4 cm a = 34 cm; c = 36,8 cm; r = 8,4 cm c) A = 60 dm, b = 4 dm a = 5 dm, c = 4,5 dm, r =,5 dm 4 Kreistangenten Legt man an einen Kreis eine Tangente, so schließt die Tangente mit dem Radius zwischen Tangentialpunkt (T) und Mittelpunkt (M) einen rechten Winkel ein. T M z P Berechne die Länge der Strecke (Tangentenstrecke = TP). a) r = 4 mm, z = 74 mm b) r = 3 mm, z = 70 mm 70 mm 6,6 mm Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

6 E Die Satzgruppe des Pthagoras 8. Der pthagoräische Lehrsatz Lösungen Zeichne die Koordinaten der Punkte auf Millimeterpapier. Berechne die Entfernung der Punkte. Überprüfe deine Rechnung durch Messen. 0 = cm a) P ( 7), Q (7 ) b) T ( 0), U (6 4) c) R ( 3 ), S (0 6) 7,8 cm 8, cm 6,4 cm Berechne die Seitenlängen des Dreiecks und ermittle den Umfang. 0 = cm a) A( 3), B( ), C (6 9) a = 0 cm; b = 7,8 cm; c =, cm; u = 9 cm b) A ( 8 ), B (5 4), C (7 0) a = 6,3 cm; b = 7,5 cm; c = 3,3 cm; u = 37, cm 3 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt und die Länge einer Kathete gegeben. Berechne die Länge der anderen Kathete, die Länge der Hpotenuse und den Umkreisradius. a) A = 480 m, a = 0 m b = 48 m, c = 5 m, r = 6 m b) A = 38 cm, b = 4 cm a = 34 cm; c = 36,8 cm; r = 8,4 cm c) A = 60 dm, b = 4 dm a = 5 dm, c = 5 dm, r = dm 4 Kreistangenten Legt man an einen Kreis eine Tangente, so schließt die Tangente mit dem Radius zwischen Tangentialpunkt (T) und Mittelpunkt (M) einen rechten Winkel ein. T M z P Berechne die Länge der Strecke (Tangentenstrecke = TP). a) r = 4 mm, z = 74 mm b) r = 3 mm, z = 70 mm 70 mm 6 mm Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

7 E Die Satzgruppe des Pthagoras 9. Ebene Figuren Anwendung des pthagoräischen Lehrsatzes I Lösungen Von einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei der drei Bestimmungsstücke (Basislänge, Schenkellänge, Höhe auf c) gegeben. Berechne die dritte Größe, den Flächeninhalt und die Höhe auf einen Schenkel. a) a = 96 mm; c = 48 mm a) hc = 6, mm; A = 4 5,4 mm ; ha = 94, mm b) a = 8 m; h c = 4, m b) c = 3,6 m; A= 8,58 m ; ha = 7,45 m c) c =,6 cm; h c = 8,4 cm c) a = 0, cm; A = 48,7 c m ; ha = 9,54 cm Berechne die Dachschräge der Feuermauer. Ermittle den Flächeninhalt. a) b) 60 s s 5,5 m 6,5 m 7,6 m Dachschräge: 5,4 m Flächeninhalt: 56,38 m 6,7 m Dachschräge: 6,7 m Flächeninhalt: 9,99 m 3 Wie lang sind die eingetragenen Strecken? a) 3 m 3 m b) m 60 m 4 m z 4 m 3 m 3 m = 4,4 m; z =,83 m; = 9,9 m z = m; =,6 m; z = 5 m 4 Von einem gleichseitigen Dreieck ist die Seitenlänge a gegeben. Leite eine Formel für die Höhe ab. h = a 3 5 Von einem gleichseitigen Dreieck kennt man den Flächeninhalt A = 45 dm. Berechne die Seitenlänge und die Höhe des Dreiecks. A = a 4 3 a = 0, dm; h = 8,8 dm 6 In einem Kreis mit einem Radius r ist eine Sehne von der Länge s eingezeichnet. Wie lang ist der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt? a) s = cm; r = 6,5 cm b) s = 40 cm; r = 5 cm,5 cm 5 cm s M r Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

8 E Die Satzgruppe des Pthagoras 0. Ebene Figuren Anwendung des pthagoräischen Lehrsatzes II Lösungen Von einem Rhombus (Raute) beträgt α = 60. Berechne den Flächeninhalt und die Höhe. a) a = 5 cm b) a = 5,3 dm c) a = 3,8 m h = 4,3 cm; A =,6 c m h = 3,5 dm; A = 0,7 d m h = 3,9 m; A =,5 m Von einer rhomboiden Eternitplatte kennt man a und h. Berechne den Flächeninhalt und die Länge der beiden Diagonalen. a) a = 30 cm, h = 4 cm b) a = 5 cm, h = 4 cm e = 53,6 cm; f = 6,8 cm; A = 70 c m e = 40 cm; f = 30 cm; A = 600 c m 3 Bei einem Parallelogramm sind drei Bestimmungsstücke gegeben. Berechne den Umfang, den Flächeninhalt und die Länge der fehlenden Diagonalen. a) b = 68 mm, e = 56 mm, h a = 60 mm u = 360 mm; A = 6 70 mm ; f = 00 mm b) a = 5 mm, f = 45 mm, h b = 4 mm u = 350 mm; A = mm ; e = 58,8 mm 4 Von einem Trapez (siehe Skizze) kennt man die Längen a, b, d und die Höhe h. Berechne die Länge c, den Umfang und die Länge der beiden Diagonalen e und f. a = 63 mm, b = 45 mm, d = 39 mm, h = 36 mm c d e f b h c = mm, u = 68 mm, e = 5 mm, f = 60 mm a 5 Von einem gleichschenkligen Trapez sind der Flächeninhalt, die Basislänge c und die Höhe gegeben. Berechne den Umfang und die Länge der Diagonale. A = 43 m ; c = 0,8 m; h = 3,5 m a = 5, m; b = d = 5,3 m; u = 66,6 m; e = f = 5,99 mm 6 Berechne den Umfang des Deltoids. a) A = 64 mm ; e = 5 mm; a = 5 mm b) A = 6,9 m ; f = 4,4 m; b = 7,5 m u = 5 mm u = 34,4 m Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

9 Lösungen 0. Ebene Figuren Anwendung des pthagoräischen Lehrsatzes II 7 Die Figur zeigt einen Stern, für den der Abstand M zu den äußeren Punkten r beträgt, der Abstand M zu den inneren Punkten q beträgt. Der Zentriwinkel beträgt jeweils 45. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Sterns. a) r = 3 cm, q = cm A = 8,5 c m ; u = 9,9 cm b) r = 6 cm, q = cm A = 33,9 c m ; u = 38,39 cm q r 45 M Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

10 E Die Satzgruppe des Pthagoras 0. Ebene Figuren Anwendung des pthagoräischen Lehrsatzes II Lösungen Von einem Rhombus (Raute) beträgt α = 60. Berechne den Flächeninhalt und die Höhe. a) a = 5 cm b) a = 5,3 dm c) a = 3,8 m h = 4,3 cm; A =,6 c m h = 3,5 dm; A = 0,7 d m h = 3,9 m; A =,5 m Von einer rhomboiden Eternitplatte kennt man a und h. Berechne den Flächeninhalt und die Länge der beiden Diagonalen. a) a = 30 cm, h = 4 cm b) a = 5 cm, h = 4 cm e = 53,6 cm; f = 6,8 cm; A = 70 c m e = 40 cm; f = 30 cm; A = 600 c m 3 Bei einem Parallelogramm sind drei Bestimmungsstücke gegeben. Berechne den Umfang, den Flächeninhalt und die Länge der fehlenden Diagonalen. a) b = 68 mm, e = 56 mm, h a = 60 mm u = 360 mm; A = 6 70 mm ; f = 00 mm b) a = 5 mm, f = 45 mm, h b = 4 mm u = 350 mm; A = mm ; e = 53, mm 4 Von einem Trapez (siehe Skizze) kennt man die Längen a, b, d und die Höhe h. Berechne die Länge c, den Umfang und die Länge der beiden Diagonalen e und f. a = 63 mm, b = 45 mm, d = 39 mm, h = 36 mm c d e f b h c = mm, u = 68 mm, e = 5 mm, f = 60 mm a 5 Von einem gleichschenkligen Trapez sind der Flächeninhalt, die Basislänge c und die Höhe gegeben. Berechne den Umfang und die Länge der Diagonale. A = 43 m ; c = 0,8 m; h = 3,5 m a = 5, m; b = d = 5,3 m; u = 56 m; e = f =,5 mm 6 Berechne den Umfang des Deltoids. a) A = 64 mm ; e = 5 mm; a = 5 mm b) A = 6,9 m ; f = 4,4 m; b = 7,5 m u = 5 mm u = 34,4 m Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

11 Lösungen 0. Ebene Figuren Anwendung des pthagoräischen Lehrsatzes II 7 Die Figur zeigt einen Stern, für den der Abstand M zu den äußeren Punkten r beträgt, der Abstand M zu den inneren Punkten q beträgt. Der Zentriwinkel beträgt jeweils 45. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Sterns. a) r = 3 cm, q = cm A = 8,5 c m ; u = 9,9 cm b) r = 6 cm, q = cm A = 33,9 c m ; u = 38,39 cm q r 45 M Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

12 F Funktionen Gleichungen mit zwei Variablen. Graphische Darstellung Funktionsgleichung Lösungen Beschrifte den entsprechenden Graphen mit f, f 3,, f 7. Beispiel:f : = 5 f 5 : = 3 : = + 0 f 3 : = f 6 : = 4 + f 4 : = f 7 : = f a) b) 0 0 c) d) 0 0 e) f) 0 0 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

13 Lösungen. Graphische Darstellung Funktionsgleichung 0 dag einer bestimmten Wurstsorte kosten,0 a) Gib in einer Tabelle die Preise für dag, 0 dag, 0 dag und 30 dag an. b) Stelle die Zuordnung (Funktion) graphisch dar. c) Lies aus dem Schaubild ab, wie viel Dekagramm Wurst man für bekommt. d) Wie viel kosten dag Wurst? 3 Gegeben sind die Werte von k und d. Erstelle die Funktionsgleichung. a) k =, d = 3 b) k = 3, d = 5 c) k = 3 8, d = d) k = 3 5, d = 4 Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen im Intervall 4 < < +4 a) = b) = ( + ) c) = 3 5 Beim Obsthändler kosten kg Marillen,80. Familie Gsund fährt in die Wachau und bezahlt dort 0,90 /kg. Die Fahrtkosten betragen 8. Löse graphisch. a) Wie teuer sind 5 kg, 0 kg, 5 kg, 0 kg, beim Händler bzw. in der Wachau? b) Ab wann bzw. ab welcher Masse zahlt sich eine Fahrt in die Wachau aus? Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

14 F Funktionen Gleichungen mit zwei Variablen. Graphische Darstellung Funktionsgleichung Lösungen Beschrifte den entsprechenden Graphen mit f, f 3,, f 7. Beispiel:f f : = 5 f 5 : = 3 : = + 0 f 3 : = f 4 : = f 6 : = 4 + f 7 : = f a) b) 0 0 f 7 f5 c) d) 0 0 f 3 f4 e) f) 0 0 f f6 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

15 Lösungen. Graphische Darstellung Funktionsgleichung 0 dag einer bestimmten Wurtsorte kosten,0 a) Gib in einer Tabelle die Preise für dag, 0 dag, 0 dag und 30 dag an. Warenmenge Preis dag 0, 0 dag,0 0 dag,40 30 dag 3,60 b) Stelle die Zuordnung (Funktion) graphisch dar. Preis 4 3 Warenmenge dag 6,5 c) Lies aus dem Schaubild ab, wie viel Dekagramm Wurst man für bekommt. Für erhält man rund 6,5 dag Wurst. d) Wie viel kosten dag Wurst? dag Wurst 0, dag Wurst 0, 3 Gegeben sind die Werte von k und d. Erstelle die Funktionsgleichung. a) k =, d = 3 b) k = 3, d = 5 c) k = 3 8, d = = + 3 = = d) k = 3 5, d = 3 = 5 Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

16 Lösungen. Graphische Darstellung Funktionsgleichung 4 Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen im Intervall 4 < < +4 a) = b) = ( + ) c) = 3 a) = b) = ( + ) c) = Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

17 Lösungen. Graphische Darstellung Funktionsgleichung 5 Beim Obsthändler kosten kg Marillen,80. Familie Gsund fährt in die Wachau und bezahlt dort 0,90 /kg. Die Fahrtkosten betragen 8. Löse graphisch. a) Wie teuer sind 5 kg, 0 kg, 5 kg, 0 kg, beim Händler bzw. in der Wachau? Warenmenge Preis Händler Preis Wachau + Fahrtkosten 8 kg,80 0,90 8,90 5 kg 9 4,5,5 0 kg kg 7 3,5 3,5 0 kg Preis Warenmenge kg Händler Wachau Wachau + Fahrtkosten b) Ab wann bzw. ab welcher Masse zahlt sich eine Fahrt in die Wachau aus? Ab 0 kg zahlt sich eine Fahrt in die Wachau aus. Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

18 F Funktionen Gleichungen mit zwei Variablen 4. Tetaufgaben Lösungen Schreibe den Tet zunächst in Form von zwei Gleichungen auf. Löse dann das Gleichungssstem. a) In einer Jugendherberge können 45 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten. Es gibt nur Dreibett- und Fünfbettzimmer. Wie viele Zimmer von jeder Belegungsart gibt es? 0 Fünfbett- und 5 Dreibettzimmer b) Ein Boot erreicht flussabwärts eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 m/s, flussaufwärts bei gleichbleibender Strömung nur,5 m/s. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Bootes und die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses. Eigengeschwindigkeit des Bootes:,75 m/s; Strömung des Flusses:,5 m/s Schreibe als Gleichungssstem und löse dieses. a) Für ein Eishockespiel werden insgesamt Sitz- und Stehplätze verkauft. Für einen Sitzplatz werden 8, für einen Stehplatz verrechnet. Es wurden eingenommen. Wie viele Sitz- bzw. Stehplätze wurden verkauft? 4 59 Sitzplätze und 5 Stehplätze b) Frau Sparsam erhält bei der Bank 00 in insgesamt 3 Scheinen. Sie bekommt nur 5 - und 0- -Scheine. Welche Verteilung ergibt den Betrag? sieben 0- -Scheine und sechs 5- -Scheine 3 Mischungsaufgabe auch das kann mit einem Gleichungssstem gelöst werden. a) 4 Liter 65%iger Alkohol werden mit 36 Liter 80%igem Alkohol gemischt. Berechne den Alkoholgehalt der Mischung. 74 % b) Matthias fügt zu 5 kg einer 0%igen Salzlösung noch 3 kg Wasser hinzu. Wie viel prozentig ist die Mischung? 6,7 % 4 Aus der Geometrie: a) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 8 cm. Der Flächeninhalt wird um 30 cm größer, wenn die eine Seite um cm verlängert und die andere um 4 cm verkürzt wird. Berechne den Flächeninhalt beider Rechtecke. Rechteck a: 738 c m, Rechteck b: 868 c m b) Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 64 cm. Verkürzt man die Basis um 4 cm und lässt die Schenkel gleich, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Berechne die Basis, die Schenkellängen und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks. Basis 4 cm, Schenkel 0 cm, Flächeninhalt 9 c m Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

19 F Funktionen Gleichungen mit zwei Variablen 4. Tetaufgaben Lösungen Schreibe den Tet zunächst in Form von zwei Gleichungen auf. Löse dann das Gleichungssstem. a) In einer Jugendherberge können 45 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten. Es gibt nur Dreibett- und Fünfbettzimmer. Wie viele Zimmer von jeder Belegungsart gibt es? 0 Fünfbett- und 5 Dreibettzimmer b) Ein Boot erreicht flussabwärts eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 m/s, flussaufwärts bei gleichbleibender Strömung nur,5 m/s. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Bootes und die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses. Eigengeschwindigkeit des Bootes:,75 m/s; Strömung des Flusses:,5 m/s Schreibe als Gleichungssstem und löse dieses. a) Für ein Eishockespiel werden insgesamt Sitz- und Stehplätze verkauft. Für einen Sitzplatz werden 8, für einen Stehplatz verrechnet. Es wurden eingenommen. Wie viele Sitz- bzw. Stehplätze wurden verkauft? 4 59 Sitzplätze und 5 Stehplätze b) Frau Sparsam erhält bei der Bank 00 in insgesamt 3 Scheinen. Sie bekommt nur 5 - und 0- -Scheine. Welche Verteilung ergibt den Betrag? sieben 0- -Scheine und sechs 5- -Scheine 3 Mischungsaufgabe auch das kann mit einem Gleichungssstem gelöst werden. a) 4 Liter 65%iger Alkohol werden mit 36 Liter 80%igem Alkohol gemischt. Berechne den Alkoholgehalt der Mischung. 74 % b) Matthias fügt zu 5 kg einer 0%igen Salzlösung noch 3 kg Wasser hinzu. Wie viel prozentig ist die Mischung? 6,7 % 4 Aus der Geometrie: a) Der Umfang eines Rechtecks beträgt 8 cm. Der Flächeninhalt wird um 30 cm größer, wenn die eine Seite um cm verlängert und die andere um 4 cm verkürzt wird. Berechne den Flächeninhalt beider Rechtecke. Rechteck a: 738 c m, Rechteck b: 868 c m b) Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 64 cm. Verkürzt man die Basis um 4 cm und lässt die Schenkel gleich, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Berechne die Basis, die Schenkellängen und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks. Basis 4 cm, Schenkel 0 cm, Flächeninhalt 9 c m Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

20 G Körper I 5. Eigenschaften und Darstellungen von Körpern Lösungen Wahr oder falsch? Kreuze richtige Aussagen an. Begründe deine Antwort. Bei einem Quader gibt es je zwei verschieden lange Raumdiagonalen. Falsch, die Raumdiagonalen sind gleich lang. Bei einem Prisma sind alle Kanten gleich lang. Falsch, nicht alle. Bei einem Würfel sind die Raumdiagonalen gleich lang. Von einem Würfel ist die Raumdiagonale gegeben. Berechne die Seitenkante und das Volumen des Würfels. a) d = cm b) d = 5 cm a = 6,93; V = 33,6 cm 3 s = 4,4; V = cm 3 3 Gegegeben: Quader (Raumdiagonale d) Berechne die Längen der dritten Seitenkante und der Flächendiagonalen d, d, d 3. a) a = 4,0 mm b) a = 75 mm c) a = dm b = 4,0 mm c = 96 mm b = dm d = 49,0 mm d = 60 mm d = z dm a) c = 0,94 mm, d = 44,3 mm (44,7 ), d = 5, mm (5,3 ), d3 = 47,0 mm (46,95 ) b) b = 04 mm (03,7 ), d = 8 mm, d = 4 mm (4,3 ), d3 = mm (,8 ) c) c = z dm, d = + dm, d = z dm, d3 = z dm 4 Von einem Quader mit quadratischer Grundfläche kennt man das Volumen V = 08 mm 3 und die Höhe h =,0 mm. Berechne die Längen der Grundkante a, der Flächendiagonalen d, d, d und der 3 Raumdiagonalen d. a = 3,0 mm, d = 8,4 mm (8,38 ), d = d3 = 7,7 mm (7,69 ), d =,0 mm (,95 ) 5 Ermittle eine Formel zur Berechnung a) der Anzahl der Seitenkanten eines n-seitigen geraden Prismas. b) der Anzahl der Ecken eines n-seitigen geraden Prismas. a) zb: bei einem 5-seitigen geraden Prisma: 5 für Grundfläche, 5 für Deckfläche und 5 für Mantelfläche = 5; allgemein: n 3 b) zb: bei einem 6-seitigen Prisma: 6 für Grundfläche und 6 für Deckfläche = ; allgemein: n Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN

21 G Körper I 5. Eigenschaften und Darstellungen von Körpern Lösungen Wahr oder falsch? Kreuze richtige Aussagen an. Begründe deine Antwort. Bei einem Quader gibt es je zwei verschieden lange Raumdiagonalen. Falsch, die Raumdiagonalen sind gleich lang. Bei einem Prisma sind alle Kanten gleich lang. Falsch, nicht alle. Bei einem Würfel sind die Raumdiagonalen gleich lang. Von einem Würfel ist die Raumdiagonale gegeben. Berechne die Seitenkante und das Volumen des Würfels. a) d = cm b) d = 5 cm a = 6,93; V = 33,6 cm 3 s = 4,4; V = cm 3 3 Gegegeben: Quader (Raumdiagonale d) Berechne die Längen der dritten Seitenkante und der Flächendiagonalen d, d, d 3. a) a = 4,0 mm b) a = 75 mm c) a = dm b = 4,0 mm c = 96 mm b = dm d = 49,0 mm d = 60 mm d = z dm a) c = 0,94 mm, d = 44,3 mm (44,7 ), d = 5, mm (5,3 ), d3 = 47,0 mm (46,95 ) b) b = 04 mm (03,7 ), d = 8 mm, d = 4 mm (4,3 ), d3 = mm (,8 ) c) c = z dm, d = + dm, d = z dm, d3 = z dm 4 Von einem Quader mit quadratischer Grundfläche kennt man das Volumen V = 08 mm 3 und die Höhe h =,0 mm. Berechne die Längen der Grundkante a, der Flächendiagonalen d, d, d und der 3 Raumdiagonalen d. a = 3,0 mm, d = 8,4 mm (8,38 ), d = d3 = 7,7 mm (7,69 ), d =,0 mm (,95 ) 5 Ermittle eine Formel zur Berechnung a) der Anzahl der Seitenkanten eines n-seitigen geraden Prismas. b) der Anzahl der Ecken eines n-seitigen geraden Prismas. a) zb: bei einem 5-seitigen geraden Prisma: 5 für Grundfläche, 5 für Deckfläche und 5 für Mantelfläche = 5; allgemein: n 3 b) zb: bei einem 6-seitigen Prisma: 6 für Grundfläche und 6 für Deckfläche = ; allgemein: n Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 03 Mach mit Mathematik 4 ISBN