Boolesche Algebra KV-Diagramm Aussagenlogik Logelei. Aussagenlogik Übersetzungen Logelei Programm in PureBasic Gesetze der Mengenalgebra

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1 Booleshe Alger KV-Digrmm Aussgenlogik Logelei Aussgenlogik Üersetzungen Logelei Progrmm in PureBsi Gesetze der Mengenlger 1

2 Shltelemente Und Konjunktion und & Oder Disjunktion oder Negtion niht Mit diesen elementren Buteilen lssen sih lle Computershltungen relisieren. Roolfs 2

3 Gesetze der Booleshen Alger Kommuttivgesetze: = = Assozitivgesetze: ( ) = ( ) ( ) = ( ) Asorptionsgesetze: ( ) = ( ) = Distriutivgesetze: ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Idempotenzgesetze: = 1 = 0 = = de Morgn-Gesetze: = = neutrle Elemente: 0 = 1 = doppelte Negtion: = 1. Zeige mit den Gesetzen der Booleshen Alger die Gleihheit der Terme. ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 ) ( ) ( ) = d) ( ) = ( ) 2. Gi für die ooleshen Funktionen möglihst einfhe Terme n. ) ) ) d) e) f) t u v x y z ? ? ? ? ? ? 1 Roolfs 3

4 Booleshe Alger Gi für die ooleshen Funktionen möglihst einfhe Terme n. ) ) ) d) e) f) t u v x y z ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) = ( ) f) Roolfs 4

5 Booleshe Alger ) in PureBsi OpenConsole() For = #Flse To #True For = #Flse To #True For = #Flse To #True PrintN(Str()+Str()+Str()+ +Str( ((Not ) Or ) And ( (Not ) Or Or ) ) ) Next Next Next Input() ) in Python for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): print(,,,, ool( nd nd not )) for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): print(,,,, int( nd ( or not ))) for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): for in rnge(0,2): print(,,,, int(( ) & )) for i in rnge(0,16): = i % 2; i>>= 1 = i % 2; i>>= 1 = i % 2; i>>= 1 d = i % 2; i>>= 1 print(d,,,) 5

6 Booleshe Alger Sei B = {0, 1} die Booleshe Menge, uf der folgende Verknüpfungen erklärt sind (x, y Booleshe Vrilen): Addition x+y = x y (= Mx(x,y)) Behte den Untershied 1+1 = 1 zur Addition von Dulzhlen. Multipliktion x y = x y (= Min(x,y)) Ds vereinfht die Shreiweise Boolesher Terme, sttt ( ) ( ) ist + möglih. Gi für die Booleshen Funktionen X, Y und Z einen Term n. X Y Z X = Y = + Z = + + disjunktive Normlform Es sollte nun klr sein, dss zu jeder Booleshen Funktion ein zugehöriger Boolesher Term in disjunktiver Normlform ermittelt werden knn. Wir wollen der Frge nhgehen, wie dieser Term vereinfht werden knn. Roolfs 6

7 Krnugh-Veith-Digrmm 1952 Betrhten wir die Booleshe Funktion: X Die Funktion X = + knn mit einem Digrmm vernshuliht werden wird für {(1,0),(1,1)} 1, wird für {(0,1),(1,1)} 1, wird nur uf dem gemeinsmen Element (1,1) 1. Die Rndeshriftungen mrkieren lso die Bereihe, für die die elementren Terme jeweils 1 werden. Wie lutet der Booleshe Term? ) ) ) Wie sieht ds KV-Digrmm für den Term + us? Roolfs 7

8 KV-Digrmm Betrhten wir die Booleshe Funktion: X Ds Krnugh-Veith-Digrmm muss us 8 Feldern estehen Die Unterteilung ist so ngelegt, dss sih enhrte Felder lediglih um eine Stelle untersheiden. Wie lutet der Booleshe Term? ) ) Roolfs 8

9 Idee des KV-Digrmms X X = + Jede Booleshe Funktion (mit 3 Vrilen) und dmit jeder Term legt eine Teilmenge der Menge A = {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} fest, hier ist es B = {(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0)} Auf dieser Teilmenge ist die Funktion (der Term) 1, sonst 0. Der Term wird uf C = {(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,0,0)} 1, der Term uf D = {(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}. wird uf der Shnittmenge C D = {(0,0,1),(1,0,1)} 1. wird uf der E = {(1,1,0)} 1, ds ist die Shnittmenge der zu, und gehörenden Teilmengen. Die Funktion X nimmt dmit uf der Menge (C D) E den Wert 1 n, der Funktionsterm lutet: + + edeutet im KV-Digrmm die Vereinigung von Feldern, die Bildung der Shnittmenge. Roolfs 9

10 Mengenopertionen A B Vereinigung A B A B Shnitt A B Roolfs 10

11 KV-Digrmm Wie lutet der Booleshe Term? ) ) ) d) e) Wie sieht ds KV-Digrmm für den Term (+)+ us? Roolfs 11

12 KV-Digrmm Vorlgen ) ) ) d) e) f) g) h) Roolfs 12

13 KV-Digrmm Ds Krnugh-Veith-Digrmm für 4 Vrilen muss us 16 Feldern estehen. d d d Wie sieht ds KV-Digrmm für den Term (+)(+d) us? Roolfs 13

14 KV-Digrmm d d d Gi einen minimlen Term n. Roolfs 14

15 KV-Digrmm +d+d 15

16 Aussgenlogik Eine Aussge ist entweder whr oder flsh. Wir ezeihnen Aussgen mit großen Buhsten. Aussgen können verknüpft werden mit und A B oder A B wenn..., dnn... A B... genu dnn, wenn... A B A B A B A B A B A B mhe mn sih m Beispiel klr: Wenn Fru L. Musik hört, enutzt sie einen Kopfhörer. Diese Aussge ist nur flsh, wenn Für Umformungen knn A B = A B nützlih sein. A B ist nur 0, wenn A = 1 und B = 0 vorliegt. Die Gesetze der Booleshen Alger können neu formuliert werden. Hierzu wird ds Gleihheitszeihen durh ds Äquivlenzzeihen ersetzt, z.b. A B A B. Eine Aussge, die stets whr ist, heißt Tutologie, in Zeihen: (Impliktion), (Äquivlenz). Wir shreien lso genuer: A B A B Weiteres (A B) (B C) (A C) A (A B) B A B B A Kontrposition A B (A B) (B A) A B (A B) (A B) Üerprüfe B (A B) A (A B) (A B) B Roolfs 16

17 Logelei Die ShülerInnen sind dnn und nur dnn glüklih, wenn kein Test geshrieen wird. Wenn die ShülerInnen glüklih sind, fühlt sih der Lehrer wohl. Aer wenn sih der Lehrer wohl fühlt, ht er keine Lust, zu unterrihten. Und wenn er keine Lust ht, zu unterrihten, wird ein Test geshrieen. Sind die Shüler glüklih? 17

18 Logelei Die ShülerInnen sind dnn und nur dnn glüklih, wenn kein Test geshrieen wird. Wenn die ShülerInnen glüklih sind, fühlt sih der Lehrer wohl. Aer wenn sih der Lehrer wohl fühlt, ht er keine Lust, zu unterrihten. Und wenn er keine Lust ht, zu unterrihten, wird ein Test geshrieen. Sind die Shüler glüklih? S: Die ShülerInnen sind glüklih. T: Es wird ein Test geshrieen. L: Der Lehrer fühlt sih wohl. U: Der Lehrer ht Lust zu unterrihten. S T S L L U U T S Negtion S S, S... S 18

19 Aussgenlogik Üersetzungen Üersetze die Sätze in die Sprhe der Aussgenlogik. ) Die Erde kreist um die Sonne, er der Ppst glut ds niht. ) Klus kommt genu dnn zur Prty, wenn Ann niht kommt oder wenn Olf die Drinks mixt. ) Wenn Sofie einen Witz mht, dnn lhen Hns und Ern, es sei denn, dss Klus oder Peter die Stimmung verdirt. 19

20 Aussgenlogik Üersetzungen Üersetze die Sätze in die Sprhe der Aussgenlogik. ) Die Erde kreist um die Sonne, er der Ppst glut ds niht. E: Die Erde kreist um die Sonne. P: Der Ppst glut, dss die Erde um die Sonne kreist. E P ) Klus kommt genu dnn zur Prty, wenn Ann niht kommt oder wenn Olf die Drinks mixt. K: Klus kommt zur Prty. A: Ann kommt zur Prty. O: Olf mixt die Drinks. K A O ) Wenn Sofie einen Witz mht, dnn lhen Hns und Ern, es sei denn, dss Klus oder Peter die Stimmung verdirt. S: Sofie mht einen Witz. H: Hns lht. E: Ern lht. K: Klus verdirt die Stimmung. P: Peter verdirt die Stimmung. S (H E K P) 20

21 Logelei Ann sgt: Bettin lügt. Bettin sgt: Cludi lügt. Cludi sgt: Anne und Bettin lügen. Wer lügt denn nun? 21

22 Logelei Ann sgt: Bettin lügt. Bettin sgt: Cludi lügt. Cludi sgt: Anne und Bettin lügen. Wer lügt denn nun? A: Ann sgt die Whrheit. B: Bettin sgt die Whrheit. C: Cludi sgt die Whrheit. A B B C C A B Wir suhen eine Vrilenelegung, so dss die Aussgen whr sind (Erfüllrkeits-Prolem). def äqui(x,y): return int(x & Y X & Y) for A in rnge(0,2): for B in rnge(0,2): for C in rnge(0,2): D1 = äqui(a, B) D2 = äqui(b, C) D3 = äqui(c, A & B) print(a,b,c,, D1 & D2 & D3) Bettin sgt die Whrheit. B = 1, A = 0, C = 0 22

23 Progrmm in PureBsi OpenConsole() For n=0 To 1 For m=0 To 1 For k=0 To 1 Next k Next m Next n Input() A=n: B=m: C=k D1= ((Not A) (Not B)) & (B A) D2= ((Not B) (Not C)) & (C B) D3= ((Not C) (Not(A B))) & (A B C) If D1 & D2 & D3 PrintN("ABC "+ Str(A)+Str(B)+Str(C)) EndIf Etws elegnter: OpenConsole() For n=0 To 8 v=n A=v % 2: v/2 B=v % 2: v/2 C=v % 2: v/2 D1= ((Not A) (Not B)) & (B A) D2= ((Not B) (Not C)) & (C B) D3= ((Not C) (Not(A B))) & (A B C) If D1 & D2 & D3 PrintN("ABC "+Str(A)+Str(B)+Str(C)) EndIf Next n Input() Roolfs 23

24 Logelei Ein Mnn shreit: Wer von Euh Hlunken ht den Bll in mein Fenster geworfen? Zitternd stehen vier Kinder d. Anne sgt: Emil wr es. Emil sgt: Gustv wr es. Fritz sgt: Ih wr es niht. Gustv sgt: Emil lügt. Ein Pssnt sgt: Eines der Kinder wr es, er Vorsiht: Nur eines der Kinder sgt die Whrheit. Frge: Wer ht den Bll geworfen? 24

25 Logelei Ein Mnn shreit: Wer von Euh Hlunken ht den Bll in mein Fenster geworfen? Zitternd stehen vier Kinder d. Anne sgt: Emil wr es. Emil sgt: Gustv wr es. Fritz sgt: Ih wr es niht. Gustv sgt: Emil lügt. Ein Pssnt sgt: Eines der Kinder wr es, er Vorsiht: Nur eines der Kinder sgt die Whrheit. Frge: Wer ht den Bll geworfen? Gustv sgt die Whrheit. Fritz wr es. 25

26 Besuh der Meiers Herr und Fru Meier hen die drei Söhne Tim, Ky und Uwe. Wenn Herr Meier kommt, dnn ringt er uh seine Fru mit. Mindestens einer der eiden Söhne Uwe und Ky kommt. Entweder kommt Fru Meier oder Tim. Entweder kommen Tim und Ky oder eide niht. Und wenn Uwe kommt, dnn uh Ky und Herr Meier. 26

27 Besuh der Meiers Herr und Fru Meier hen die drei Söhne Tim, Ky und Uwe. Wenn Herr Meier (H) kommt, dnn ringt er uh seine Fru (F) mit. Mindestens einer der eiden Söhne Uwe (U) und Ky (K) kommt. Entweder kommt Fru Meier oder Tim (T). Entweder kommen Tim und Ky oder eide niht. Und wenn Uwe kommt, dnn uh Ky und Herr Meier. H F U K (F T) T K U K H ( H F) (F T) ( F T) Wir suhen eine Vrilenelegung, so dss die Aussgen whr sind (Erfüllrkeits-Prolem). def folgt(x,y): return int( X Y) def äqui(x,y): return int(x & Y X & Y) Tim und Ky kommen zu Besuh. Roolfs 27

28 Whl des Studienfhs Die Drillinge Anton, Bernd und Christin stehen dvor, sih n der Universität entweder für ds Studienfh Mthemtik oder für Informtik einzushreien, und diskutieren drüer, wer sih für welhes Fh entsheiden sollte. Dei ht jeder der Drei estimmte Wunshvorstellungen. So verkündet Bernd sofort, dss er Mthemtik studieren will, flls einer seiner eiden Brüder sih für Informtik einshreien sollte. Christin hingegen will Informtik studieren, wenn Bernd dies eenflls tut oder wenn Anton sih für Mthemtik entsheidet. Um die Angelegenheit noh komplizierter zu mhen, misht sih Anton ein und sgt: Wenn Bernd Mthe studiert, dnn tu ih ds uh! Drufhin erwidert Christin: Solltest du dih er doh für Informtik entsheiden, Anton, dnn werde ih es dir gleih tun. Roolfs 28

29 Whl des Studienfhs Die Drillinge Anton, Bernd und Christin stehen dvor, sih n der Universität entweder für ds Studienfh Mthemtik oder für Informtik einzushreien, und diskutieren drüer, wer sih für welhes Fh entsheiden sollte. Dei ht jeder der Drei estimmte Wunshvorstellungen. So verkündet Bernd sofort, dss er Mthemtik studieren will, flls einer seiner eiden Brüder sih für Informtik einshreien sollte. Christin hingegen will Informtik studieren, wenn Bernd dies eenflls tut oder wenn Anton sih für Mthemtik entsheidet. Um die Angelegenheit noh komplizierter zu mhen, misht sih Anton ein und sgt: Wenn Bernd Mthe studiert, dnn tu ih ds uh! Drufhin erwidert Christin: Solltest du dih er doh für Informtik entsheiden, Anton, dnn werde ih es dir gleih tun. A Anton studiert Mthemtik,... A C B B A C B A A C A B C Roolfs 29

30 Prüfziffer-Aufge Es ist denkr und kommt uh häufiger vor, dss ei der Üertrgung einer Zhl (wir etrhten hier dreiziffrige Dulzhlen) von einem Speiherpltz zu einem nderen eine Ziffer 1 in eine 0 oder umgekehrt verändert wird. Um diese Fehler zu erkennen, wird zusätzlih zu den Stellen der Zhl eine weitere Stelle ls Prüfstelle (uh Prüfit oder Pritätsit gennnt) eingeführt. Hier wird eine 0 vermerkt, wenn die Anzhl der Ziffern 1 in der Zhl gerde (oder null) ist, sonst 1. Die Prüfziffer soll utomtish ermittelt werden. Dzu ist eine möglihst einfhe Shltung zu entwerfen. Roolfs 30

31 Die disjunktive Normlform lässt sih niht vereinfhen. 31

32 Gesetze der Mengenlger 1) A B = B A Kommuttivgesetze A B = B A enthlten (ist Teilmenge) vereinigt geshnitten 2) (A B) C = A (B C) Assozitivgesetze (A B) C = A (B C) 3) A (B C) = (A B) (A C) Distriutivgesetze A (B C) = (A B) (A C) leere Menge 4) A (A B) = A Asorptionsgesetze A (A B) = A 5) A B = A B De Morgn-Gesetze A B = A B 6) A = A Komplementgesetze A A = A A = Ω A A A A Ω A A B B A B B B A B = Roolfs 32

33 X Ermittle den ooleshen Term für X und vereinfhe ihn soweit wie möglih. Roolfs 33

34 X = 34

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