2 Fortführung der Differenzialrechnung... 48

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1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Grenzwerte Rekursive und explizite Vorgabe einer Folge Geometrische Folgen Geometrische Reihen Zusatz Grenzwert einer Folge Anwendung des Grenzwertbegriffs Die Euler sche Zahl e als Grenzwert einer Folge Blickpunkt: Die Zahl e beim Kugel-Fächer-Problem Das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Näherungswerten für eine Nullstelle Schüler-Referat Aufgaben zur Vertiefung Kompetenz-Check Bleib fit in Differenzialrechnung Fortführung der Differenzialrechnung Wendepunkte und höhere Ableitungen Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte Höhere Ableitungen und Krümmungsverhalten Kriterien für Extrem- und Wendepunkte Kriterien für Extremstellen Kriterien für Wendestellen Anwenden der Kriterien zur Untersuchung von Funktionen Vermischte Aufgaben Extremwertaufgaben Funktionenscharen Aufgaben zur Vertiefung Kompetenz-Check Lineare Gleichungssysteme Gauss-Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen Blickpunkt: Computertomografie Kompetenz-Check

2 6 Inhaltsverzeichnis 4 Funktionsanpassungen Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften Ausgleichende Interpolation Regression Taylor-Approximation Schüler-Referat Aufgaben zur Vertiefung Kompetenz-Check Integralrechnung Der Begriff des Integrals Orientierte Flächeninhalte Geometrische Definition des Integrals Integrale näherungsweise berechnen Grenzwertdefinition des Integrals Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand Integralfunktionen Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integration mithilfe von Stammfunktionen Berechnen von Flächeninhalten Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-achse Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen Weitere Anwendungen der Integralrechnung Volumina von Rotationskörpern Blickpunkt: Volumenbestimmung bei nicht rotationssymmetrischen Körpern Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion Aufgaben zur Vertiefung Exkurs: Integralrechnung im Altertum die Exhaustions-Methode Kompetenz-Check Bleib fit in Exponentialfunktionen und Logarithmen Exponentialfunktionen weitere Ableitungs- und Integrationsregeln Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen Die e-funktion Natürlicher Logarithmus und Ableitung von Exponentialfunktionen Ketten-, Produkt- und Quotientenregel Kettenregel Produktregel Quotientenregel Zusatz Ableitung der Logarithmusfunktion Zusatz Integration durch lineare Substitution Funktionsuntersuchungen Untersuchung von Exponentialfunktionen Untersuchung von Funktionenscharen

3 Inhaltsverzeichnis Wachstumsprozesse Beschreibung von Wachstumsprozessen mithilfe der e-funktion selbst lernen Differenzialgleichung exponentieller Prozesse Begrenztes Wachstum Logistisches Wachstum Vermischte Aufgaben Kompetenz-Check Bleib fit im Umgang mit Vektoren und Geraden Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene Punktprobe in der Parameterdarstellung einer Ebene selbst lernen Koordinatengleichung und Schrägbild einer Ebene Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene Blickpunkt: Licht und Schatten Lagebeziehungen von Ebenen Aufgaben zur Vertiefung Kompetenz-Check Skalarprodukt von Vektoren Berechnen geometrischer Größen Länge eines Vektors Abstand zweier Punkte Orthogonalität von Vektoren Winkelberechnung Orthogonalität zweier Vektoren Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene Parameterdarstellung und Koordinatengleichung einer Ebene Untersuchungen von Lagebeziehungen mithilfe von Normalenvektoren selbst lernen Aufgaben zur Vertiefung Kompetenz-Check Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen Bestimmen von Abständen zwischen Geraden und Ebenen Abstand eines Punkes von einer Ebene Die Hesse sche Normalenform einer Ebene Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zueinander windschiefer Geraden Operatives Verfahren Schüler-Referat Winkel zwischen Geraden und Ebenen Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen selbst lernen Exkurs: Descartes und die Entstehung der Analytischen Geometrie

4 8 Inhaltsverzeichnis 9.3 Beweisen mithilfe von Vektoren Beweisen mithilfe von Linearkombinationen Beweisen mithilfe von Skalarprodukten Kompetenz-Check Bleib fit in Binomialverteilungen Testen von Hypothesen bei binomialverteilten Zufallsvariablen Alternativtest Entscheidungsverfahren und mögliche Fehler Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit Einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest (Binomialtest) Einseitiger Hypothesentest (Binomialtest) siehe S Zweiseitiger Hypothesentest (Binomialtest) Varianz und Standardabweichung Wahrscheinlichkeiten von Sigma-Umgebungen Sigma-Umgebungen Sigma-Regeln Anwendung der Sigma-Regeln: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe Hypothesentest bei großem Stichprobenumfang Kompetenz-Check Normalverteilungen Approximation von Binomialverteilungen durch Normalverteilungen Normalverteilte Zufallsvariablen selbst lernen Bestimmen der Kenngrößen normalverteilter Zufallsvariablen Testen von Hypothesen bei normalverteilten Zufallsvariablen Erwartungswert und Standardabweichung des Stichprobenmittels Prognosen für das Stichprobenmittel Testen von Hypothesen über das Stichprobenmittel Exkurs: Stetige Zufallsvariablen Kompetenz-Check Vorbereitung auf das Abitur Aufgaben zum Pflichtteil Aufgaben zum Wahlteil Analysis Analytische Geometrie Stochastik Vernetzte Aufgaben

5 Inhaltsverzeichnis 9 Anhang Lösungen zum Kompetenz-Check Stichwortverzeichnis Verzeichnis mathematischer Symbole Einseitiger Hypothesentest (Binomialtest) Im Buch verwendete Symbole Alternativer Einstieg Partnerarbeit Gruppenarbeit thematisiert häufige Schülerfehler Einsatz eines Computer-Algebra-Systems sinnvoll Aufgabe zu einem Zusatzthema kennzeichnet Zusatzthemen kennzeichnet Abschnitte zum Selbst lernen In diesem Band wird an einigen Stellen auf die CD-ROM Mathematik interaktiv verwiesen, die dem Band 6 Elemente der Mathematik Baden-Württemberg beiliegt. Unter der ISBN können Sie diese CD auch einzeln bestellen.