Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen
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- Matthias Kirchner
- vor 7 Jahren
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1 Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben Lösungen Vektoren: Skalarprodukt - Fläche - Winkel 6. Aufgaben Lösungen Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt 9. Aufgaben Lösungen Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit. Aufgaben Lösungen Vektoren: Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität. Aufgaben Lösungen Gerade aus Punkten 6. Aufgaben Lösungen Ebenengleichung aufstellen 7. Punkte Aufgaben Lösungen Punkt und Gerade Aufgaben Lösungen Parallele Geraden Aufgaben Lösungen Parameterform - Koordinatenform 6 8. Determinante Aufgaben Lösungen Vektorprodukt Aufgaben Lösungen Koordinatenform - Hessesche Normalenform 9. Aufgaben Lösungen
2 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Punkt - Gerade. Aufgaben Lösungen Gerade - Gerade 6. Aufgaben Lösungen Punkt - Ebene (Koordinatenform) 7. Aufgaben Lösungen Gerade - Ebene (Koordinatenform) 78. Aufgaben Lösungen Ebene - Ebene 8. Aufgaben Lösungen
3 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt v - A(-/) v v M v v B(/) 6 Vektor - Steigung - Ortsvektor Die Menge ( ) aller parallelgleicher Pfeile heißt Vektor v. x v = y Ein Vektors zwischen einem Punkt A und Koordinatenursprung, heißt Ortsvektor. A(x a /y ( a ) A = x a y a ) Vektoren: AB = v = v ( = v ) Ortsvektor: A = v = ( ) Ortsvektor: B = v = Vektor zwischen Punkten Punkte: ( A(x a /y a ) B(x ( b /y b ) x AB = b x a x c = y b y a y c Punkte: A( /) B(/) Vektor ( zwischen ) zwei ( Punkten ) + AB = = Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten AB = x c + y c AB = AB = AB = (x b x a ) + (y b y a ) ) AB = 9 AB =, 9 + ( ) Steigung der Graden AB ( ) x AB = y Steigung der Graden AB Steigng der Geraden AB m = m = y x
4 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Aufgaben Mittelpunkt der Strecke AB ( ) M = A + B (( ) ( M = x a y a M( x a+x b / y a+y b ) + x b y b )) Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B (( ) ( )) M = + ( ) M = M( /). Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:Punkte:A(x a /y a ) B(x b /y b ) Gesucht:Vektor zwischen Punkten Länge des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten - Mittelpunkt einer Strecke keine Aufgaben
5 Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt Lösungen. Lösungen
6 Vektoren: Skalarprodukt - Fläche - Winkel Vektoren: Skalarprodukt - Fläche - Winkel b a a = ( x a y a ) b = ( x b y b ) a = ( ) b = ( ) Steigung der Vektoren m a = y a m a = y b x a x b m a = m b Vektoren sind parallel Steigung m s = y a x a = = m b = y b x b = = Skalarprodukt ( ) ( x a a b = y a Senkrechte Vektoren: a b = a b x b y b ) = x a x b + y a y b a b == ( ) ( ) = + = Fläche aus Vektoren Fläche des Parallelogramms aus a, b x a x A = b = x a y b y a x b y a y b Fläche des Dreiecks aus a, b A = x a x b = (x a y b y a x b ) y a y b Fläche des Parallelogramms aus a, b A = = = 7 Fläche des Dreiecks aus a, b A = = ( ( ) ) = Winkel zwischen Vektoren cos α = a b a b x a x cos α = b + y a y b x a + y a x b + y b Schnittwinkel: cos α = a b a b + cos α = + ( ) + cos α =, 6, cos α =, α = 8, 9 6
7 Vektoren: Skalarprodukt - Fläche - Winkel Aufgaben. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: ( ) ( ) Vektoren: A xa = xb B = y a y b Gesucht: Länge der Vektoren: Fläche des Parallelogramms Skalarprodukt keine Aufgaben 7
8 Vektoren: Skalarprodukt - Fläche - Winkel Lösungen. Lösungen 8
9 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt x B(/-/) v v v v v - A(-//) x - x Vektor - Ortsvektor Die Menge aller parallelgleicher Pfeile heißt Vektor v. v = x x Vektoren: AB = v = v = v Ortsvektor: A = v Ortsvektor: B = v x Ein Vektor zwischen einem Punkt A und Koordinatenursprung, heißt Ortsvektor. A(a /a /a ) A = a a a Vektor zwischen Punkten Punkte: A(a /a /a ) B(b /b /b ) b a c AB = b a = c b a c Punkte: A( //) B(/ /) Vektor zwischen zwei Punkten + AB = = Länge des Vektors - Betrag des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten AB = c + c + c AB = c AB = + c + c (b a ) + (b a ) + (b a ) AB = + ( ) + AB = AB = 6, 9
10 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Aufgaben Mittelpunkt der Strecke AB ( ) M = A + B M = a a a + M( a +b / a +b / a +b ) b b b Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + M = M(/ /). Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:Punkte:A(a /a /a ) B(b /b /b ) Gesucht:Vektor zwischen Punkten Länge des Vektors - Abstand zwischen zwei Punkten - Mittelpunkt einer Strecke () Punkte: A(//7) B(6//) () Punkte: A(8// 8) B(/ 7/) () Punkte: A(//) B(/6/7) () Punkte: A(// 8) B(6/7/ 9) () Punkte: A( //) B( //) (6) Punkte: A( / / 9 ) B(/ 9 / ) (7) Punkte: A( / / 9 ) B( 8 // ) (8) Punkte: A( //) B(/ /)
11 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Lösungen. Lösungen Aufgabe () Punkte: A(//7) B(6//) Vektor zwischen zwei Punkten AB = 6 = 7 Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB = + + ( ) AB = 9 AB = Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + 7 M = 6 M(/ /6) 6 Aufgabe () Punkte: A(8// 8) B(/ 7/) Vektor zwischen zwei Punkten AB = 8 7 = + 8 Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB = ( ) + ( ) + AB = 6 AB =, 7 Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = M = 6 M(6/ / ) 7 Aufgabe () Punkte: A(//) B(/6/7) Vektor zwischen zwei Punkten AB = 6 = 7 8 Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB = + + ( 8) AB =, 6 AB = 8, Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + M = 6 M( / /6) 6 7 Aufgabe () Punkte: A(// 8) B(6/7/ 9) Vektor zwischen zwei Punkten AB = 6 7 = Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB = + + ( ) AB = 6 AB =, Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + 8 M = 8 M(/ / 8 ) Aufgabe () Punkte: A( //) B( //) Vektor zwischen zwei Punkten AB = + = Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c
12 Punkte: Vektor - Abstand - Mittelpunkt Lösungen AB = ( ) + + ( ) AB = 9 AB =, 6 Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + M = M( / / ) Aufgabe (6) Punkte: A( / / 9 ) B(/ 9 / ) Vektor zwischen zwei Punkten AB = 9 = Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB = ( ) AB =, 7 AB =, Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + M = M( / 6 / 7 9 ) 9 Aufgabe (7) Punkte: A( / / 9 ) B( 8 // ) Vektor zwischen zwei Punkten AB = = Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB ( 7 ) 9 = AB = 6, AB = 7, 77 Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + M = M( 8 / / 8 ) 8 Aufgabe (8) Punkte: A( //) B(/ /) Vektor zwischen zwei Punkten AB = + = Abstand von Punkten (Betrag des Vektors) AB = c + c + c AB = + ( ) + AB = AB = 6, Mittelpunkt ( der ) Strecke AB M = A + B M = + M = M(/ /)
13 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit a b b α a A b a a = a a a b = b b b a = b = Länge der Vektoren a = a + a + a b = b + b + b Länge der Vektoren: a = a + a + a a = + + a = b = b + b + b b = ( ) + + ( ) b = Skalarprodukt a b = a a b b = Skalarprodukt: a b = + + = 7 a b a b + a b + a b Senkrechte Vektoren: a b = a b Vektorprodukt - Fläche des Parallelogramms c a und c b a b a b c = a b = a b b a a b a b c = a b = c c c Fläche des Parallelogramms: A = a b A = c = c + c + c Fläche des Dreiecks aus a, b A = a b Vektorprodukt: ( ) a b = ( ) ( ) ( ) c = a b = Fläche des Parallelogramms: c = ( ) + + c =, 67
14 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Aufgaben Winkel zwischen Vektoren cos α = cos α = a b a b a b + a b + a b a + a + a b + b + b Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 7 cos α = 7 9 α = 8, 9 Lineare Abhängigkeit von Vektoren a = b k / : b k a = b k / : b k a = b k / : b k k = k = k Vekoren sind linear abhängig - parallel nicht alle k gleich Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Lineare Abhängigkeit von Vektoren = k = k / : k = = k / : k = = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: Vektoren: A = a a a B = b b b Gesucht: Länge der Vektoren: Fläche des Parallelogramms Vektorprodukt Skalarprodukt Lineare Abhängigkeit von Vektoren () Vektor: A = () Vektor: A = () Vektor: A = 6 () Vektor: A = () Vektor: A = 8 9 (6) Vektor: A = 6 6 B = B = B = 8 B = 6 8 B = 9 B = 8 (7) Vektor: A = 7 (8) Vektor: A = 6 (9) Vektor: A = () Vektor: A = 8 9 () Vektor: A = B = 9 B = 9 B = B = 6 6 B = 6
15 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Lösungen. Lösungen Aufgabe () Vektoren: a = b = Länge der Vektoren: a = a + a + a a = + + a = b = b + b + b b = ( ) + + ( ) b = Skalarprodukt: a b = + + = 7 Vektorprodukt: a b = ( ) ( ) ( ) ( ) c = a b = Fläche des Parallelogramms c = ( ) + + c =, 66 Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 7 cos α = 7 9 α = 8, 9 Lineare Abhängigkeit von Vektoren = k = k / : k = = k / : k = = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Vektoren: a = Länge der Vektoren: a = a + a + a a = + + ( ) a =, 8 Aufgabe () b = b = b + b + b b = ( ) + ( ) + b =, 8 Skalarprodukt: a b = + = Vektorprodukt: ( ) ( ) a b = ( ) ( ) ( ) c = a b = Fläche des Parallelogramms c = + + c = Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α =, 8, 8 cos α = α = Lineare Abhängigkeit von Vektoren = k = k / : k = = k / : k = = k / : k = Vektoren sind linear abhängig - parallel Aufgabe () Vektoren: a = 6 b = 8 Länge der Vektoren: a = a + a + a a = a = 7, 8 b = b + b + b b = ( 8) + ( ) + ( ) b = 8, 6 Skalarprodukt: a b = = Vektorprodukt: a b = 6 ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) 6 ( 8)
16 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Lösungen c = a b = 6 6 Fläche des Parallelogramms c = ( ) + ( 6) + 6 c =, 7 Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 7, 8 8, 6 cos α =, 8 α = 8, Lineare Abhängigkeit von Vektoren 6 = k 8 = 8k / : 8 k = 6 = k / : k = 6 = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Aufgabe () Vektoren: a = b = 6 8 Länge der Vektoren: a = a + a + a a = + + a =, b = b + b + b b = ( ) + ( 6) + ( 8) b =, Skalarprodukt: a b = = Vektorprodukt: a b = ( 8) ( 6) ( ) ( 8) ( 6) ( ) c = a b = Fläche des Parallelogramms c = + + c = Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α =,, cos α = α = NaN Lineare Abhängigkeit von Vektoren = k 6 8 = k / : k = = 6k / : 6 k = = 8k / : 8 k = Vektoren sind linear abhängig - parallel Aufgabe () Vektoren: a = 8 b = 9 9 Länge der Vektoren: a = a + a + a a = a = b = b + b + b b = b = 9, Skalarprodukt: a b = = 9 Vektorprodukt: a b = c = a b = 6 Fläche des Parallelogramms c = ( ) c = 79, 7 Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 9 9, cos α =, 79 α =, Lineare Abhängigkeit von Vektoren 8 9 = k 9 8 = 9k / : 9 k = 8 9 = k / : k = +unendlich 9 = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Aufgabe (6) 6
17 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Lösungen Vektoren: a = 6 b = 8 6 Länge der Vektoren: a = a + a + a a = a = 8, 7 b = b + b + b b = b = 8, 6 Skalarprodukt: a b = = Vektorprodukt: a b = c = a b = Fläche des Parallelogramms c = ( 8) c = 66, 8 Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 8, 7 8, 6 cos α =, α = 7, 8 Lineare Abhängigkeit von Vektoren 6 6 = k 8 = 8k / : 8 k = 6 = k / : k = +unendlich 6 = k / : k = 6 Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Vektoren: a = 7 Länge der Vektoren: a = a + a + a a = a = 8, 9 b = b + b + b b = b = 9, Skalarprodukt: Aufgabe (7) b = 9 a b = = Vektorprodukt: a b = c = a b = Fläche des Parallelogramms c = ( 7) + ( 6) + 7 c = 6, Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 8, 9 9, cos α =, α = 7, Lineare Abhängigkeit von Vektoren 7 = k 9 = k / : k = +unendlich = 9k / : 9 7 = k / : k = k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Aufgabe (8) Vektoren: a = 6 b = 9 Länge der Vektoren: a = a + a + a a = a = 8, 7 b = b + b + b b = b = 9, Skalarprodukt: a b = = Vektorprodukt: a b = c = a b = 9 Fläche des Parallelogramms c = ( ) + ( ) + 9 c =, 8 Schnittwinkel: 7
18 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Lösungen cos α = a b a b cos α = 8, 7 9, cos α =, 78 α =, 9 Lineare Abhängigkeit von Vektoren 6 = k 9 6 = k / : k = 6 = 9k / : 9 k = 9 = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Aufgabe (9) Vektoren: a = b = Länge der Vektoren: a = a + a + a a = + + a =, b = b + b + b b = + + b =, 7 Skalarprodukt: a b = + + = Vektorprodukt: a b = c = a b = 9 Fläche des Parallelogramms c = + ( ) + 9 c = 9, 6 Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α =,, 7 cos α =, α = 6, 9 Lineare Abhängigkeit von Vektoren = k = k / : k = +unendlich = k / : k = 9 = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Aufgabe () Vektoren: a = 8 b = Länge der Vektoren: a = a + a + a a = a = b = b + b + b b = b = 8, 7 Skalarprodukt: a b = = 96 Vektorprodukt: a b = c = a b = 8 8 Fläche des Parallelogramms c = ( 8) + + ( 8) c = 6, 9 Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 96 8, 7 cos α =, 8 α =, Lineare Abhängigkeit von Vektoren 8 = k = 6k / : 6 k = 6 8 = 6k / : 6 k = 9 = k / : k = Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel Vektoren: a = Aufgabe () b = 6 8
19 Vektoren: Winkel - Skalarprodukt - Vektorprodukt - Abhängigkeit Lösungen Länge der Vektoren: a = a + a + a a = + + a =, 7 b = b + b + b b = b = 7, 8 Skalarprodukt: a b = = 8 Vektorprodukt: a b = 6 6 c = a b = Fläche des Parallelogramms c = + + c = Schnittwinkel: cos α = a b a b cos α = 8, 7 7, 8 cos α = α = Lineare Abhängigkeit von Vektoren = k 6 = k / : k = = 6k / : 6 k = = k / : k = Vektoren sind linear abhängig - parallel 9
20 Vektoren: Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität Vektoren: Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität a b c b a V c b a a = a a a b = b b b V = ( a b) c = a b c a b c a b c c = V = a b c + b c a + c a b c b a a c b b a c Spatprodukt ( a, b, c) = c c c Vektorprodukt von a, b skalar multipliziert mit c = Wert der Determinante ( a, b, c) = Volumen des Spats V = Die Vektoren sind linear abhängig - komplanar a = b = 7 c = 7 D = 7 7 D = ( 7) + ( ) + 7 ( ) 7 ( 7) ( ) ( ) D = Die Vektoren sind linear unabhängig - Basisvektoren 7 V = Die Vektoren sind linear unabhängig - Basisvektoren. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: a = a a b = b b c = c c a b Gesucht:Spatprodukt,lineare Abhängigkeit,Basisvektoren () a = b = 6 c = 7 () a = 8 () a = b = 7 c = () a = 7 () a = b = 7 c = (6) a = 7 c b = b = b = c = c = 6 c =
21 Vektoren: Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität Lösungen. Lösungen Aufgabe () a = b = 6 c = 7 8 V = V = V = Die Vektoren sind linear unabhängig - Basisvektoren a = V = b = c = V = 7 + ( ) 7 + ( ) 7 7 ( ) ( ) V = 6 Die Vektoren sind linear unabhängig - Basisvektoren Aufgabe () a = V = 7 b = 7 c = V = ( 7) + ( ) 7 + ( ) ( 7) 7 ( ) ( ) V = Die Vektoren sind linear unabhängig - Basisvektoren Aufgabe () a = b = c = V = V = + ( ) ( ) + ( ) ( ) V = Die Vektoren sind linear unabhängig - Basisvektoren Aufgabe ()
22 Vektoren: Spatprodukt - lineare Abhängigkeit - Basisvektoren - Komplanarität Lösungen a = b = c = 6 V = 6 V = + ( 6) + ( 6) V = Die Vektoren sind linear abhängig - komplanar Aufgabe () a = V = b = c = V = + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V = Die Vektoren sind linear abhängig - komplanar Aufgabe (6)
23 Gerade aus Punkten 6 Gerade aus Punkten x g B(//) A(/-/) x x Punkte: A(a /a /a ) B(b /b /b ) Richtungsvektor b a c AB = b a = c b a c Punkt A oder B als Aufpunkt wählen x = a a + λ c c Punkte: A(/ /) B(//) Gerade aus zwei Punkten: AB = + = x = + λ a c Besondere Geraden x Achse x Achse x Achse x = λ x = λ x = λ 6. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: Punkte:A(a /a /a ) B(b /b /b ) Gesucht: Gerade aus zwei Punkten () Punkte: A(/6/8) B(8//) () Punkte: A(7/8/6) B(//) () Punkte: A(/ /) B(/ /) () Punkte: A(/ / ) B(6/7/8) () Punkte: A(//) B(/ /) (6) Punkte: A(// ) B(/ /) (7) Punkte: A(/ /) B(//)
24 Gerade aus Punkten Lösungen 6. Lösungen Aufgabe () Punkte: A(/6/8) B(8//) Gerade aus zwei Punkten: AB = 8 6 = 6 8 x = 6 + λ 6 8 Aufgabe () Punkte: A(7/8/6) B(//) Gerade aus zwei Punkten: AB = 7 8 = 7 6 x = λ 7 Aufgabe () Punkte: A(/ /) B(/ /) Gerade aus zwei Punkten: AB = + = x = + λ Aufgabe () Punkte: A(/ / ) B(6/7/8) Gerade aus zwei Punkten: AB = = 8 + x = + λ Aufgabe () Punkte: A(//) B(/ /) Gerade aus zwei Punkten: AB = = 7 x = + λ 7 Aufgabe (6) Punkte: A(// ) B(/ /) Gerade aus zwei Punkten: AB = = 7 + x = + λ 7 Aufgabe (7) Punkte: A(/ /) B(//) Gerade aus zwei Punkten: AB = + = x = + λ
25 Ebenengleichung aufstellen 7 Ebenengleichung aufstellen x B(//) Ebene E A(/-/) C(//) x x Ebene aus Punkten Punkte: A(a /a /a ) B(b /b /b ) C(c /c /c ) Die Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Ebene aus drei Punkten: b a d Richtungsvektor: AB = b a = d b a d c a e Richtungsvektor: AC = c a = e c a e Ebenengleichung aus Aufpunkt und den Richtungsvektoren. x = a a + λ d d + σ e e Punkte: A(,, ) B(,, ) C(,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = + = AC = x = + = + λ + σ a d e Ebene aus Gerade und Punkt Der Punkte darf nicht auf der Geraden liegen. x = a a a + λ b b b Punkt: C(c /c /c ) Aufpunkt A und dem Punkt C c a e AC = c a = e c a e x = a a + λ b b Richtungsvektor zwischen + σ e e Gerade: x = Punkt: C(//) AC = = x = + λ + λ + σ a b e
26 Ebenengleichung aufstellen Ebene aus zwei parallelen Geraden Gerade : x = Gerade : x = a a a c c c + λ + σ b b b d d d Bei parallelen Geraden sind Richtungsvektoren linear abhängig. Für die Ebenengleichung muß ein. Richtungsvektor erstellt werden.. Richtungsvektor zwischen den Aufpunkten A und C. Ebenengleichung in Parameterform c a e AC = c a = e c a e x = a a a + λ b b b + σ e e e Gerade : x = Gerade : x = Richtungsvektoren: = k + λ + σ = +k / : k = = +k / : k = beliebig = k / : k = Geraden sind parallel Aufpunkt von Gerade in Gerade x = + λ Punkt: A(//) = +λ / = +λ / = λ / = λ / : λ = = λ falsch = λ / : λ = Geraden sind echt parallel. Richtungsvektor zwischen den Aufpunkten A und C AC = = Ebenengleichung in Parameterform x = + λ + σ Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden Gerade : x = Gerade : x = a a a c c c + λ + σ b b b d d d Bei sich schneidenden Geraden sind Richtungsvektoren linear unabhängig. Ebenengleichung in Parameterform x = a a + λ b b + σ d d Gerade : x = Gerade : x = λ + σ 7 8 Die Geraden schneiden sich im Punkt S(, 9, ) Ebenengleichung in Parameterform x = 8 + λ σ a b d 6
27 Ebenengleichung aufstellen Punkte 7. Punkte 7.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:Punkte: A(a, a, a) B(b, b, b) C(c, c, c) Gesucht:Ebene in Parameterform. () Punkte: A(,, ) B(,, ) C(6,, ) () Punkte: A(, 6, 6) B(, 6, 6) C(7,, ) () Punkte: A(,, ) B(,, ) C(,, 6) () Punkte: A(,, ) B(,, 6) C( 6,, ) () Punkte: A(, 9, ) B(, 6, ) C(,, ) (6) Punkte: A(7, 9, 6) B(7, 8, ) C(8, 7, 7) (7) Punkte: A(9, 6, 9) B(,, ) C(,, ) (8) Punkte: A(,, ) B(,, ) C(,, ) 7
28 Ebenengleichung aufstellen Punkte 7.. Lösungen Aufgabe () Punkte: A(,, ) B(,, ) C(6,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = = AC = 6 = x = + λ + σ Aufgabe () Punkte: A(, 6, 6) B(, 6, 6) C(7,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = 6 6 = 6 6 AC = 7 6 = 6 x = λ + σ Aufgabe () Punkte: A(,, ) B(,, ) C(,, 6) Ebene aus drei Punkten: AB = = AC = = 6 6 x = + λ + σ 6 Aufgabe () Punkte: A(,, ) B(,, 6) C( 6,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = = AC = x = = λ 6 + σ Aufgabe () Punkte: A(, 9, ) B(, 6, ) C(,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = 6 9 = + 8 AC = 9 = + 8 x = 9 + λ 8 + σ Aufgabe (6) 8 Punkte: A(7, 9, 6) B(7, 8, ) C(8, 7, 7) Ebene aus drei Punkten: AB = = 6 AC = = 7 6 x = λ + σ Aufgabe (7) Punkte: A(9, 6, 9) B(,, ) C(,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = 9 6 = 8 9 AC = 9 6 = 9 x = λ σ 8 8
29 Ebenengleichung aufstellen Punkte Aufgabe (8) Punkte: A(,, ) B(,, ) C(,, ) Ebene aus drei Punkten: AB = + = AC = + = x = + λ + σ 9
30 Ebenengleichung aufstellen Punkt und Gerade 7. Punkt und Gerade 7.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: x = a a + λ a b b b Punkt: C(c /c /c ) Gesucht:Ebene aus Punkt und Gerade () () Gerade: x = + λ Punkt: C(6/7/8) Gerade: x = + λ Punkt: C(//) () () Gerade: x = + λ 6 Punkt: C(7/8/) Gerade: x = + λ Punkt: C(//)
31 Ebenengleichung aufstellen Punkt und Gerade 7.. Lösungen Aufgabe () Gerade: x = + λ Punkt: C(6/7/8) AC = 6 7 = x = + λ + σ 6 7 Aufgabe () Gerade: x = + λ Punkt: C(//) AC = = x = + λ + σ Aufgabe () Gerade: x = + λ 6 Punkt: C(7/8/) AC = 7 8 = 6 x = + λ 6 + σ 6 Aufgabe () Gerade: x = + λ Punkt: C(//) AC = = +
32 Ebenengleichung aufstellen Punkt und Gerade x = + λ + σ
33 Ebenengleichung aufstellen Parallele Geraden 7. Parallele Geraden 7.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:Zwei parallele Geraden Gerade : x = a a + λ b b Gerade : x = a c c c + σ b d d d Gesucht:Ebene aus zwei Geraden Gerade: Gerade: () () x = 7 Gerade: x = Gerade: x = 7 Gerade: + λ + λ + λ 6 6 () () x = + λ Gerade: x = + λ Gerade: x = 8 + λ 6 Gerade: x = Gerade: + λ x = + λ Gerade: () x = 7 Gerade: + λ 6 (6) x = Gerade: + λ x = + λ x = + λ
34 Ebenengleichung aufstellen Parallele Geraden 7.. Lösungen Aufgabe () Gerade: x = 7 + λ 6 Gerade: x = + λ AC = 7 = x = 7 + λ 6 + σ Aufgabe () Gerade: x = 7 + λ 6 Gerade: x = + λ AC = 7 = x = 7 + λ 6 + σ Aufgabe () Gerade: x = 7 + λ 6 Gerade: x = + λ AC = 7 = x = 7 + λ 6 + σ Aufgabe ()
35 Ebenengleichung aufstellen Parallele Geraden Gerade: x = + λ Gerade: x = + λ AC = = x = + λ + σ Aufgabe () Gerade: x = 8 + λ 6 Gerade: x = + λ AC = + 8 = x = 8 + λ 6 + σ Aufgabe (6) Gerade: x = + λ Gerade: x = + λ AC = = x = + λ + σ
36 Parameterform - Koordinatenform 8 Parameterform - Koordinatenform. Methode: Determinante x = a a a + λ b b b + σ c c c = x a b c x a b D = x a b c x a b x a b c x a b (x a ) b c + b c (x a )+ c (x a ) b c b (x a ) (x a ) c b b (x a ) c = Koordinatenform: n x + n x + n x + k = x = + λ + σ x x D = x + x + = x x (x ) + ( ) ( ) (x ) + (x + ) (x ) (x ) ( ) ( ) (x + ) = x + 6x + x = Koordinatenform: x + 6x + x =. Methode: Vektorprodukt x = a a a + λ b b b + σ c c c Normalenvektor der Ebene mit dem Vektorprodukt b c b c b c n = b c = b c c b b c b c b c n = n n n Normalenvektor der Ebene und Aufpunkt der Geraden in die Koordinatenform einsetzen. n a + n a + n a + k = k berechnen n x + n x + n x + k = x = 7 Vektorprodukt: n = b c = = n = + λ ( ) ( ) ( ) + σ Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x x x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. + k = k = Koordinatenform x x x = 8. Determinante 8.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: Ebene: x = a a + λ b b + σ c c a b c Gesucht:Ebene in Koordinatenform: n x + n x + n x + k = () x = () x = + λ + σ 9 + λ + σ 8 () x = () x = + λ + σ 6 + λ + σ 6
37 Parameterform - Koordinatenform () x = + λ + σ 7 (6) x = + λ + σ (7) x = + λ + σ 6 (8) x = (9) x = + λ + σ + λ + σ 8 Determinante 7
38 Parameterform - Koordinatenform Determinante 8.. Lösungen Aufgabe () x = + λ + σ 9 8 x x D = x + x + = x 9 8 x 9 (x ) 8 + ( ) (x ) + (x + ) ( 9) (x ) (x ) ( ) ( 9) (x + ) 8 = x + x + x + = x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + x + = n = Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = + + n = HNF: x + x + x + = Aufgabe () x = + λ + σ x x D = x + x + = x x (x ) + ( ) (x ) + (x + ) ( ) (x ) (x ) ( ) ( ) (x + ) = x + x 7x + = x + x 7x + = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x 7x + = n = 7 Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = + + ( 7) n = 9, 8 HNF: x + x 7x + = 9, 8 Aufgabe () 8
39 Parameterform - Koordinatenform Determinante x = + λ + σ 6 x x D = x + x + = x 6 x (x ) 6 + ( ) (x ) + (x + ) ( ) (x ) (x ) ( ) ( ) (x + ) 6 = 9x + 8x 7x + = 9x + 8x 7x + = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF 9x + 8x 7x + = n = Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = ( 7) n =, HNF: 9x + 8x 7x + =, Aufgabe () x = + λ + σ x x D = x + x + = x x (x ) + ( ) (x ) + (x + ) ( ) (x ) (x ) ( ) ( ) (x + ) = x x 7x = x x 7x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x x 7x = n = 7 Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = + ( ) + ( 7) n =, 8 HNF: x x 7x =, 8 Aufgabe () x = 7 + λ + σ 9
40 Parameterform - Koordinatenform Determinante x x D = x x = x + 7 x + 7 (x ) ( ) + (x + 7) + ( ) (x ) ( ) ( ) (x + 7) (x ) (x ) = x x x = x x x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x x x = n = Länge des Normalenvektors n = n = n =, 7 n + n + n ( ) + ( ) + ( ) HNF: x x x, 7 = Aufgabe (6) x = + λ + σ x x D = x + x + = x + x + (x ) ( ) + (x + ) + ( ) (x + ) ( ) (x + ) (x ) (x + ) ( ) = x + x + x + 6 = x + x + 6 = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + x + 6 = n = Länge des Normalenvektors n = n = n =, 7 n + n + n ( ) + + HNF: x + x + x + 6, 7 = Aufgabe (7) x = + λ + σ 6 x x D = x 6 x = x x (x ) ( ) + 6 (x ) + ( ) (x ) ( )
41 Parameterform - Koordinatenform Determinante ( ) ( ) (x ) (x ) 6 ( ) (x ) = x + 7x + x = x + 7x + x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + 7x + x = n = 7 Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = n = HNF: x + 7x + x = x = D = + λ + σ x x x + x + = x x Aufgabe (8) (x ) ( ) + (x ) + (x + ) (x ) (x ) (x + ) ( ) = 6x + x + 9x + = 6x + x + 9x + = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF 6x + x + 9x + = n = 6 9 n = n =, Länge des Normalenvektors n = n + n + n ( 6) HNF: 6x + x + 9x +, = Aufgabe (9) x = + λ + σ 8 x x D = x x = x 8 x 8 (x ) ( ) + (x ) + (x ) 8 ( ) (x ) (x ) 8 (x ) = 8x x + x + 6 = 8x x + x + 6 = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF
42 Parameterform - Koordinatenform Determinante 8x x + x + 6 = n = 8 Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = ( 8) + ( ) + n = 9, 8 HNF: 8x x + x + 6 9, 8 =
43 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt 8. Vektorprodukt 8.. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: Ebene: x = a a + λ b b + σ c c a b c Gesucht:Ebene in Koordinatenform: n x + n x + n x + k = () x = () x = () x = () x = () x = 7 + λ 9 + λ + λ + λ + λ + σ 8 + σ + σ 6 + σ + σ (6) x = + λ + σ (7) x = + λ + σ 6 (8) x = + λ + σ (9) x = + λ + σ 8
44 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt 8.. Lösungen Aufgabe () x = + λ Vektorprodukt: n = b c = 9 = 9 8 ( 9) ( ) 9 8 ( ) + σ n = Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x + x + x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = k = Koordinatenform x + x + x + = x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + x + = n = Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = + + n = HNF: x + x + x + = 8 8 x = + λ Vektorprodukt: n = b c = = n = ( ) ( ) 7 + σ Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x + x 7x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = Aufgabe ()
45 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt k = Koordinatenform x + x 7x + = x + x 7x + = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x 7x + = n = 7 Länge des Normalenvektors n = n = n = 9, 8 n + n + n + + ( 7) HNF: x + x 7x + 9, 8 = x = + λ Vektorprodukt: n = b c = = n = 6 ( ) 6 ( ) σ 6 6 Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. 9x + 8x 7x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = k = Koordinatenform 9x + 8x 7x + = 9x + 8x 7x + = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF 9x + 8x 7x + = n = Länge des Normalenvektors n = n = n =, n + n + n ( 7) HNF: 9x + 8x 7x +, = Aufgabe ()
46 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt x = + λ Vektorprodukt: n = b c = = ( ) ( ) + σ n = 7 Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x x 7x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. 7 + k = k = Koordinatenform x x 7x = x x 7x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x x 7x = n = 7 Länge des Normalenvektors n = n = n =, 8 n + n + n + ( ) + ( 7) HNF: x x 7x, 8 = Aufgabe () x = + λ + σ 7 Vektorprodukt: n = b c = = ( ) ( ) ( ) n = Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x x x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. + k = k = Aufgabe () 6
47 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt Koordinatenform x x x = x x x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x x x = n = Länge des Normalenvektors n = n = n =, 7 n + n + n ( ) + ( ) + ( ) HNF: x x x, 7 = x = + λ Vektorprodukt: n = b c = + σ = ( ) ( ) ( ) ( ) n = Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x + x + x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = k = 6 Koordinatenform x + x + x + 6 = x + x + 6 = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + x + 6 = n = Länge des Normalenvektors n = n = n =, 7 n + n + n ( ) + + HNF: x + x + x + 6, 7 = Aufgabe (6) Aufgabe (7) 7
48 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt x = + λ + σ 6 Vektorprodukt: n = b c = 6 ( ) 6 = ( ) 6 ( ) ( ) n = 7 Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. x + 7x + x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = k = Koordinatenform x + 7x + x = x + 7x + x = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + 7x + x = n = 7 Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = n = HNF: x + 7x + x = x = Vektorprodukt: n = b c = = n = + λ ( ) ( ) σ Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. 6x + x + 9x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = k = Koordinatenform 6x + x + 9x + = Aufgabe (8) 8
49 Parameterform - Koordinatenform Vektorprodukt 6x + x + 9x + = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF 6x + x + 9x + = n = 6 9 Länge des Normalenvektors n = n = n =, n + n + n ( 6) HNF: 6x + x + 9x +, = x = + λ + σ 8 Vektorprodukt: n = b c = 8 = 8 8 ( ) n = 8 Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. 8x x + x + k = Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen k = k = 6 Koordinatenform 8x x + x + 6 = 8x x + x + 6 = Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF 8x x + x + 6 = n = 8 Länge des Normalenvektors n = n = n = 9, 8 n + n + n ( 8) + ( ) + HNF: 8x x + x + 6 9, 8 = Aufgabe (9) 9
50 Koordinatenform - Hessesche Normalenform 9 Koordinatenform - Hessesche Normalenform Koordinatenform: n x + n x + n x + k = Normalenvektor n = n n n Länge des Normalenvektors: n = n + n + n Hessesche Normalenform: k < HNF: n x + n x + n x + k n + n + n k > HNF: n x + n x + n x + k n + n + n = = Koordinatenform: x + 6x + x = n = 6 Länge des Normalenvektors: n = x + x + x n = n = 6, Hessesche Normalenform: HNF: x + 6x + x = 6, 9. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: Ebene in Koordinatenform: n x + n x + n x + k = Gesucht: Hessesche Normalenform k < HNF: n x + n x + n x + k = n + n + n k > HNF: n x + n x + n x + k = n + n + n () Ebene: x + x + 6x + 7 = () Ebene: x + x + x + = () Ebene: x + x + x + =
51 Koordinatenform - Hessesche Normalenform Lösungen 9. Lösungen Aufgabe () Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + 6x + 7 = n = 6 Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = n = 7, 8 HNF: x + x + 6x + 7 = 7, 8 Aufgabe () Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + x + = n = Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = + + n =, 9 HNF: x + x + x + =, 9 Aufgabe () Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF x + x + x + = n = Länge des Normalenvektors n = n + n + n n = + + n =, 9 HNF: x + x + x + =, 9
52 Punkt - Gerade Punkt - Gerade C d g g C L Ebene E Punkt C liegt auf der Geraden g Abstand d des Punktes C von der Geraden g x = a a a + λ Punkt: C(c /c /c ) b b b c = a + b λ λ c = a + b λ λ c = a + b λ λ λ = λ = λ Punkt liegt auf der Geraden nicht alle λ gleich Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Die Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen, die senkrecht zur Geraden ist und den Punkt C enthält. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. Abstand des Punktes, ist die Länge des Vektors LC x = + λ Punkt: C(7, 9, 6) 7 = λ / 9 = λ / 6 = +λ / + 6 = λ / : λ = 6 = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktens berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x x + x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = x x + x + = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = λ x = λ x = +λ ( λ) ( λ) + ( + λ) + = λ + = λ = λ = x = Lotfußpunkt: L(6, 8, 8) 7 CL = = Abstand Punkt Gerade CL = ( ) + ( ) + ( )
53 Punkt - Gerade Aufgaben. Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben: x = a a + λ a b b b Punkt: C(c /c /c ) Gesucht:Liegt der Punkt auf der Geraden () () () () () (6) (7) (8) (9) Gerade: x = + λ 7 Punkt: C(//9) Gerade: x = 6 + λ Punkt: C(/ /) Gerade: x = + λ Punkt: C(//7) Gerade: x = + λ 6 Punkt: C(8/8/) 7 Gerade: x = + λ 6 Punkt: C(/7/) Gerade: x = + λ 6 Punkt: C( /7/ ) Gerade: x = + λ Punkt: C( / / ) Gerade: x = + λ Punkt: C(//) Gerade: x = 7 + λ Punkt: C(9/9/) () () () () () () (6) (7) Gerade: x = 6 + λ Punkt: C(8/8/6) Gerade: x = + λ Punkt: C(//) Gerade: x = + λ Punkt: C(// ) Gerade: x = + λ Punkt: C(6// 7) Gerade: x = + λ Punkt: C(7/9/ 6) Gerade: x = + λ Punkt: C(//6) Gerade: x = + λ Punkt: C(// ) Gerade: x = + λ Punkt: C(// )
54 Punkt - Gerade Lösungen. Lösungen Punkt - Gerade Aufgabe () x = + λ 7 Punkt: C(,, 9) = +λ / = +7λ / 9 = +λ / = λ / : λ = 7 = 7λ / : 7 λ = = λ / : λ = Punkt liegt auf der Geraden Punkt - Gerade Aufgabe () x = 6 + λ Punkt: C(,, ) = 6 +λ / 6 = +6λ / = 9 +7λ / 9 = λ / : λ = 6 = 6λ / : 6 λ = 7 = 7λ / : 7 λ = Punkt liegt auf der Geraden Punkt - Gerade Aufgabe () x = + λ Punkt: C(,, 7) = +λ / = +λ / 7 = +λ / = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = Koordinatenform x + x + x = x + x + x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +λ x = +λ x = +λ ( + λ) + ( + λ) + ( + λ) = λ + = λ = λ = x = Lotfußpunkt: L( 6, 6, ) 6 CL = = 7 6 Abstand Punkt Gerade CL ( = 6 AB =, Punkt - Gerade ) ( ) Aufgabe () x = + λ 6 7 Punkt: C(8, 8, ) 8 = +λ / 8 = +λ / = 6 +7λ / 6 = λ / : λ = = λ / : λ = +unendlich 6 = 7λ / : 7 λ = 6 7 Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + 7x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = Koordinatenform x + x + 7x = x + 7x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +λ x = +λ x = 6 +7λ ( + λ) + ( + λ) + 7(6 + 7λ) = 6λ + = λ = 6 λ = x =
55 Punkt - Gerade Lösungen Lotfußpunkt: L( 6,, 6 8 CL = 8 = 6 Abstand Punkt Gerade CL ( 6 = 6 AB = 7, 9 6 ) ) + ( ) + 6 Aufgabe () Punkt - Gerade x = + λ 6 Punkt: C(, 7, ) = λ / 7 = +λ / = 6 λ / 6 8 = λ / : λ = = λ / : λ = 8 = λ / : λ = Punkt liegt auf der Geraden Punkt - Gerade x = + λ 6 Punkt: C(, 7, ) = λ / 7 = +λ / = 6 λ / 6 = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = Koordinatenform x + x x + = x + x x + = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. k = 7 x = λ x = +λ x = 6 λ ( λ) + ( + λ) (6 λ) + = λ = λ = + λ = x = + 6 Lotfußpunkt: L( 6,, 6 CL = 7 = Abstand Punkt Gerade CL ( 7 = AB =, 8 ) + ( ) 7 6 ) + 6 Aufgabe (6) Punkt - Gerade Aufgabe (7) x = + λ Punkt: C(,, ) = +λ / = +λ / = +λ / = λ / : λ = unendlich = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + x + k = C ist Punkt in der Ebene k = Koordinatenform x + x + x + 7 = + x + x + 7 = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +λ x = +λ x = +λ ( + λ) + ( + λ) + ( + λ) + 7 = λ + 8 = λ = 8 λ = 8 x = 8 Lotfußpunkt: L(,, ) + CL = 8 + = 8 + Abstand Punkt Gerade CL = + AB = + ( )
56 Punkt - Gerade Lösungen Punkt - Gerade Aufgabe (8) x = + λ Punkt: C(,, ) = +λ / = +λ / = +λ / = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + x + k = C ist Punkt in der Ebene k = x = k = Koordinatenform x + x + x = x + x + x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +λ x = +λ x = +λ ( + λ) + ( + λ) + ( + λ) = 8λ = λ = + 8 λ = x = + Lotfußpunkt: L(,, ) 8 CL = = Abstand Punkt Gerade CL ( ) ( ) = + + AB =, 8 Punkt - Gerade Aufgabe (9) x = 7 + λ Punkt: C(9, 9, ) 9 = +6λ / 9 = 7 +8λ / 7 = +9λ / = 6λ / : 6 λ = = 8λ / : 8 λ = = 9λ / : 9 λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. 6x + 8x + 9x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = 6 Koordinatenform 6x + 8x + 9x 6 = 6x + 8x + 9x 6 = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +6λ x = 7 +8λ x = +9λ 6( + 6λ) + 8(7 + 8λ) + 9( + 9λ) 6 = 8λ = λ = + 8 λ =, 7 +, Lotfußpunkt: L(6,, 8, 77,, 99) CL = =, Abstand Punkt Gerade CL = AB =,, 67,, 99 (, 67) + (, ) +, 99 Punkt - Gerade Aufgabe () x = 6 + λ Punkt: C(8, 8, 6) 8 = +λ / 8 = 6 +6λ / 6 6 = 7 +7λ / 7 = λ / : λ = = 6λ / : 6 λ = = 7λ / : 7 λ = 7 Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + 6x + 7x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = Koordinatenform x + 6x + 7x = x + 6x + 7x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. 6
57 Punkt - Gerade Lösungen x = +λ x = 6 +6λ x = 7 +7λ ( + λ) + 6(6 + 6λ) + 7(7 + 7λ) = λ = λ = + λ = x = Lotfußpunkt: L(, 7, 8 8 CL = 8 = 6 Abstand Punkt Gerade CL ( = 9 AB =, 9 ) 9 7 ) + ( 7 ) + Aufgabe () CL = 9 9 = Abstand Punkt Gerade CL 8 = ( ) AB =, 77 Punkt - Gerade Aufgabe () x = + λ Punkt: C(,, ) = +λ / = +λ / = +λ / + = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt auf der Geraden Punkt - Gerade x = + λ Punkt: C(,, ) = +λ / = +λ / = +λ / + = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = Koordinatenform x + x + x = x + x + x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +λ x = +λ x = +λ ( + λ) + ( + λ) + ( + λ) = 9λ = λ = + 9 λ = 9 x = + 9 Lotfußpunkt: L( 8 9, 8 9, 9 ) Aufgabe () Punkt - Gerade x = + λ Punkt: C(6,, 7) 6 = +λ / + = +λ / + 7 = λ / = λ / : λ = = λ / : λ = 8 = λ / : λ = Punkt liegt auf der Geraden Punkt - Gerade Aufgabe () x = + λ Punkt: C(7, 9, 6) 7 = λ / 9 = λ / 6 = +λ / + 6 = λ / : λ = 6 = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden 7
58 Punkt - Gerade Lösungen Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. 8λ 8 = Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. λ = +8 8 x x + x + k = λ = C ist Punkt in der Ebene k = x = + k = Koordinatenform Lotfußpunkt: L(,, ) x x + x + = x x + x + = CL = 8 8 = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. 6 x = λ Abstand Punkt Gerade x = λ CL = x = +λ ( λ) ( λ) + ( + λ) + = AB = 6 λ + = λ = λ = x = Lotfußpunkt: L(6, 8, 8) CL = = Abstand Punkt Gerade CL = AB =, ( ) + ( ) + ( ) Aufgabe () Punkt - Gerade x = + λ Punkt: C(,, 6) = λ / = +λ / 6 = +λ / = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + x + k = C ist Punkt in der Ebene x = k = k = Koordinatenform x + x + x = x + x + x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = λ x = +λ x = +λ ( λ) + ( + λ) + ( + λ) = ( ) + ( ) + ( ) Aufgabe (6) Punkt - Gerade x = + λ Punkt: C(,, ) = λ / = +λ / = +λ / = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. x + x + x + k = C ist Punkt in der Ebene k = k = 8 Koordinatenform x + x + x + 8 = x + x + x + 8 = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = λ x = +λ x = +λ ( λ) + ( + λ) + ( + λ) + 8 = 8λ + = λ = 8 λ = 8 8 Lotfußpunkt: L( 9, 8, 8 7 ) 8 CL = = Abstand Punkt Gerade CL ) = 9 + ( AB =, 8
59 Punkt - Gerade Lösungen Punkt - Gerade Aufgabe (7) x = + λ Punkt: C(,, ) = +λ / = +λ / = λ / + = λ / : λ = = λ / : λ = unendlich = λ / : λ = Punkt liegt nicht auf der Geraden Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. CL = x + x x + k = AB C ist Punkt in der Ebene + + k = k = Koordinatenform x + x x = x x = Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. x = +λ x = +λ x = λ ( + λ) + ( + λ) ( λ) = λ = λ = + λ = x = + Lotfußpunkt: L(,, ) CL = = + Abstand Punkt Gerade ( ) + + ( ) =, 9
60 Gerade - Gerade Gerade - Gerade g g g g S g g g g Geraden schneiden sich Geraden sind parallel Geraden sind windschief Geraden sind identisch Gerade : x = Gerade : x = a a a c c c + λ + σ b b b d d d Richtungsvektoren linear abhängig (parallel)? Ja Aufpunkt von g auf g? Ja identisch Nein echt paralllel Nein keine Lösung Geraden gleichsetzen windschief Lösung schneiden sich Gerade : x = Gerade : x = 8 9 Richtungsvektoren: 7 8 = k + λ + σ 7 8 = k / : k = 7 = k / : k = 8 = k / : k = Geraden sind nicht parallel 8 + λ 7 8 = 9 + σ +λ = 9 σ / / + σ 7λ = σ / + / + σ 8 8λ = σ / 8 / + σ I λ + σ = 8 II 7λ + σ = III 8λ σ = Aus den Gleichungen I und II λ und σ berechnen σ = λ = λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III 8 + ( 8) = + ( ) = λ oder σ in die Geradengleichung einsetzen x = Schnittpunkt: S(, 9, ). Aufgaben Um eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue Rechnung Gegeben:Gerade : x = a a + λ b b a b 6
61 Gerade - Gerade Aufgaben Gerade : x = c c + σ d d c d Gesucht:Die Lage der Geraden zueinander. Gerade : x = + λ () Gerade : x = + σ Gerade : x = + λ () Gerade : x = + σ Gerade : x = + λ () Gerade : x = + σ () () (6) (7) Gerade : x = 8 + λ 7 Gerade : x = σ 8 Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ Gerade : x = + λ Gerade : x = Gerade : x = Gerade : x = 9 + σ + λ + σ (8) (9) () () () () () Gerade : x = + λ Gerade : x = σ 8 Gerade : x = 8 + λ 7 Gerade : x = σ 8 Gerade : x = + λ Gerade : x = 7 + σ 8 Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ 7 Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ 6 Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ 6 Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ 6
62 Gerade - Gerade Lösungen. Lösungen Aufgabe () Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ Richtungsvektoren: = k = +k / : k = = k / : k = = +k / : k = Geraden sind parallel Aufpunkt von Gerade in Gerade x = + λ Punkt: A(/ /) = +λ / = λ / + = +λ / = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Geraden sind echt parallel Aufgabe () Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ Richtungsvektoren: = k = +k / : k = = k / : k = = +k / : k = Geraden sind parallel Aufpunkt von Gerade in Gerade x = + λ Punkt: A(/ /) = +λ / = λ / + = +λ / 6
63 Gerade - Gerade Lösungen = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Geraden sind identisch Aufgabe () Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ Richtungsvektoren: = k = +k / : k = = k / : k = = +k / : k = Geraden sind parallel Aufpunkt von Gerade in Gerade x = + λ Punkt: A(/ /) = +λ / = λ / + = +λ / = λ / : λ = = λ / : λ = = λ / : λ = Geraden sind echt parallel Aufgabe () Gerade : x = 8 + λ 7 Gerade : x = σ 8 Richtungsvektoren: 7 = k = +k / : k = = +k / : k = 7 = +k / : k = Geraden sind nicht parallel 6
64 Gerade - Gerade Lösungen 8 + λ = σ λ = 7 +σ / 8 / σ +λ = 7 +σ / / σ +7λ = 8 +σ / / σ I λ σ = II λ σ = III 7λ + σ = 6 Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ σ = / II λ σ = / ( ) I λ σ = II λ + σ = I + II I λ λ σ + σ = σ = 6 / : ( ) σ = 6 σ = 7 σ in I I 7 λ = λ 6 7 = / λ = λ = 7 / : λ = 7 λ = 7 λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III = = 9 7 Geraden sind windschief Aufgabe () Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ Richtungsvektoren: = k = +k / : k = = +k / : k = = +k / : k = Geraden sind nicht parallel + λ = + σ +λ = +σ / / σ +λ = +σ / / σ λ = +σ / / σ I λ σ = 6
65 Gerade - Gerade Lösungen II λ σ = III λ + σ = Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ σ = / II λ σ = / ( ) I 6λ σ = II 6λ + 8σ = I + II I 6λ 6λ σ + 8σ = + σ = / : ( ) σ = σ = σ in I I 6λ = 6λ + = / 6λ = 6λ = / : 6 λ = 6 λ = λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III + ( ) = + = λ oder σ in die Geradengleichung einsetzen x = + Schnittpunkt: S(,, ) Gerade : x = + λ Gerade : x = 9 + σ Richtungsvektoren: 7 = k 8 = k / : k = 7 = k / : 8 = k / : k = k = Geraden sind nicht parallel + λ 7 = 9 + σ 8 8 +λ = 9 σ / / + σ 7λ = σ / + / + σ 8 8λ = σ / 8 / + σ I λ + σ = 8 II 7λ + σ = III 8λ σ = Aufgabe (6) 6
66 Gerade - Gerade Lösungen Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ + σ = 8 / ( 7) II 7λ + σ = / ( ) I 8λ 8σ = 6 II 8λ 6σ = I + II I 8λ + 8λ 8σ 6σ = 6 + σ = / : ( ) σ = σ = σ in I I 8λ 8 = 6 8λ 8 = 6 / + 8 8λ = λ = 8 / : ( 8) λ = 8 8 λ = λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III 8 + ( 8) = + ( ) = λ oder σ in die Geradengleichung einsetzen x = Schnittpunkt: S(, 9, ) Aufgabe (7) Gerade : x = + λ Gerade : x = + σ Richtungsvektoren: = k = +k / : k = = +k / : k = = k / : k = Geraden sind nicht parallel + λ = + σ +λ = +σ / + / σ +λ = +σ / / σ λ = σ / / + σ I λ σ = II λ σ = III λ σ = 8 Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ σ = / II λ σ = / ( ) 66
67 Gerade - Gerade Lösungen I λ σ = 8 II λ + σ = I + II I λ λ σ + σ = 8 6σ = / : ( 6) σ = 6 σ = σ in I I λ ( ) = 8 λ + 6 = 8 / 6 λ = 8 6 λ = / : λ = λ = λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III + ( ) = ( ) = Geraden sind windschief Aufgabe (8) Gerade : x = + λ Gerade : x = σ 8 Richtungsvektoren: + λ 6 = σ λ = 9 +σ / / σ +6λ = 7 +σ / / σ 7 +8λ = 8 +σ / 7 / σ 6 8 = k = +k / : k = 6 = +k / : k = 8 = +k / : k = Geraden sind nicht parallel I λ σ = 8 II 6λ σ = III 8λ + σ = Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ σ = 8 / II 6λ σ = / ( ) I 6λ σ = II 6λ + σ = I + II I 6λ 6λ σ + σ = σ = 9 / : ( ) σ = 9 σ =
68 Gerade - Gerade Lösungen σ in I I 6λ ( 7 ) = 6λ + = / 6λ = 6λ = / : 6 λ = 6 λ = λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III = = Geraden sind windschief Aufgabe (9) Gerade : x = 8 + λ 7 Gerade : x = σ 8 Richtungsvektoren: 8 + λ = σ λ = 7 +σ / 8 / σ +λ = 7 +σ / / σ +7λ = 8 +σ / / σ 7 = k = +k / : k = = +k / : k = 7 = +k / : k = Geraden sind nicht parallel I λ σ = II λ σ = III 7λ + σ = 6 Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ σ = / II λ σ = / ( ) I λ σ = II λ + σ = I + II I λ λ σ + σ = σ = 6 / : ( ) σ = 6 σ = 7 σ in I I 7 λ = λ 6 7 = / λ = λ = 7 / : λ = 7 λ =
69 Gerade - Gerade Lösungen λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III = = 9 7 Geraden sind windschief Aufgabe () Gerade : x = + λ Gerade : x = 7 + σ 8 Richtungsvektoren: + λ 6 = 7 + σ λ = +σ / / σ +6λ = 7 +8σ / / 8σ 7 +6λ = +σ / 7 / σ 6 = k 8 6 = +k / : k = 6 = +8k / : 8 k = 6 = +k / : k = Geraden sind nicht parallel I λ σ = II 6λ 8σ = III 6λ + σ = Aus Gleichungen λ und σ berechnen I λ σ = / II 6λ 8σ = / ( ) I 6λ σ = 6 II 6λ + 8σ = I + II I 6λ 6λ σ + 8σ = 6 σ = / : ( ) σ = σ = σ in I I 6λ ( ) = 6 6λ + = 6 / 6λ = 6 6λ = 6 / : 6 λ = 6 6 λ = λ und σ in die verbleibende Gleichung einsetzen III 7 6 = = λ oder σ in die Geradengleichung einsetzen x = Schnittpunkt: S(,, ) 69
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