Relationen A = Z A = R. R = {(a, b) a, b Z, a b} R = {(a, b) a, b R, a 3 = b 3 } R =, R = {(a, b) a, b N 0, a b ist ungerade }, A = N 0 A = N

Transkript

1 Relationen Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze Begründung. R = {a, b a, b Z, a b}, R = {a, b a, b R, a + b = 1}, R = {a, b a, b R, a 2 < b 2 }, R = {a, b a, b R, a 3 = b 3 }, A = Z A = R A = R A = R R = {a, b a, b N 0, a b ist gerade }, A = N 0 R = {a, b a, b N 0, a b ist ungerade }, A = N 0 R = {1, 2, 2, 3, 1, 3}, A = {1, 2, 3} R = {2, 1, 3, 2, 3, 1}, A = {1, 2, 3} R =, R = N N, Lösung von Aufgabe 1. R = {a, b a, b Z, a b} nicht reflexiv da z.b. 2, 2 R symmetrisch, da mit x y auch y x gilt nicht transitiv, da z.b. 2 3, 3 2 aber 2 = 2 A = N A = N R = {a, b a, b R, a + b = 1} nicht reflexiv da z.b. 2, 2 R symmetrisch: wenn a + b = 1, dann auch b + a = 1 nicht transitiv: 2, 1 R, 1, 2 R aber 2, 2 R. R = {a, b a, b R, a 2 < b 2 } nicht reflexiv da z.b. 2, 2 R nicht symmetrisch da z.b. 1, 2 R aber 2, 1 R transitiv, da aus a 2 < b 2 und b 2 < c 2 folgt a 2 < c 2. R = {a, b a, b R, a 3 = b 3 } reflexiv da x 3 = x 3 für alle x R symmetrisch da aus x 3 = y 3 folgt y 3 = x 3 transitiv da aus x 3 = y 3 und y 3 = z 3 folgt x 3 = z 3. R = {a, b a, b N 0, a b ist gerade } reflexiv da x x = 0 und 0 ist gerade für alle x. symmetrisch: wenn x y gerade ist, dann auch y x. transitiv: wenn x y und y z gerade sind, dann auch x z, da x z = x y + y z und die Summe zweier gerader Zahlen ist wieder gerade. R = {a, b a, b N 0, a b ist ungerade } nicht reflexiv da 2 2 = 0 und 0 ist nicht ungerade 1

2 symmetrisch: wenn x y ungerade ist, dann auch y x. nicht transitiv da z.b. 1, 2 R, 2, 3 R aber 1, 3 R. R = {1, 2, 2, 3, 1, 3} als Relation auf {1, 2, 3} nicht reflexiv da z.b. 1, 1 R nicht symmetrisch da z.b. 1, 2 R aber 2, 1 R transitiv: es gibt nur einen Fall wo xry und yrz, nämlich für x = 1, y = 2, z = 3 und da gilt xrz. R = {2, 1, 3, 2, 3, 1} als Relation auf {1, 2, 3} nicht reflexiv da z.b. 1, 1 R nicht symmetrisch da z.b. 2, 1 R aber 1, 2 R transitiv: es gibt wieder nur ein Fall wo xry und yrz, nämlich x = 3, y = 2, z = 1 und da gilt auch xrz. R = als Relation auf N nicht reflexiv, da z.b. 1, 1 R symmetrisch: Da für kein x, y N gilt xry kann man sagen, dass für jedes x, y N, für das xry gilt, auch yrx gilt. transitiv: gleiche Argumentation wir für symmetrisch. R = N N als Relation auf N reflexiv, da xrx für alle x N symmetrisch, da immer yrx gilt. transitiv, da immer xrz gilt. Aufgabe 2. Finden Sie eine Relation auf {1, 2, 3}, die reflexiv und transitiv ist aber nicht symmetrisch. Lösung von Aufgabe 2. R = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 3} Aufgabe 3. Sei R die Verwandtschaftsrelation auf der Menge aller Menschen, d.h. arb genau dann wenn der Mensch a mit dem Mensch b verwandt ist. Begründen Sie informell, dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Ein Spezialfall der Verwandtschaftsrelation ist die Vorfahrenrelation S, d.h. asb genau dann wenn a Vorfahre von b ist. Untersuchen Sie ob R und S in einer Teilmengenbeziehung stehen. Ist S reflexiv, symmetrisch oder transitiv? Welche Eigenschaften hat die Relation R \ S? Lösung von Aufgabe 3. Verwandtschaftsrelation R: Reflexiv: Jeder ist mit sich selbst verwandt. Symmetrisch: Wenn a mit b verwandt ist, dann auch b mit a. Transitiv: Wenn a mit b verwandt ist und b mit c, dann auch a mit c. Wenn a Vorfahre von b ist, dann ist a auch verwandt mit b, also ist S R. Vorfahrenrelation S: 2

3 Nicht Reflexiv: Ich bin nicht mein eigener Vorfahre Gegenbeispiel. Nicht Symmetrisch: Mein Vater ist mein Vorfahre, aber ich bin nicht Vorfahre von meinem Vater Gegenbeispiel. Transitiv: Wenn a Vorfahre von b ist und b Vorfahre von c, dann ist a Vorfahre von c. Relation R \ S: Verwandt aber nicht Vorfahre. Reflexiv: Da für alle x gilt x, x S und x, x R ist auch x, x R \ S. Nicht symmetrisch: Sei ˆx = ich, mein Vater und ŷ = mein Vater, ich. Dann ist ˆx R, ˆx S, also ˆx R \ S. Andererseits ist ŷ R, ŷ S, also ŷ R \ S. Also ist R \ S nicht symmetrisch Gegenbeispiel. Nicht transitiv: Sei a = mein Vater, b = Bruder meines Vaters, c = ich. Dann ist a, b R \ S und b, c R \ S mein Onkel ist nicht mein Vorfahre. Trotzdem ist a, c R \ S, weil a, c S Gegenbeispiel. Aufgabe 4. Finden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass R reflexiv auf A ist aber weder symmetrisch noch transitiv. R zwar symmetrisch aber weder reflexiv auf A noch transitiv ist. R zwar transitiv aber weder reflexiv auf A noch symmetrisch ist. R weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist. Hinweis: Es ist einfacher wenn man mit Relationen auf einer endlichen Menge z.b. {1, 2, 3} spielt. Lösung von Aufgabe 4. Relation, die zwar reflexiv aber weder symmetrisch noch transitiv ist. R = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 3}, A = {1, 2, 3} Relation, die zwar symmetrisch aber weder reflexiv noch transitiv ist. R = {1, 2, 2, 1}, A = {1, 2} Relation, die zwar transitiv aber weder reflexiv noch symmetrisch ist. R = {1, 2, 2, 3, 1, 3}, A = {1, 2, 3} Relation, die weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv ist. R = {1, 2, 2, 3}, A = {1, 2, 3} 3

4 Aufgabe 5. Wie kann man am Schaubild einer Relation R R R sofort ablesen ob sie reflexiv ist? Woran sieht man dass sie symmetrisch ist? Hinweis: Zeichnen Sie zuerst ein paar reflexive bzw. symmetrische Relationen und suchen dann die Gemeinsamkeiten. Transitivität lässt sich nicht so direkt sehen, denken Sie aber trotzdem mal darüber nach. Lösung von Aufgabe 5. Reflexiv: Hautpdiagonale ist eingezeichnet. Symmetrisch: Bild ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Aufgabe 6. Prüfen Sie ob folgende Relationen reflexiv auf N 0, symmetrisch oder transitiv sind: 3 N 3 \ N N \ 3 3 N Lösung von Aufgabe 6. 3 N reflexiv. nicht symmetrisch da 2, 3 3 N aber 3, 2 3 N. nicht transitiv da 3, 4 3 N, 4, 1 3 N aber 3, 1 3 N. 3 \ N nicht reflexiv da 1, 1 3 \ N. nicht symmetrisch da 6, 3 3 \ N aber 3, 6 3 \ N. transitiv, da 3 \ N = 3 > N. N \ 3 nicht reflexiv, da 1, 1 N \ 3. nicht symmetrisch, da 1, 2 N \ 3, aber 2, 1 N \ 3. nicht transitiv, da 1, 2 N \ 3, 2, 4 N \ 3 aber 1, 4 N \ 3. 3 N nicht reflexiv auf N 0, da 0, 0 3 N. nicht symmetrisch da 1, 4 3 N aber 4, 1 3 N. transitiv, da sowohl 3 als auch N transitiv sind. Aufgabe 7. Für zwei beliebige Mengen A und B gilt A B genau dann wenn A P B. 4

5 Sei A die Menge aller Objekte im Cantorschen Sinn. Erklären Sie in wiefern man sagen kann, dass eine Relation auf A und P A ist. Erklären Sie die Bedeutung der Ausdrücke A P A P A P A und 2, {1, 2, 3}. Wie würde man letzteren Ausdruck normalerweise schreiben? Was bedeutet 2, {1, 2, 3},? Lösung von Aufgabe 7. Ein Paar von Objekten x, y steht in Relation wenn y eine Menge ist und x Element der Menge y. Somit ist eine Menge von Paaren, wobei die erste Komponente ein Objekt ist und die zweite eine Menge von Objekten. Wenn A die Menge aller Objekte ist, dann ist P A die Menge aller Mengen von Objekten und somit ist eine Teilmenge von A P A. Für alle Mengen M, N sind die Ausdrücke äquivalent. Somit sind auch äquivalent. Der Ausdruck M N und M P N A P A und P A P A 2, {1, 2, 3}. besagt, dass das Paar 2, {1, 2, 3} Element der Relation ist. Die schreibt man normalerweise in Infixnotation 2 {1, 2, 3}. Der Ausdruck 2, {1, 2, 3}, besagt, dass das Paar 2, {1, 2, 3}, in der Relation steht, d.h. 2, {1, 2, 3}. Dies wiederum besagt, dass das Paar 2, {1, 2, 3} in der Relation steht, d.h. 2 {1, 2, 3}. Aufgabe 8. Eine Relation R A A heißt antisymmetrisch, wenn für alle x, y gilt wenn xry und yrx dann ist x = y. 5

6 So ist z.b. die Relation N antisymmetrisch, denn aus x N y und y N x folgt x = y. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch? < N, Z, σ, 3,,, N N, =. Beschreiben Sie, wie man allgemein vorgeht um von einer Relation R zu entscheiden ob sie antisymmetrisch ist und wie ein Beweis der Antisymmetrie beginnen würde. Lösung von Aufgabe 8. < N ist antisymmetrisch. Der Fall x < N y und y < N x kann nicht eintreten, deshalb ist für alle Fälle wo x < N y und y < N x auch x = y. Z ist antisymmetrisch. Aus x Z y und y Z x folgt x = y. σ ist antisymmetrisch. Auch hier kann xσy und yσx nicht eintreten. 3 ist nicht antisymmetrisch. Ein Gegenbeispiel ist und aber 6 9. ist antisymmetrisch. Wenn A B und B A dann ist A = B. ist antisymmetrisch. Die Bedingung xry und yrx ist nie erfüllt. N N ist nicht antisymmetrisch. So ist z.b. 2, 3 N N und 3, 2 N N aber 2 3. = ist antisymmetrisch. Wenn x = y und y = x dann ist natürlich auch x = y. Allgemeine Vorgehensweise zum prüfen ob R antisymmetrisch ist: Beispiele x, y suchen für die x, y R und y, x R mit x y. Wenn ein solches Beispiel existiert, dann ist R nicht antisymmetrisch Gegenbeispiel. Wenn kein Gegenbeispiel gefunden wurde, dann ist R vermutlich antisymmetrisch. Beweis: Zu zeigen R ist antisymmetrisch. Zu zeigen: Für alle x, y gilt: wenn xry und yrx dann x = y. Annahme: Sei x, y beliebig aber fest. Zu zeigen: Wenn xry und yrx dann x = y. Annahme: xry und yrx. Zu zeigen: x = y. Einsetzen der Definition von R. Aufgabe 9. Eine Relation R A A heißt Halbordnung auf A, wenn R reflexiv auf A, transitiv und antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen sind Halbordnungen? N auf N. 6

7 < N auf N. Z auf Z. σ auf N. 3 auf N 0. auf der Menge aller Mengen. auf N. N N auf N. = Q auf Q. Lösung von Aufgabe 9. N ist Halbordnung auf N. < N ist keine Halbordnung auf N. Z ist Halbordnung auf Z. σ ist keine Halbordnung auf N. 3 ist keine Halbordnung auf N 0. ist Halbordnung auf der Menge aller Mengen. ist keine Halbordnung auf N. N N ist keine Halbordnung auf N. = Q ist Halbordnung auf Q. Aufgabe 10. Eine Relation R A A heißt totale Ordnung auf A, wenn R Halbordnung ist und außerdem je zwei Elemente von A vergleichbar sind, d.h. für alle x, y gilt wenn x, y A dann xry oder yrx. Welche der folgenden Relationen sind totale Ordnungen? N auf N. < N auf N. Z auf Z. σ auf N. 3 auf N 0. auf der Menge aller Mengen. auf N. N N auf N. = Q auf Q. 7

8 Lösung von Aufgabe 10. N ist totale Ordnung auf N. < N ist keine totale Ordnung auf N. Z ist totale Ordnung auf Z. σ ist keine totale Ordnung auf N. 3 ist keine totale Ordnung auf N 0. ist keine totale Ordnung auf der Menge aller Mengen, z.b. {1} {2} und {2} {1}. ist keine totale Ordnung auf N. N N ist keine totale Ordnung auf N. = Q ist keine totale Ordnung auf Q, z.b. 3 2 und 2 3. Aufgabe 11. Finden Sie jeweils 3 Elemente der Mengen Lösung von Aufgabe 11. < N Z 3 2 Die Elemente von < N Z sind Paare, deren erste Komponente aus der Menge < N und deren zweite Komponente aus Z kommt, also z.b. 2, 3, 1, 2, 3, 7, 4, 4, 1, 5, 3, 5 Die Elemente von 3 2 sind Paare, bei denen beide Komponenten aus 3 sind, also z.b. 1, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 0, 8, 5, 8, 5 Aufgabe 12. Sei A = {1, 2, 3}. Finden Sie eine Relation auf A, die zwar reflexiv und symmetrisch aber nicht transitiv ist. Lösung von Aufgabe 12. Reflexiv und symmetrisch aber nicht transitiv: R = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2} Aufgabe 13. Bestimmen Sie eine Relation R R 2, deren grafische Darstellung der grauen Fläche in Bild 1 links entspricht. Hinweis: Definieren Sie zunächst Relationen für das mittlere und das rechte Bild und verwenden Sie dann Mengenoperationen. 8

9 Abbildung 1: Grafische Darstellung von zweistelligen Relation auf R. Lösung von Aufgabe 13. Die Relation für das mittlere Bild ist R 1 = {x, y x, y R, x 2 + y 2 1}. Die Relation für das rechte Bild ist R 2 = {x, y x, y R, x + y 1}. Die Relation für das linke Bild ist die Schnittmenge: R = R 1 R 2. Aufgabe 14. Bestimmen Sie jeweils 3 Elemente der folgenden Relationen: N, N 3, N N, N N Lösung von Aufgabe 14. N : 2, 3 2, 2 3, 5 N 3 : 2, 3, 3, 5, 7, 7 1, 3, 3, 3, 2, 5 1, 1, 1, 1, 1, 1 N N : 2, 3, 7, 7 1, 3, 5, 2 1, 1, 1, 1 9

10 N N = = N : 1, 1 2, 2 3, 3 Aufgabe 15. Die Relation R ist definiert durch R = {a, b a, b R, ab = 1}. Ist R reflexiv auf R, transitiv, symmetrisch bzw. antisymmetrisch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung 1 Satz oder ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 15. Nicht reflexiv auf R, da z.b. 2, 2 R. Nicht transitiv, da z.b. 2, 1/2 R und 1/2, 2 R aber 2, 2 R. Symmetrisch. Wenn a, b R ist, dann ist ab = 1. Aufgrund der Kommutativität ist auch ba = 1 und damit b, a R. Nicht antisymmetrisch. Es ist 2, 1/2 R und 1/2, 2 R aber 2 1/2. Aufgabe 16. Sei R = N N. Machen Sie sich klar, dass R eine Relation auf N 2 ist, d.h. R N 2 N 2. So ist z.b. 1, 2, 7, 3 R da 1, 2 N und 7, 3 N. Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass R weder reflexiv auf N 2 noch symmetrisch ist. Beweisen Sie ausführlich, dass R transitiv ist. Welche der Eigenschaften reflexiv auf N 2, symmetrisch, transitiv hat die Relation S = N 2? Lösung von Aufgabe 16. Nicht reflexiv: Für x = 1, 2 N 2 ist x, x R. Nicht symmetrisch: 1, 2, 2, 1 R aber 2, 1, 1, 2 R. Zu zeigen: R ist transitiv. Zu zeigen: x, y, z x, y R y, z R x, z R. Sei x, y, z beliebig aber fest. Zu zeigen: x, y R y, z R x, z R. 10

11 Annahme: x, y R y, z R. Zu zeigen: x, z R. Einsetzen der Definition von R. Annahme: x, y, z N 2, x 1 N x 2, y 1 N y 2, y 1 N y 2, z 1 N z 2. Zu zeigen: x, z N 2, x 1 N x 2, z 1 N z 2. Folgt direkt aus der Annahme. S ist nicht reflexiv auf N 2, da z.b. 2, 1 N 2 aber 2, 1, 2, 1 S. S ist aber symmetrisch und transitiv. Aufgabe 17. Die Relation < N ist definiert als < N = {a, b a, b N x N a + x = b}. Beweisen Sie unter Verwendung dieser Definition ausführlich, dass < N transitiv ist. Lösung von Aufgabe 17. Zu zeigen: < N ist transitiv. Zu zeigen: a, b, c a N b b N c a N c. Sei a, b, c beliebig aber fest. Zu zeigen: a N b b N c a N c. Annahme a < N b b < N c. Zu zeigen a < N c. Einsetzen der Definition von < N. Annahme: a, b, c N x N a + x = b y N b + y = c. Zu zeigen: Seien x, y N so dass z N a + z = c. a + x = b b + y = c. Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, ergibt sich a + x + y = c. Da die Summe zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl ist, ist x + y N. Mit der Wahl z = x + y gilt daher z N und a + z = c. 11

12 Aufgabe 18. Definieren Sie die Eigenschaften reflexiv auf A, symmetrisch, transitiv und antisymmetrisch von Relationen. Lösung von Aufgabe 18. Eine Relation R heisst reflexiv auf A wenn symmetrisch wenn transitiv wenn x A xrx x, y xry yrx x, y, z xry yrz xrz antisymmetrisch wenn x, y xry yrx x = y. Aufgabe 19. Formulieren Sie folgende Aussage in der Sprache der Logik: Für jede Menge A und jede Relation R A A gilt: Wenn R symmetrisch und antisymmetrisch ist, dann ist R = A. Setzen Sie auch logische Formeln für die Begriffe symmetrisch und antisymmetrisch ein. Beweisen Sie dann die Aussage ausführlich. Lösung von Aufgabe 19. Aufstellen der Formel. R ist symmetrisch: x, y xry yrx R ist antisymmetrisch: x, y xry yrx x = y Formel ohne Definition von symmetrisch und antisymmetrisch: A R A A symmetrischr antisymmetrischr R = A Einsetzen der Definitionen von symmetrisch und antisymmetrisch: Beweis. A R A A x, y xry yrx x, y xry yrx x = y R = A Zu zeigen: Für jede Menge A und jede Relation R A A gilt: Wenn R symmetrisch und antisymmetrisch ist, dann ist R = A. 12

13 Sei A und R A A beliebig aber fest. Annahme: R ist symmetrisch und antisymmetrisch. Zu zeigen R = A. Definition der Teilmengenbeziehung. Zu zeigen: Für alle x, y gilt: Wenn xry dann ist x = A y. Sei x, y R beliebig aber fest. Zu zeigen x, y A und x = y. Da R A A folgt x, y A. Bleibt zu zeigen x = y. Aus der Symmetrie von R folgt yrx. Aus der Antisymmetrie von R folgt x = y. Aufgabe 20. In relationalen Datenbanken wird oft mit Tabellen gearbeitet, z.b. Typ Kennzeichen Farbe Baujahr Ford HN-DA-8190 rot 1995 VW S-KR-7618 blau 2001 Fiat MOS-RT-1783 grün 2003 Dass eine solche Tabelle tatsächlich eine Relation ist, erkennt man wenn man die beteiligten Mengen identifiziert: Typ = {Ford, VW, Fiat,...} Kennzeichen = {HN-DA-8190, S-KR-7618, MOS-RT-1783,...} Farbe = {rot, blau, grün,...} Baujahr = N. Die oben als Tabelle dargestellte Relation ist dann die Menge der Quadrupel Somit gilt R = { Ford, HN-DA-8190, rot, 1995, VW, S-KR-7618, blau, 2001, Fiat, MOS-RT-1783, grün, 2003 } R Typ Kennzeichen Farbe Baujahr. Es gibt natürlich mehrere Autos des selben Herstellers, mehrere mit der selben Farbe und auch mehrere mit dem selben Baujahr. Andererseits gibt es aber zu gegebenem Kennzeichen höchstens ein Auto mit diesem Kennzeichen. Das Attribut Kennzeichen wird daher auch Schlüssel der Tabelle genannt. Formulieren Sie in der Sprache der Logik, dass das Attribut Kennzeichen Schlüssel der Relation R ist. 13

14 Lösung von Aufgabe 20. a 1, a 2 Typ b Kennzeichen c 1, c 2 Farbe d 1, d 2 Baujahr a 1, b, c 1, d 1 R a 2, b, c 2, d 2 R a 1, b, c 1, d 1 = a 2, b, c 2, d 2. Aufgabe 21. Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn Ist diese Formel äquivalent zu a b arb bra a = b a b arb bra? Geben Sie einen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 21. Die Formeln sind nicht äquivalent. Für R = {1, 1} ist die erste Formel wahr, die zweite aber falsch. Aufgabe 22. Wieviele unterschiedliche Relationen R A B gibt es für A = {1, 2} B = {1, 2, 3}? Lösung von Aufgabe 22. Die Relationen R A B sind genau die Teilmengen von A B. Die Menge aller Teilmengen von A B ist P A B. Damit existieren Relationen auf {1, 2} und {1, 2, 3}. P A B = 2 A B = = 2 6 = 64 Aufgabe 23. Ein aktuelles Thema in der Informatik ist das Semantic Web, insbesondere die Verbesserung von Suchmaschinen. Derzeitige Suchmaschinen basieren im Wesentlichen darauf, Dokumente zu suchen, in denen ein gegebenes Wort vorkommt. Problematisch hierbei ist, dass ein 14

15 Wort unterschiedliche Bedeutungen haben kann Zweideutigkeiten. So kann z.b. das Wort Bremse sowohl ein Insekt als auch ein Fahrzeugteil bezeichnen. Interessiert man sich also für Maßnahmen gegen Insektenstiche und gibt das Wort Bremse in eine Suchmaschine ein, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass man viele Dokumente bekommt, die einen gar nicht interessieren. Weiterhin können unterschiedliche Worte die selbe Bedeutung haben Synonyme. Die Worte Handy und Mobiltelefon haben die gleiche Bedeutung. Möchte man sich also über Mobiltelefone informieren und gibt das Wort Mobiltelefon in eine Suchmaschine ein, entgehen einem alle Dokumente, in denen das Wort Handy statt Mobiltelefon verwendet wurde. Sei nun Syntax = Menge aller Worte der Deutschen Sprache Semantik = Menge aller Dinge, die man durch Worte beschreiben kann. Sei weiterhin R Syntax Semantik die Relation, die die Beziehung zwischen Worten und ihrer Bedeutung herstellt, d.h. R = {x, y eine Bedeutung von Wort x ist y }. Elemente von R sind z.b. Bremse, das Insekt Bremse Bremse, das Fahrzeugteil Bremse Handy, das tragbare schnurlose Telefon Mobiltelefon, das tragbare schnurlose Telefon Formulieren Sie durch prädikatenlogische Ausdrücke die o.g. problematischen Eigenschaften der Relation R, dass ein und das selbe Wort mehrere Bedeutungen haben kann unterschiedliche Worte die selbe Bedeutung haben können. Mit anderen Worten: R ist weder rechtseindeutig noch linkseindeutig. Transformieren Sie die Formeln so dass einmal nur Existenzquantoren und einmal nur Allquantoren darin vorkommen. Lösung von Aufgabe 23. Formulierung mit Existenzquantoren. x Syntax y 1, y 2 Semantik y 1 y 2 xry 1 xry 2 x 1, x 2 Syntax y Semantik x 1 x 2 x 1 Ry x 2 Ry Um zu Allquantoren zu kommen, muss man vor und hinter die Existenzquantoren eine Negation setzen. Alternativ kann man auch den Ansatz 15

16 machen, dass man zuerst formuliert, dass R rechts- bzw. linkseindeutig ist und die Formel als Ganzes negiert. x Syntax y 1, y 2 SemantikxRy 1 xry 2 y 1 = y 2 x 1, x 2 Syntax y Semantikx 1 Ry x 2 Ry x 1 = x 2 Aufgabe 24. Eine Relation R heißt rechtseindeutig wenn gilt x, y 1, y 2 xry 1 xry 2 y 1 = y 2. Analog heißt R linkseindeutig, wenn gilt x 1, x 2, y x 1 Ry x 2 Ry x 1 = x 2. Definieren Sie eine endliche Relation R N N, die weder rechtsnoch linkseindeutig ist. Definieren Sie eine unendliche Relation R N N, die weder rechtsnoch linkseindeutig ist. Lösung von Aufgabe 24. R = {1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2} R = N 2 Aufgabe 25. Im Internet findet man heute sehr viel unseriöse oder falsche Information. Als Lösung zu diesem Problem wurde das sog. Web of Trust vorgeschlagen. Die Idee dabei ist, dass eine Organisation x explizit ihr Vertrauen in eine andere Organisation y aussprechen kann, d.h. x sagt, dass sie sicher ist, dass die von y veröffentlichten Informationen wahr sind. Auf diese Weise entsteht ein Netwerk von Vertrauensbeziehungen, daher der Name Web of Trust. Weiterhin gilt, dass eine Organisation x einer Organisation z vertraut, falls es eine für x vertrauenswürdige Organisation y gibt, die ihrerseits z vertraut. Formulieren Sie die zuletzt genannte Eigenschaft der Vertrauensbeziehung in der Sprache der Prädikatenlogik. Verwenden Sie hierfür eine Menge A aller Organisationen und die Vertrauensrelation R A A mit R = {x, y x vertraut y}. Folgt aus o.g. Eigenschaft, dass Vertrauen symmetrisch ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Beispiel einer Relation R, die o.g. Eigenschaft besitzt aber nicht symmetrisch ist. Folgt aus o.g. Eigenschaft, dass Vertrauen transitiv ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Beispiel einer Relation R, die o.g. Eigenschaft besitzt aber nicht transitiv ist. 16

17 Lösung von Aufgabe 25. x, z y xry yrz xrz. R muss nicht symmetrisch sein. Sei z.b. A = {1, 2} und R = {1, 2}. Dann erfüllt R o.g. Eigenschaft, ist aber nicht symmetrisch. R ist transitiv. Man kann das auf zwei Arten beweisen, zuerst die längere Variante. Zu zeigen: Wenn dann Annahme: Zu zeigen: x, z y xry yrz xrz a, b, c arb brc arc. x, z y xry yrz xrz a, b, c arb brc arc. Seien a, b, c beliebig aber fest. Annahme Zu zeigen: arb, brc arc. Aus der Annahme folgt durch Spezialisierung x = a und z = c y ary yrc arc Da arb und brc ist die Aussage y ary yrc wahr man kann für y ja b nehmen. Mit Modus Ponens folgt dann arc. Und nun die kürzere Variante. Der Anfang ist gleich. Annahme: Zu zeigen: x, z y xry yrz xrz R ist transitiv. Die Formel der Annahme wird nun unter Anwendung der bekannten Regeln äquivalent umgeformt. x, z y xry yrz xrz x, z y xry yrz xrz x, y, z xry yrz xrz 17

18 Die somit erhaltene Formel besagt, dass R transitiv ist. Die Web of Trust Regel besagt somit nichts anderes, als dass Vertrauen transitiv ist. Aufgabe 26. Sei A eine Menge von Menschen und R A A die Relation R = {x, y x, y A und x vertraut y } Jeder Mensch aus A vertraut sich selbst und hat außerdem noch einen weiteren Menschen aus A, der ihm vertraut. Formulieren Sie diese Aussage in der Sprache der Prädikatenlogik. Folgt hieraus, dass sich alle Menschen aus A gegenseitig vertrauen? Geben Sie einen kurzen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 26. Aufgabe 27. x A xrx y A x y yrx Ein Gegenbeispiel ist A = {1, 2, 3, 4} und R = {1, 2} 2 {3, 4} 2. Ist die Schnittmenge zweier transitiver Relationen immer eine transitive Relation? Ist die Vereinigungsmenge zweier transitiver Relationen immer eine transitive Relation? Geben Sie zu jeder Aussage einen ausführlichen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 27. Die Schnittmenge zweier transitiver Relationen ist immer eine transitive Relation. Zu zeigen: R, S Relation transitivr transitivs transitivr S Seien R, S beliebige Relationen. Zu zeigen transitivr transitivs transitivr S. Annahme: R und S sind transitiv. Zu zeigen: R S ist transitiv. Annahme Zu zeigen a, b, c arb brc arc a, b, c asb bsc asc. a, b, c ar Sb br Sc ar Sc. 18

19 Seien a, b, c beliebig aber fest. Zu zeigen ar Sb br Sc ar Sc. Annahme: Zu zeigen: ar Sb, ar Sc. br Sc Definition der Schnittmenge. Annahme arb, asb, brc, bsc. Zu zeigen arc, asc. Aus der Transitivität von R und S folgt arb brc arc asb bsc asc. Mit modus ponens folgt arc und asc. Die Vereinigungsmenge zweier transitiver Relationen ist nicht immer eine transitive Relation. Seien zwei transitive Relationen. Dann ist eine nicht transitive Relation. R = {1, 2} S = {2, 3} R S = {1, 2, 2, 3} Aufgabe 28. Sei R A A eine Halbordnung auf A. Beweisen Sie ausführlich, dass R keine Zyklen hat, d.h. dass es keine Elemente x 1, x 2,..., x n A gibt mit x 1 x n so dass Lösung von Aufgabe 28. x 1 Rx 2, x 2 Rx 3,..., x n 1 Rx n und x n Rx 1. Sei R A A eine Halbordnung auf A. Zu zeigen x 1,..., x n A x 1 x n x 1 Rx 2 x 2 Rx 3... x n 1 Rx n x n Rx 1. Negation hinter Quantoren ziehen. Zu zeigen: x 1,..., x n A x 1 x n x 1 Rx 2 x 2 Rx 3... x n 1 Rx n x n Rx 1. 19

20 Sei x 1,..., x n A beliebig aber fest. Zu zeigen: x 1 x n x 1 Rx 2 x 2 Rx 3..., x n 1 Rx n x n Rx 1. Gesetz von de Morgan. Zu zeigen: x 1 = x n x 1 Rx 2 x 2 Rx 3..., x n 1 Rx n x n Rx 1. Aussagenlogische Umformung. Zu zeigen: x 1 Rx 2 x 2 Rx 3..., x n 1 Rx n x n Rx 1 x 1 = x n. Wenn-dann Aussage. Annahme Zu zeigen: x 1 = x n. x 1 Rx 2 x 2 Rx 3..., x n 1 Rx n x n Rx 1. Aus der Transitivität von R folgt x 1 Rx n. Da x 1 Rx n und x n Rx 1 folgt aus der Antisymmetrie dass x 1 = x n. Aufgabe 29. Eine Relation R heißt reflexiv auf M, wenn x x M xrx. Um zu zeigen, dass eine gegebene Relation R nicht reflexiv auf M ist, genügt es ein Gegenbeispiel zu finden, d.h. ein Objekt x so dass x M xrx. Überlegen Sie sich, warum das so ist indem Sie eine Formel für die Aussage R ist nicht reflexiv auf M konstruieren und so lange umformen bis rauskommt es gibt ein x so dass x M und nicht xrx. Lösung von Aufgabe 29. Äquivalente Umformung ergibt: Aufgabe 30. Bei der Menge handelt es sich um eine Relation, da x x M xrx x x M xrx x x M xrx x x M xrx. R = N N R A B 20

21 z.b. für oder auch A = N 2 und B = N 2 A = N und B = N. Nennen Sie drei Elemente der Relation und beweisen Sie ausführlich, d.h. unter ausschließlicher Benutzung der Beweisregeln im Skript, dass R reflexiv auf = N ist. Lösung von Aufgabe 30. Beispiele aus R sind Beweis der Reflexivität von R. 3, 2, 1, 2, 3, 3, 5, 7, 1, 1, 1, 1. Zu zeigen: x x = N x, x N N. Sei x beliebig aber fest. Zu zeigen: x = N x, x N N. Annahme: Zu zeigen: x = N. x, x N N, Definition Kartesisches Produkt. Zu zeigen: x N und x N. Definition von = N : = N = {1, 1, 2, 2, 3, 3...} = {p a a N p = a, a}. Aus x = N folgt somit a a N x = a, a. Sei a so dass a N und x = a, a. Zu zeigen a, a N und a, a N. Dies folgt direkt aus der Definition von N und N. 21

22 Aufgabe 31. Sei R A A eine Relation und = A die Gleichheitsrelation auf A. Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation reflexiv auf A ist. Lösung von Aufgabe 31. Zu zeigen: R = A A R A A x A x, x R = A. Seien A, R A A und x A beliebig aber fest. Zu zeigen: x, x R = A. Da x A folgt x, x = A und damit x, x R = A. Aufgabe 32. Die Relation R sei definiert durch R = {x, y x N y N z N x < N z z < N y. Ist R reflexiv auf N, symmetrisch bzw. transitiv? Beweisen Sie Ihre Antwort. Lösung von Aufgabe 32. R ist nicht reflexiv auf N. So ist z.b. 1, 1 R, da es kein z N gibt mit 1 < N z und z < N 1. R ist nicht symmetrisch. So ist z.b. 1, 3 R aber 3, 1 R. R ist transitiv. Zu zeigen: x, y, z xry yrz xrz. Sei x, y, z beliebig aber fest. Zu zeigen: xry yrz xrz. Annahme: xry und yrz. Zu zeigen xrz. Definition von R. Annahme: Zu zeigen: x N, y N, a N x < N a a < N y y N, z N, b N y < N b b < N z x N, z N, c N x < N c c < N z. 22

23 Dass x N und z N folgt direkt aus der Annahme. Seien a, b N so dass x < N a, a < N y, y < N b, b < N z. Aus der Annahme folgt unter Verwendung der Transitivität von < N dass x < N y, y < N z. Folglich gilt für die Wahl c = y dass x < N c c < N z. Man hätte für c genauso gut auch a oder b nehmen können. Aufgabe 33. Die Kleiner Relation auf N ist definiert durch < N = {x, y x, y N z N x + z = y}. Beweisen Sie ausführlich, dass < N transitiv ist. Lösung von Aufgabe 33. Zu zeigen: x, y, z x < N y y < N z x < N z. Seien x, y, z beliebig aber fest. Zu zeigen: x < N y y < N z x < N z. Annahme: x < N y y < N z. Zu zeigen: x < N z. Definition von < N. Annahme: Zu zeigen: x, y N a N x + a = y y, z N b N y + b = z. x, z N c N x + c = z. Dass x, z N folgt direkt aus der Annahme. Es ist also ein c N zu konstruieren mit x + c = z. Seien a, b N so dass x + a = y, y + b = z. Folglich ist x + a + b = z. Mit c = a + b gilt somit c N und x + c = z. 23

24 Aufgabe 34. Gilt für jede Relation R dass die Relation S = {x, y z xrz zry}. transitiv ist? Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel. Lösung von Aufgabe 34. Ein Gegenbeispiel liefert die Nachfolgerrelation auf N: R = {x, y x N y N y = x + 1}. In diesem Fall ist S = {x, y x N y N y = x + 2}. Diese Relation ist nicht transitiv, da z.b. 1, 3 S und 3, 5 S, aber 1, 5 S. Aufgabe 35. Definieren Sie durch eine prädikatenlogische Formel wann eine Relation antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch? R = {a, b a, b Z, ab = 1} R = {a, b a, b Z, ab = 1} R = {a, b a, b Z, ab = 4}. Lösung von Aufgabe 35. Eine Relation R heißt antisymmetrisch wenn Die Relation a, b arb bra a = b. R = {a, b a, b Z, ab = 1} ist antisymmetrisch. Der wenn-teil arb und bra ist nur dann erfüllt, wenn a = b = 1 oder a = b = 1. In diesem Fall ist auch der dann-teil erfüllt. Die Relation R = {a, b a, b Z, ab = 1} ist nicht antisymmetrisch. Ein Gegenbeispiel ist 1R 1, 1R1 aber 1 1. Die Relation R = {a, b a, b Z, ab = 4} ist nicht antisymmetrisch. Ein Gegenbeispiel ist 1R4, 4R1 aber

25 Aufgabe 36. Nennen Sie zwei Elemente der Menge N \ N = N. Lösung von Aufgabe 36. 3, 2, 1, 1 5, 1, 2, 2. Aufgabe 37. Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel für folgende Aussage: Für alle Mengen A, B ist die Relation R = A B transitiv. Lösung von Aufgabe 37. Zu zeigen: A, B transitiva B. Seien A, B beliebig aber fest. Zu zeigen: Zu zeigen: transitiva B. x, y, z x, y A B y, z A B x, z A B. Seien x, y, z beliebig aber fest. Zu zeigen: x, y A B y, z A B x, z A B. Annahme: x, y A B und y, z A B. Zu zeigen: x, z A B. Annahme: x A, y B, y A, z B. Zu zeigen: x A, z B. Dies folgt direkt aus der Annahme. Aufgabe 38. Finden Sie zwei Mengen A, B so dass die Relation R = A 2 B 2 nicht transitiv ist. Geben Sie eine kurze Begründung, weshalb R in Ihrem Beispiel nicht transitiv ist. 25

26 Lösung von Aufgabe 38. Zum Beispiel Damit ist Es gilt dann A = {1, 2}, B = {2, 3}. R = {1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3}. 1, 2 R und 2, 3 R aber 1, 3 R. Aufgabe 39. Definieren Sie durch eine Formel der Prädikatenlogik wann eine Relation antisymmetrisch ist. Entscheiden Sie ob die Relation R = {1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3} antisymmetrisch ist. Begründung ist nicht erforderlich, eine falsche Antwort gibt aber Punktabzug. Lösung von Aufgabe 39. R heißt antisymmetrisch wenn Die Relation ist antisymmetrisch. a, b arb bra a = b. Aufgabe 40. Sei R eine Relation mit der Eigenschaft a, b, c arb brc arc. Beweisen Sie ausführlich, dass hieraus folgt x xrx. Lösung von Aufgabe 40. Annahme: Zu zeigen: a, b, c arb brc arc. x xrx. Sei x beliebig aber fest. Zu zeigen: xrx. Aus der Annahme folgt durch Spezialisierung mit a = b = c = x xrx xrx xrx. 26

27 Aussagenlogische Umformung. Annahme: xrx xrx. Aussagenlogische Umformung: xrx xrx. Aussagenlogische Umformung: xrx. Aufgabe 41. Beweisen Sie ausführlich, dass jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation wiederum eine antisymmetrische Relation ist. Lösung von Aufgabe 41. Zu zeigen R, S antisymmetrischr S R antisymmetrischs. Seien R, S beliebig aber fest. Zu zeigen: antisymmetrischr S R antisymmetrischs. Annahme: antisymmetrischr, S R Zu zeigen: antisymmetrischs. Definition Antisymmetrie. Annahme: x, y xry yrx x = y. Zu zeigen: a, b asb bsa a = b. Seien a, b beliebig aber fest. Zu zeigen: asb bsa a = b. Annahme Zu zeigen: Da S R folgt asb, bsa. a = b. arb, bra. 27

28 Mit Spezialisierung x = a und y = b folgt arb bra a = b. Moduls Ponens ergibt a = b. Aufgabe 42. Die Relation R = {1, 1} ist eine reflexive Relation auf der Menge {1}. Ist R auch eine reflexive Relation auf der Menge N? Lösung von Aufgabe 42. R = {1, 1} ist keine reflexive Relation auf N da z.b. 2 N aber 2, 2 R. Aufgabe 43. Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation auf der Menge aller Mengen reflexiv und transitiv ist aber nicht symmetrisch. Lösung von Aufgabe 43. Seien A, B und C beliebige Mengen. Da A A, ist reflexiv. Da z.b. {1} aber {1}, ist nicht symmetrisch. Da aus A B und B C folgt A C, ist transitiv. Aufgabe 44. Begründen Sie: Ist R eine reflexive Relation auf A und S eine beliebige Relation auf A, dann ist R S reflexiv auf A. Gilt das auch für symmetrisch und transitiv? Finden Sie ein Gegenbeispiel für R, S und A wo das nicht so ist. Lösung von Aufgabe 44. Wenn R reflexiv ist, dann ist x, x R für alle x A. Somit auch x, x R S für alle x A, d.h. R S ist reflexiv. Sei R = und S eine beliebige nicht symmetrische Relation. Dann ist R symmetrisch und R S nicht symmetrisch. Sei R = und S eine beliebige nicht transitive Relation. Dann ist R transitiv und R S nicht transitiv. die Gleichheitsre- Aufgabe 45. Sei = N die Gleichheitsrelation auf N und = N 2 lation auf N 2. Finden Sie ein Objekt x für das gilt x = N 2 x = N 2. Finden Sie ein Objekt y für das gilt y = N 2 y = N 2. Lösung von Aufgabe 45. x = 2, 2, 3, 3, y = 2, 3, 2, 3. 28