2. Grundlagen der Booleschen Algebra

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1 Fchgebiet Rechnersysteme 2. Grundlgen der Booleschen Algebr Inhlt Vorlesung Logischer Entwurf 2. Boolesche Elementropertionen 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen 2.3 Boolesche Terme 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr 2.5 Veitch-Digrmme 2.6 Produkt- und Summenterme 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 2. Gttergleichungen und Gtternetze

2 2 Lernziele von Kp. 2: Bedeutung der booleschen Grundverknüpfungen kennen (Und, Oder, Nicht, Nnd, Nor, Eor) Gesetze der booleschen Algebr kennen und effizient nwenden (Terme vereinfchen) Veitch-Digrmm boolescher Term Konzepte: Produkt- und Summenterme, Minterm, Mterm, De Morgn'scher Stz, DNF, KNF, Reed-Muller-Form, Nnd/Nnd- und Nor/Nor-Relisierungen, Boolescher Entwicklungsstz, Multipleor kennen boolescher Term Gtternetz

3 3 2. Boolesche Elementropertionen Und-Verknüpfung (Konjunktion) Gttersymbole b b b DIN (lt) b & IEEE- Stndrd -Dominnz b US-Norm (lt)

4 2. Boolesche Elementropertionen 4 Anwendungsbeispiele: ist =, folgt der Ausgng dem Eingng b ist =, ist der Ausgng = unbhängig von b b b b & ein Und-Gtter knn ls steuerbres Tor benutzt werden

5 5 2. Boolesche Elementropertionen Oder-Verknüpfung (Disjunktion) Gttersymbole b + b b DIN (lt) b IEEE- Stndrd -Dominnz b US-Norm (lt)

6 2. Boolesche Elementropertionen 6 Negtion Gttersymbole DIN (lt) IEEE- Stndrd US-Norm (lt)

7 2. Boolesche Elementropertionen 7 bei Gttern ist der Informtionsfluß gerichtet, es wird zwischen Ein- und Ausgängen unterschieden (im Gegenstz beispielsweise zu einem ohmschen Widerstnd)

8 2. Boolesche Elementropertionen 8 Weitere Nottionen sind gebräuchlich, z.b. b b & b + b b b ' ussgenlogische Symbole

9 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Funktionstbellen In vielen Fällen ist es bei dem Entwurf eines Systems sinnvoll, mit Tbellen zu rbeiten sehr einfches Beispiel: gesucht ist eine Schltung zur Prüfung einer Ampel. die Schltung soll genu dnn den Wert liefern, wenn die Ampel eine zulässige Kombintion von Lichtern nzeigt (z.b. nur grün). eine soll bei einer unzulässigen Kombintion ngezeigt werden.

10 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Eingänge: r rot, g grün, e gelb r = : rotes Licht us, r = : rotes Licht n, usw. Ausgng: p drei Eingänge, die jeweils zwei Werte nnehmen können: systemtisch gibt es offenbr 2 3 =8 Fälle (Eingngskombintionen), die untersucht werden müssen die folgende Drstellung in Tbellenform hilft, lle Fälle zu berücksichtigen r e g Ampelprüfer p

11 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Eingänge: r rot, g grün, e gelb r e g p? 2 3 = 8 Fälle r e g Ampelprüfer p

12 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen 2 Im Beispiel sind r, e, g und p boolesche Vrible Eine boolesche Vrible knn einen der Werte oder us der booleschen Wertemenge B = {, } nnehmen Allgemein ist eine boolesche Funktion F von n Vriblen eine Funktion F: B n B eine solche Funktion modelliert eine Schltung mit n Eingängen und einem Ausgng, im Beispiel lso B 3 B r e g Ampelprüfer p

13 3 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Durch eine Boolesche Funktion F in n Vriblen wird jeder der 2 n Wertekombintionen der Eingngsvriblen ein eindeutiger Wert zugeordnet (Funktionsbegriff) F: B n B dies entspricht erwünschtem deterministischem Systemverhlten r e g Ampelprüfer p

14 4 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Unter einem Funktionsbündel versteht mn eine Funktion F: B n B m ein Funktionsbündel modelliert eine Schltung mit mehreren Ausgängen, im Beispiel unten etw B 3 B 2 r e g ndere Schltung p q

15 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Hier ein Beispiel einer Funktionstbelle mit vier booleschen Vriblen, 2, 3, 4 Wir schreiben f(, 2, 3, 4 ) und zum Beispiel f(,,,) = die Funktionstbelle der Funktion in vier Vriblen ht 2 4 Zeilen f 5

16 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen 6 Problem: die Größe von Funktionstbellen wächst eponentiell mit der Anzhl der Vriblen

17 2.2 Boolesche Funktionen, Funktionstbellen Die Dezimläquivlent-Drstellung einer booleschen Funktion Zuordnung von Dezimläquivlenten zu Wertekombintionen der Vriblen entsprechend einer Wertigkeit Repräsenttion durch die Menge ller Wertekombintionen für f = f = {,4,5,7,9,2,3,5} f 7

18 Boolesche Terme Boolesche Terme sind tetliche Drstellungen von booleschen Funktionen, z.b. Die Synt boolescher Terme: die Konstnten und sind boolesche Terme Literle, d.h. Vriblen oder ihre Negtion sind boolesche Terme, z.b. und sind und b boolesche Terme, dnn sind uch ( b), boolesche Terme b c + c (e + b) ( + b),

19 9 2.3 Boolesche Terme Klmmern sind notwendig, um die Eindeutigkeit zu sichern, Beispiel: b + c, bedeutet dies ( b) + c oder (b + c)? Klmmern können ddurch wegfllen, dß die Eindeutigkeit durch die Zuordnung von Prioritäten ("Punkt vor Strich") gesichert wird: Und ( ) bindet stärker ls Oder (+), d.h. b + c bedeutet ( b) + c Weiterhin knn ds Symbol für die Und-Verknüpfung weggelssen werden, flls eine entsprechende Vereinbrung über die Vriblennmen getroffen wird Beispiel: nur ein Buchstbe ist ls Vriblennme erlubt b + c ist eindeutig b + c Die beiden äußersten Klmmern können (selbstverständlich) weggelssen werden

20 2.3 Boolesche Terme Die Beziehung zwischen booleschen Termen und booleschen Funktionen die Konstnten bezeichnen konstnte Funktionen, Beispiel:

21 2.3 Boolesche Terme Die Literle bezeichnen Funktionen, die genu für diejenigen Werte gleich sind, für die die Vrible gleich bzw. gleich ist

22 2.3 Boolesche Terme Die Bedeutung weiterer Verknüpfungen ergibt sich für jede Wertekombintion durch Anwendung der Definition der 2 Verknüpfungen

23 Boolesche Terme Eine ndere Möglichkeit, die boolesche Funktion us einem Term zu ermitteln, ist es, lle Wertekombintionen der Vriblen in den Term einzusetzen und jeweils den Funktionswert zu bestimmen (den Term für die Wertekombintion uszuwerten). Beispiel: es sei f(,b,c,d) = + b + cd. Für =, b=, c=, d= ergibt sich entsprechend den Funktionstbellen für die Und- und Oder- Verknüpfung der Wert f(,,,) =, usw.

24 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr Zwei boolesche Terme f und g sind gleich, f = g, wenn für lle Wertekombintionen der Vriblen eine Auswertung der Terme denselben Wert ergibt In der booleschen Algebr gelten die folgenden Gleichungen: (T) + = (T') = Identität (T2) + = (T2') = Eins/Null-Element (T3) + = (T3') = Idempotenz (T4) = (T4') = Involution (T5) + = (T5') = Komplement

25 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr 25 (T6) + y = y + (T6') y = y Kommuttivität (T7) ( + y) + z = + (y + z) = + y + z (T7') ( y) z = (y z) = y z (T8) y + z = (y + z) (T8') ( + y) ( + z) = + y z Assozitivität Distributivität (T9) ( + y) = y (T9') ( y) = + y De Morgn'scher Stz (T) ( n )=... n (T') (... n )= n generlisierter De Morgn'scher Stz

26 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr 26 (T) + y = + y (T2) + y = (T') ( + y) = y (T2') ( + y) = Absorption grundlegende Bedeutung für die Vereinfchung von Schltungen und Termen, z.b. & y y

27 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr 27 (T3) y + z + y z = y + z (T3') ( + y) ( + z) (y + z) = ( + y) ( + z) Konsensus es gibt offenbr für dieselbe Funktion viele Termdrstellungen

28 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr 28 Weitere Vereinfchungstechnik für Terme (Kombintion T8, T5, T): y+ y = (y+ y) = = ( + y) ( + y) = + y y = + = y & & y

29 29 Noch eine Vereinfchungstechnik für Terme (Erweitern T, T5, T8 und Absorption T2): Beispiel T3 z y z y z y z y z y z y + = = Elementre Gleichungen der booleschen Algebr

30 3 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr Ds lgebrische System (B, +,,, ) ds die Eigenschften T, T5, T6, T8 (Identität, Komplement, Kommuttivität, Distributivität) besitzt, ist eine boolesche Algebr (Boole 854). (Anm.: die Negtion wird nicht ls Opertor, sondern ls Bezeichner des inversen Elements ngesehen, Huntington'schen Aiome) Beispiel einer nderen booleschen Algebr (S ist eine beliebige Menge): S (2,,,, S)

31 3 2.4 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr Nchtrg einiger weiterer boolescher Elementropertionen: Eor (Eklusiv-Oder, Ungleich, Addition modulo 2) Definition: b = b + b Gttersymbole b b b DIN (lt) b = IEEE- Stndrd b US-Norm (lt)

32 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr die Eor-Verknüpfung ist kommuttiv und ssozitiv, d.h. es gilt z.b. b c = c b weitere Eigenschften: =, =, =

33 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr NAND Gttersymbole b ( b) b DIN (lt) b & IEEE- Stndrd b US-Norm (lt)

34 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr NOR Gttersymbole b (+ b) b DIN (lt) b IEEE- Stndrd b US-Norm (lt)

35 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr Die Impliktion : b = + b Die Äquivlenz (Gleichheit): b = b + b die Äquivlenz ist genu dnn gleich, wenn die Argumente den gleichen Wert hben die Eor-Funktion ist genu dnn gleich, wenn die Argumente ungleichen Wert hben es gilt: b = ( b)

36 Elementre Gleichungen der booleschen Algebr Technisch gibt es Und-, Oder-, Nnd-, Nor-,... -Gtter mit mehr ls zwei (typisch: miml 8) Eingängen Beispiele: & & & & wegen der Kommuttivität und Assozitivität der Und- und Oder-Opertion (T6/T7) spielt die Reihenfolge der Eingänge keine Rolle

37 Veitch-Digrmme Veitch-Digrmme sind ein wichtiges Hilfsmittel für den mnuellen Entwurf von Schltungen für Probleme mit bis zu sechs Vriblen Veitch-Digrmme stellen boolesche Funktionen in Mtriform dr

38 2.5 Veitch-Digrmme f Beispiel: Veitch-Digrmm in vier Vriblen mrkiert lle Felder mit 3 = 8 9

39 Veitch-Digrmme f

40 2.5 Veitch-Digrmme f Eintrgen der Funktionswerte:

41 2.5 Veitch-Digrmme 4 Von zentrler Bedeutung sind die Nchbrschftsbeziehungen in Veitch-Digrmmen: zwei benchbrte Felder unterscheiden sich nämlich in genu einer Vriblen

42 2.5 Veitch-Digrmme hier ändern sich vier Vrible f hier ändert sich jeweils nur eine Vrible

43 2.5 Veitch-Digrmme 43 dies gilt uch bei den Rndfeldern ()

44 2.5 Veitch-Digrmme 44 ds gilt uch bei den Rndfeldern (b)

45 2.5 Veitch-Digrmme 45 Veitch-Digrmme in zwei und drei Vriblen

46 2.5 Veitch-Digrmme 46 Veitch-Digrmm in fünf Vriblen

47 Veitch-Digrmme Problem: der Drstellungsufwnd (Pltz) wächst uch bei Veitch-Digrmmen eponentiell in der Anzhl der Vriblen Beispiel: 32-bit Addierer ~ 2 64 Felder! Veitch-Digrmme sind sinnvoll bis zu 6 Vriblen Alterntiven u..: tetliche Drstellungen (Abschnitt 2.4) sog. Entscheidungsgrphen (Abschnitt 3.2)

48 Produkt- und Summenterme Produktterme (uch Monome oder Und-Kluseln gennnt) sind Und-Verknüpfungen von Literlen jede Vrible kommt miml einml vor (lso insbes. nicht positiv und negiert) Beispiel: y z Spezilfll: Minterm (Produktterm in llen Vriblen) Summenterme (uch Oder-Kluseln gennnt) sind Oder- Verknüpfungen von Literlen Spezilfll: Mterm (Summenterm in llen Vriblen) im folgenden insbes.: wie werden diese Terme im Veitch-Digrmm drgestellt?

49 2.6 Produkt- und Summenterme 49 Ein Minterm ist ein Produktterm in llen Vriblen und repräsentiert eine boolesche Funktion, die für genu eine Wertekombintion den Wert ht. Beispiel: f f = 2 3 4

50 5 2.6 Produkt- und Summenterme ein Minterm entspricht einem einzigen mit belegten Feld im Veitch-Digrmm (Konvention im folgenden: leere Felder sind mit belegt). Beispiel:

51 5 2.6 Produkt- und Summenterme ein Minterm entspricht einem einzigen mit belegten Feld im Veitch-Digrmm (Konvention im folgenden: leere Felder sind mit belegt). Beispiel:

52 Produkt- und Summenterme ein Minterm entspricht einem einzigen mit belegten Feld im Veitch-Digrmm (Konvention im folgenden: leere Felder sind mit belegt). Beispiel:

53 Produkt- und Summenterme ein Minterm entspricht einem einzigen mit belegten Feld im Veitch-Digrmm (Konvention im folgenden: leere Felder sind mit belegt). Beispiel:

54 Produkt- und Summenterme ein Minterm entspricht einem einzigen mit belegten Feld im Veitch-Digrmm (Konvention im folgenden: leere Felder sind mit belegt). Beispiel:

55 2.6 Produkt- und Summenterme 55 weitere Beispiele von Mintermen:

56 2.6 Produkt- und Summenterme 56 Andere Produktterme: die beiden Produktterme unterscheiden sich nur in der Vriblen und können zusmmengefßt werden: = ( + ) =

57 2.6 Produkt- und Summenterme 57 ein weiterer Produktterm in 3 Vriblen

58 2.6 Produkt- und Summenterme 58 ein weiterer Produktterm in 3 Vriblen

59 2.6 Produkt- und Summenterme 59 ein weiterer Produktterm in 3 Vriblen

60 2.6 Produkt- und Summenterme 6 ein weiterer Produktterm in 3 Vriblen

61 2.6 Produkt- und Summenterme 6 weitere Produktterme in n- Vriblen:

62 2.6 Produkt- und Summenterme

63 2.6 Produkt- und Summenterme 63 Produktterme in n-2 Vriblen: die beiden Produktterme unterscheiden sich nur in der Vriblen und können zusmmengefßt werden: = 24

64 2.6 Produkt- und Summenterme 64 weitere Produktterme in n-2 Vriblen:

65 2.6 Produkt- und Summenterme 65

66 2.6 Produkt- und Summenterme 66

67 Produkt- und Summenterme Boolesche Opertionen mit Veitch-Digrmmen Gegeben zwei Veitch-Digrmme für die booleschen Funktionen f und g Ermittle ds Veitch-Digrmm für f g, f + g, f Beispiel: c c b f b g

68 2.6 Produkt- und Summenterme 68 Beispiel: c c b f b g nur n den Stellen n denen f und g den Wert hben b f g

69 Produkt- und Summenterme Die Mengendrstellung von Produkttermen repräsentiert einen Produktterm durch die Menge der Dezimläquivlente, für die der Produktterm ist. Beispiel: d b = $ {,5,9,3} b c

70 2.6 Produkt- und Summenterme 7 Die Würfeldrstellung von Produkttermen der Nme kommt von der Drstellung ller Wertekombintionen in einem n-dimensionlen Würfel. Beispiel: ein Minterm

71 7 2.6 Produkt- und Summenterme Annhme: n Vriblen,..., n ein Würfel ist eine Folge von n Zeichen us {,, -} und zwr bedeutet: "" n der Stelle i ds Vorkommen von i, "" ds Vorkommen von i und "-", dß die Vrible nicht in dem Produktterm vorkommt. Beispiel:,, 2 3 4, 3 4

72 2.6 Produkt- und Summenterme 72 eine Ecke ein Minterm

73 2.6 Produkt- und Summenterme 73 eine Knte

74 2.6 Produkt- und Summenterme 74 eine Fläche

75 2.6 Produkt- und Summenterme 75 Ein Mterm ist ein Summenterm in llen Vriblen und repräsentiert eine boolesche Funktion, die für lle Wertekombintionen ußer genu einer den Wert ht. Beispiel: f = f

76 2.6 Produkt- und Summenterme 76 ein Mterm entspricht einem einzigen mit besetzten Feld im Veitch-Digrmm 3 w

77 2.6 Produkt- und Summenterme 77 Und-Verknüpfungen von Mtermen: w

78 2.6 Produkt- und Summenterme 78 Resultt der Und-Verknüpfung: 3 2 ( ) ( )=

79 2.6 Produkt- und Summenterme 79 Nochmls: Absorptionsgesetze (T) + y = + y (T2) + y = (T') ( + y) = y (T2') ( + y) = Absorption & y

80 2.6 Produkt- und Summenterme 8 (T2) + y = =

81 2.6 Produkt- und Summenterme 8 (T) + y = + y =

82 Disjunktive und konjunktive Normlformen Ein boolescher Term ist in disjunktiver Normlform (DNF), wenn er us der Disjunktion (Oder-Verknüpfung) von Produkttermen besteht Ein boolescher Term ist in konjunktiver Normlform (KNF), wenn er us der Konjunktion (Und-Verknüpfung) von Summentermen besteht

83 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 83 Disjunktive Normlformen können relisiert werden durch zweistufige Und-/Oder-Netze y & z y & y + zy + z z &

84 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 84 zwischen Term und relisierendem Gtternetz wird hierbei Strukturgleichheit ngenommen y & z y & y + zy + z z &

85 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 85 Konjunktive Normlformen können relisiert werden durch zweistufige Oder-/Und-Netze y z y & ( + y) (z + y) ( + z) z

86 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 86 Problem: DNF und KNF können zur Drstellung von Funktionen in der Anzhl der Vriblen eponentiell viel Pltz benötigen Beispiel: die Eor-Verknüpfung von n Vriblen (Addition modulo 2, Pritätsfunktion) "Schchbrettmuster":

87 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 87 Aufgbe der zweistufigen Logikminimierung: relisiere eine boolesche Funktion durch ein zweistufiges Und-/Oder-Gtternetz (Oder-/Und- Gtternetz) mit minimlem Aufwnd ein einfches Aufwndsmß: Anzhl der Eingänge der 2. Stufe = Anzhl der Literle in der entsprechenden DNF (KNF) Beispiele: Aufwnd = 5 bc bc b Aufwnd = 4 mnuell im Prinzip durch lgebrische Vereinfchung der DNF (KNF) lösbr + + b

88 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 88 d die lgebrische Vereinfchung von Termen schwierig ist, wird für kleinere Probleme oft der Umweg über ds Veitch-Digrmm genommen Beispiel: bc + b

89 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 89 c bc + b b c bc + b b

90 9 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen Aufgbe: lese us dem Veitch-Digrmm eine DNF "mit möglichst wenig und möglichst großen" Produkttermen b die "möglichst großen" Produktterme hben m wenigsten Literle und verurschen den geringsten Relisierungsufwnd systemtische Behndlung im Abschnitt über zweistufige Logikminimierung

91 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen 9 Beispiel: chrkterisiere lle zulässigen Phsen einer Verkehrsmpel durch eine DNF mit möglichst geringem Aufwnd (r rot, g grün, e gelb) r g e p ge + rg + rge

92 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen f Die Minterm-Normlform ist eine DNF und stellt eine boolesche Funktion ls Summe der Minterme dr f(, K, n ) = f(, f(, K f(, + K K K,),) Funktionswerte,) ntürlich lssen wir die Minterme mit Funktionswert weg! K K K n n n + + Minterme

93 2.7 Disjunktive und konjunktive Normlformen f Entsprechend ist die Mterm- Normlform (KNF) ein Produkt der Mterme f(, K, n ) = (f(, K,) (f(, K,) K (f(, K,) K K K n n n ) ) )

94 Disjunktive und konjunktive Normlformen Problem: Minterm- und Mterm-Normlformen können ebenso wie Funktionstbellen und Veitch-Digrmme eponentiellen Pltz in der Anzhl der Vriblen benötigen einfches Beispiel: Minterm-Drstellung der Oder- Verknüpfung von n Vriblen

95 Vollständige Verknüpfungssysteme Eine Menge boolescher Verknüpfungen heißt vollständig, wenn sich jede boolesche Funktion unter usschließlicher Verwendung dieser Verknüpfungen durch einen booleschen Term drstellen läßt Beispiel: jede boolesche Funktion läßt sich unter Benutzung der Und-, Oder- und Nicht-Verknüpfung ls boolscher Term hinschreiben

96 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme 96 Dies trifft uch uf die NAND-Verknüpfung zu ht prktische Bedeutung, d NAND-Gtter oft us technologischen Gründen die schnellsten und m wenigsten Pltz benötigenden Gtter sind Frge: welche Funktion relisiert dieses Gtternetz? y z y z & & & &

97 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme 97 Anwendung des generlisierten Stzes von De Morgn ( y z) = + y + z & =

98 98 & & & & y z y z & & & y z y z zwei Negtionen heben sich uf & & & y z y z 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme z y z) y ( + + =

99 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme 99 Fzit: jede disjunktive Normlform und dmit jede boolesche Funktion läßt sich llein mit NAND-Gttern relisieren

100 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme Entsprechend lssen sich lle konjunktiven Normlformen durch NOR-Gtter relisieren ( + y + z) = y z y y y z y z y & z y & z z z

101 2.8 Vollständige Verknüpfungssysteme Jede boolesche Funktion läßt sich ferner mit usschließlicher Verwendung der Und- und Eor-Verknüpfung repräsentieren Spezilfll positiv polrisierte Reed-Muller Form: jede boolesche Funktion läßt sich durch die Eor- Verknüpfung von Produkttermen drstellen, die usschließlich positive Literle enthlten Nchweis durch Anwendung der folgenden Gleichheiten jeweils "von links nch rechts" Gleichheiten, die nur von links nch rechts usgewertet werden heißen "Produktionsregeln" Anmerkung: es ist offenbr nicht möglich, die konstnten Funktionen und zu erzeugen. Ein solches System heißt "schwch vollständig"

102 2 z y z) (y y y y = = = = = = = = Vollständige Verknüpfungssysteme Gleichheiten zur Umwndlung eines beliebigen booleschen Terms in eine positiv polrisierte Reed- Muller-Form:

103 3 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole Der Entwicklungsstz wurde von Boole 849 ngegeben Er ist uch ls Shnnon scher Entwicklungsstz beknnt

104 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole f f(, 2,3,4) f(, 2,3,4) 4 Idee: Entwicklung einer Funktion nch einer Vriblen und zwei Restfunktionen, die von dieser Vriblen nicht mehr bhängen Beispiel: entwickeln nch

105 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 5 Entwicklungsstz: jede Boolesche Funktion f läßt sich nch jeder ihrer Vriblen wie folgt entwickeln: f = f + f f, f heißen die Kofktoren von f bzgl. sie können ddurch ermittelt werden, dß in f konstnt uf bzw. gesetzt wird

106 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 6 Vernschulichung im Veitch-Digrmm: b f f c f f = c + b + b

107 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 7 Vernschulichung im Veitch-Digrmm: b f f c f f = c + b + b f = f + f

108 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 8 Umsetzen in eine Schltung: b f f f f & & f c f = c + b + f = f + b f f

109 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 9 die Kofktoren werden durch die Substitution der Konstnten bzw. für und Vereinfchung berechnet: b f f f f & & f f=c+b+b, f f c =c+ b+b=c+b, =c+b+b=c+b, f= (c+b)+ (c+b) f

110 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole die Kofktoren werden durch die Substitution der Konstnten bzw. für und Vereinfchung berechnet: b c f f=c+b+b, f f f f =c+ b+b=c+b, =c+b+b=c+b, f= (c+b)+ (c+b) c b c b f f & & f

111 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole Die oben benutzte Schltung wird ls 2:-Multipleor bezeichnet Schltsymbol: & b & b in Abhängigkeit von wird entweder oder b uf den Ausgng durchgeschltet ("gemultiplet")

112 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 2 Der dule Entwicklungsstz: jede Boolesche Funktion f läßt sich nch jeder ihrer Vriblen wie folgt entwickeln: f=(+ f ) (+ f )

113 2.9 Der Entwicklungsstz von Boole 234 f der boolesche Entwicklungsstz ist Grundlge vieler Algorithmen, d er es oft erlubt, ein Problem (z.b. zwei-stufige Logikminimierung) nch dem Prinzip des "Teile-und- Herrsche" in zwei Teilprobleme zu zerlegen, die nicht mehr von einer Vriblen bhängen 3

114 4 2. Gttergleichungen und Gtternetze Gtternetze bestehen us Gttern und Verbindungen von Gtterusgängen mit Gttereingängen Beispiel: b & & & g b &

115 5 2. Gttergleichungen und -netze Die systemtische Anlyse von Gtternetzen bsiert uf dem Aufstellen von Gttergleichungen Dzu wird jedem Gtterusgng eine boolesche Vrible zugeordnet (flls nicht schon vorhnden) die Funktion des Gtters durch seine Gttergleichung: Ausgng = Funktion der Gttereingänge beschrieben Beispiel: b & = b Gttergleichung

116 6 2. Gttergleichungen und -netze Begriffe: Gttereingänge eines Gtternetzes, die nicht uch Gtterusgänge sind, heißen primäre Eingänge des Gtternetzes Gtterusgänge eines Gtternetzes, die nicht uch Gttereingänge sind, heißen primäre Ausgänge des Gtternetzes & primäre Eingänge & & primärer Ausgng &

117 7 2. Gttergleichungen und -netze Begriffe (Forts.): Ein Gtternetz heißt rückkopplungsfrei, wenn uf llen Pfden von den primären Eingängen zu den primären Ausgängen jeder Gtterusgng höchstens einml besucht wird Beispiel eines rückkopplungsfreien Gtternetzes: b & & & g b & Gtternetze mit Rückkopplungen werden z.b. zur Informtionsspeicherung benutzt (Kp. 7)

118 8 2. Gttergleichungen und -netze Problem: Gtternetz boolesche Funktion bei der Anlyse eines Gtternetzes muß oft die boolesche Funktion n den primären Gtterusgängen in Abhängigkeit von den primären Gttereingängen bestimmt werden Wie bestimmt mn die durch ein rückkopplungsfreies Gtternetz relisierte boolesche Funktion (Schltungsnlyse)? Beispiel: g = f(,b,c)? b & c g

119 9 2. Gttergleichungen und -netze Prinzipielles Verfhren: Aufstellen der Gttergleichungen Auflösen des Gleichungssystems durch Substitution ("Gleiches drf durch Gleiches ersetzt werden") Beispiel: g = f(,b,c)? = b g = + c b & c g g = ( b) + c

120 2 2. Gttergleichungen und -netze Boolescher Term Gtternetz: umgekehrt knn mn sehr einfch jedem booleschen Term ein isomorphes bumrtiges rückkopplungsfreies Gtternetz zuordnen (Schltungssynthese) Beispiel: b(c + de) + d