Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe

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1 Lang- und Kurzzeitgedächtnis Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe k = M = ρ( k) Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis M < Arten von Kausalitätsbeziehungen Beziehung Eigenschaften der Kreuzkorrelation X verursacht Y Y verursacht X Instantane Kausalität Rückkopplung Y verursacht nicht X X und Y sind unabhängig ρ ρ xy xy ( k) 0 für manche k > 0 ( k) 0 für manche k < 0 ρ xy ( 0) 0 ρ xy ( k) 0 für manche k < 0 und manche k > 0 ρ ρ xy xy ( k) = 0 für alle k < 0 ( k) = 0 für alle k

2 Tests und Trenderkennung (Of gewünschte oder geforderte Eigenschaften von Zeitreihen: Eigenschaft Normalität Ergodizität Linearität Stationarität = Trendfreiheit Anmerkungen gegeb. Transformation der Daten pragmatisch: Sättigung der Statistik Stationarität des Mittelwertes ( Trend i.e.s.) Stationarität der Varianz (Homoskedastizitä allgemein: Konstanz aller Momente Test Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilks, χ 2 -Test für empirische Daten nicht testbar lineare Modelle Mann-Kendall-Test Bartlett-Test, Levene-Test Witt-Test Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Variation des Stichprobenumfangs bei gleicher Zahl der Klassen (Frankenberg 2002) 2

3 Box-Cox Transformation Ziel: Annäherung der beobachteten (schiefen) Wahrscheinlichkeitsdichte der Werte an eine Normalverteilung Nebeneffekt: Bestimmte Instationaritäten lassen sich so ebenfalls vermindern. λ y( = ( x( + c) λ y( = ln( x( + c) für λ 0 für λ = 0 Wähle c so, dass der Ausdruck in der Klammer immer > 0 wird Ergodizität Definition: Ein dynamisches System heisst ergodisch, wenn der tatsächlich verfügbare Phasenraum dicht ausgefüllt wird => "Alles was vorkommen kann, kommt auch vor, Es gibt keine echten Überraschungen, d.h., qualitativ neues Systemverhalten -> gesättigte Statistik Konsequenzen z.b.: der beobachtete Datensatz umfasst die absoluten Extrema mit zunehmender Datensatzgröße konvergieren die Mittelwerte gegen den wahren Wert Relevanz: Basis (nahezu) aller Verfahren, insbesondere zur Vorhersage In der Praxis aber ein unüberprüfbares Postulat, da für beobachtete endliche Zeitreihen kein automatisches Testverfahren entwickelt werden kann 3

4 Theoretischer Test auf Ergodizität ( x ) 0 lim σ = n n -> notwendige und hinreichende Bedingung n lim n ρ ac = n k = 0 ( k ) 0 -> hinreichende Bedingung -> nur für n = durchführbar! Tests und Trenderkennung (Of gewünschte oder geforderte Eigenschaften von Zeitreihen: Eigenschaft Normalität Ergodizität Linearität Stationarität = Trendfreiheit Anmerkungen gegeb. Transformation der Daten pragmatisch: Sättigung der Statistik Stationarität des Mittelwertes ( Trend i.e.s.) Stationarität der Varianz (Homoskedastizitä allgemein: Konstanz aller Momente Test Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilks, χ 2 -Test für empirische Daten nicht testbar lineare Modelle Mann-Kendall-Test Bartlett-Test, Levene-Test Witt-Test 4

5 Starke Stationarität Gegeben sei eine Zeitreihe x( mit Wahrscheinlichkeitsverteilung p(x) Definition: Eine Zeitreihe heißt stark stationär, wenn für alle k die k-ten bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht von der Zeit abhängen: p ( xt k xt,,..., ) (,,..., ) + k xt + k 2 xt = p x t2 + k xt2 + k xt2 + k xt für beliebige t,t2 Folgerungen:. Alle Momente hängen nicht von der Zeit ab 2. Autokorrelation hängt nicht von der Zeit ab. Problem: Die Überprüfung der starken Stationarität für experimentelle Daten ist i.a. nicht möglich, da unendlich viele Tests erforderlich. Schwache Stationarität -> pragmatischer Kompromiss Definition: Eine Zeitreihe heißt schwach stationär, wenn ihr erstes und zweites Moment nicht von der Zeit abhängen: E( x( ) = x = konst. x( 2 2 E( x( x) ) = σ = konst. σ 2 ( 5

6 Beispiel für starke Stationarität Weißes Rauschen, definiert durch: zufällige Daten nicht autokorreliert Varianz gleichmäßig über alle Frequenzen verteilt Stationaritätstests Typen von Instationaritäten homogene, explosive,... Instationarität linearer, polynomialer, exponenteller,..., Trend (lange) Periodizitäten Heteroskedastizität Typen von Stationaritätstests auf der Werteverteilung basierend auf der Fourierzerlegung basierend direkte Trenderkennung Prinzip: "Fenstertechnik (vergl.: Histogramm) Aufteilung des Datensatzes in gleichlange Stücke (Fenster) Bestimmung statistischer Merkmale in edem Fenster Berechnung der Variabilität des Merkmals von Fenster zu Fenster Ermittlung der Signifikanz 6

7 Trendanalyse: Klassischer Ansatz Woldsches Theorem (Wold 934): das additive Komponentenmodell X ( = f ( X (, Y ( ) + S( + T ( + η( Y ( S ( ( η ( externe Faktoren saisonale Komponente T deterministischer Trend stationäres Rauschen Globaler monotoner Trend: "im Mittel wächst X( an / fällt ab" => Trend des Mittelwerts (=. Moment der Verteilung) Trendanalyse: Klassischer Ansatz X ( = f ( X (, Y ( ) + S( + T ( + η( 7

8 Test auf Trend des Mittelwertes Intuitiver Ansatz: Bestimmung der bivariaten Pearson-Korrelation zwischen x=x( und t und Prüfung auf Signifikanz mittels t-test Quantifizierung des Trends: Regression zwischen x=x( und t: x = x( = a + b t Limitationen dieses Ansatzes: Pearson-Korrelation und lineare Regression erfassen nur lineare und globale Zusammenhänge t-test setzt Normalverteilung und unabhängige Stichproben voraus -> Alternative: Mann-Kendall-Test, Stationaritätstest nach Witt Mann-Kendall-Test Ziel: Überprüfung auf Trends Motivation: viele statistische Verfahren setzen Trendfreiheit voraus Prinzip: Vergleich der Anzahl der Konkordanzen (x(t ) > x(t 2 ) für t > t 2 ) und der Diskordanzen (x(t ) < x(t 2 ) für t > t 2 ) Erweiterung: Seasonal Kendall Test (Trendanalyse getrennt z.b. für einzelne Jahreszeiten) Beziehungen zu anderen Verfahren: Trendfreiheit ist Voraussetzung für viele andere Verfahren 8

9 Der Mann-Kendall Test Anwendung des Kendall-Tests auf Zeitreihen (d.h., sortiert nach Zeit, ohne doppelte Einträge) => Trendtest: S = n n k = = k + sgn( x( t ) x( t k )) + sgn( y) = 0 y > 0 y = 0 y < 0 Für die H 0 -Hypothese (= "es gibt keinen Trend") gilt dann: E( S) = S = 0 n( n ) (2n var( S) = σ ( S) = 8 => normalverteilt 2 + => Ableitung der Testgröße: Abweichung der beobachteten (normierten) S von den laut H 0 erwarteten 5) Der Mann-Kendall Test beachte: Korrektur für verbundene Ränge (Ranggleichhei notwendig => statt var( S) = σ var( S) = σ 2 n( n ) (2n ( S) = ( S) = R = Anzahl der Werte eweils gleicher Ränge, p = Anzahl der Gruppen verbundener Ränge S => Teststatistik: τ = (für große n annähernd normalverteil, D wobei D = maximal mögliche Anzahl der Konkordanzen: 5) n( n ) (2n + 5) p = 8 R ( R ) (2R + 5) p D = ( n( n ) R ( R 2 2 = ) n( n ) 2 9

10 Aufgabe. Lesen Sie die Daten des Files Datensatz.xls in Statistica ein. 2. Führen Sie eine Autokorrelationsanalyse für die drei Spalten des Datenfiles durch. 3. Bestimmen Sie sämtliche Kreuzkorrelationsfunktionen. 4. Bestimmen Sie die Trends der Mittelwerte eweils durch Regression der Messwerte mit der Zeitachse. 5. Führen Sie für eden Parameter eine Trendanalyse mittels des Kendall-Tests durch. Statistica: Einlesen der Daten 0

11 Statistica:Autokorrelation