Forschungsmethodik II Mag.rer.nat. M. Kickmeier-Rust Karl-Franzens-Universität Graz. Lisza Gaiswinkler, Daniela Gusel, Tanja Schlosser

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1 Kolmogorov-Smirnov-Test Forschungsmethodik II Mag.rer.nat. M. Kickmeier-Rust Karl-Franzens-Universität Graz 1

2 Kolmogorov- Smirnov Test Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov *

3 Kolmogorov- Smirnov Test Wladimir Iwanowitsch Smirnov *

4 Einleitung Statistischer Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung besitzen eine Zufallsvariable einer Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt (Kolmogorov- Smirnov- Anpassungstest) 4

5 Einleitung NVT als Voraussetzung für viele statistische Verfahren Überprüfung mittels KSA 5

6 Einleitung Kolmogorov- Smirnov: n <50 n >50: Chi- Quadrat Nichtparametrischer Test stabil unanfällig 6

7 Kolmogorov- Smirnov- Test Stetig verteilte metrische Merkmale Diskrete Merkmale Rangskalierte Merkmale Weniger Trennschärfe 7

8 Kolmogorov- Smirnov- Test Nullhypothese H0: Fx(x) = F0(x) Alternativhypothese H1: Fx(x) F0(x) 8

9 Kolmogorov- Smirnov- Test p < 0.05: keine Normalverteilung Zahlenreihen stammen nicht aus derselben Verteilung 9

10 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test Berechnung per Hand 10

11 Bsp. für händische Berechnung 8 Zeitangaben (= n), die auf Normalverteilung geprüft werden sollen 200, 198, 390, 215, 171, 160, 150,

12 Vorgehensweise 1. Tabelle aufstellen x z Ф(z) f d x = die zu testenden Werte z = z-werte Ф(z) = Flächenstücke unter Normalverteilungskurve f = gleiche Abstände der Flächenstücke d = absolute Differenzen 12

13 Vorgehensweise x Werte in eine aufsteigende Reihenfolge bringen 200, 198, 390, 215, 171, 160, 150,

14 Vorgehensweise x z Ф(z) dazugehörige z-werte ausrechnen 4. gemäß der z-tabelle Flächenstücke unter der Normalverteilungskurve Ф(z) ermittelten 14

15 Vorgehensweise f Flächenstücke unter der Normalverteilungskurve sollten bei idealer Normalverteilung gleiche Abstände haben: erzeugt durch Division mit Fallzahl n ( = 8 ) 5. f berechnen f = i/n i = 1,, n 15

16 Vorgehensweise Ф(z) f d Berechnung der absoluten Differenzen: d = ІФ(z) - fі 16

17 Vorgehensweise x z Ф(z) f d

18 Vorgehensweise Ф(z) f d Maximum dieser Differenzen (a) = Prüfgröße beim Kolmogorov- Smirnov-Test a =

19 Vorgehensweise Maximum dieser Differenzen (a) = Prüfgröße beim Kolmogorov-Smirnov-Test a = kritischen Wert ermitteln: in Tabelle nachschauen (bei n = 8) 19

20 Kritische Werte n kritischer Wert 20

21 Vorgehensweise Maximum dieser Differenzen (a) = Prüfgröße beim Kolmogorov-Smirnov-Test a = in Tabelle nachschauen (bei n = 8) kritischer Wert = a < a crit normalverteilt 21

22 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS 22

23 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Menüpunkt ANALYSIEREN Aus den Alternativen NICHTPARAMETRISCHE TESTS wählen Auswahlpunkte, die sich rechts öffnen, K-S BEI EINER STICHPROBE wählen 23

24 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Testvariable auswählen, welche auf Normalverteilung überprüft werden. Achtung: links unten unter Testverteilung darauf achten, dass der Punkt Normal angewählt ist. OK anklicken Bildschirmausgabe wie folgende: 24

25 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS 25

26 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Hier sind für uns die folgenden Werte wichtig: N (in diesem Falle 8), Extremste Differenzen (0,320) und Asymptotische Signifikanz. Nun vergleichen wir diese beiden ersten Werte mit einer Tabelle für den Kolmogorov-Smirnov-Test. 26

27 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Die nachfolgende Tabelle gibt bei einer 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit Grenzwerte für Stichproben an, bei denen n zwischen 1-35 liegt. 27

28 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS 28

29 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Wir suchen nun den Wert für N = 8 und sehen dort die Zahl 0,454. Falls die Extremste Differenz in unserem Rechenbeispiel diesen Wert überschreitet, liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit keine Normalverteilung vor. 29

30 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS In unserem Fall haben wir jedoch eine Extremste Differenz von nur 0,32. Das Ergebnis wird am Besten so interpretiert, dass die theoretische Annahme einer Standardverteilung nicht verworfen werden muss. 30

31 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Auch unser Wert für die Asymptotische Signifikanz ist weit größer als der Grenzwert 0,05. Dieser würde besagen, dass nur in 5 % aller Fälle eine derartige Verteilung wirklich normalverteilt ist. Ein Wert von 0,02 wäre hingegen deutlich kleiner, daher würde die Annahme einer Normalverteilung verworfen werden (auf dem 5 % Signifikanzniveau). 31

32 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Da unser Wert jedoch deutlich darüber liegt, kann die Hypothese einer Normalverteilung auf diesem Signifikanzniveau nicht verworfen werden. 32

33 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS Achtung: Der Kolmogorov-Smirnov-Test benötigt, v.a. bei kleinen Stichproben, extreme Abweichungen von einer Normalverteilung, um auf höheren Signifikanzniveaus die Annahme einer Normalverteilung zu verwerfen. 33

34 Kolmogorov-Smirnov Smirnov-Test mit SPSS SPSS Syntax NPAR TEST /K-S (normal) = variable. 34

35 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 35

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