Boolesche Algebra KV-Diagramm Aussagenlogik Logelei. Aussagenlogik Übersetzungen Logelei Programm in PureBasic Gesetze der Mengenalgebra
|
|
- Gregor Glöckner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Booleshe Alger KV-Digrmm Aussgenlogik Logelei Aussgenlogik Üersetzungen Logelei Progrmm in PureBsi Gesetze der Mengenlger 1
2 Shltelemente Und Konjunktion und & Oder Disjunktion oder Negtion niht Mit diesen elementren Buteilen lssen sih lle Computershltungen relisieren. Roolfs 2
3 Gesetze der Booleshen Alger Kommuttivgesetze: = = Assozitivgesetze: ( ) = ( ) ( ) = ( ) Asorptionsgesetze: ( ) = ( ) = Distriutivgesetze: ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Idempotenzgesetze: = 1 = 0 = = de Morgn-Gesetze: = = neutrle Elemente: 0 = 1 = doppelte Negtion: = 1. Zeige mit den Gesetzen der Booleshen Alger die Gleihheit der Terme. ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 ) ( ) ( ) = d) ( ) = ( ) 2. Gi für die ooleshen Funktionen möglihst einfhe Terme n. ) ) ) d) e) f) t u v x y z ? ? ? ? ? ? 1 Roolfs 3
4 Booleshe Alger Gi für die ooleshen Funktionen möglihst einfhe Terme n. ) ) ) d) e) f) t u v x y z ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) = ( ) f) Roolfs 4
5 Booleshe Alger ) in PureBsi OpenConsole() For = #Flse To #True For = #Flse To #True For = #Flse To #True PrintN(Str()+Str()+Str()+ +Str( ((Not ) Or ) And ( (Not ) Or Or ) ) ) Next Next Next Input() ) in Python for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): print(,,,, ool( nd nd not )) for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): print(,,,, int( nd ( or not ))) for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): print(,,,, int(( ) & )) for i in rnge(0,16): = i % 2; i>>= 1 = i % 2; i>>= 1 = i % 2; i>>= 1 d = i % 2; i>>= 1 print(d,,,) 5
6 Booleshe Alger Sei B = {0, 1} die Booleshe Menge, uf der folgende Verknüpfungen erklärt sind (x, y Booleshe Vrilen): Addition x+y = x y (= Mx(x,y)) Behte den Untershied 1+1 = 1 zur Addition von Dulzhlen. Multipliktion x y = x y (= Min(x,y)) Ds vereinfht die Shreiweise Boolesher Terme, sttt ( ) ( ) ist + möglih. Gi für die Booleshen Funktionen X, Y und Z einen Term n. X Y Z X = Y = + Z = + + disjunktive Normlform Es sollte nun klr sein, dss zu jeder Booleshen Funktion ein zugehöriger Boolesher Term in disjunktiver Normlform ermittelt werden knn. Wir wollen der Frge nhgehen, wie dieser Term vereinfht werden knn. Roolfs 6
7 Krnugh-Veith-Digrmm 1952 Betrhten wir die Booleshe Funktion: X Die Funktion X = + knn mit einem Digrmm vernshuliht werden wird für {(1,0),(1,1)} 1, wird für {(0,1),(1,1)} 1, wird nur uf dem gemeinsmen Element (1,1) 1. Die Rndeshriftungen mrkieren lso die Bereihe, für die die elementren Terme jeweils 1 werden. Wie lutet der Booleshe Term? ) ) ) Wie sieht ds KV-Digrmm für den Term + us? Roolfs 7
8 KV-Digrmm Betrhten wir die Booleshe Funktion: X Ds Krnugh-Veith-Digrmm muss us 8 Feldern estehen Die Unterteilung ist so ngelegt, dss sih enhrte Felder lediglih um eine Stelle untersheiden. Wie lutet der Booleshe Term? ) ) Roolfs 8
9 Idee des KV-Digrmms X X = + Jede Booleshe Funktion (mit 3 Vrilen) und dmit jeder Term legt eine Teilmenge der Menge A = {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} fest, hier ist es B = {(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0)} Auf dieser Teilmenge ist die Funktion (der Term) 1, sonst 0. Der Term wird uf C = {(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,0,0)} 1, der Term uf D = {(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}. wird uf der Shnittmenge C D = {(0,0,1),(1,0,1)} 1. wird uf der E = {(1,1,0)} 1, ds ist die Shnittmenge der zu, und gehörenden Teilmengen. Die Funktion X nimmt dmit uf der Menge (C D) E den Wert 1 n, der Funktionsterm lutet: + + edeutet im KV-Digrmm die Vereinigung von Feldern, die Bildung der Shnittmenge. Roolfs 9
10 Mengenopertionen A B Vereinigung A B A B Shnitt A B Roolfs 10
11 KV-Digrmm Wie lutet der Booleshe Term? ) ) ) d) e) Wie sieht ds KV-Digrmm für den Term (+)+ us? Roolfs 11
12 KV-Digrmm Vorlgen ) ) ) d) e) f) g) h) Roolfs 12
13 KV-Digrmm Ds Krnugh-Veith-Digrmm für 4 Vrilen muss us 16 Feldern estehen. d d d Wie sieht ds KV-Digrmm für den Term (+)(+d) us? Roolfs 13
14 KV-Digrmm d d d Gi einen minimlen Term n. Roolfs 14
15 KV-Digrmm +d+d 15
16 Aussgenlogik Eine Aussge ist entweder whr oder flsh. Wir ezeihnen Aussgen mit großen Buhsten. Aussgen können verknüpft werden mit und A B oder A B wenn..., dnn... A B... genu dnn, wenn... A B A B A B A B A B A B mhe mn sih m Beispiel klr: Wenn Fru L. Musik hört, enutzt sie einen Kopfhörer. Diese Aussge ist nur flsh, wenn Für Umformungen knn A B = A B nützlih sein. A B ist nur 0, wenn A = 1 und B = 0 vorliegt. Die Gesetze der Booleshen Alger können neu formuliert werden. Hierzu wird ds Gleihheitszeihen durh ds Äquivlenzzeihen ersetzt, z.b. A B A B. Eine Aussge, die stets whr ist, heißt Tutologie, in Zeihen: (Impliktion), (Äquivlenz). Wir shreien lso genuer: A B A B Weiteres (A B) (B C) (A C) A (A B) B A B B A Kontrposition A B (A B) (B A) A B (A B) (A B) Üerprüfe B (A B) A (A B) (A B) B Roolfs 16
17 Logelei Die ShülerInnen sind dnn und nur dnn glüklih, wenn kein Test geshrieen wird. Wenn die ShülerInnen glüklih sind, fühlt sih der Lehrer wohl. Aer wenn sih der Lehrer wohl fühlt, ht er keine Lust, zu unterrihten. Und wenn er keine Lust ht, zu unterrihten, wird ein Test geshrieen. Sind die Shüler glüklih? 17
18 Logelei Die ShülerInnen sind dnn und nur dnn glüklih, wenn kein Test geshrieen wird. Wenn die ShülerInnen glüklih sind, fühlt sih der Lehrer wohl. Aer wenn sih der Lehrer wohl fühlt, ht er keine Lust, zu unterrihten. Und wenn er keine Lust ht, zu unterrihten, wird ein Test geshrieen. Sind die Shüler glüklih? S: Die ShülerInnen sind glüklih. T: Es wird ein Test geshrieen. L: Der Lehrer fühlt sih wohl. U: Der Lehrer ht Lust zu unterrihten. S T S L L U U T S Negtion S S, S... S 18
19 Aussgenlogik Üersetzungen Üersetze die Sätze in die Sprhe der Aussgenlogik. ) Die Erde kreist um die Sonne, er der Ppst glut ds niht. ) Klus kommt genu dnn zur Prty, wenn Ann niht kommt oder wenn Olf die Drinks mixt. ) Wenn Sofie einen Witz mht, dnn lhen Hns und Ern, es sei denn, dss Klus oder Peter die Stimmung verdirt. 19
20 Aussgenlogik Üersetzungen Üersetze die Sätze in die Sprhe der Aussgenlogik. ) Die Erde kreist um die Sonne, er der Ppst glut ds niht. E: Die Erde kreist um die Sonne. P: Der Ppst glut, dss die Erde um die Sonne kreist. E P ) Klus kommt genu dnn zur Prty, wenn Ann niht kommt oder wenn Olf die Drinks mixt. K: Klus kommt zur Prty. A: Ann kommt zur Prty. O: Olf mixt die Drinks. K A O ) Wenn Sofie einen Witz mht, dnn lhen Hns und Ern, es sei denn, dss Klus oder Peter die Stimmung verdirt. S: Sofie mht einen Witz. H: Hns lht. E: Ern lht. K: Klus verdirt die Stimmung. P: Peter verdirt die Stimmung. S (H E K P) 20
21 Logelei Ann sgt: Bettin lügt. Bettin sgt: Cludi lügt. Cludi sgt: Anne und Bettin lügen. Wer lügt denn nun? 21
22 Logelei Ann sgt: Bettin lügt. Bettin sgt: Cludi lügt. Cludi sgt: Anne und Bettin lügen. Wer lügt denn nun? A: Ann sgt die Whrheit. B: Bettin sgt die Whrheit. C: Cludi sgt die Whrheit. A B B C C A B Wir suhen eine Vrilenelegung, so dss die Aussgen whr sind (Erfüllrkeits-Prolem). def äqui(x,y): return int(x & Y X & Y) for A in rnge(0,2): for B in rnge(0,2): for C in rnge(0,2): D1 = äqui(a, B) D2 = äqui(b, C) D3 = äqui(c, A & B) print(a,b,c,, D1 & D2 & D3) Bettin sgt die Whrheit. B = 1, A = 0, C = 0 22
23 Progrmm in PureBsi OpenConsole() For n=0 To 1 For m=0 To 1 For k=0 To 1 Next k Next m Next n Input() A=n: B=m: C=k D1= ((Not A) (Not B)) & (B A) D2= ((Not B) (Not C)) & (C B) D3= ((Not C) (Not(A B))) & (A B C) If D1 & D2 & D3 PrintN("ABC "+ Str(A)+Str(B)+Str(C)) EndIf Etws elegnter: OpenConsole() For n=0 To 8 v=n A=v % 2: v/2 B=v % 2: v/2 C=v % 2: v/2 D1= ((Not A) (Not B)) & (B A) D2= ((Not B) (Not C)) & (C B) D3= ((Not C) (Not(A B))) & (A B C) If D1 & D2 & D3 PrintN("ABC "+Str(A)+Str(B)+Str(C)) EndIf Next n Input() Roolfs 23
24 Logelei Ein Mnn shreit: Wer von Euh Hlunken ht den Bll in mein Fenster geworfen? Zitternd stehen vier Kinder d. Anne sgt: Emil wr es. Emil sgt: Gustv wr es. Fritz sgt: Ih wr es niht. Gustv sgt: Emil lügt. Ein Pssnt sgt: Eines der Kinder wr es, er Vorsiht: Nur eines der Kinder sgt die Whrheit. Frge: Wer ht den Bll geworfen? 24
25 Logelei Ein Mnn shreit: Wer von Euh Hlunken ht den Bll in mein Fenster geworfen? Zitternd stehen vier Kinder d. Anne sgt: Emil wr es. Emil sgt: Gustv wr es. Fritz sgt: Ih wr es niht. Gustv sgt: Emil lügt. Ein Pssnt sgt: Eines der Kinder wr es, er Vorsiht: Nur eines der Kinder sgt die Whrheit. Frge: Wer ht den Bll geworfen? Gustv sgt die Whrheit. Fritz wr es. 25
26 Besuh der Meiers Herr und Fru Meier hen die drei Söhne Tim, Ky und Uwe. Wenn Herr Meier kommt, dnn ringt er uh seine Fru mit. Mindestens einer der eiden Söhne Uwe und Ky kommt. Entweder kommt Fru Meier oder Tim. Entweder kommen Tim und Ky oder eide niht. Und wenn Uwe kommt, dnn uh Ky und Herr Meier. 26
27 Besuh der Meiers Herr und Fru Meier hen die drei Söhne Tim, Ky und Uwe. Wenn Herr Meier (H) kommt, dnn ringt er uh seine Fru (F) mit. Mindestens einer der eiden Söhne Uwe (U) und Ky (K) kommt. Entweder kommt Fru Meier oder Tim (T). Entweder kommen Tim und Ky oder eide niht. Und wenn Uwe kommt, dnn uh Ky und Herr Meier. H F U K (F T) T K U K H ( H F) (F T) ( F T) Wir suhen eine Vrilenelegung, so dss die Aussgen whr sind (Erfüllrkeits-Prolem). def folgt(x,y): return int( X Y) def äqui(x,y): return int(x & Y X & Y) Tim und Ky kommen zu Besuh. Roolfs 27
28 Whl des Studienfhs Die Drillinge Anton, Bernd und Christin stehen dvor, sih n der Universität entweder für ds Studienfh Mthemtik oder für Informtik einzushreien, und diskutieren drüer, wer sih für welhes Fh entsheiden sollte. Dei ht jeder der Drei estimmte Wunshvorstellungen. So verkündet Bernd sofort, dss er Mthemtik studieren will, flls einer seiner eiden Brüder sih für Informtik einshreien sollte. Christin hingegen will Informtik studieren, wenn Bernd dies eenflls tut oder wenn Anton sih für Mthemtik entsheidet. Um die Angelegenheit noh komplizierter zu mhen, misht sih Anton ein und sgt: Wenn Bernd Mthe studiert, dnn tu ih ds uh! Drufhin erwidert Christin: Solltest du dih er doh für Informtik entsheiden, Anton, dnn werde ih es dir gleih tun. Roolfs 28
29 Whl des Studienfhs Die Drillinge Anton, Bernd und Christin stehen dvor, sih n der Universität entweder für ds Studienfh Mthemtik oder für Informtik einzushreien, und diskutieren drüer, wer sih für welhes Fh entsheiden sollte. Dei ht jeder der Drei estimmte Wunshvorstellungen. So verkündet Bernd sofort, dss er Mthemtik studieren will, flls einer seiner eiden Brüder sih für Informtik einshreien sollte. Christin hingegen will Informtik studieren, wenn Bernd dies eenflls tut oder wenn Anton sih für Mthemtik entsheidet. Um die Angelegenheit noh komplizierter zu mhen, misht sih Anton ein und sgt: Wenn Bernd Mthe studiert, dnn tu ih ds uh! Drufhin erwidert Christin: Solltest du dih er doh für Informtik entsheiden, Anton, dnn werde ih es dir gleih tun. A Anton studiert Mthemtik,... A C B B A C B A A C A B C Roolfs 29
30 Prüfziffer-Aufge Es ist denkr und kommt uh häufiger vor, dss ei der Üertrgung einer Zhl (wir etrhten hier dreiziffrige Dulzhlen) von einem Speiherpltz zu einem nderen eine Ziffer 1 in eine 0 oder umgekehrt verändert wird. Um diese Fehler zu erkennen, wird zusätzlih zu den Stellen der Zhl eine weitere Stelle ls Prüfstelle (uh Prüfit oder Pritätsit gennnt) eingeführt. Hier wird eine 0 vermerkt, wenn die Anzhl der Ziffern 1 in der Zhl gerde (oder null) ist, sonst 1. Die Prüfziffer soll utomtish ermittelt werden. Dzu ist eine möglihst einfhe Shltung zu entwerfen. Roolfs 30
31 Die disjunktive Normlform lässt sih niht vereinfhen. 31
32 Gesetze der Mengenlger 1) A B = B A Kommuttivgesetze A B = B A enthlten (ist Teilmenge) vereinigt geshnitten 2) (A B) C = A (B C) Assozitivgesetze (A B) C = A (B C) 3) A (B C) = (A B) (A C) Distriutivgesetze A (B C) = (A B) (A C) leere Menge 4) A (A B) = A Asorptionsgesetze A (A B) = A 5) A B = A B De Morgn-Gesetze A B = A B 6) A = A Komplementgesetze A A = A A = Ω A A A A Ω A A B B A B B B A B = Roolfs 32
33 X Ermittle den ooleshen Term für X und vereinfhe ihn soweit wie möglih. Roolfs 33
34 X = 34
Gleichung: 11 + x = 35 Welcher Zahlenwert steckt hinter der Variablen x?
Rettungsring Vrilen & Gleihungen gnz klr: Mthemtik - Ds Ferienheft mit Erfolgsnzeiger Vrilen & Gleihungen Vrilen (,, ) werden uh Uneknnte oder Pltzhlter gennnt. Sie smolisieren einen estimmten Zhlenwert
MehrWurzel b bedeutet: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert gerade die Zahl ergibt, die unter der Wurzel steht.
/0 Areitsltt Wurzel edeutet: Suhe die Zhl, die mit sih selst multipliziert gerde die Zhl ergit, die unter der Wurzel steht. Also: - suhe eine Zhl, die mit sih selst multipliziert, genu ergit. Die Lösung
MehrErkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von
MehrSeminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 13 Bruchrechnung 1 5
Mthemtik Grundlgen Mthemtik Grundlgen für Industriemeister Seminrstunden S-Std. ( min) Nr. Modul Theorie Üungen Inhlt.... Allgemeines..... Ehte Brühe..... Unehte Brühe.... Erweitern und Kürzen von Brühen....
MehrVorkurs Mathematik. Vorlesung 3. Die rationalen Zahlen
Prof. Dr. H. Brenner Osnrück WS 2014/2015 Vorkurs Mthemtik Vorlesung 3 Die rtionlen Zhlen Definition 3.1. Unter einer rtionlen Zhl versteht mn einen Ausdruck der Form, woei, Z und 0 sind, und woei zwei
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
Automten un formle Sprhen Notizen zu en Folien 1 Grunlgen un formle Beweise Venn-Digrmme (Folie 6) Im oeren Digrmm er Folie 6 sin zwei Mengen ngegeen: A un B. Es ist explizit ein Element von A ngegeen,
MehrR. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
MehrVORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN. Dienstag
Lösungen Dienstg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN Dienstg Blok.. - 4 3y 6 3-6y 3-3 y -. - 3y 4 - y 9 - y -93. y 0,,y Sämtlihe Lösungsmethoden liefern hier whre Aussgen. Z. Bsp. «0 0».
MehrUmstellen von Formeln und Gleichungen
Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst
MehrModul 3: Schaltnetze. Informatik I. Modul 3: Schaltnetze. Schaltnetze. Formale Grundlagen. Huntingtonsche Axiome.
Herstsemester 2, Institut für Informtik IFI, UZH, Schweiz Modul 3: Schltnetze Informtik I Modul 3: Schltnetze Einführung in die formlen Grundlgen logischer Beschreiungen Boolesche Alger, Schltlger Vorussetzende
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Verfhren Mthemtik für Studierende der Biologie und des Lehrmtes Chemie Dominik Shillo Universität des Srlndes 6. Vorlesung, 4..7 (Stnd: 4..7, 4:5 Uhr) Shreibe,,n.......... n, n,n Führe den Guÿlgorithmus
MehrOber- und Untersummen, Riemann Integrale
Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines
MehrAufgabe 1. Die Zahl 6 wird aus 3 gleichen Ziffern mit Hilfe der folgenden mathematischen
Deprtment Mthemtik Tg der Mthemtik 5. Juli 008 Klssenstufen 9, 10 Aufge 1. Die Zhl 6 wird us 3 gleihen Ziffern mit Hilfe der folgenden mthemtishen Symole drgestellt: + Addition Sutrktion Multipliktion
MehrEinführung in die Theoretische Informatik I/ Grundlagen der Theoretischen Informatik. SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhard Beckert Ulrich Koch.
Einführung in die Theoretishe Informtik I/ Grundlgen der Theoretishen Informtik SS 2007 Jun.-Prof. Dr. Bernhrd Bekert Ulrih Koh Nhklusur 25. 09. 2007 Persönlihe Dten itte gut leserlih usfüllen! Vornme:...
Mehr01 Proportion Verhältnis Maßstab
5 Ähnlihkeit und Strhlensätze LS 01.M1 01 Proportion Verhältnis Mßst 1 Lies die folgende Informtion sorgfältig. Mrkiere wihtige egriffe und Formeln. ) Proportionle Zuordnung ei einer proportionlen Zuordnung
MehrLösungshinweise/-vorschläge zum Übungsblatt 2: Software-Entwicklung 1 (WS 2015/16)
Dr. Annette Bienius Mthis Weer, M.. Peter Zeller, M.. T Kiserslutern Fhereih Informtik AG oftwretehnik Lösungshinweise/-vorshläge zum Üungsltt 2: oftwre-entwiklung 1 (W 2015/16) Die Hinweise und orshläge
Mehr5.2 Quadratische Gleichungen
Mthemtik mit Mthd MK..0 0_0_Qud_Gleih.xmd Einfhe qudrtishe Gleihungen. Qudrtishe Gleihungen ef.: Eine Gleihung, in der x höhstens qudrtish (in der zweiten Potenz) vorkommt, heißt qudrtishe Gleihung. Gewöhnlihe
MehrEinführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mthemtishes Institut Prof. Dr. F. Vllentin ufge ( + 7 = 0 Punkte) Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserh Sommersemester 0 en zur Klusur (7. Juli 0). Es seien M = {,..., n },
MehrLesen. Fit in Deutsch.2. circa 30 Minuten. Dieser Test hat drei Teile. In diesem Prüfungsteil findest du Anzeigen, Briefe und Artikel aus der Zeitung.
Fit in Deutsh.2 Üungsstz 01 Kndidtenlätter ir 30 Minuten Dieser Test ht drei Teile. In diesem Prüfungsteil findest du Anzeigen, Briefe und Artikel us der Zeitung. Zu jedem Text git es Aufgen. Shreie m
MehrGrundwissen 6. Klasse
Grundwissen Mthemtik Klsse / Grundwissen Klsse Positive Brühe ) Grundegriffe z Brühe hen die Form n mit z I N0, n I N z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruhes Bezeihnung Bedingung Beispiele Ehter Bruh
Mehr18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus
18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus Autor Friedrich Eisenrnd, Universität Dortmund Heute ehndeln wir den ältesten ereits us Aufzeichnungen us der Antike eknnten Algorithmus. Er wurde
MehrDurch die Umformung ergibt sich eine Schaltfunktion mit einer minimalen Anzahl von Verknüpfungsoperationen, nämlich 2.
2 Die shltlgerishe Umformung von Shltfunktionen in Normlform soll m Beispiel er Umformung einer Mxterm-Normlform in eine Minterm-Normlform gezeigt weren. Beispiel: y = ) ( ) ( ) ( Es ietet sih ie Anwenung
Mehrsolche mit Textzeichen (z.b. A, a, B, b,!) solche mit binären Zeichen (0, 1)
teilung Informtik, Fh Progrmmieren 1 Einführung Dten liegen oft ls niht einfh serier- und identifizierre Dtensätze vor. Stttdessen reräsentieren sie lnge Zeihenketten, z.b. Text-, Bild-, Tondten. Mn untersheidet
MehrFunktionen und Mächtigkeiten
Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit
MehrÜbungsblatt Nr. 2. Lösungsvorschlag
Institut für Kryptogrphie und Siherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Qude Dirk Ahenh Tois Nilges Vorlesung Theoretishe Grundlgen der Informtik Üungsltt Nr. 2 svorshlg Aufge 1: Doktor Met in Gefhr (K) (4 Punkte)
MehrRelationen: Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen
TH Mittelhessen, Sommersemester 202 Lösungen zu Üungsltt 9 Fchereich MNI, Diskrete Mthemtik 2. Juni 202 Prof. Dr. Hns-Rudolf Metz Reltionen: Äquivlenzreltionen, Ordnungsreltionen Aufge. Welche der folgenden
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2011
Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 011 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 1 Reguläre Sprchen Wir eschäftigen uns
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl
MehrGrundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.
Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.
MehrLogarithmen und Logarithmengesetze
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.. Logrithmen und Logrithmengesetze Wir betrhten die Gleihung 5 = 5 Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Bsis 5 und dem Eponenten. Auf der rehten Seite
MehrInformatik I Modul 3: Schaltnetze
Herbstsemester 2, Institut für Informtik IFI, UZH, Schweiz Informtik I Modul 3: Schltnetze 2 Burkhrd Stiller M3 Modul 3: Schltnetze Einführung in die formlen Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche
MehrPrüfungsteil Schriftliche Kommunikation (SK)
SK Üerlik und Anforderungen Üerlik und Anforderungen Prüfungsteil Shriftlihe Kommuniktion (SK) Üerlik und Anforderungen Worum geht es? In diesem Prüfungsteil sollst du einen Beitrg zu einem estimmten Them
MehrFK03 Mathematik I: Übungsblatt 1; Lösungen
FK03 Mthemtik I: Übungsbltt 1; Lösungen Verständnisfrgen: 1. Woher stmmen die Objekte in einer Menge? Die Objekte einer Menge entstmmen unserer Anschuung und unserem Denken. 2. Welche Drstellungen von
MehrGrundlagen der Informatik
Grundlgen der Informtik Vorlesungsprüfung vom 02.03.2007 Gruppe B Lösung Nme: Mtrikelnummer: Zuerst itte Nme und Mtrikelnummer uf ds Titelltt schreien. Es sind keine Unterlgen und keine Temreit erlut.
Mehrx a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
Termnlyse Mthemtik. Klsse Ivo Blöhliger Terme Ein wihtiger Teil es mthemtishen Hnwerks esteht rin, Terme umzuformen. Dzu müssen einerseits ie Rehengesetze er reellen Zhlen verinnerliht sein, un nererseits
MehrDer Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
Mehr4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
MehrBewegungsgleichung einer gleichförmig beschleunigten Rakete (1)
Autor: Wlter islin on 7 wlter.bislins.h/blog/.5.3 3:3 ewegungsgleihung einer gleihförmig beshleunigten Rkete () Dienstg, 6. Juni - :4 Autor: wbis hemen: Wissen, Physik, osmologie Ds Lösen der reltiistishen
MehrGruppe A Bitte tragen Sie SOFORT und LESERLICH Namen und Matrikelnr. ein, und legen Sie Ihren Studentenausweis bereit.
Gruppe A Bitte trgen Sie SOFORT und LESERLICH Nmen und Mtrikelnr. ein, und legen Sie Ihren Studentenusweis ereit. 1. Leistungsüerprüfung AUS DATENMODELLIERUNG (184.685) GRUE A 16.04.2013 Mtrikelnr. Fmiliennme
Mehr1 Algebra. Addition und Subtraktion. Minuend. Differenz. Subtrahend. In einer Summe darf man die Summanden vertauschen. (Kommutativgesetz)
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 1 1 Alger Addition und Sutrktion In einer Summe drf mn die Summnden vertushen. (Kommuttivgesetz) + + Summnd Summ nd Beim ddieren drf mn die Summnden zu Teilsummen zusmmenfssen.
Mehr1 Aktivität 1 Sehen ohne Ton (Track 1 bis Und eine Schokolade. )
Shritte 1/2 interntionl Hinweise für die Kursleiter Film 3:»Die Josuhe«Mteril zu Film 3 Die Josuhe : Film 3,. 05:00 Min. Zustzmteril: Mein Beruf,. 01:30 Min., 5 kurze Sttements zum Them 5 Areitslätter
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 ORTHOGONALITÄT
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 5. Semester ARBEITSBLATT 5 ORTHOGONALITÄT Ws versteht mn zunächst einml unter orthogonl? Dies ist nur ein nderes Wort für norml oder im rechten Winkel. Ws uns hier
MehrBerechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Kurzer Einschub: das Schubfachprinzip.
Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Ds Pumping-Lemm Wir hen is jetzt vier Formlismen kennengelernt, mit denen wir eine reguläre Sprche ngeen können:
MehrEinführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 5
Prof. J. Esprz Tehnishe Universität Münhen S. Sikert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretishe Informtik Sommersemester 07 Üungsltt 5 Üungsltt Wir untersheiden zwishen Üungs- und Agelättern.
Mehr2 Kinobesuch GRAMMATIK. perfekt. Im September LEICHT. wann die Vorstellung beginnt. Schreiben Sie Sätze! Beginnen Sie mit den grün markierten Wörtern!
DEUTSCH GRAMMATIK VERBPOSITION S. 0 Im Septemer LEICHT Shreien Sie Sätze! Beginnen Sie mit den grün mrkierten Wörtern! der Herst / m. Septemer / eginnt ds Oktoerfest / in Münhen / findet sttt die Österreiher
MehrGrößter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Größter gemeinsmer Teiler un kleinstes gemeinsmes Vielfhes 1 Der größte gemeinsme Teiler (ggt) Zu jeer Zhl knn mn ihre Teilermenge ngeen. Τ0 {1; 2; ; 5; 6; 10; 15; 0} Τ {1; 2; ; ; 6; } Die gemeinsmen Teiler
MehrSuche in Texten: Suffix-Bäume
Suhe in Texten: Suffix-Bäume Prof. Dr. S. Alers Prof. Dr. Th. Ottmnn 1 Suhe in Texten Vershiedene Szenrios: Dynmishe Texte Texteditoren Symolmnipultoren Sttishe Texte Literturdtennken Biliothekssysteme
MehrHans U. Simon Bochum, den Annette Ilgen. Beispiele zur Vorlesung. Theoretische Informatik. WS 08/09
Hns U. Simon Bohum, den 7..28 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretishe Informtik WS 8/9 Voremerkung: Hier findet sih eine Smmlung von Beispielen und Motivtionen zur Vorlesung Theoretishe Informtik.
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
Mehr29 Uneigentliche Riemann-Integrale
29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe
MehrMinimalität des Myhill-Nerode Automaten
inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte
MehrKonstruktion mit Zirkel und Lineal
Alert Ludigs Universität Freiurg Institut für Mthemtik Ateilung für Reine Mthemtik Prof Dr D Wolke Dipl Mth S Feiler Üungen ur Vorlesung Ergänungen ur Elementren Zhlentheorie Wintersemester 9/ 9 Üungsltt
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung m 29.11.2012 Algorithmishe Geometrie: Shnitte von Streken Sweep-Line INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und
Mehr2.1.4 Polynomalgebren und ihre Restklassenalgebren
2.1. GRUNDLAGEN 59 2) Ist R ein kommuttiver Ring mit Eins, so ist der Polynomring R[X] eine R-Alger. 2) Ist A eine R-Alger und I A ein Idel, so ist A/I eine R-Alger und ν I ein R- Algerenhomomorphismus.
MehrMathematische Probleme, SS 2018 Dienstag 5.6. $Id: dreieck.tex,v /06/05 15:41:51 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2018 Dienstg 5.6 $Id: dreiek.tex,v 1.43 2018/06/05 15:41:51 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung htten wir den sogennnten Kongruenzstz
MehrErgänzungsblatt 6. Letzte Änderung: 24. November 2018
Ergänzungsltt 6 Letzte Änderung: 24. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Erinnerung: Die Besprechungstermine für die Ergänzungen 7 is 10 fllen is uf Weiteres us. Aufgen, Lösungen
MehrLineare Algebra. Übungsblatt November Aufgabe 1. (4=2+2 Punkte) Sei V ein K-Vektorraum und seien v 1,..., v n V.
Goethe-Univesität Fnkfut Institut fü Mthemtik Linee Alge Wintesemeste 28/9 Pof. D. Jko Sti Mtin Lütke Üungsltt 5 3. Noveme 28 Aufge. (42+2 Punkte) Sei V ein K-Vektoum un seien v... v n V. () Sei K α n
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
MehrWir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.
Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden.
MehrDie Satzgruppe des Pythagoras
7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen
MehrLineare Gleichungssysteme mit 3 und mehr Variablen
Linere Gleihungssysteme mit un mehr rilen Beispiel 1 mit rilen: 11 Zunähst estimmt mn ie rile, ie mn ls Erste eliminieren will. In iesem Fll soll von hinten nh vorn vorgegngen weren,.h. zuerst soll rile
MehrProtokoll zur Vorlesung Theoretische Informatik I
Protokoll zur Vorlesung Theoretishe Informtik I! " # $ % # & ' ( % ) * + & " & & &, " ' % + - + # + & '. / 0 1 # 0 & 2 & # & 3 4 & 5 # 0 + & 6 & ' + 7 7 3 8 4 & 7 + + + % ( % 6 # 9 & 5 # 0 + & 3 8. : &
Mehr4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
MehrAnalysis I. Vorlesung 3
Prof. Dr. H. Brenner Osnrüc WS 2013/2014 Anlysis I Vorlesung 3 Körper Wir werden nun die Eigenschften der reellen Zhlen esprechen. Grundlegende Eigenschften von mthemtischen Struuren werden ls Axiome ezeichnet.
Mehr5 Gleichungen (1. Grades)
Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner
MehrTechnische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert 7. Juni HA-Lösung. TA-Lösung
Tehnishe Universität Münhen Sommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sikert 7. Juni 2016 HA-Lösung TA-Lösung Einführung in die theoretishe Informtik Aufgenltt 5 Behten Sie: Soweit niht explizit
MehrÜbungen zur Vorlesung Modellierung WS 2003/2004 Blatt 11 Musterlösungen
Dr. Theo Lettmnn Pderorn, den 9. Jnur 24 Age 9. Jnur 24 A x, A 2 x, Üungen zur Vorlesung Modellierung WS 23/24 Bltt Musterlösungen AUFGABE 7 : Es sei der folgende prtielle deterministishe endlihe Automt
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v 1.5 2013/04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
Mehr3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
MehrDenn im Unterschied zu "müssen" und "dürfen erfordert "brauchen" nach wie vor den Infinitiv mit "zu".
Deutsh-Quiz 01 Wenn etws ds Gleihe ist, ist es noh lnge niht dssele. Welher der folgenden Sätze ist niht korrekt? ) Mrth ht keinen eigenen Lippenstift. Sie enutzt denselen wie ihre Mutter ) Florin und
MehrMathematik K1, 2017 Lösungen Vorbereitung KA 1
Mthemtik K, 07 Lösungen Vorbereitung KA Pflichtteil (etw 0..0 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet
MehrZDfB_Ü01_LV_06 120206. Felix Brandl München ZERTIFIKAT DEUTSCH FÜR DEN BERUF ÜBUNGSSATZ 01. Kandidatenblätter LESEVERSTEHEN ZEIT: 40 MINUTEN
Felix Brndl Münhen ZDfB_Ü01_LV_06 120206 ZERTIFIKAT DEUTSCH FÜR DEN BERUF ÜBUNGSSATZ 01 Kndidtenlätter ZEIT: 40 MINUTEN Zertifikt Deutsh für den Beruf Üungsstz 01 Aufge 1 Bitte lesen Sie den folgenden
MehrWurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
MehrLÖSUNGSVORSCHLÄGE ZUM 7. ÜBUNGSBLATT IN LINEARER ALGEBRA II
LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZUM 7. ÜBUNGSBLATT IN LINEARER ALGEBRA II Prof. Werner Bley, Frnz Gmeineder Deember 9, 211 Aufgbe 1 Obwohl ds Resultt dieser Aufgbe niht sehr tiefliegend ist, ht es doh eine gnz wihtige
MehrGliederung. Kapitel 1: Endliche Automaten
Gliederung 0. Motivtion und Einordnung 1. Endliche Automten 2. Formle Sprchen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 1.1. 1.2. Minimierungslgorithmus 1.3. Grenzen endlicher Automten 1/1, S. 1 2017
Mehr10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 5. Übung. Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit
Grundlgen der Technischen Informtik 5. Üung Christin Knell Keine Grntie für Korrekt-/Vollständigkeit Üung u Grundlgen der Technischen Informtik 5. Üungsltt Themen Aufge 1: Aufge 2: Aufge 3: Aufge 4: Aufge
MehrGerd Wöstenkühler. Grundlagen der Digitaltechnik Elementare Komponenten, Funktionen und Steuerungen
Gerd Wöstenkühler Grundlgen der Digitltehnik Elementre Komponenten, Funktionen und Steuerungen Inhlt 1 Einleitung... 11 1.1 Anloge unddigitledrstellungsformen... 11 1.1.1 AnlogeGrößendrstellung... 11 1.1.2
MehrBruchrechnen. Faßt man zwei Drittel eines Ganzen zusammen, so schreibt man 3. Bezeichnungen bei Brüchen: Der Bruch als Quotient:
Bruhrehnen Zerlegt mn ein Gnzes (einen Li Brot, eine Torte, einen Apfel, einen Geletrg, eine Kreisflähe, ein Rehtek, eine Streke,... ) in,,... gleihe Teile, so heißt ein solher Teil (Bruhteil es Gnzen)
MehrSummen und Produkte 19
1 9 mthuh 1 LU 19 Areitsheft weitere Aufgen «Zustznforderungen» 201 Vereinfhe die folgenden Terme. A + + + + + = 2 + 3 + = + 2d + 2 + d = e + 2f + d + e + d = 3 + 3 = 3( + ) 6 3 + 3d = 3( + d) 2d + 2e
MehrMathematische Probleme, SS 2017 Montag $Id: dreieck.tex,v /06/12 15:01:14 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Probleme, SS 2017 Montg 12.6 $Id: dreiek.tex,v 1.33 2017/06/12 15:01:14 hk Exp $ 2 Dreieke 2.1 Dreieksberehnung mit Seiten und Winkeln Wir beshäftigen uns gerde mit den Konstruktionsufgben für
MehrSchaltnetze: Test und Minimierung
Virtuelle Lehrerweiterildung Inormtik in Niedershsen Ekrt Modrow Shltnetze: Test und Minimierung S. 1 Shltnetze: Test und Minimierung Inhlt: 1. Shltnetze 1.1 Shltwerttelle und Shltunktionen 1.2 Vereinhung
Mehr7.4. Teilverhältnisse
7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
MehrFormale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
MehrVORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG. 1. Bemerkungen: Klammern von innen nach aussen auflösen; Punkt vor Strich a) =
Lösngen Montg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Bemerkngen: Klmmern von innen nh ssen flösen; Pnkt vor Strih nd 0. / /. π d 9 9 99 00 Bemerkng z d Geht h ohne TR! Kürzen
MehrRund um den Satz des Pythagoras
Wolfgng Shlottke Rund um den Stz des Pythgors Lernen n Sttionen und weiterführende ufgben für den Mthemtikunterriht uerverlg GmbH 3 Sroghty Pythgors rükwärts Die Umkehrung des Stzes des Pythgors (1) Du
MehrAlgorithmentheorie. 15 Suchen in Texten (1)
Algorithmentheorie 15 Suhen in Texten (1) Prof. Dr. S. Alers Suhe in Texten Vershiedene Szenrien: Sttishe Texte Literturdtennken Biliothekssysteme Gen-Dtennken WWW-Verzeihnisse Dynmishe Texte Texteditoren
MehrCopyright, Page 1 of 5 Der Faktorraum
www.mthemtik-netz.de Copright, Pge of 5 Der Fktorrum Ein sehr wichtiges Konstrukt, welches üerll in der Mthemtik Verwendung findet, ist der Fktorrum, oft uch Quotientenrum gennnt. Dieser ist selst ein
Mehr2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :
Hns Wlser, [20080409] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke
MehrP RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ
I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrBrüche gleichnamig machen
Brüche gleichnmig mchen L Ds Erweitern von Brüchen (siehe L ) ist lediglich ein Instrument, ds vorwiegend eingesetzt wird, um Brüche mit unterschiedlichem Divisor gleichnmig zu mchen. Brüche gleichnmig
Mehr/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH
/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene
MehrVorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):
MehrFachgebiet Rechnersysteme 2. Übung Logischer Entwurf. Technische Universität Darmstadt. 4. Aufgabe. b) Minterm-Normalform
Fhgeiet Rehnersysteme 2. Üung Logisher Entwur Tehnishe Universität Drmstt 2. Üung Logisher Entwur 4. Auge 1 4. Auge 2. Üung Logisher Entwur 4. Auge 3 ) Minterm-Normlorm Geen sei ie ooleshe Funktion + +
MehrLineare Gleichungen mit Parametern
- - Linere Gleichungen mit Prmetern Neen den lineren Gleichungen mit einer Vrilen zw. einem Pltzhlter existieren uch Gleichungen, die mehrere Uneknnte einhlten. Dei wird die Vrile, die mithilfe von Äquivlenzumformungen
MehrKandidatenblätter. Hören 40 Minuten
Kndidtenlätter Hören 40 Minuten Ds Modul Hören esteht us vier Teilen. Sie hören mehrere Texte und lösen Aufgen dzu. Lesen Sie jeweils zuerst die Aufgen und hören Sie dnn den Text dzu. Für jede Aufge git
MehrKlausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen
Klusur zur Vorlesung Grundegriffe der Informtik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen Klusurnummer Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Aufge 1 2 3 4 5 6 7 mx. Punkte 4 2 7 8 8 8 9 tts. Punkte Gesmtpunktzhl: Note: Aufge
Mehr