Grundwissen Mathematik 5/1

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1 1 Wichtige Symole Grundwissen Mthemtik 5/1 Wichtige Symole Rechenrten Qudrtzhlen IN Menge der ntürlichen Zhlen { 1; ; 3; 4;... } IN 0 Menge der ntürlichen Zhlen einschließlich der Null {0; 1; ; 3; 4;... } GI Grundmenge IL Lösungsmenge leere Menge \V Vielfchenmenge z. B. \V 3 = {3; 6; 9;... } TI Teilermenge z. B. TI 1 = {1; ; 3; 4; 6;1}... ist Teilmenge von... z. B. {1; ; 3} IN 0... ist nicht Teilmenge von... z. B. {1; ; 3} {5; 6; 7; 8;...}... ist Element von... z. B. 6 {3; 6; 9;1;...}... ist nicht Element von... z. B. 5 {3; 6; 9;1;...}... vereinigt mit... z. B. {1;;3} {3;4;5} = {1;;3;4;5}... geschnitten mit... z. B. {1; ; 3} {3; 4; 5} = {3} =... ist gleich ist nicht gleich... <... ist kleiner ls... <... ist kleiner oder gleich... >... ist größer ls... >... ist größer oder gleich... ist Teiler von ist nicht Teiler von Die Rechenrten Term Termnme Summe 1. Summnd. Summnd Differenz Minuend Sutrhend 1 3 Produkt 1. Fktor. Fktor 1 : 3 Quotient Dividend Divisor : 3 1 = Potenz Bsis Grundzhl Exponent Hochzhl (Anzhl der Fktoren) Rechenzeichen/ Rechenrt ddieren dzuzählen vermehren sutrhieren wegnehmen vermindern multiplizieren vervielfchen mlnehmen dividieren teilen potenzieren Ergenis 15 Wert der Summe 9 Wert der Differenz 36 Wert des Produkts 4 Wert des Quotienten 178 Wert der Potenz 3 Qudrtzhlen = 4 6² = 36 10² = ² = ² = 34 3² = 9 7² = 49 11² = 11 15² = 5 19² = 361 4² = 16 8² = 64 1² = ² = 56 0² = 400 5² = 5 9² = 81 13² = ² = 89 5² = 65 Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

2 Grundwissen Mthemtik 5/ Rechenregeln und Rechengesetze in IN o (ntürliche Zhlen mit Null) 1 Die Zhl Null Für lle IN gilt: + 0 = z.b = 5 0 = 0 z. B. 5 0 = 0-0 = z.b. 5-0 = 5 0 : = 0 z. B. 0 : 5 = 0 : 0 = nicht definiert!!! (Mn drf nicht durch Null teilen!) Ü: ) = ) 1 0 = c) 1 0 = d) 1: 0 = e) 0 :1 = Rechenregeln Bechte folgende Reihenfolge Klmmern zuerst ( von innen nch ußen ) Potenzen Punktrechnung Strichrechnung Ü: ) 4 (3² + 7) 34 = ) 1 + (4 5) 3 = 3 Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz) der Addition + = + z. B = der Multipliktion = z. B. 3 4 = 4 3 Ü: ) = ) 1 9 = 4 Assozitivgesetz (Klmmergesetz) der Addition ( + ) + c = + ( + c) z. B. ( + 3) + 4 = + (3 + 4) der Multipliktion ( ) c = ( c) z. B. ( 3) 4 = (3 4) Ü: ) (45 + 7) + 8 = ) (83 4) 5 = 5 Distriutivgesetz (Verteilungsgesetz) ( + ) c = c + c z. B = ( ) 3 = = = 17 ( ) c = c - c z. B = (1000 ) 8 = =8000 B16 = 7984 ( + ) :c = :c + :c z. B. 31 :3 = ( ) : 3 = 300:3 + 1:3= = 104 ( ) :c = :c - :c z. B. 597 :3 = (600 3) : 3 = 600:3 3:3= 00 1 = 199 Ü: ) = ) 99 8 = c) 609 : 3 = d) 396 : 4 = Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

3 Gleichungen und Ungleichungen Grundwissen Mthemtik 5/3 Vrile (z.b. x; y; ; ; ) heißen die Pltzhlter für Zhlen. Gleichungen nennt mn Aussgen, die ein Gleichheitszeichen = enthlten. Ungleichungen nennt mn Aussgen, die ein Ungleichheitszeichen <; >; ; enthlten. Grundmenge ist die Menge von Zhlen, die für die Vrile eingesetzt werden dürfen. Alle richtigen Einsetzungen ergeen die Lösungsmenge der Gleichung oder Ungleichung. Mn löst solche Aufgen durch Proieren oder mithilfe der Umkehrufge. Beispiel: 11 x = 11 G I = {9;11;13;15} Proieren: 11 9 = 11 (f) Umkehrufge: 11 : 11 = x = 11 (w) x = = 11 (f) IL = {11} = 11 (f) IL = {11} Üungen: 1.0 Bestimme die Lösung der Gleichungen in der Grundmenge IN : x = x 8 = = 11 + x : x = x 53 = x + x = 76.0 Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichungen in der Grundmenge IN. Wenn mn keine ntürliche Zhl, findet ist die Lösungsmenge die leere Menge ( IL = )!.1 x + 97 < x + 4 < > 13 x : x < > 16 + x.6 x:60< Fülle die zweite und dritte Splte der Telle pssend us. Ungleichung Grundmenge Lösungsmenge Beispiel: 157 < x < 166 \V ={; 4; 6; 8; 10;...} IL = { 158; 160; 16;164} < x 497 IU = {1; 3; 5; 7;...} > x > 63 \V 3 = { 4.0 Fülle die erste und zweite Splte der Telle pssend us: Ungleichung Grundmenge Lösungsmenge Beispiel 30 x 40 IN {30; 31 ;3; 33;...40} 4.1 \V 7 = {7; 14; 1;...} 4. \V 5 = {50; 55; 60; 65} Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

4 Grundwissen Mthemtik 5/4 1 Mßeinheiten Geld 1 = 100 ct : Euro, ct : Cent Beispiele: 3,3 = 33 ct 671 ct = 67,1 Ü: ct = 43 ct = ct 50,13 = ct Zeit 1 = 365 d : Jhr 1 d = 4 h d : Tg 1 h = 60 min h : Stunde 1 min = 60 s min : Minute 1 s s : Sekunde Beispiele: 7 h = 3d 10 min = h Ü: 360 s = min d 1 h = h 100 min = h min Msse (Gewicht) Umwndlungszhl t = 1000 kg t : Tonne 1 kg = 1000 g kg : Kilogrmm 1 g = 1000 mg g : Grmm 1 mg mg : Milligrmm Beispiele: 6000 kg = 6 t 34 kg = mg Ü: g = kg 3 t 890 kg = g mg = kg g Länge Umwndlungszhl km = 1000 m km : Kilometer Umwndlungszhl 10 1 m = 10 dm m : Meter 1 dm = 10 cm dm : Dezimeter 1 cm = 10 mm cm : Zentimeter 1 mm mm : Millimeter Beispiele: 450 cm = 45 dm 3 km = cm Ü: mm = m; 4 km 6 m 5 dm = cm; cm = m dm cm Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

5 Grundwissen Mthemtik 5/4 Mßeinheiten Flächeninhlt Umwndlungszhl km =100 h km : Qudrtkilometer 1 h = 100 h : Hektr 1 = 100 m : Ar 1 m = 100 dm m : Qudrtmeter 1 dm = 100 cm dm : Qudrtdezimeter 1 cm = 100 mm cm : Qudrtzentimeter 1 mm mm : Qudrtmillimeter Beispiele: cm = 1 m = dm Ü: dm = 678 h = m 5 km 1 = Ruminhlt Umwndlungszhl m 3 = 1000 dm 3 m 3 : Kuikmeter 1 dm 3 = 1000 cm 3 dm 3 : Kuikdezimeter 1 cm 3 = 1000 mm 3 cm 3 : Kuikzentimeter 1 mm 3 mm 3 : Kuikmillimeter 1 hl = 100 l hl : Hektoliter Umwndlungszhl 10 1 l = 10 dl = 1 dm 3 l : Liter 1 dl = 10 cl dl : Deziliter 1 cl = 10 ml cl : Zentiliter 1 ml = 1 cm 3 ml : Milliliter Beispiele: 13 cm 3 = mm 3 00 dl = 0 dm 3 Ü: 14 dm 3 = mm cm 3 = m 3 dm³ 58 dm 3 = l Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

6 Grundwissen Mthemtik 5/5 Grundlegende geometrische Figuren und Körper 1 Punkte und Linien Beschreiung Symol Zeichnung 1. Der Punkt A A A. Die Menge der Punkte A, B und C {A; B; C} A B C 3. Die Strecke vom Punkt B zum Punkt C [BC] B C 4. Die Länge der Strecke von E nch F eträgt 4 cm. EF = 4 cm 5. Die Hlgerde h, die im Punkt A eginnt und durch den Punkt D hindurchgeht. h = [AD A E 4 cm h D F 6. Die Gerde g, die durch die Punkte B und C verläuft. g = BC g B C 7. Die Gerde g verläuft prllel zur Gerden h. g h g h m 8. Die Gerde m steht senkrecht uf der Gerden h. m h h 9. Der Punkt C liegt uf der Gerden g. (Der Punkt C ist ein Element der Gerden g.) 10. Der Punkt F liegt nicht uf der Gerden, die durch die Punkt A und B verläuft. (Der Punkt F ist nicht Element der Gerden AB.) 11. Mehrere Punkte oder eine Hlgerde, die uf einer Gerden liegen, nennt mn eine Teilmenge dieser Gerden. Die Punkte C, D und E liegen uf der Gerden g. C g F AB {C; D; E} g 1. Die Gerden g und h schneiden sich im Punkt S. g h = {S} g A E h g F D C B g C S Flächen Dreieck Rechteck Qudrt Kreislinie - Kreisfläche Vieleck 3 Körper Quder Würfel Prism Pyrmide Zylinder Kegel Kugel Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

7 Längen-, Flächen- und Rummessung Grundwissen Mthemtik 5/6 1 Rechteck Umfng (u) des Rechtecks: u = + u = (+ ) Flächeninhlt (A) des Rechtecks: A= Qudrt Umfng (u) des Qudrts: u = 4 u = (+ ) Flächeninhlt (A) des Qudrts: A= A= 3 Quder c c c c c Oerfläche (O) des Quders: O= + c+ c O= ( + c+ c) Volumen (V) des Quders: V= c 4 Würfel Oerfläche (O) des Würfels: O= 6 Volumen (V) des Würfels: V= O= 6 3 V= Üungen: 1. Ein Rechteck ht die Länge 55 mm und die Breite 4 cm. Berechne den Umfng u und den Flächeninhlt A.. Ein Quder ht die Länge 70 mm, die Breite 3 cm und die Höhe cm. Berechne die Oerfläche O und ds Volumen V. 3. Ein Würfel ht die Kntenlänge 7 dm. Berechne die Oerfläche O und ds Volumen V. 4. Ein Qudrt ht den Umfng 4 m. Berechne die Seitenlänge und den Flächeninhlt A. 5. Ein würfelförmiger Körper fsst 8 Liter. Berechne die Kntenlänge des Würfels in cm. Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

8 Primfktorzerlegung, Teilrkeitsregeln Grundwissen Mthemtik 5/7 1 1 Primzhlen Ntürliche Zhlen, die nur durch 1 oder durch sich selst teilr sind, heißen Primzhlen. Beispiele: ; 5; 7; 11 Primfktorzerlegung Jede ntürliche Zhl (ußer 1), die keine Primzhl ist, knn mn ls Produkt schreien, dessen Fktoren nur Primzhlen sind. Diese nennt mn Primfktoren. Die Drstellung einer Zhl ls Produkt us luter Primfktoren heißt Primfktorzerlegung. Beispiele: 60= 30 = 15 = 35 16= 63 = 79 = 733 = Teilrkeitsregeln Eine Zhl ist teilr durch:, wenn ihre letzte Ziffer durch teilr ist. 3, wenn die Quersumme durch 3 teilr ist. 4, wenn die letzten eiden Ziffern durch 4 teilr sind. 5, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist. 6, wenn die letzte Ziffer durch und die Quersumme durch 3 teilr ist. 8, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilr sind. 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilr ist. 5, wenn ihre letzten eiden Ziffern 00, 5, 50 oder 75 sind. eine Stufenzhl, wenn sie mindestens gleich viele Endnullen esitzt wie die Stufenzhl. Beispiele: 54 d 4, er 437 d d =15 und 3 15, er d =10 und d 4 7, er d d 6 und =1 und 3 1, er d , er , er Üungen: 1. Zerlege in Primfktoren. ) ) 9 c) 114 d) 43 e) 45 f) 16 g) 1050 h) 600. Setze ds richtige Zeichen ( oder ) ein. ) 3864 ) 987 c) d) e) 4 44 f) g) 5 59 h) i) j) 9 19 k) l) Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

9 Grundwissen Mthemtik 5/7 Größter gemeinsmer Teiler und kleinstes gemeinsmes Vielfches 1 Der größte gemeinsme Teiler (ggt) Zu jeder Zhl knn mn ihre Teilermenge ngeen. Beispiel: T 30 = {1; ; 3; 5; 6; 10; 15; 30} T 1 = {1; ; 3; 4; 6; 1} Die gemeinsmen Teiler eiden Zhlen luten: 1,, 3 und 6 Der größte gemeinsme Teiler eider Zhlen: ggt(30; 1) = 6 Ermittlung des ggt mit Hilfe der Primfktorenzerlegung: Beispiel: ggt(40; 300)= 40 = = 35 5 ggt(40; 300)= 35 = Primfktorenzerlegung. Mn ildet ds Produkt us den gemeinsmen Primfktoren Der ggt zweier oder mehrerer Zhlen ist ds Produkt der gemeinsmen Primfktoren. Ds kleinste gemeinsme Vielfche (kgv) Zu jeder Zhl knn mn ihre Vielfchenmenge ngeen. Beispiel: V 8 = {8; 16; 4;3; 40; 48; 56; 64; 7;... } V 1 = {1; 4; 36; 48; 60; 7;... } Die gemeinsmen Vielfchen eiden Zhlen luten: 4, 48, 7,... Ds kleinste gemeinsme Vielfche eider Zhlen: kgv(8; 1) = 4 Ermittlung des kgv mit Hilfe der Primfktorenzerlegung: Beispiel: kgv(40; 300) = 40 = Primfktorenzerlegung 300 = Mn ildet ds Produkt ller kgv(40; 300) = 355 = 100 vorkommenden Primfktoren Ds kgv ist ds Produkt ller Primfktoren der ersten Zhl und der Primfktoren die in der zweiten Zhl noch zusätzlich vorkommen. Üungen: Zerlege die folgenden Zhlen in ihre Primfktoren und estimme dnn den ggt und ds kgv = ggt(36; 48) = 48 = kgv(36; 48) =. 108 = ggt(108; 180; 300) = 180 = kgv(108; 180; 300) = 300 = = ggt(153; 10) = 10 = kgv(153; 10) = Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule

10 Lösungen Grundwissen Mthemtik 5/L 5/ zu 1: ) 1 ) 1 c) 0 d) nicht definiert e) 0 zu : ) 4 (9 + 7) 34 = = = 30 ) 1 + (4 5) 3 = = = 69 zu 3: ) 9+ 1 ) 91 zu 4: ) (45 + 7) + 8 = 45 + (7 + 8) = = 145 ) (83 4) 5 = 83 (4 5) = = 8300 zu 5: ) ( ) 7 = = = 71 ) (100 1) 8 = = = 79 c) ( ) : 3 = 600 : : 3 = = 03 d) (400 4) : 4 = 400 : 4 4 : 4 = = 99 5/3 1.1 IL = {17} 1. IL = {181} 1.3 IL = {11} 1.4 IL = {5} 1.5 IL = {199} 1.6 IL = {38} =. IL = {1; ; 3}.3 IL = {1}.1 IL {1;;3;4;5;...;13}.4 IL = {;3;6;9;18}.5 IL = {1; ; 3;...; 8}.6 IL = {60;10;180} 3.1 IL = {481; 483; 485; 487;...; 495; 497} 3. IL = {66; 69; 7; 75; 78; 81; 84} 4.1 z. B. x > 7 4. z. B. 48 < x < 68 5/4 1 Geld: ct 5013 ct Zeit: 6 min 60 h 1 h 40 min Msse: 14 kg g 5 kg 789 g Länge: 45 m cm 731 m dm 4 cm 5/4 Flächeninhlt: m Ruminhlt: mm³ 3 m³ 560 dm³ 58 5/ u = 19cm; A = cm. = 6m; A = 36m 5. 3 O= 8cm ; V = 4cm = 8 dm ; = 0 cm 3 O = 94 dm ; V = 343 dm 5/7 1 zu 1: ) 11 ) Primzhl c) d) 3 e) 57 4 f) 3 g) h) 3 5 zu : ) 3864 ) 987 c) d) / e) 4 44 f) g) 5 59 h) i) j) 9 19 k) l) = 48= 3 ggt(36; 48) = 3 ggt(36; 48) = 1 kgv(36;48) = 33 kgv(36; 48) = = = = ggt(108;180; 300) = 3 ggt(108; 180; 300) = 1 kgv(108;180; 300) = kgv(108; 180; 300) = = = 3 17 ggt(153;10) = 3 17 ggt(153; 10) = 51 kgv(153;10) = kgv(153;10) = 306 Sttsinstitut für Schulqulität und Bildungsforschung Ateilung Relschule