Kapitel 8. Haftung und Reibung

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1 Kapite 8 aftung und Reibung 8

2 196 aftung aftung (aftreibung) ufgrund der Oberfächenrauhigkeit beibt ein Körper im eichgewicht, soange die aftkraft keiner ist as der renzwert 0.Der Wert 0 ist proportiona zur ormakraft : < 0, 0 = = aftungskoeffizient. Die aftungskraft ist eine Reaktionskraft; sie kann bei statisch bestimmten ystemen aus den eichgewichtsbedingungen bestimmt werden. aftungswinke: ür die Richtung der Resutierenden aus und 0 (renzhaftkraft) git tan ρ 0 = = 0, ρ0 = aftungswinke. Reibung (eitreibung) uf den bewegten Körper wirkt infoge der Oberfächenrauhigkeit die Reibkraft R. Die Reibkraft ist eine eingeprägte Kraft und proportiona zur ormakraft (Couombsches Reibungsgesetz): Bewegungsrichtung R = μ ρ R μ = Reibungskoeffizient. Reibungswinke: ür die Richtung der Resutierenden aus und R git: tan ρ = μ = R, ρ = Reibungswinke. D. ross et a., ormen und ufgaben zur Technischen Mechanik 1, DOI / _8, pringer-verag Berin eideberg 011

3 und Reibung 197 Probemtypen: 1. aftung: <. aftgrenzfa: = 3. Reibung: R = μ nmerkungen: Die Reibkraft (aftkraft) wirkt in der Berührungsebene der Körper. Die Richtung der Reibkraft (aftkraft) ist entgegengesetzt zur Richtung der Reativbewegung (die entstände, wenn diese nicht durch aftung verhindert würde). Die röße der Reibkraft (aftkraft) ist unabhängig von der Berührungsfäche. Bei aftung iegt die Resutierende aus und innerhab des aftungskeges mit dem Öffnungswinke ρ 0 ( <ρ 0). Der aftungskoeffizient ist in der Rege größer as der Reibungskoeffizient. aftungs-und Reibungskoeffizienten (ungefähr) für trockene Materiaien: Materia μ tah auf tah 0,15-0,5 0,1-0,4 tah auf Tefon 0,04 0,04 oz auf oz 0,5 0,3 Leder auf Meta 0,4 0,3 utoreifen auf traße 0,7-0,9 0,5-0,8 eihaftung und eireibung: aftung: 1 e φ φ Reibung: 1 = e μφ 1 1 >

4 198 aftung 8.1 ufgabe 8.1 Ein Körper vom ewicht befindet sich auf einer rauhen schiefen Ebene. In wechen renzen muss die angreifende Kraft iegen, damit der Körper in Ruhe beibt? Lösung us den eichgewichtsbedingungen : cos sin =0, : sin cos + =0 fogen = cos sin, = sin + cos. Eine ufwärtsbewegung wird verhindert, wenn < ist. Einsetzen iefert < sin + μ0 cos cos sin oder mit =tanρ 0 <tan( + ρ 0). und den dditionstheoremen Bei verhinderter bwärtsbewegung kehrt sich die Richtung von um. In diesem a autet die aftbedingung <. ieraus ergibt sich > sin μ0 cos cos + sin Damit erhät man das Ergebnis tan( ρ 0) < < tan( + ρ0). >tan( ρ 0). nmerkung: Die beiden aftbedingungen assen sich zu < zusammenfassen.

5 aftung 199 ufgabe 8. Die Waze vom ewicht so auf der unter dem Winke geneigten Ebene ruhen. Wie groß müssen die Kraft und der aftungskoeffizient sein? 8. Lösung us den eichgewichtsbedingungen : ( + )cos =0, : ( + )sin =0, : r r =0 und der aftbedingung r < ergeben sich = sin, μ0 > tan. 1 sin ufgabe 8.3 Wie groß muss die Kraft sein sein, damit die Waze vom ewicht in Bewegung gesetzt wird? Der aftungskoeffizient sei an beiden Berührungspunkten geich. 8.3 Lösung Die eichgewichtsbedingungen : 1 =0, : + + =0, : 1r + r r =0 r 1 und die aftgrenzbedingungen 1 =, = iefern = μ0(1 + μ0). 1+ +μ 0 Beachte: -Das ystem ist statisch unbestimmt, -Im aftgrenzfa müssen die Kräfte 1, entgegen der einsetzenden Bewegung eingezeichnet werden.

6 00 aftung 8.4 ufgabe 8.4 Ein pannexzenter mit den bmessungen und r wird in der Lage mit der eigung durch die Kraft beastet. Wie groß muss bei gegebener aftungszah die Exzentrizität e sein, damit im Berührungspunkt B die npreßkraft erreicht wird? r e B Lösung Wir skizzieren das reikörperbid: V C B e C us den eichgewichtsbedingungen : + + sin =0, : V + cos =0, C : ( e) e sin V e cos r =0 ergibt sich durch Eimination von und V = ecos r e sin Durch Einsetzen in die aftbedingung fogt < ecos <(r e sin ). ufösen nach e iefert e> μ0 r cos sin..

7 ufgabe 8.5 Ein Kei vom ewicht und dem Öffnungswinke ruht auf einer horizontaen Ebene. uf dem Kei befindet sich eine kreiszyindrische Waze vom ewicht, die durch das ei gehaten wird. Wie groß müssen die aftungskoeffizienten 1 (zwischen Kei und Ebene) und (zwischen Waze und Kei) sein, damit an keiner tee Rutschen eintritt? aftung Lösung us den eichgewichtsbedingungen für die Waze : + cos sin =0, : + sin + cos =0, : r r =0 r und den Kei : 1 + sin cos =0, : 1 cos + sin =0 fogen die Kräfte an den Berührsteen =, = sin 1+cos, = 1 +, 1 = sin 1+cos. Einsetzen in die aftbedingungen <1, < iefert die erforderichen aftungskoeffizienten: 1 > sin sin, μ0 > ( 1 + )(1 + cos ) 1+cos.

8 0 aftung 8.6 ufgabe 8.6 Eine Kiste vom ewicht wird auf einer gatten schiefen Ebene durch ein ei gehaten. Zwischen Kiste und Ebene ist ein rauher Kei geschoben (aftungskoeffizient ). a) Wie groß sind die eikraft und die Kraft auf die schiefe Ebene? b) Wie groß muss der aftungskoeffizient sein, damit das ystem in Ruhe beibt? gatt Lösung a) Die eichgewichtsbedingungen für das esamtsystem iefern : =( 1 + )sin, : =( 1 + )cos. b) us den eichgewichtsbedingungen für den Kei 1 : 1 sin + sin =0, : 1 cos + cos =0 fogt durch Einsetzen von : 1 = 1 sin ( 1 + )sin cos = 1 (1 )sin, =( 1 + )cos 1 cos = 1 (1 + ) 1 (1 )cos. us der aftbedingung < ergibt sich damit der erforderiche aftungskoeffizient > 1 sin 1 + ( 1 )cos. nmerkung: Je nach Werten von 1, und rutscht bei Veretzung dieser Bedingung der Kei nach unten oder nach oben.

9 aftung 03 ufgabe 8.7 Eine Kemmvorrichtung besteht aus zwei festen, unter dem Winke geneigten Kemmbacken, zwei osen Kemmroen vom ewicht 1 und dem Kemmgut. e Oberfächen seien rauh und haben den aftungskoeffizient. Wie groß darf das ewicht des Kemmgutes sein, damit kein Rutschen eintritt? Lösung Die eichgewichtsbedingungen für das Kemmgut : =0 und für eine Kemmroe : cos 1 sin 1 =0, : sin + 1 cos =0, : r 1r =0 iefern 1 = =, = = (1 + sin )+1, cos (1 + sin )+1 sin cos Einsetzen in die aftbedingungen. 1 1 r 1 <, < ergibt < cos (1 + sin ) 1, < sin cos (1 + sin ) 1. Wegen sin 1 fogt daraus < sin cos (1 + sin ) 1. nmerkung: ür = cos/(1 + sin ) geht die rechte eite gegen Unendich. Überschreitet diesen Wert, so iegt ebsthemmung vor.

10 04 aftung 8.8 ufgabe 8.8 Eine in geagerte tange (Länge, ewicht Q) ehnt unter dem Winke gegen eine Waze (ewicht, Radius r). Wie groß müssen die aftungskoeffizienten 1 und sein, damit das ystem im eichgewicht ist? Q 1 r Lösung Die eichgewichtsbedingungen für die Waze : 1 + sin cos =0, : cos sin =0, B : 1r r =0 und für den tab : iefern Q cos r cot =0 = + Q r = Q r cos cot (/), cos cot (/), 1 = = Q r V sin cot (/) (1 + cos ). Einsetzen in die aftbedingungen r cot / / Q B r r 1 1 <1, < ergibt mit cot = 1+cos sin die Ergebnisse >, μ r 0 > cot cot (/) cos. (/) + cos cot (/) Q

11 aftung 05 ufgabe 8.9 Durch einen ebe vom ewicht wird ein rauher Kotz an einer Wand eingekemmt. Die aftungskoeffizienten an den Berührungssteen seien 1 bzw.. Wie groß darf das ewicht des Kotzes sein, damit er nicht rutscht? 1 μ0 8.9 Lösung us den eichgewichtsbedingungen für den ebe und für den Kotz : 1 sin 1 cos cos =0, : 1 + =0, : =0 und den aftbedingungen <1, < ergeben sich durch Eiminieren von 1, und und der nnahme 1 < tan die beiden Ungeichungen < ieraus fogt (tan 1), + (tan + ) <1. + (tan + μ < 0) (tan 1) bzw. < nmerkungen: 1 + tan 1. ür 1 =tan verschwindet der enner. Dann kann beiebig groß werden. gemein iegt für 1 tan unabhängig von ebsthemmung vor. Das ystem ist statisch unbestimmt. Daher können die Kräfte i, i nicht bestimmt werden. etzt man den aftgrenzfa mit 1 = 1 und = voraus, so ist im Endergebnis das < -Zeichen durch das = -Zeichen zu ersetzen.

12 06 aftung 8.10 ufgabe 8.10 Ein homogener Quader vom ewicht ruht auf einer rauhen schiefen Ebene. a Wie groß müssen die Kraft und der aftungskoeffizient sein, damit die Bewegung in orm von Rutschen bzw. in orm von Kippen einsetzt? b Lösung us den eichgewichtsbedingungen : sin =0, : cos =0, : (a cos b sin ) b c =0 1(a cos b sin ) ergibt sich für die Kräfte in der Kontaktfäche und für die Lage von = + sin, = cos, c= 1 b (a b tan ) cos. Damit Rutschen einsetzt, muss geten = 0 =, c>0. Daraus fogen = ( cos sin ), < 1 ( a b +tan). c Damit Kippen um den Punkt einsetzt, muss geten c =0, <. Dies iefert = a cos b sin b, > 1 ( a b +tan). D.h. Kippen erfogt nur bei hinreichend rauher Unterage.

13 aftung 07 ufgabe 8.11 Zwischen zwei schiefen Ebenen ruhen zwei Würfe und eine Waze jeweis vom ewicht. n aen Berührungsfächen herrsche der aftungskoeffizient. Wie groß ist die erforderiche Kraft, um die Waze nach oben herauszuziehen? Wecher Bedingung muss genügen, damit die Würfe dabei nicht kippen? =45 a = Lösung Die eichgewichtsbedingungen auten mit sin =cos = / unter Beachtung der ymmetrie 1 : 1 1 =0, : + + : + : b a =0. B 1 b =0, =0, 1 1 Um die aftung zu überwinden, muss geten 1 =, =. Damit ergibt sich aus den ersten drei eichgewichtsbedingungen = 1+μ0 + μ 0 1+μ 0 Die vierte eichgewichtsbedingung iefert b = a 1+μ0 1.. DamitkeinKippenumdenPunktB eintritt, muss b<a sein. Daraus fogt 1+ 1 < < 1 3. Beachte: Beim nheben verschwinden die Kontaktkräfte zwischen der Waze und den schiefen Ebenen. Die aftkräfte müssen richtig (der einsetzenden Bewegung entgegengerichtet) eingezeichnet werden.

14 08 aftung 8.1 ufgabe 8.1 Wie groß muss bei der teinzange der aftungskoeffizient sein, damit die Last gehaten werden kann? b c a d f e Lösung Die eichgewichtsbedingungen am esamtsystem : =0, am Punkt : V =0, den Körper 1 : =0 und den Körper C K V V 1 V C : d + (f e) V (f a) (b + c) =0 ergeben mit V = a b für die Kräfte und : =, = ac + be bd Einsetzen in die aftbedingung < iefert > bd ac + be..

15 aftung 09 ufgabe 8.13 Ein teigeisen ist an einem Mast eingekemmt und wird durch die Kraft beastet. Wie groß muss sein, damit das teigeisen nicht rutscht? b c a 8.13 Lösung us den eichgewichtsbedingungen : =0, : 1 + =0, : a+ 1c b =0 1 fogen =, 1 = b c a c, Einsetzen in die aftbedingungen = (1 + a c ) 1 b c. 1 <, < iefert bzw. b c a < und < b + c c + a b c a < b + cμ0 c + a. ufösen ergibt für den erforderichen aftkoeffizienten > b c +a. nmerkungen: Die Kräfte,, 1, können nicht bestimmt werden, da das ystem statisch unbestimmt ist! Die ufgabe kann auch geöst werden, indem man den aftgrenzfa betrachtet. Die Ungeichungen werden dann zu eichungen, und die Lösung μ 0 ist die untere renze für den aftkoeffizient.

16 10 aftung 8.14 ufgabe 8.14 Ein tab der Länge und vom ewicht ehnt unter dem Winke gegen eine rauhe Wand. m unteren Ende wird er durch ein ei, das über einen rauhen Zapfen äuft, gehaten. In wechen renzen muss die Kraft iegen, damit das ystem im eichgewicht ist? Lösung us den eichgewichtsbedingungen : =0, : + =0, : 1 cos sin ergeben sich cos =0 = tan, =. Einsetzen in die aftbedingung <1 iefert je nach Richtung von tan <μ01 bzw. ieraus fogt (tan + 1) < < (tan 1). eihaftung am Zapfen iegt vor, wenn git e π/ < < e +π/. + tan <μ01. Durch Einsetzen der unteren (oberen) chranke von in die inke (rechte) eite fogt e π/ (tan + 1) < < e +μ0π/ (tan 1).

17 aftung 11 ufgabe 8.15 Der Körper vom ewicht wird durch ein ei gehaten. Zwischen dem Körper bzw. dem ei und der äche herrsche der aftungskoeffizient. In wechen renzen muss iegen, damit der Körper in Ruhe beibt? 8.15 Lösung us den eichgewichtsbedingungen : cos =0, : + sin =0 ergeben sich = cos, = sin. Einsetzen in die aftbedingung < iefert (sin cos ) < < (sin + cos ). Mit der aftbedingung für das ei μ0 e < < e fogt e (sin cos ) < < e (sin + cos ). ufgabe 8.16 Weche trecke x darf das schwere ei der Länge herunterhängen, ohne dass es rutscht? x 8.16 Lösung us den eichgewichtsbedingungen ergeben sich = x, = = x. Einsetzen in die aftbedingung < iefert x < μ0. 1+ x x

18 1 aftung 8.17 ufgabe 8.17 EinzwischengattenWänden befindicher Bock vom ewicht wird durch ein ei gehaten, das über drei rauhe Bozen geführt ist. 45 a Wie groß muss die Kraft sein, damit der Bock nicht rutscht? Wie groß sind die Kräfte, die von den Wänden auf den Bock ausgeübt werden? Lösung eichgewicht am esamtsystem 45 c 3 b : 3 =0, : =0. : 1 a + c 3c b =0 und die aftbedingungen 1 <e π/4, < 1e π/, 3 < e π/4 1 iefern > e π 1, a c 1 = =. b 8.18 ufgabe 8.18 Wie groß muss die Kraft sein, damit der Körper vom ewicht mit geichförmiger eschwindigkeit emporgezogen werden kann? Die Ebene und der Umenkzapfen seien rauh. μ 1 μ Lösung us den eichgewichtsbedingungen : cos =0, : R sin =0 und den Reibgesetzen R = μ 1, = e μ (+π/) R + π fogt = e μ (+π/) (sin + μ 1 cos ).

19 und Reibung 13 ufgabe 8.19 Durch die Bandbremse so auf eine sich drehende Wee das Bremsmoment M B ausgeübt werden. Wie groß ist die dazu erforderiche Kraft, wenn sich die Wee bei bekanntem Reibungskoeffizient μ a) rechtsherum oder b) inksherum dreht? r μ 8.19 Lösung eichgewicht für den ebe : r + =0 iefert = r. ür Rechtsdrehung autet das Reibungsgesetz 1 = e μπ, und das Bremsmoment wird M B = 1 r r = r (e μπ 1). Einsetzen von ergibt R = M B (e μπ 1). 1 1 ür Linksdrehung fogt aus dem Reibungsgesetz = 1 e μπ und dem Bremsmoment M B = r 1 r = r (1 e μπ ) durch Einsetzen von L = MB eμπ (e μπ 1). nmerkung: Wegen e μπ > 1 git bei geichem M B für die Kräfte L > R!

20 14 Reibung 8.0 ufgabe 8.0 Durch Vorschieben des gewichtsosen Keis so der Körper vom ewicht mit geichförmiger eschwindigkeit angehoben werden. Wie groß ist die dafür benötigte Kraft,wennandenBerührungsfächen des Keis der Reibungskoeffizient μ 1,andenBerührungspunkten des tabes der Reibungskoeffizient μ herrscht? μ 1 μ μ μ 1 a Lösung us den eichgewichtsbedingungen für den Kei und den tab 1 : R 1 R cos sin =0, : cos + R sin =0, 4 : sin + R cos =0, R 4 R 3 : cos R sin R 3 R 4 =0, : 3a + 4( + a) =0 und den Reibungsgesetzen 1 R 1 3 R R R 1 = μ 1, R = μ 1, R 3 = μ 3, R 4 = μ 4 ergibt sich durch ufösen nach die benötigte Kraft μ 1(cos μ 1 sin )+(sin + μ 1 cos ) =. +a (cos μ 1 sin ) μ (sin + μ 1 cos ) nmerkungen: Die Reibkräfte müssen entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung eingezeichnet werden. Wenn der enner u wird ( ), ist das ystem sebsthemmend.

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