Übungsblatt zu Funktionenscharen

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Louisa Böhler
vor 7 Jahren
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1 Übungsbl zu Funkionenschren Seie von Gnzrionle Funkionen Ohne Inegrlrechnung Bei Funkionenschren Beispiel: f 6 erhäl mn für ein besimmes jeweils eine Funkion: Beispiel: : f : f Diese Funkionen hben Unerschiede, ber uch Gemeinsmkeien. Aufgbe. Wir bleiben bei obigem Beispiel. ) Welche Funkion erhäl mn für? b) Für welches erhäl mn 7? c) Gehör die Funkion g zur Schr d) Für welches is f keine Qudrfunkion? f? e) Zeichne die Grphen von f, f und f in ds selbe Koordinensysem ( 6, y 6, Einhei cm). f) Welche beiden Punke hben lle Prbeln zu f gemeinsm? Nürlich knn mn die Anwor in Aufgbe e) blesen; hier geh es ber drum, wie mn so ews berechne: Seze irgendwelche zwei verschiedene Funkionen der Schr gleich und löse die Gleichung. Seze die Lösung(en) nschließend in f ein und prüfe, ob in der y-koordine kein mehr vorkomm (wrum nich?). Lösungen: ) b) c) nein d) f) und e) Ans WBG 7

c) Gehör die Funkion g zur Schr d) Für welches is f keine Qudrfunkion? f? e) Zeichne die Grphen von f, f und f in ds selbe Koordinensysem ( 6, y 6, Einhei cm).

2 Übungsbl zu Funkionenschren Seie von f. Aufgbe. Gegeben is die Funkionenschr ) Besimme die Nullsellen der qudrischen Funkionen bhängig von. b) Ordne die folgenden fünf Grphen ihrem jeweiligen zu: 7,, , - c) Berechne lle gemeinsmen Punke der Prbeln. d) Wo befinde sich der Scheielpunk der Prbeln bhängig von? e) Welchen Weg nimm der Scheielpunk durch ds Koordinensysem, wenn vriier? f) Lieg jeder Punk im Koordinensysem uf (mindesens) einer Prbel der Schr oder gib es Punke/Bereiche, die uf keiner Prbel der Schr liegen? Lösungen: ) und b) von links:,,,, c) gleichsezen beliebiger zwei Funkionen der Schr führ uf, Probe: f uf llen Prbeln d) Min f) beliebigen simm, lso lieg e) (-Koordine!) in die y-koordine einsezen liefer y y P y einsezen und nch uflösen: eine eindeuige Prbel für, für (siehe c)), lso Ans WBG 7

e) Welchen Weg nimm der Scheielpunk durch ds Koordinensysem, wenn vriier?

3 Übungsbl zu Funkionenschren Seie von Aufgbe. Der Mühlenbch fließ in einem Bogen durch eine Tlue. Besonders nch Hochwsser knn es vorkommen, dss er sein Be ein Sückchen verschoben h. Für wird der Bchluf durch f modellier; lle Einheien sind Meer. ) Akuell lieg der Punk P 6 mien im Bchbe. Berechne ds dzugehörende. 6 Flussbiegung 6 Aus hisorischen Kren knn mn ennehmen, dss bisher immer gegolen h. b) Bei E seh eine le Eiche, die ls Nurdenkml eingergen is. Beseh die Gefhr, dss sie vom Bch unerspül wird? c) Archäologen suchen nch hisorischen Spuren. An welchen Sellen konne mn Mühlen buen, denen die Wnderung des Bchbees nichs usgemch h? d) Wo h der Bchluf jeweils seine engse Biegung? 7 Lösungen: ) b) nein, ds wäre c) und d) Scheielpunk bzw. Mimum Ans WBG 7

6 Flussbiegung 6 Aus hisorischen Kren knn mn ennehmen, dss bisher immer gegolen h. b) Bei E seh eine le Eiche, die ls Nurdenkml eingergen is. Beseh die Gefhr, dss sie vom Bch unerspül wird?

4 Übungsbl zu Funkionenschren Seie von Aufgbe. Ein runder Springbrunnen enhäl mehrere, im Kreis um die Mie ngeordnee schräge Fonänen. Wir modellieren eine der Fonänen (für die nderen gil wegen der Symmerie ds Gleiche) durch die Funkionenschr f. Dbei f mi häng der Prmeer vom Wsserdruck b. Alle Einheien sind Meer. 7 6 Fonäne des Brunnens 6 7 ) Wie wei von der Kreismie (y-achse) enfern sprudel die Fonäne us dem Brunnen? b) Welchen Winkel bilde ds Rohr zur Horizonlen? c) Der Rnd des Brunnens is 7 m von der Mie enfern. i) In welchem Bereich drf sich bewegen, dmi ds Wsser miml 6 m von der Brunnenmie enfern wieder lnde? ii) Wie hoch is die Fonäne dnn? d) Enlng welcher Kurve beweg sich ds Mimum der Fonäne, wenn mn ds Wsser lngsm ufdreh? f ;, lso m Lösungen: ) b) f, lso 78,7 c)i) 6, Probieren führ uf 7 c)ii) : M d) llgemein M, lso 6, m hoch -Koordine nch uflösen und in y einsezen: M Ans WBG 7

7 6 Fonäne des Brunnens 6 7 ) Wie wei von der Kreismie (y-achse) enfern sprudel die Fonäne us dem Brunnen? b) Welchen Winkel bilde ds Rohr zur Horizonlen?

5 Übungsbl zu Funkionenschren Seie von Aufgbe. Der Sender QTV beginn eine neue Tlkshow. Die Zuschuerquoe der Pilosendung und der folgenden Sendungen in Prozen wird sich ensprechend f mi 7 f ( ) enwickeln und lle sind neugierig uf ds. ) Welche Zuschuerquoe h die Pilosendung ( )? b) Besimme rechnerisch die Eremwere der Funkionenschr. c) Ordne die Grphen ihrem jeweiligen zu: Prognosen der Zuschuerquoe d) Besimme rechnerisch den Wendepunk der Funkionenschr. Welche Bedeuung h der Wendepunk im Schzusmmenhng? e) Bei der. Folgesendung (lso ) wird eine Zuschuerquoe von,6 % ermiel. Der Chef droh, die Sendung bzusezen, wenn es weniger ls % werden. Beseh diese Gefhr? f) Wrum ende ds Modell bei? Lösungen: ) f b) und (Prozen) c) von unen:,, (gesrichel), WP ; hier is der Zuschuerschwund (-zuwchs) m särksen d) e) f,6, somi (knpp) nein f) Hiner dem. Eremwer änder die Kurve ihre Richung und verläss insbesondere uch den Bereich f. Ans WBG 7

b) Besimme rechnerisch die Eremwere der Funkionenschr. c) Ordne die Grphen ihrem jeweiligen zu: Prognosen der Zuschuerquoe 6 7 8 9 d) Besimme rechnerisch den Wendepunk der Funkionenschr.

6 Übungsbl zu Funkionenschren Seie 6 von Mi Inegrlrechnung Aufgbe 6. Der Querschni eines Deiches wird modellier durch die Funkionenschr f mi f,, je nch Größe. Alle Angben sind Meer. ) Besimme die Nullsellen und Eremwere der Funkionenschr bhängig von. b) Ordne die Grphen ihrem jeweiligen zu: Deichquerschnie c) Wie groß is die Seigung des Grphen in den Nullsellen? d) Wie viel m³ Meril bruch mn, bhängig von, für km Deich? Lösungen: ) Ns / Min, M 7, Ns b), 6, 9 c) m und m d) f d, lso m pro Kilomeer Ans WBG 7

) Besimme die Nullsellen und Eremwere der Funkionenschr bhängig von.

7 Übungsbl zu Funkionenschren Seie 7 von Aufgbe 7. Wir modellieren ds Wchsum von Wildblumen und -kräuern uf der Wiese durch die Funkionenschr f für 88. f Wchsumsgeschwindigkei in cm pro Mon zum Zeipunk n. In diesem Modell h gewissermßen jede Pflnze ihr individuelles, je nch Wchsumsgeschwindigkei, Wchsumsduer und m Ende erreicher Höhe. gib dbei die 7 6 Wchsum in cm pro Mon,,,, ) Wir berchen zuers den Fll. i) Wie lnge duer ds Wchsum? ii) Wnn erreich es seinen mimlen Wer? Wie groß is dieser? iii) Wie groß wird diese Pflnze insgesm? b) Zeige, dss in diesem Modell llgemein die Duer des Wchsums ngib. c) Wo befinde sich llgemein der Zeipunk mimlen Pflnzenwchsums? d) Wie lnge is eine Pflnze gewchsen, die m Ende 7 cm groß geworden is? e) Wir wollen ds Modell verbessern, Wchsumsduer (Prmeer ) und Wchsumsgeschwindigkei (Prmeer b) sollen unbhängig voneinnder werden. Wie könne eine Funkionenschr f;b ussehen? Lösungen: )i) f,, lso Mon 6 )ii) )iii) b) M, lso nch ew Tgen mi cm pro Mon f f d (cm) c) M 6 d) 7 f d führ zu, lso zweieinhlb Mone e) Zum Beispiel b f ;b f. Zuers wählen, dnch b ensprechend sezen. Ans WBG 7

gib dbei die 7 6 Wchsum in cm pro Mon,,,, ) Wir berchen zuers den Fll. i) Wie lnge duer ds Wchsum? ii) Wnn erreich es seinen mimlen Wer? Wie groß is dieser? iii) Wie groß wird diese Pflnze insgesm?

8 Übungsbl zu Funkionenschren Seie 8 von Aufgbe 8. Wir modellieren den Querschni eines Sndhufens durch die Funkionenschr f mi f. seh dbei für die räumliche Ausdehnung in Meern, modellier den Forgng der Zei in irgendwelchen Einheien (Sunden, Tgen, ). Ds folgende Schubild zeig die Grphen von f für, 8 und für : y (Höhe) zeiliche Enwicklung eines Sndhufens 6 (Länge) ) Ordne die Funkionen f, f 8 und f ihren Grphen zu. Beschreibe, ws im Verluf der Zei mi dem Sndhufen pssier. b) Besimme llgemein die Breie des Sndhufens. Überprüfe nhnd des Schubildes. c) Besimme llgemein die Höhe des Sndhufens. Überprüfe nhnd des Schubildes. d) Welchen Weg (Funkionserm) geh die Spize des Hufens im Luf der Zei? e) Snd is nur bis zu einem Seigungswinkel von ew sbil, drüber komm er ins Ruschen. Welche Einschränkung bedeue dies für die Whl von? f) Besimme llgemein die Fläche uner dem Grphen von f. Inerpreiere ds Resul im Schzusmmenhng. Lösungen: ) Grphen von links nch rechs, ensprechend der rechen Nullselle Der Hufen wird im Verluf der Zei flcher und breier. (Von links kommender Wind vereil den Snd nch rechs. ) b) f 9 c) M (einfch) und (doppel) 9 6 d) mi c):, dies in y y e) Wendeselle bei, Seigung dor m, m n,7 Rndwer bei 96 : Seigung m, m n 9, Für reen keine Winkel über uf. f) f d 8 unbhängig von, ds heiß, die Menge n Snd bleib gleich. Ans WBG 7

Ds folgende Schubild zeig die Grphen von f für, 8 und für : y (Höhe) zeiliche Enwicklung eines Sndhufens 6 (Länge) 6 7 8 9 ) Ordne die Funkionen f, f 8 und f ihren Grphen zu.

9 Übungsbl zu Funkionenschren Seie 9 von Eponenilfunkionen f e. Aufgbe 9. Gegeben is die Funkionenschr ) Besimme, bhängig von, den Schnipunk des Grphen mi der y-achse, die Nullsellen, Erem- und Wendepunke. Ws pssier für? Zeichne die Grphen für ; ; ; ; selbe Koordinensysem ( 6, y ). uner Verwendung Deiner Ergebnisse in ds b) Enlng welcher Kurve beweg sich ds Minimum, wenn mn vriier? c) Hben die Grphen gemeinsme Schnipunke? d) Berechne den Flächeninhl, den der Grph der Funkion mi der -Achse im Inervll ; einschließ. Ws pssier mi dem Flächeninhl für? Hinweis: Eine Smmfunkion F läss sich leich erren, wenn mn die Folge Teilufgbe ) rückwärs forsez. f,f,f us Lösungen: ) y:, Ns., Min e, WP e, lim e, lim e y e b) c) us e b e folg b der Schr keine gemeinsmen Punke, d) F e, lso hben verschiedene Funkionsgrphen e d e e e, A e Ans WBG 7

Zeichne die Grphen für ; ; ; ; selbe Koordinensysem ( 6, y ). uner Verwendung Deiner Ergebnisse in ds b) Enlng welcher Kurve beweg sich ds Minimum, wenn mn vriier?

10 Übungsbl zu Funkionenschren Seie von Aufgbe. Die Phrmindusrie rbeie n einem neuen Medikmen. Abhängig von einem besimmen Zuszsoff wird ds Medikmen eher schnell vom Körper ufgenommen und wieder usgeschieden oder eher lngsm. Die Funkion f mi f e modellier die Konzenrion des Medikmenes im Blu (in (Prmeer ). bezeichne die Zei in Sunden nch der Einnhme. Ds Schubild zeig ein pr Funkionsgrphen dieser Schr: g ) bhängig von der Menge des Zuszsoffes, Konzenrion des Medikmens im Blu,,7,, ) Besimme ds Mimum bhängig von. Welche Were sind für zulässig, dmi die mimle Konzenrion des Medikmens den Wer keinesflls überschreie? b) Für eine besimme Vrine des Medikmens soll die mimle Konzenrion den Wer erreichen. Besimme ds zugehörige. Besimme mi geeigneen Näherungsverfhren (zur No uch der TABLE-Funkion des g Tschenrechners) den Zeirum, in dem die Konzenrion mindesens, beräg. c) Besimme für die durchschniliche Konzenrion für die ersen Sunden.. Seze dzu F b e n und besimme und b us F f Lösungen: ) M e ; b) e ln ln ;,7 96 8,78 e ; e F e c) e d e 6 e, Ans WBG 7

Die Funkion f mi f e modellier die Konzenrion des Medikmenes im Blu (in (Prmeer ). bezeichne die Zei in Sunden nch der Einnhme.

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