Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

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1 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi m 1 () in mg und in Sunden nach Beobachungsbeginn.,5 Dabei gil: () 1 m1 = e. a) Geben Sie an, wie groß die Masse der Subsanz S 1 am Beobachungsbeginn war. Berechnen Sie die Halbwerszei dieses Zerfalls, d.h. die Zei, nach der nur noch die Hälfe der ursprünglichen Subsanz vorhanden is. Besimmen Sie die nach 6 Sunden bereis zerfallene Masse. Das Zerfallsproduk der radioakiven Subsanz S 1 is die Subsanz S. Auch diese Subsanz is radioakiv und zerfäll demzufolge weier. Für die Masse m () der noch nich zerfallenen Subsanz S gil dann:,5,5 m ( ) 1 e = (1 e ) b) Berechnen Sie, wie viel an Subsanz S zum Zeipunk = vorhanden is und inerpreieren Sie dieses Ergebnis. Begründen Sie, dass es zu einem gewissen Zeipunk eine maximale Masse der Subsanz S geben muss und berechnen Sie den Zeipunk und die zugehörige Menge. c) Zeichnen Sie die Graphen von m 1 und von m in ein Koordinaensysem ein. d) Gegeben is die Funkion g durch,5 ( ) 5 x x + gx= e + 1 e ; x Besimmen Sie die Null- und Exremsellen von g. Beschreiben Sie das Verhalen von g für x? Zeichnen Sie auch den Graphen von g in Ihr Koordinaensysem ein. Zeigen Sie, dass die Funkion m eine Sammfunkion zur Funkion g is. e) Besimmen Sie den Inhal der Fläche, die von dem Graphen von g, der x-achse und der y-achse begrenz wird. Inerpreieren Sie die Bedeuung des Inegrals g( x) dx. 46

2 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Analysis Grundkurs Erwarungshorizon a) Am Beginn, also bei =, muss noch die gesame Menge vorhanden gewesen sein, also 1 mg. Dies ergib sich auch durch Einsezen in die Gleichung für m 1.,5 Zu lösen is die Gleichung,5 = e. Die Lösung is = ln() 1,386. Die Subsanz S 1 ha also eine Halbwerszei von ewa 1,386 Sunden. Vorhanden sind nach 6 Sunden m 1 (6) an Subsanz, zerfallen demzufolge 1 mg m (6) 95, mg. 1 Bewerung 5 1 b) Am Beginn, also bei =, is von der Ausgangssubsanz noch nichs zerfallen, also kann von Subsanz S noch nichs vorliegen. Einsezen von = in die Funkionsgleichung von m besäig diese Überlegung. S enseh aus der Ausgangssubsanz S 1, ihre Zuwachsrae is also gleich der Abnahmerae von S 1. Diese is anfangs am größen und wird immer kleiner; die Menge an angesammelem S wächs also sändig und geh gegen den Anfangswer von S 1. Andererseis is S ja nich sabil und zerfäll ebenfalls exponeniell. Das bedeue, dass die Abnahme die Zerfallsrae von S proporional zum momenanen Wer is. m beginn dami bei Null, seig wegen der anfänglich hohen Lieferungsrae aus dem Zerfall von S 1 an und wird dann, da der eigene Zerfall irgendwann die Nachlieferung überholen wird, wieder abnehmen und lezlich gegen Null gehen. Zur Berechnung des Maximums is es nowendig, die Nullselle von m zu,5 besimmen: Mi ( ) 5 m = e + 1 e ergib sich,5e E = e + e E = ln4 1,386. Hinreichende Argumene für die Exremaleigenschaf von E liefer z.b. die Beobachung, dass E Durchgangsnullselle von m is, oder die Tasache, dass E die einzige Nullselle von m is, zusammen mi dem oben angefügen Argumen, dass m ein Maximum haben muss. Einsezen liefer m ( ) 5 E =. Die maximale Menge der Subsanz S ri also nach knapp 1,4 Sunden auf, und es sind 5 mg. Hinweis Die Zerfallskonsane für den Zerfall von S is 1, die Halbwerszei für den Soff S beräg dami,69 Sunden. Es is zwar ineressan, nachzuvollziehen, wie sich m aus m 1 uner diesen Bedingungen ergib, aber im Rahmen einer Prüfungsaufgabe is dies ganz unmöglich. Im Diagramm im Anhang is die Funkion m.in Abhängigkei des Zerfallsparameers wiedergegeben (Were zwischen und 3). Man sieh, dass für eine kleine Zerfallskonsane von S (also eine große Halbwerszei) die Menge an S prakisch der Menge des zerfallenen S 1 folg, bei einer kleinen Halbwerszei von S hingegen prakisch alles geliefere S sofor zerfäll und dami die Menge an S der momenanen Lieferungsrae folg

3 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik c) 1 Bewerung 8 6 m 1 4 m d) Besimmung der Nullsellen von g durch Nullsezen des Funkionserms:,5x x,5x x ( ) = = = g x e e e e,5x= ln() x x= ln(4). Die einzige Nullselle von g lieg bei x = ln(4) 1,386. Überprüfung auf mögliche Exremsellen durch Nullsellensuche bei der ersen Ableiung:,5x x g ( x) = 5e 1e,,5,5 ( ) 5 x E 1 x E E g x 1 4 x E = e e = = e xe = ln(16). Wiederum ergib sich ein hinreichendes Argumen für die Exremaleigenschaf von x E daraus, dass x E Durchgangsnullselle von g is. Hinweis: Naürlich kann auch mi der zweien Ableiung argumenier werden. g ha also ein einziges Exremum (ein Maximum) mi den Koordinaen (,773 6,5). e, 5x x Für x geh der Term ebenso wie auch e gegen Null und dami auch g ( x). Der Graph von g näher sich also für zunehmende x-were der x-achse m 1 m 1 g

4 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Analysis Grundkurs g is die Ableiungsfunkion zu m. Bewerung Berache man z.b. die Graphen, so liegen der Hochpunk des Graphen von m und die Nullselle von g bei dem gleichen x-wer. Für x sreb g(x) gegen Null. Ein anderer Weg führ über die Ableiung von m. m = g e) Der gesuche Flächeninhal A berechne sich als Inegral über g im Inervall von bis ln(4): ln(4),5x x,5x x ln(4) ( 5 1 ) A= e + e dx= e e = und beräg 5 Flächeneinheien. Dieser Zahlenwer is gleich dem Besand an S zum gleichen Zeipunk = ln(4). Dies is nich zufällig: Da g ja die Ableiungsfunkion die zeiliche Änderungsrae von m is, muss g( x) dx die vorhandene Menge an S angeben. 1 1 Insgesam 1 BWE

5 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik

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