GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Gymnasium Ernestinum Coburg Fachschaft Mathematik

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1 GRUNDWISSEN MTHEMTIK Gymnsium Ernestinum Coburg Fchschft Mthemtik

2 GM 5.1 Zhlen und Mengen Grundwissen Jhrgngsstufe 5 Mengen werden in der Mthemtik mit geschweiften Klmmern geschrieben: Menge der ntürlichen Zhlen: N = {1; 2; 3;...} Menge der ntürlichen Zhlen und der Zhl Null: N0 = {0; 1; 2; 3;...} Menge der gnzen Zhlen: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...} Die Zhl -2 ist eine gnze Zhl, ber keine ntürliche Zhl. Mn schreibt: -2 Z, -2 N Mn spricht: Die Zhl -2 ist ein Element der Menge der gnzen Zhlen, die Zhl -2 ist kein Element der Menge der ntürlichen Zhlen. Zhlen mit besonderen Eigenschften: Eine Primzhl ist eine Zhl, die genu zwei Teiler besitzt, z.. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 usw. Die Zhl 1 ist keine Primzhl, denn sie ht nur einen Teiler. Eine Qudrtzhl ist eine Zhl, die entsteht, wenn mn eine ntürliche Zhl mit sich selbst multipliziert, z.. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 usw. nordnung der gnzen Zhlen: Von zwei gnzen Zhlen ist diejenige kleiner, die uf der Zhlengerde weiter links liegt. Mn schreibt: -4 < -1 ( -4 ist kleiner ls -1 ) 3 > 0 ( 3 ist größer ls 0 ) etrg einer Zhl: Die Entfernung einer Zhl vom Nullpunkt der Zhlengerden heißt etrg der Zhl. Die Zhl +4 ht den etrg 4, die Zhl -6 ht den etrg 6. Die Zhlen -5 und +5 hben beide den gleichen etrg. Sie unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen. Solche Zhlen heißen Gegenzhlen. 2

3 GM 5.2 Rechnen mit gnzen Zhlen Terme sind Rechenusdrücke. Mn unterscheidet vier Rechenrten und somit uch vier Termrten: ddition = 16 Der Term ist eine Summe. 12 heißt 1. Summnd, 4 heißt 2. Summnd, 16 heißt Wert der Summe. Subtrktion 12 4 = 8 Der Term 12 4 ist eine Differenz. 12 heißt Minuend, 4 heißt Subtrhend, 8 heißt Wert der Differenz. Multipliktion 12 4 = 48 Der Term 12 4 ist ein Produkt. 12 heißt 1. Fktor, 4 heißt 2. Fktor, 48 heißt Wert des Produkts. Division 12 : 4 = 3 Der Term 12 : 4 ist ein Quotient. 12 heißt Dividend, 4 heißt Divisor, 3 heißt Wert des Quotienten. ddieren gnzer Zhlen: Hben beide Summnden ds gleiche Vorzeichen, so wird ds gemeinsme Vorzeichen beibehlten und die eträge der Summnden ddiert. (+3) + (+8) = + (3 + 8) = +11 ( 5) + ( 7) = (5 + 7) = 12 Hben die zwei Summnden verschiedene Vorzeichen, so übernimmt mn ds Vorzeichen des Summnden mit dem größeren etrg und bildet die Differenz us dem größeren und dem kleineren etrg. (+3) + ( 8) = (8 3) = 5 ( 11) + (+6) = (11 6) = 5 Subtrhieren gnzer Zhlen: Eine Zhl wird subtrhiert, indem mn ihre Gegenzhl ddiert. (+5) (+8) = (+5) + ( 8) = (8 5) = 3 (+3) ( 11) = (+3) + (+11) = + (3 + 11) = +14 Kurzschreibweise beim ddieren und Subtrhieren: Schreibt mn einen Term so, dss ls Rechenzeichen nur ds Pluszeichen uftritt, dnn knn mn lle Rechenzeichen und lle Zhlenklmmern weglssen. ußerdem knn mn beim ersten Summnden ds Vorzeichen weglssen, flls es sich um ein Pluszeichen hndelt. (+5) + ( 3) ( 8) (+7) = (+5) + ( 3) + (+8) + ( 7) = Multiplizieren gnzer Zhlen: Hben beide Fktoren ds gleiche Vorzeichen, so ist der Produktwert positiv. (+3) (+8) = + (3 8) = +24 ( 5) ( 7) = + (5 7) = +35 Hben die beiden Fktoren verschiedene Vorzeichen, so ist der Produktwert negtiv. (+3) ( 8) = (8 3) = 24 ( 11) (+6) = (11 6) = 66 Dividieren gnzer Zhlen: Hben Dividend und Divisor ds gleiche Vorzeichen, so ist der Quotientwert positiv. (+18) : (+6) = + (18 : 6) = +3 ( 18) : ( 6) = + (18 : 6) = + 3 Hben Dividend und Divisor verschiedene Vorzeichen, so ist der Quotientwert negtiv. (+18) : ( 6) = (18 : 6) = 3 ( 18) : (+6) = (18 : 6) = 3 3

4 Rechengesetze: Kommuttivgesetz der ddition (Multipliktion) Innerhlb einer Summe (eines Produkts) drf mn die Summnden (Fktoren) beliebig vertuschen = = = = = = 2600 Dies gilt nicht für die Subtrktion und die Division! ssozitivgesetz der ddition (Multipliktion) Innerhlb einer Summe (eines Produkts) drf mn Klmmern beliebig setzen oder weglssen ( ) + 27 = = ( ) = = 467 (72 25) 4 = = 72 (25 4) = = 7200 Rechenregeln: Punkt vor Strich: Punktrechnungen werden vor Strichrechnungen usgeführt. f l s c h: = = 1200 r i c h t i g: = = 213 Klmmern zuerst: Terme, die in Klmmern stehen, werden zuerst berechnet. f l s c h: (53 8) 6 = = = 5 r i c h t i g: (53 8) 6 = 45 6 = 270 Die Rechenregeln legen die Reihenfolge fest, in der die einzelnen Rechenopertion eines Term usgeführt werden. Die Rechenopertion, die ls letzte usgeführt wird, legt den Termnmen fest. Der Term ist eine Differenz. Der Term (53 8) 6 ist ein Produkt. Ws noch nicht zum Rechnen drn, schreibt mn unverändert n: Nch einem Gleichheitszeichen dürfen weder Termbestndteile weggelssen noch hinzugefügt werden. f l s c h: = = = 409 r i c h t i g: = = = 409 4

5 GM 5.3 Größen und ihre Einheiten Größen bestehen us einer Mßzhl und einer Mßeinheit. Größen der gleichen rt knn mn uch in unterschiedlichen Einheiten oder mehrfch bennnt ngeben. ei der Größe 250 cm ist 250 die Mßzhl und cm die Mßeinheit. Sttt 250 cm knn mn uch 25 dm oder 2,5 m schreiben. Schreibt mn 2 m 50 cm, so ht mn die Größe mehrfch bennnt bzw. in gemischten Einheiten ngegeben. Längen werden zumeist in den Einheiten Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Dezimeter (dm), Meter (m) und Kilometer (km) ngegeben. Die Umrechnungszhl zwischen benchbrten Einheiten ist km = 1000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm 1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m 1 cm = 0,1 dm = 0,01 m 1 dm = 0,1 m 1 m = 0,001 km Flächen werden zumeist in den Einheiten Qudrtmillimeter (mm²), Qudrtzentimeter (cm²), Qudrtdezimeter (dm²), Qudrtmeter (m²), r (), Hektr (h) und Qudrtkilometer (km²) ngegeben. Die Umrechnungszhl zwischen benchbrten Einheiten ist km² = 100 h = = m² 1 h = 100 = m² 1 = 100 m² 1 m² = 100 dm² = cm² = mm² 1 dm² = 100 cm² = mm² 1 cm² = 100 mm² Mssen werden zumeist in den Einheiten Tonnen (t), Kilogrmm (kg), Grmm (g) und Milligrmm (mg) ngegeben. 1 t = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg 1 mg = 0,001 g 1 g = 0,001 kg 1 kg = 0,001 t Zeiten werden zumeist in den Einheiten Tge (d), Stunden (h), Minuten (min) und Sekunden (s) ngegeben. 1 d = 24 h 1 h = 60 min = 3600 s 1 min = 60 s 5

6 GM 5.4 Rechnen mit Größen ddieren von Größen: Größen knn mn ddieren (subtrhieren), indem mn sie in der gleichen Mßeinheit ngibt und dnn ihre Mßzhlen ddiert (subtrhiert). 1,3 m + 52 dm + 18 cm = 130 cm cm + 18 cm = 668 cm Multipliktion und Division: Eine Größe wird mit einer ntürlichen Zhl multipliziert, indem mn die Mßzhl mit der ntürlichen Zhl multipliziert und die Einheit beibehält. 125 g 4 = 500 g 1 m 40 cm 7 = 140 cm 7 = 980 cm = 9 m 80 cm Eine Größe wird durch eine ntürliche Zhl dividiert, indem mn die Mßzhl durch die ntürliche Zhl dividiert und die Einheit beibehält. ei der Division einer Größe durch eine Zhl ergibt sich wieder eine Größe. 620 cm² : 20 = 31 cm² 3 m : 12 = 300 cm : 12 = 25 cm Eine Größe wird durch eine ndere Größe dividiert, indem mn gleiche Einheiten herstellt und dnn die Mßzhlen dividiert. Mn erhält eine Zhl (ohne Einheit). 12 m : 30 cm = 1200 m : 30 cm = 40 oder 12 m : 30 cm = 120 dm : 3 dm = 40 8 min : 24 s = 480 s : 24 s = 20 6

7 GM 5.5 Geometrische Grundbegriffe Strecke, Hlbgerde, Gerde Eine Strecke ist die gerde Verbindungslinie zweier Punkte und. Schreibweise: [] Schreibweise für die Länge einer Strecke: = 4cm Eine Hlbgerde entsteht durch Verlängerung einer Strecke über einen Endpunkt hinus. Schreibweise: [ Schreibweise: ] Eine Gerde entsteht durch Verlängerung einer Strecke über beide Endpunkte hinus. Schreibweise: Winkel entstehen durch Drehung einer Hlbgerden um ihren nfngspunkt. Der Punkt S ist der Scheitel, die Hlbgerde [S der erste Schenkel, die Hlbgerde [S der zweite Schenkel des Winkels. Mn schreibt uch S. S α Winkel werden meist mit kleinen griechischen uchstben bennnt: α (lph), β (bet), γ (gmm), δ (delt), ε (epsilon), ϕ (phi), τ (tu) u.. Die Größe eines Winkels wird in Grd gemessen. Dbei misst eine volle Umdrehung 360. Ein Winkel der Größe 180 ist ein gestreckter Winkel. Ein Winkel der Größe 90 wird ls rechter Winkel bezeichnet. β β = 90 Lgebeziehungen zweier Gerden Gerden, die miteinnder einen rechten Winkel bilden, stehen ufeinnder senkrecht. Schreibweise: k g, k h g Zwei Gerden g und h (in der Zeichenebene) heißen zueinnder prllel, wenn es eine dritte Gerde k gibt, die uf jeder der beiden senkrecht steht. Schreibweise: g h Die Länge der Strecke [] uf dem gemeinsmen Lot k heißt bstnd der Gerden g und h. Schreibweise: d = k h 7

8 GM 5.6 Figuren und Körper Geometrische Grundfiguren Qudrt Rechteck Rute Sechseck Dreieck Kreis Trpez Prllelogrmm Ein Viereck, ds zwei prllele Seiten besitzt, heißt Trpez. Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils zueinnder prllel sind, heißt Prllelogrmm. Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck. Ein Viereck mit vier gleich lngen Seiten heißt Rute. Ein Viereck mit vier gleich lngen Seiten und vier rechten Winkeln heißt Qudrt. Qudrt und Rechteck Im Qudrt CD sind,, C und D die Eckpunkte. [] ist eine Seite. Die Seitenlänge ist mit bennnt. Umfngslänge des Qudrts: U = 4 Flächeninhlt des Qudrts: = = ² Die Strecke [C] ist eine Digonle des Qudrts. Im Rechteck PQRS sind die Seitenlängen und b eingetrgen. Umfngslänge des Rechtecks: U = b Flächeninhlt des Rechtecks: = b Kreis lle Punkte uf der Kreislinie hben vom Mittelpunkt M des Kreises die gleiche Entfernung. Diese Entfernung heißt Rdius r des Kreises. Verbindet mn zwei Punkte der Kreislinie so miteinnder, dss die Verbindungslinie durch den Mittelpunkt verläuft, so erhält mn den Durchmesser d des Kreises. Dbei gilt: d = 2 r S P b D M d C r b R Q Geometrische Grundkörper Kugel Kegel Prism Quder (dreiseitig, liegend) Zylinder Pyrmide Prism Würfel (sechsseitig, stehend) Ein Würfel besitzt 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Knten. Ein Würfel der Kntenlänge ht den Oberflächeninhlt O = 6 ². Ein Quder mit den Kntenlängen l, b und h ht den Oberflächeninhlt O = 2 l b + 2 l h + 2 b h. 8