Folgen und Reihen. Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const.

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1 Folgen und Reihen Folgen: Def.: Eine Abbildung a N K, n a(n) := a n (K = R C) wird Zahlenfolge genannt. Sie heißt reelle (komplexe) Zahlenfolge, falls K = R(C) ist. Symbole: a n K: Elemente der Folge, n =, 2,... (a n ) n N : Zusammenfassung aller Elemente zur Zahlenfolge. Begriffe: Beschränkte Folge: Es gibt eine Zahl c = const. 0 mit a n c, n N. Monotonie: Eine Folge heißt (streng) monoton wachsend, bzw. (streng) monoton fallend, wenn die Abbildung a die entsprechende Eigenschaft hat. Symbol: (a n ) (bzw. (a n ) ) für (streng) monoton steigend analog (a n ), (a n )

2 Konvergenz: Eine Zahl a K heißt Grenzwert der Folge (a n ), wenn es zu jeder Zahl ε > 0 einen Index n 0 (ε) gibt, so daß für alle n n 0 (ε) die Abschätzung a n a < ε gilt. (kurz: a K ε > 0 n 0 (ε) : n n 0 (ε) a n a < ε) Symbol: a n a für n bzw. lim a n n = a. Divergenz: Hat eine reelle Folge keinen Grenzwert, so heißt sie divergent. Sie heißt bestimmt divergent (bzw. uneigentlich konvergent) gegen +, wenn es zu jeder Zahl ϱ einen Index η 0 (ϱ) gibt, mit a n > ϱ für alle n n 0 (ϱ). Entsprechendes gilt für. Cauchyfolge ( Fundamentalfolge): ε > 0 n 0 (ε) : n, m n 0 (ε) a n a m < ε Nullfolge: lim a n n = 0 Es gilt stets: {a n a} {(a n n )Cauchyfolge} {(a n ) beschränkt } Häufungspunkt: Eine Zahl α heißt Häufungspunkt der Folge (a n ), wenn es zu jeder Zahl ε > 0 unendlich viele Elemente a n mit a n α < ε gibt. 2

3 limes superior; limes inferior: Ist (a n ) eine beschränkte Folge, so heißt der größte (kleinste) Häufungspunkt limes superior oder oberer Limes (limes inferior oder unterer Limes). Symbol: lim sup n a n oder lim n lim inf n a n oder lim n. Konvergenzkriterien in R oder C (a n ) und (a n ) nach oben beschränkt lim a n n und lim a n = sup a n n N (sup a n bezeichnet die obere Grenze bzw. die n N kleinste obere Schranke der Zahlenfolge a n.) Ein entsprechender Satz gilt für (a n ) und (a n ) nach unten beschränkt. (Wegen der Monotonie gilt dieser Satz nur in R.) Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. (Gültig in K = R C.) Sind (a n ), (b n ) und (c n ) reelle Zahlenfolgen mit a n b n c n von einem bestimmten n ab und haben (a n ) und (c n ) den gemeinsamen Grenzwert a, so konvergiert auch (b n ) gegen a. Für reelle bzw. komplexe Zahlenfolgen gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium: (a n ) konvergent gegen a K (a n ) ist Cauchyfolge in R bzw. C. 3

4 Die geometrische Folge Def.: Eine Folge (a n ) n N0 mit a n+ a n = q, a 0 0 und q 0 heißt geometrische Folge. Die so rekursiv definierte Folge erhält durch a n = a 0 q n eine explizite Darstellung (notiere auch: (a 0, a 0 q, a 0 q 2,...)) Betrachtet wird die Folge (q n ) n N0 mit q R, q. Für alle q R mit q gilt: lim n qn = 0 für q < für q > divergent für q Beweis (für < q < ): Man wähle eine Darstellung für q <! c > 0 : q = +c q n = (+c) n = +( n ) c+( n 2 ) c 2 + +( n n ) c n < nc Die Folge ( nc ) ist Nullfolge und somit auch (q n ). 4

5 Die geometrische Reihe Geometrische Summenformel: s n = +q+q 2 + +q n = n + für q = q n+ q für q. [Benutze: s n ( q) = (+q+q 2 + +q n )( q)] Übergang zur Reihe: Bilde die Folge der Partialsummen (s n ) n N0 mit s n := n den Grenzübergang durch: führt zur Summe der Reihe: q k, also die Reihe, und führe lim s n n. Dies s n = qn+ q n (Fallunterscheidung nach q <, ) q k := lim n n q k = q für q < für q divergent für q. 5

6 Beispiele:. (a n ) n N mit a n := n k! = +! + + n! a n+ = a n + (n+)! > a n (a n ) k! = 2... k = 2 k, k N 0 < a n < n = ( ) n = < 3 n N d. h. (a n ) nach oben beschränkt a n a := e := 2, (a n ) n N mit a n = ( + n) n a = e (a n ) nach oben beschränkt: a n < 3 n ( ) (a n ) : + n ( ) n + n n ( ) n n ( ) n n+ n n ( ) n n ( ) n n+ n n ( n 2 n 2 n n n = n n ) n = ( n 2 ) n 6

7 (Letzte Zeile: Bernoullische Ungl. + nh ( + h) n für n N, + h > 0 mit h = /n 2, n > ) Harmonische Reihe (s n ) n N, s n := n k= (s n ) (Beweis klar!) k Zeigen nun, daß bereits eine (geschickt ausgewählte) Teilreihe jede (beliebig vorgegebene) positive Konstante übertrifft. Wahl: n = 2 k s 2 k = ( 3 + 4) + + ( ) ( k k ) = + k 2 Somit ist gezeigt: (s 2 k) (s n ) s 2 k k + s n 7

8 Verallgemeinerte harmonische Reihe Satz: (s n ) n N mit s n := α > konvergent. n k= k α ist für Da es sich um eine (streng) monoton wachsende Zahlenfolge handelt (Beweis!) muß nur noch die Beschränktheit gezeigt werden. Wahl: n := 2 m s n = s 2 m = + ( 2 α + 3 α) + ( 4 α α) + +( (2 m ) α + + (2 m ) α) + ( 2 α + 2 α) + ( 4 α α) + +( (2 m ) α + + (2 m ) α) α α + + 2m (2 m ) α = + 2 α + (2 2 ) α + + (2 m ) α = + ( ) 2 ( 2 α + 2 α α ) m 8

9 Die letzte Zeile in der Abschätzung stellt eine (endliche) geometrische Reihe mit dem Quotienten q := /2 α dar. Somit gilt s n ( ) m 2 α 2 α 2 α n N. Für jedes (feste) α > ist die Zahl c := 2 α eine von n unabhängige Konstante, was die Beschränktheit der Partialsummenfolge (s n ) zeigt. Somit ist (s n ) konvergent. 9

10 Eigenschaften konvergenter Folgen. Jede konvergente Folge (a n ) n N besitzt genau einen Grenzwert (GW). 2. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen denselben GW. 3. (a n ) konvergent (a n ) ist Cauchy-Folge (a n ) beschränkt 4. a n a a n a 5. (a n ), (b n ) R, a n a, b n b { n n 0 : a n b n } {a b} 6. (a n ), (a n), (a n ) R, n n 0 : a n a n a n {a n a a n a} {a n a} 7. Arithmetik: a n a b n b } c R, c = const. a n ± b n a ± b a n b n a b c a n c a, a k n a k, k N a r n ar, r R a n bn a b, falls b n, b 0 0

11 Reihen Def.: Gegeben sei eine Folge (a n ) k N0. Unter der Reihe a k versteht man die Folge (s n ) n N0 ihrer Partialsummen, a k heißen Glieder der Reihe; s n := n a k die n-te Partialsumme der Reihe. Symbol: (s n ) n N0 a k Konvergenz einer Reihe bedeutet also die Konvergenz der Folge (s n ). Entsprechendes gilt für die unbestimmte Konvergenz ( a k = + oder ) bzw. Divergenz. Satz (notwendiges Konvergenzkriterium): Ist die Reihe a k konvergent, so bilden die Glieder a k der Reihe eine Nullfolge. Kontraposition: (a k ) keine Nullfolge a k nicht konvergent.

12 Alternierende Reihen Def.: a k alternierend := k N 0 : a k a k+ < 0 Satz (Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen): { } ak alternierend und a ( a k ) 0 k konvergent Fehlerabschätzung: s s n a n+ Beispiele: Geometrische Reihe: +q für q = q <. Harmonische Reihe: k= ( q) k := lim k = + Alternierende harmon. Reihe: ( ) k+ k konvergent. Wichtige Vergleichsreihe: k= k= k α n n ( q) k = { konv. für α > div. für α 2

13 Absolute Konvergenz Def. a k absolut konvergent := a k konvergent. Satz (Die absolute Konvergenz ist eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Zahlenreihe.): { ak absolut konv. } { ak konv. } Beispiel: Nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium konvergiert die Reihe n= ( ) n+ n. Sie konvergiert jedoch nicht absolut (harmonische Reihe!). 3

14 Vergleichskriterien: Reihen a k und b k. Gilt für die Reihenglieder die Abschätzung a k b k für k k 0, dann gilt: a) k= b) b k konvergent k= a k absolut konvergent ( b k konv. Majorante für a k ) k= a k = k= Minorante für b k ) k a k b k = ( a k div. lim b k = A, A (0, ) a k, b k beide entweder konvergent oder divergent. Quotientenkriterium, Wurzelkriterium Für die Reihe k= a k gelten Ungleichungen für k k 0 und es existieren die Grenzwerte lim k lim k a k+ bzw. lim k a k+ a k+ k a k a k. Dann gilt: Quotientenkrit.: a q < ak abs. konv. oder k a k+ a < ak abs. konv. k a k ak div. 4

15 Wurzelkrit.: k a k q < a k abs. konv. oder lim k k k a k < a k abs. konv. a k a k div. Satz: Für eine Reihe a k gilt: lim sup k k a k < a k absolut konv. lim sup k k a k > a k divergent Satz (Umordnungssatz) Ist die Reihe auch jede umgeordnete Reihe konvergent, und es gilt a k absolut konvergent, so ist a k = a σk absolut a σk. 5

16 Satz (Produkt von Reihen) b l seien absolut konver- Die Reihen gent. a k, Dann ist die Reihe l=0 a σk b µk für jede Numerierung der Indexpaare (σ, µ) : N 0 N 2 0 (Bijektion) absolut konvergent, und es gilt: a σk b µk = a k b k. Cauchy-Produkt von Reihen: ( ) ( ) a k b l l=0 = ( ) n a k b n k n=0 = a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 ) +(a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 ) + 6

17 Beispiel: Für die durch exp(z) := z k k!, z C () definierte Exponentialfunktion gilt die Funktionalgleichung: exp(z + w) = exp(z) exp(w). Beweis: Die Reihe () ist absolut konvergent, also gilt: exp(z) exp(w) = ( = n=0 = n=0 = n=0 z k ) ( k! n ( n l=0 w l ) l! z k w n k k!(n k)! ( ) ) n z n! k k w n k (z + w)n n! = exp(z + w). 7

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